Lassso方法是通过构造一个精炼模型，并对其进行不断地压缩，使得一些变量系数为零，最终达到变量简化的效果 [ 2 ] 。

给定数据集 D = { ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ⋯ , ( x m , y m ) } ，其中 x ∈ ℜ d ，最简单的线性回归模型，以平方误差为损失函数，则优化目标为

min ω ∑ i − 1 m ( y i − ω T x i ) 2 (1)

当样本特征很多，但是样本数量相对较少时，上述(1)式就容易陷入过拟合。

为缓解这一问题，对(1)式引入正则化项。

若使用 L 2 范数正则化，则有

min ω ∑ i − 1 m ( y i − ω T x i ) 2 + λ ‖ ω ‖ 2 2 (2)

其中正则化参数 λ > 0 。上式被称为“岭回归”，通过引入 L 2 范数正则化，确实能降低过拟合的风险；

将正则化项中的 L 2 范数替换为 L P 范数时，令 p = 1 ，即采用 L 1 范数，则有

min ω ∑ i − 1 m ( y i − ω T x i ) 2 + λ ‖ ω ‖ 1 (3)

其中，正则化参数 λ > 0 ，上式被称为Lassso。

L 1 范数正则化都能够有效的降低过拟合风险，并且相较于 L 2 而言，正则化(Lassso)还有另一个优点：更容易获得稀疏解，即通过它求得的 ω 会有更少的非零分量。

灰色预测系统是对既含有已知信息、也含有未知信息的系统进行预测，这也就是在有限的变化范围内的灰色数据系统进行预测 [ 3 ] 。其建模过程如下：

首先对原始序列 X ( 0 ) = { x ( 0 ) ( i ) , i = 1 , 2 , ⋯ , n } 进行一次累加得到序列 X ( 1 ) = { x ( 1 ) ( i ) , i = 1 , 2 , ⋯ , n } ，对 X ( 1 ) 建立一阶线性微分方程为：

d X ( 1 ) d t + a X ( 1 ) = u (4)

求解微分方程，得到预测模型为：

X ^ ( 1 ) ( k + 1 ) = [ X ^ ( 1 ) ( 0 ) − u ^ a ^ ] e − a ^ k (5)

将 X ^ ( 1 ) ( k + 1 ) 经过累减还原为 X ^ ( 0 ) ( k + 1 ) ，即 X ( 0 ) 的灰色预测模型为：

X ^ ( 0 ) ( k + 1 ) = ( e − a ^ − 1 ) [ X ^ ( 1 ) ( 0 ) − u ^ a ^ ] e − a ^ k (6)

采用后验差检验法进行灰色模型的精度检验。后验差检验的两个重要指标为C (后验差)和P (小误差概率)，模型精度等级 [ 4 ] 如表1所示。

表1. 灰色模型精度等级表

BP神经网络 [ 5 ] 是一种按误差反向传播训练的多层前馈网络，其算法称为BP算法 [ 4 ] 。其学习算法如下：

1) 用随机数初始化层间节点i和j的连接权 W i j 和节点j的阈值 θ j 。

2) 读入经预处理的训练样本 { X P L } 和 { Y P K } 。

3) 计算各层节点的输出(对第P个样本) O p j = f ∑ i ( W i j I p i − θ j ) ，式中 I p i 既是节点i的输出，又是节

点j的输出。

4) 计算各层节点的误差信号

输出层： δ p k = O p k ( y p k − O p k ) ( 1 − O p k )

隐含层： O p i = O p i ( 1 − O p i ) ∑ i δ p i W i j

5) 反向传播

权值修正： W i j ( t + 1 ) = α δ p i O p i + W i j ( t )

阈值修正： θ j ( t + 1 ) = θ j ( t ) + β δ p i

式中 α 为学习因子， β 为加速收敛的动量因子。

6) 计算误差

E p = ( ∑ p ∑ k   ) ( O p k − Y p k ) 2 / 2

灰色预测GM(1,1)模型是根据样本数据的具体分布情况和随机性质，通过常用的关联分析对样本数据进行分析后，将原本不平稳的样本数据，利用累加函数使其变成单调递增的数据模型，这种累加模型往往适用于指数型的时间序列数据，但如果数据之间是一种非线性的函数关系，那么这种模型就不能够体现出来。

人工神经网络预测模型作为一种非线性自适应的预测模型，具有高度的非线性函数映射能力，这种性质使得神经网络适合应用于存在多因素并且非线性联系的高维复杂问题上，因此它可以反映模型因素之间的非线性函数关系。作为目前人工网络模型中使用范围最广的BP神经网络模型，它能够处理绝大多数的非线性的数据序列关系，而且模型能够科学全面地反映样本数列的复杂性，同时还能保证较高的预测精度。

因此本文结合两种预测方法优缺点，可以将两个单一的预测模型进行组合，这样一方面可以实现两个模型的优势互补，另一方面又较好地消除了两者不足，在最大程度上又保证了模型的预测精度。

本文将影响江西省财政收入的19个因素和被解释变量的历史数据带入模型，利用Ｒ软件lars()函数对LASSO问题求解，LASSO求解路径如图1所示。

图1. LASSO求解路径

在变量选择的过程中，最重要的是选择合适的 λ 值。利用R软件的cv.glmnet()函数进行交叉验证法(CV)，从中选择最佳参数值，CV变化过程如图2所示。

图2. CV选择过程

最后，LASSO变量筛选的结果如表4所示。

表4. LASSO变量选择系数表

由表2可以看出，使用LASSO回归方法选取的影响江西省地方财政收入的关键影响因素有6个，分别是X₅、X₆、X₇、X₈、X₁₃、X₁₄。

本文将LASSO变量选择方法 [ 7 ] 筛选出的影响江西省财政收入的6个主要因素，建立灰色系统GM(1,1)模型，利用R语言构建预测模型，求得相关因素精度表 [ 9 ] 如下表5所示。

表5. 江西省地方财政收入GM(1,1)模型相关因素精度表

因为灰色预测GM(1,1)模型程序比较繁琐复杂，因此本文通过从外部加载代码的形式将其引入R语言中，然后得到了单个变量真实值与预测值图，如下图3所示。

图3. 真实值–预测值

从图3中可以说明，利用GM(1,1)模型对这6个变量进行预测时，预测结果较为理想，因此本文将这6个变量一起加入到后面的神经网络中,然后对江西省财政收入进行预测。

通过运用GM(1,1)模型本文得出的6个解释变量2021~2025年5年的预测数据，并将其上述结果及历史数据带入到江西省地方财政收入所建立的神经网络模型中，如图4所示。

图4. 神经网络拓扑图

之后，我们对其做了20次的灰色神经网络预测，得到了20组江西省2021~2025年财政收入的预测值，我们取其平均数之后，最后得出：江西省2020~2025年5年的预测值分别为2824.970亿元、3007.592亿元、3202.021亿元、3409.018亿元、3629.396亿元。相关数据如下表6所示，其中加粗字体为预测数据。

表6. 地方财政收入及其相关因素历史数据和预测表

图5. 2006~2025年江西省地方财政收入真实值与预测值

由图5，由财政收入真实值和预测值对比图可看出，该模型很好的拟合了财政收入的变化情况。

采用模型指标体系对建立的江西省财政收入预测模型进行评估，结果如表7所示。

表7. 江西省财政收入预测模型评估指标值

在模型评价指标中，模型具有很高的预测精度，可以为政府相关部门的财政决策与管理工作提供参考依据。