令G表示为图，图G的k-匹配是一个函数f，它为G的每个边分配 { 0 , 1 , ⋯ , k } 中的一个数，使得G的每个顶点v均有 ∑ e ~ v f ( e ) ≤ k ，这里的求和表示取遍所有与定点邻接的边e。在本文中，我们探讨了当k为奇数时，图的 A α -谱半径与整数k-匹配数之间的关系。

k-匹配理论，谱半径，商矩阵

Zhen Li, Chao Zhang^*

Department of Mathematics, Guizhou University, Guiyang Guizhou

Received: Dec. 10^th, 2022; accepted: Jan. 11^th, 2023; published: Jan. 20^th, 2023

Let G be a graph. A k-matching of G is a function f that assigns to each edge of G a number in { 0 , 1 , ⋯ , k } so that ∑ e ~ v f ( e ) ≤ k for each vertex v of G, where the sum is taken over all edges e incident with v. In our paper, we explore the relationship between A α -spectral radius and integer k-matching number in general graphs when k is odd.

Keywords:k-Matching Theory, Spectral Radius, Quotient Matrix

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在本文中，我们只考虑无向简单图。设 G = ( V ( G ) , E ( G ) ) 是一个图， G ( V ) 和 G ( E ) 分别表示图中的顶点集和边集。除非另有规定，我们均使用文献 [ 1 ] 中的以下符号和定义。

我们将 N ( v ) 表示为顶点v的一组邻接顶点，并用 d ( v ) = | N ( v ) | 表示v的度。设 δ 和 Δ 分别为图的最小度和最大度。零度顶点也被称为孤立顶点。我们用 o d d ( G ) 表示奇分量的集合，其阶数至少为3，用 m = | o d d ( G ) | 表示奇分量的数量，用 i ( G ) 代表G中孤立顶点的数量。图G的邻接矩阵定义为 A ( G ) = ( a i j ) n × n ，如果顶点i和j相邻，则 a i j = 1 ，否则 a i j = 0 。令 D ( G ) 表示图G关于顶点度的对角矩阵。 L ( G ) = D ( G ) − A ( G ) 和 Q ( G ) = D ( G ) + A ( G ) 分别称为图G的拉普拉斯矩阵和无符号拉普拉斯矩阵。对于任意 α ∈ [ 0 , 1 ) ，Nikiforov [ 2 ] 引入图G的 A α -矩阵为 A α ( G ) = α D ( G ) + ( 1 − α ) A ( G ) 。需要指出的是， A 0 = A ( G ) ， A 1 2 = 1 2 Q ( G ) 。 A ( G ) 的最大特征值称为图G的谱半径，拉普拉斯谱半径和无符号拉普拉斯谱半径也可以类似地定义。

现在我们回顾文献 [ 3 ] 中k-匹配的定义，这是整数匹配的自然推广。设k为整数，图G的k-匹配是函数 f : E ( G ) → { 0 , 1 , ⋯ , k } 使得对于任何顶点 v ∈ v ( G ) ，均有 ∑ e ~ v f ( e ) ≤ k 。如果对于匹配M的每个顶点v，均有 ∑ e ~ v f ( e ) = k ，则匹配M称为G的完美k-匹配。图G的k-匹配数用 μ k ( G ) 表示，是所有k-匹配f上使得 ∑ e ∈ E ( G ) f ( e ) 为最大值时的k-匹配。很容易知道，当 k = 1 时，完美1-匹配是我们熟悉的整数类型的完美匹配。根据文献 [ 4 ]，我们知道当 k = 2 时，完美2-匹配相当于分数完美匹配。图的k-匹配被广泛应用于网络设计、组合拓扑等许多研究领域。

近年来，图是否能为某些性质找到谱充分条件的问题越来越受到人们的关注，特别是在研究图的特征值与匹配数之间的关系方面。例如，当k为偶数时，Y. Liu和X. Liu [ 5 ] 证明了图的整数k-匹配数等于其分数匹配数的k倍，其中分数匹配是通过使用Pulleyblank [ 6 ] 给出的生成特殊分数匹配的算法，将整数匹配中的赋值集{0, 1}替换为实数集[0, 1]来定义的。H. Lu和W. Wang [ 7 ] 研究了一般图的完美k-匹配，并给出了当k为奇数时其存在的充分必要条件。最近，Y. Liu，X. Su，D. Xiong [ 3 ] 研究了当k为奇数时，图中k-匹配的数量。这一结果与文献 [ 7 ] 中的Berge-Tutte公式非常相似。此外，在文献 [ 8 ] 中，R. F. Liu等人从最小度 δ 的角度探讨了分数匹配数与谱半径之间的关系。

在本文中，我们主要研究k-匹配数与谱半径相对于奇分量的数量之间的关系(见定理3.1)。

在本节中，我们将介绍完美k-匹配的一些特征和一些引理。

令M为n × n阶的实对称矩阵，设M是n阶对称实矩阵，描述为如下形式

M = ( M 1 , 1 M 1 , 2 ⋯ M 1 , m M 2 , 1 M 2 , 2 ⋯ M 2 , m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ M m , 1 M m , 2 ⋯ M m , m )

其中块 M i j 是任意 1 ≤ i , j ≤ m 且 n = n 1 + ⋯ + n m 的 n i × n j 矩阵。对于 1 ≤ i , j ≤ m ，令 b i j 表示 M i j 的平均行和，即 b i j 是 M i j 中所有条目的和除以行数。 B = ( b i j ) 被称为M的商矩阵。此外，如果M的每个块 M i j 具有恒定的行和，则B被称为M的公平商矩阵。

对于任何非负矩阵M，我们用 ρ ( M ) 表示M的谱半径。我们有如下关于公平商矩阵的引理。

引理2.1 [ 9 ] [ 10 ] 设M，M₁，M₂是非负矩阵。然后

1) 如果B是M的公平商矩阵，那么B的特征值也是M的特征值，并且 ρ ( M ) = ρ ( B ) 。

2) 如果 M 1 − M 2 为非负，则 ρ ( M 1 ) ≥ ρ ( M 2 ) 。

对于k-匹配，我们有以下结果。

命题2.2设G是连通图，f是G上的k-匹配。则 ∑ e ∈ E ( G ) f ( e ) ≤ 1 2 k | V ( G ) | ，当且仅当f是完美k-匹配时等式成立。因此，k-匹配数 μ k ( G ) ≤ 1 2 k | V ( G ) | ，等式成立当且仅当图G存在完美k-匹配。

证明：对于任何顶点v和k匹配的f，我们有 ∑ e ~ v f ( e ) ≤ k 。对所有顶点v将这些不等式求和，我们有 1 k ∑ e ∈ E ( G ) 2 f ( e ) ≤ | v ( G ) | 。

因此，我们获得了期望的结果。根据k-匹配数的定义，我们可以很容易地知道f是G上的完美k-匹配，当且仅当 ∑ e ∈ E ( G ) f ( e ) ≤ 1 2 k | v ( G ) | 。

文献 [ 3 ] 中的以下命题为我们提供了完美k-匹配存在的标准。

命题2.3设G为图。

1) 如果 k ≥ 2 是偶数，则对于所有 S ⊆ V ( G ) ，G具有完美k-匹配当且仅当 i ( G − S ) ≤ | S | 。

2) 如果 k ≥ 1 是奇数，则对于所有子集 S ⊆ V ( G ) ，G具有完美k-匹配当且仅当 o d d ( G − S ) + k i ( G − S ) ≤ k | S | 。

引理2.4 (k-Berge-Tutte formula, [ 11 ] )对于任意图G，

μ k ( G ) = 1 2 ( k | V ( G ) | − max { o d d ( G − S ) + k i ( G − S ) − k | S | | S ⊂ V ( G ) } ) .

引理2.5 [ 12 ] 设G是具有n个顶点的连通图，如果 | E ( G ) | ≥ C n − 1 2 + 1 ，则G包含哈密顿路。

定理3.1设G是 n = | V ( G ) | 且 δ = δ ( G ) 的连通图，且 α ∈ [ 0 , 1 ) 是实数且 k > m 。如果

λ 1 ( α D ( G ) + ( 1 − α ) A ( G ) ) < { δ 1 + 2 ( 1 − m k ) n − ( 3 m + 1 − m k ) ,                       α = 0 2 α δ 1 − α [ n − 3 m n − ( 3 m + 1 − m k ) ] ,                   α ∈ ( 0 , 1 2 ] α δ 1 − α [ 1 + 2 ( 1 − m k ) n − ( 3 m + 1 − m k ) ] ,           α ∈ ( 1 2 , 1 )

则 μ k ( G ) > k n − ( 1 − m k ) 2 。

证明：采用反证法证明，假设 μ k ( G ) ≤ k n − ( 1 − m k ) 2 ，因此 μ k ( G ) < k n 2 。这意味着图G不具有命题2.2的完美k-匹配。因此，根据命题2.3，存在满足 i ( G − S ) − | S | ≥ 1 − m k 的顶点子集 S ⊆ V ( G ) 。设T是 G − S 中的孤立顶点集， | S | = s ， | T | = t 。则 3 m + s + t ≤ n ， t = i ( G − S ) ≥ S + 1 − m k ，因此 S ≤ n − ( 3 m + 1 − m k ) 2 。由于T是 G − S 中孤立顶点的集合，我们观察到 N G ( T ) ⊆ S ，因此 S ≥ δ 。

设 X = E G [ S , T ] ， H = G [ X ] 是由X诱导的二部图G，并且 r = | E ( H ) | 。则 r ≥ t δ 。因此， α D ( H ) + ( 1 − α ) A ( H ) 相对于分区 ( S , T ) 的商矩阵 R ( α D ( H ) + ( 1 − α ) A ) ：

R ( α D ( H ) + ( 1 − α ) A ( H ) ) = ( α r s ( 1 − α ) r s ( 1 − α ) r t α r t )

R ( α D ( H ) + ( 1 − α ) A ( H ) ) 的特征多项式为： λ 2 − α ( r s + r t ) λ + [ α 2 − ( 1 − α ) 2 ] r 2 s t = 0 ，直接计算便有：

λ 1 ( α D ( H ) + ( 1 − α ) A ( H ) ) = 1 2 { α ( r s + r t ) + α 2 ( r s + r t ) 2 − 4 [ α 2 − ( 1 − α ) 2 ] r 2 s t } = 1 − α 2 { α 1 − α ( r s + r t ) + [ ( α 1 − α ) 2 − 1 ] ( r s − r t ) 2 + ( r s + r t ) 2 }

情况1：当 α = 0 时， λ 1 ( α D ( H ) + ( 1 − α ) A ( H ) ) = r 1 s t 。因此，

λ 1 ( α D ( G ) + ( 1 − α ) A ( G ) ) ≥ λ 1 ( α D ( H ∪ ( n − s − t ) K 1 ) + ( 1 − α ) A ( H ∪ ( n − s − t ) K 1 ) ) = λ 1 ( α D ( H ) + ( 1 − α ) A ( H ) ) ≥ λ 1 ( R ( α D ( H ) + ( 1 − α ) A ( H ) ) ) = r 1 s t ≥ δ t s ≥ δ 1 + k − m s k ≥ δ 1 + 2 ( 1 − m k ) n − ( 3 m + 1 − m k )

情况2：当 0 < α < 1 2 时， ( α 1 − α ) 2 − 1 ≤ 0 ，由此可知：

λ 1 ( R ( α D ( H ) + ( 1 − α ) A ( H ) ) ) ≥ 1 − α 2 { α 1 − α ( r s + r t ) + [ ( α 1 − α ) 2 − 1 ] ( r s − r t ) 2 + ( r s + r t ) 2 } = α 1 − α ( r s + r t )

据此有，

λ 1 ( α D ( G ) + ( 1 − α ) A ( G ) ) ≥ λ 1 ( α D ( H ) + ( 1 − α ) A ( H ) ) ≥ λ 1 ( R ( α D ( H ) + ( 1 − α ) A ( H ) ) ) ≥ α 1 − α ( r s + r t ) ≥ α 1 − α δ ( 1 + t s ) ≥ α δ 1 − α ( 2 + 1 − m k s ) ≥ α δ 1 − α [ 2 + 2 ( 1 − m k ) n − ( 3 m + 1 − m k ) ] = 2 α δ 1 − α [ n − 3 m n − ( 3 m + 1 − m k ) ]

情况3：当 1 2 < α < 1 时， ( α 1 − α ) 2 − 1 > 0 ，由此可知：

λ 1 ( R ( α D ( H ) + ( 1 − α ) A ( H ) ) ) > 1 − α 2 { α 1 − α ( r s + r t ) + [ ( α 1 − α ) 2 − 1 ] ( r s − r t ) 2 + ( r s + r t ) 2 } = ( α 1 − α ) r s

据此有，

λ 1 ( α D ( G ) + ( 1 − α ) A ( G ) ) ≥ λ 1 ( α D ( H ) + ( 1 − α ) A ( H ) ) ≥ λ 1 ( R ( α D ( H ) + ( 1 − α ) A ( H ) ) ) ≥ ( α 1 − α ) r s ≥ ( α δ 1 − α ) t s ≥ α δ 1 − α ( 1 + 1 − m k s ) ≥ α δ 1 − α [ 1 + 2 ( 1 − m k ) n − ( 3 m + 1 − m k ) ]

定理3.2设G是 n = | V ( G ) | 且 δ = δ ( G ) 的连通图，且 α ∈ [ 0 , 1 ) 是实数且 k > m 。如果

λ 1 ( α D ( G ¯ ) + ( 1 − α ) A ( G ¯ ) ) < δ − m k

因此 μ k ( G ) > k n − ( 1 − m k ) 2 。

证明：假设 μ k ( G ) ≤ k n − ( 1 − m k ) 2 < k n 2 。这意味着，图G不包含完美k-匹配。因此，根据定理2.3，存在满足 i ( G − S ) − | S | ≥ 1 − m k 的顶点子集 S ⊆ V ( G ) 。设T是 G − S 中孤立顶点的集合， | S | = s ， | T | = t 。那么 t = i ( G – S ) ≥ s + 1 − m k 。由于T是 G − S 中孤立点的集合，我们观察到 N G ( T ) ⊆ S ，因此 s ≥ δ 。由于 K t ∪ ( n − t ) K 1 是 G ¯ 的生成子图，因此

λ 1 ( α D ( G ¯ ) + ( 1 − α ) A ( G ¯ ) ) ≥ λ 1 ( α D ( K t ∪ ( n − t ) K 1 ) + ( 1 − α ) A ( K t ∪ ( n − t ) K 1 ) ) = t − 1 ≥ s − m k ≥ δ − m k

这与假设矛盾。

推论3.3设 是 n = | V ( G ) | 且 δ = δ ( G ) 的连通图，且 α ∈ [ 0 , 1 ) 是实数，如果

λ 1 ( α D ( G ) + ( 1 − α ) A ( G ) ) < { δ 1 + 2 n − 1 , α = 0 ( 2 α δ 1 − α ) n n − 1 , α ∈ ( 0 , 1 2 ] α δ 1 − α ( 1 + 2 n − 1 ] , α ∈ ( 1 2 , 1 )

则图G包含完美k-匹配。

证明：在定理3.1中，设 m = 0 ，我们可以知道 μ k ( G ) > k n − 1 2 。根据命题2.2有 μ k ( G ) ≤ k n 2 ，由于 μ k ( G ) 是一个整数。这迫使 μ k ( G ) = k n 2 ，这意味着G包含完美k-匹配。

同样，我们可以很容易地得出以下结论：

推论3.4设G是 n = | V ( G ) | 且 δ = δ ( G ) 的连通图，且 α ∈ [ 0 , 1 ) 是实数。如果

λ 1 ( D ( G ¯ ) + ( 1 − α ) A ( G ¯ ) ) < δ

则图G包含完美k-匹配。

定理3.5设G是具有n个顶点的连通图且 n ≥ 4 ，n为偶数，如果 | E ( G ) | ≥ C n − 1 2 + 1 ，则G包含完美k-匹配。

证明：根据定理2.5，图G包含哈密顿路 P n 。对于任何 e ∈ E ( P n ) ，我们可以通过交替地将 f ( e ) = k 和 f ( e ) = 0 赋给 P n ，对于 P n 之外的边赋值0，以此来构造完美k-匹配。

本文由贵州省科技厅项目(批准号：黔科合基础[ 2020 ]1Y405)资助。

李 振,章 超. 图的A_α-谱半径与k-匹配数The A_α-Spectral Radius and k-Matching Number in Graphs[J]. 理论数学, 2023, 13(01): 67-73. https://doi.org/10.12677/PM.2023.131007