本文研究基于虚拟元方法求解带混合边界条件的线弹性问题。首先给定弹性力学的基本方程和二维混合弱对称形式的线弹性问题，并通过变分原理得到原问题的变分形式。其次通过定义局部刚体运动空间，构造虚拟元空间。然后对于给定的每一个变量的近似得到方法的收敛性，并通过已知的引理和不等式验证收敛性，同时给出原问题的误差估计。最后根据悬臂梁问题验证理论分析的有效性与可行性。 In this paper, the virtual element method is used to solve the linear elastic problem with mixed boundary conditions. Firstly, the basic equations of elasticity and the two dimensional mixed weak-ly symmetric formulation linear elasticity problems are given. The variational form of the original problem is obtained by the variational principle. Secondly, the virtual element space is obtained by defining the local rigid motion space. Then the convergence of the method is obtained for the ap-proximation of each given variable, and the convergence is verified by the known lemmas and ine-qualities. At the same time, the error estimate of the original problem is given. Finally, the validity and feasibility of the theoretical analysis are verified by the cantilever beam problem.
本文研究基于虚拟元方法求解带混合边界条件的线弹性问题。首先给定弹性力学的基本方程和二维混合弱对称形式的线弹性问题，并通过变分原理得到原问题的变分形式。其次通过定义局部刚体运动空间，构造虚拟元空间。然后对于给定的每一个变量的近似得到方法的收敛性，并通过已知的引理和不等式验证收敛性，同时给出原问题的误差估计。最后根据悬臂梁问题验证理论分析的有效性与可行性。
混合形式线弹性问题，虚拟元方法，弱对称形式，混合边界条件
Xinbo Cheng, Xiaokun Liang, Junchi Ma*
School of Mathematics, Liaoning Normal University, Dalian Liaoning
Received: Nov. 26th, 2022; accepted: Dec. 21st, 2022; published: Dec. 30th, 2022
In this paper, the virtual element method is used to solve the linear elastic problem with mixed boundary conditions. Firstly, the basic equations of elasticity and the two dimensional mixed weakly symmetric formulation linear elasticity problems are given. The variational form of the original problem is obtained by the variational principle. Secondly, the virtual element space is obtained by defining the local rigid motion space. Then the convergence of the method is obtained for the approximation of each given variable, and the convergence is verified by the known lemmas and inequalities. At the same time, the error estimate of the original problem is given. Finally, the validity and feasibility of the theoretical analysis are verified by the cantilever beam problem.
Keywords:Mixed Formulation Linear Elasticity Problem, Virtual Element Method, Weakly Symmetric Formulation, Mixed Boundary Condition
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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
虚拟元方法 [
线弹性问题是弹性力学领域一个重要的研究课题，已有多种数值求解方法，比如，有限元方法 [
本文将使用如下符号。 L 2 ( O ) : = { v : ∫ O | v | 2 d x = ‖ v ‖ L 2 ( O ) 2 < + ∞ } 表示定义在 O 上的平方可积的可测函数构成的空间， ( ⋅ , ⋅ ) 0 是 L 2 ( O ) 上的内积， ‖ ⋅ ‖ 0 是 L 2 ( O ) 上的范数。 ℙ k ( O ) 为 O 上次数不超过k (k为非负整数)的多项式空间。 H ( div ; O ) : = { τ : τ ∈ [ L 2 ( O ) ] 2 × 2 , ∇ ⋅ τ ∈ [ L 2 ( O ) ] 2 } 。定义标量积 σ : τ = ∑ i , j σ i j τ i j 。定义 a s ( γ ) = 1 2 ( γ − γ T ) 。
本文第二节给出弹性力学在静力学、几何学和物理学方面的基本方程，并给出二维混合形式线弹性问题，将其限制在Dirichlet和Neumann混合边界条件下。第三节给出虚拟元方法的解决，首先根据变分原理得到混合弱对称形式线弹性问题的变分形式，根据文献 [
弹性力学的基本方程为，在静力学方面建立平衡方程 ∇ ⋅ σ = f 。在几何学方面，建立几何方程
ε ( u ) = 1 2 ( ∇ u + ∇ u T ) 。在物理学方面建立本构方程 σ = ℂ ε ( u ) 。其中 σ 为应力张量， u 为位移张量， ε 为
应变张量， f ⊂ [ L 2 ( Ω ) ] 2 是外力， ℂ 为正定、有界、对称的矩阵。
本文考虑的混合形式线弹性问题是线性各向同性的，找到 ( σ , u ) ，使得
{ ∇ ⋅ σ = f , 在 Ω 内 , σ = ℂ ε ( u ) , 在 Ω 内 , u = g D , 在 Γ D 上 , σ ⋅ n = g N , 在 Γ N 上 , (1)
其中 Ω 为 ℝ 2 上的有界凸多边形区域，设 Γ 为 Ω 的边界，且边界 Γ 的两个子集 Γ D , Γ N 满足 Γ = Γ D ∪ Γ N ， Γ D ∩ Γ N = ∅ 。 n 为边界 Γ N 的单位外法向量。 ℂ ε ( u ) = 2 μ ε ( u ) + λ t r ( ε ( u ) ) I ，这里 t r ( ⋅ ) 是张量的迹，I是恒等张量，Lamé常数 λ , μ 定义如下
λ = E υ ( 1 + υ ) ( 1 − 2 υ ) , μ = E 2 ( 1 + υ ) ，
其中E为弹性模量， υ 为泊松比。
构造容许函数空间 Σ : = H ( div ; Ω ) ， U : = [ L 2 ( Ω ) ] 2 ， X : = { γ : γ ∈ [ L 2 ( Ω ) ] 2 × 2 , a s ( γ ) = γ } 。
引入一个新的变量 ω ∈ X ，根据变分原理，求得线弹性问题(1)的变分形式为：找到 ( σ , u , ω ) ∈ Σ × U × X ，使得
{ a ( σ , τ ) + b ( τ , u ) + c ( τ , ω ) = 〈 g D , ( τ ⋅ n ) 〉 , τ ∈ { τ ∈ Σ : τ ⋅ n | Γ N = 0 } , b ( σ , v ) = ( f , v ) , v ∈ U , c ( σ , θ ) = 0 , θ ∈ X , ( σ ⋅ n ) | Γ N = g N , (2)
其中 a ( σ , τ ) : = ∫ Ω ℂ − 1 σ : τ d Ω ， b ( σ , u ) : = ∫ Ω ( ∇ ⋅ σ ) ⋅ u d Ω ， c ( σ , ω ) : = ∫ Ω σ : ω d Ω 。
据文献 [
假设 { T h } h 是区域 Ω 的一个满足如下正则性条件的剖分，对任意的剖分单元 T ∈ T h ， h T 表示每个多边形T的直径，那么令 h : = sup T ∈ T h h T 。用 E h 表示 { T h } h 的边的集合。其中 l 为正常数，
A1. 对于所有的边 e ∈ ∂ T ，有 h e ≥ l h T ，
A2. T相对于半径大于等于 l h T 的球呈星形。
根据文献 [
R M ( T ) : = { r ( x ) = α + β ( x − x T ) ⊥ : α ∈ ℝ 2 , β ∈ ℝ } ，
其中若 x = ( x 1 , x 2 ) ∈ ℝ 2 ，则 x ⊥ = ( x 2 , − x 1 ) T 。
R M ( e ) : = { ψ ( s ) = c t e + p 1 ( s ) n e : c ∈ ℝ , p 1 ( s ) ∈ ℙ 1 ( e ) } ，
其中 n e 是边e的单位外法向量， t e 是边e的单位切向量，方向与e一致。
下面定义局部应力空间为
Σ h ( T ) : = { τ h ∈ H ( div ; T ) : ∃ α ∈ [ H 1 ( T ) ] 2 , τ h = ℂ ε ( α ) ; ( τ h ⋅ n ) | e ∈ R M ( e ) , ∀ e ∈ ∂ T ; ∇ ⋅ τ h ∈ R M ( T ) } ，
全局应力空间为
Σ h = { τ h ∈ Σ : τ h | T ∈ Σ h ( T ) , T ∈ T h } 。
定义局部位移空间为
U h ( T ) : = { v h ∈ [ L 2 ( T ) ] 2 : v h ∈ R M ( T ) } ，
全局位移空间为
U h = { v h ∈ U : v h | T ∈ U h ( T ) , T ∈ T h } 。
定义局部旋转张量空间为
X h ( E h ) : = { θ h ∈ [ L 2 ( E h ) ] 2 : θ h | e ∈ R M ( e ) , e ∈ E h } ，
全局旋转张量空间为
X h = { θ h ∈ X : θ h | E h ∈ X h ( E h ) } 。
基于上述剖分以及空间的定义，首先将双线性形式进行离散，
a ( σ , τ ) = ∑ T ∈ T h a T ( σ , τ ) = ∑ T ∈ T h ∫ T ℂ − 1 σ : τ d T , ‖ τ ‖ 0 2 = ∑ T ∈ T h ‖ τ ‖ 0 , T 2 , σ , τ ∈ Σ , b ( σ , u ) = ∑ T ∈ T h b T ( σ , u ) = ∑ T ∈ T h ∫ T ( ∇ ⋅ σ ) ⋅ u d T , σ ∈ Σ , u ∈ U , c ( σ , ω ) = ∑ T ∈ T h c T ( σ , ω ) = ∑ T ∈ T h ∫ T σ : ω d T , σ ∈ Σ , ω ∈ X .
问题(2)的离散形式为，找到 ( σ h , u h , ω h ) ∈ Σ h × U h × X h ，使得
{ a h ( σ h , τ h ) + b ( τ h , u h ) + c ( τ h , ω h ) = 〈 g D , ( τ h ⋅ n ) 〉 , τ h ∈ { τ h ∈ Σ h : τ h ⋅ n | Γ N = 0 } , b ( σ h , v h ) = ( f h , v h ) , v h ∈ U h , c ( σ h , θ h ) = 0 , θ h ∈ X h , ( σ ⋅ n ) | Γ N = g N , (3)
其中 ∇ ⋅ Σ h ⊆ U h 。
根据文献 [
首先讨论离散形式(3)的收敛性，重点在于处理双线性形式 a 和 a h 之间的关系，为了证明收敛性，首先给出以下引理。
引理1 [
a h ( τ h , τ h ) ≥ C ( μ ) ‖ τ h ‖ Σ 2 ，
其中 ker ( B h ) = { τ h ∈ Σ h : b ( τ h , v h ) + c ( τ h , θ h ) = 0 , v h ∈ U h , θ h ∈ X h } 。
引理2 [
引理3 [
inf v h ∈ U h , θ h ∈ X h sup τ h ∈ Σ h b ( τ h , v h ) + c ( τ h , θ h ) ‖ τ h ‖ Σ h ( ‖ v h ‖ U + ‖ θ h ‖ X ) ≥ C 。
定理1令 ( σ , u , ω ) ∈ Σ × U × X 是变分形式(2)的解， ( σ h , u h , ω h ) ∈ Σ h × U h × X h 是离散形式(3)的解，对于 σ 的每一个分段多项式近似 σ π ∈ [ ℙ k disc ( Ω ) ] n × n ， u 的每一个分段多项式近似 u π ∈ U h ， ω 的每一个分段多项式近似 ω π ∈ X h ，以及对于 σ 的每一个近似 σ I ∈ Σ h ，有
‖ σ − σ h ‖ Σ + ‖ u − u π ‖ U + ‖ ω − ω h ‖ X ≤ C ( μ ) ( ‖ σ − σ π ‖ 0 + ‖ σ − σ I ‖ Σ + ‖ u − u π ‖ U + ‖ ω − ω π ‖ X ) ，
其中 C ( μ ) 为依赖于 μ 的常数。 ℙ k disc ( Ω ) : = { q h ∈ L 2 ( Ω ) : q h | T ∈ ℙ k ( T ) , T ∈ T h } 为分段多项式空间。
证明：为了简便，取 g D = 0 。
先构造 K h ( f ) = { φ h ∈ Σ h : b ( φ h , v h ) + c ( φ h , θ h ) = ( f , v h ) , v h ∈ U h , θ h ∈ X h } 。
设 τ h = σ h − φ h ， φ h ∈ K h ( f ) ，则 τ h ∈ ker ( B h ) 。根据引理1，引理2以及问题(2)，(3)可得
C ( μ ) ‖ τ h ‖ Σ 2 ≤ a h ( τ h , τ h ) = a h ( σ h , τ h ) − a h ( φ h , τ h ) = a ( σ , τ h ) − a h ( φ h , τ h ) + b ( τ h , u − u h ) + c ( τ h , ω − ω h ) = a ( σ , τ h ) − a h ( φ h , τ h ) + c ( τ h , ω − ω h ) = a ( σ − σ π , τ h ) + a h ( σ π − φ h , τ h ) + c ( τ h , ω − ω π ) .
根据Cauchy-Schwarz不等式有，
‖ τ h ‖ Σ ≤ C ( μ ) ( ‖ σ − σ π ‖ 0 + ‖ σ π − φ h ‖ 0 + ‖ ω − ω π ‖ X ) ≤ C ( μ ) ( ‖ σ − σ π ‖ 0 + ‖ σ − φ h ‖ 0 + ‖ ω − ω π ‖ X ) .
利用三角不等式可得，
‖ σ − σ h ‖ Σ ≤ ‖ σ − φ h ‖ Σ + ‖ τ h ‖ Σ ≤ C ( μ ) ( ‖ σ − σ π ‖ 0 + ‖ σ − φ h ‖ Σ + ‖ ω − ω π ‖ X ) . (4)
根据引理3可知，存在 η h ∈ Σ h ，满足
b ( η h , v h ) + c ( η h , θ h ) = b ( σ − σ I , v h ) + c ( σ − σ I , θ h ) , v h ∈ U h , θ h ∈ X h ，
使得
‖ η h ‖ Σ ≤ C ‖ σ − σ I ‖ Σ 。 (5)
令 φ h = η h + σ I ，则有
b ( φ h , v h ) + c ( φ h , θ h ) = b ( σ − σ I , v h ) + c ( σ − σ I , θ h ) + b ( σ I , v h ) + c ( σ I , θ h ) = ( f , v h ) ，
其中 v h ∈ U h , θ h ∈ X h ，故可得 φ h ∈ K h ( f ) 。
由式(5)和三角不等式可知
‖ σ − φ h ‖ Σ ≤ C ( μ ) ( ‖ σ − σ I ‖ Σ + ‖ σ I − φ h ‖ Σ ) ≤ ‖ σ − σ I ‖ Σ 。 (6)
将式(6)代回式(4)可得
‖ σ − σ h ‖ Σ ≤ C ( μ ) ( ‖ σ − σ π ‖ 0 + ‖ σ − σ I ‖ Σ + ‖ ω − ω π ‖ X ) . (7)
下面分析 ‖ u − u h ‖ U , ‖ ω − ω h ‖ X 。根据问题(2)和问题(3)可得
b ( τ h , u h − u π ) + c ( τ h , ω h − ω π ) = a ( σ − σ π , τ h ) + a h ( σ π − σ I , τ h ) + a h ( σ I − σ h , τ h ) + b ( τ h , u − u π ) + c ( τ h , ω − ω π ) ≤ ‖ τ h ‖ Σ ( ‖ σ − σ π ‖ 0 + ‖ σ π − σ I ‖ 0 + ‖ σ I − σ h ‖ 0 + ‖ u − u π ‖ U + ‖ ω − ω π ‖ X ) .
由引理3可得
‖ u − u h ‖ U + ‖ ω − ω h ‖ X ≤ C ( μ ) ( ‖ σ − σ π ‖ 0 + ‖ u − u π ‖ U + ‖ ω − ω π ‖ X ) 。 (8)
最后，联立式(7)和式(8)，结论得证。 □
接下来，给出误差估计，位移、应力和旋转张量的精确解与数值解之间的误差估计如下。
定理2 [
‖ σ − σ h ‖ 0 + ‖ u − u h ‖ 0 + ‖ ω − ω h ‖ 0 ≤ C ( μ ) ( h k + 1 ‖ σ ‖ k + 1 + h k + 1 ‖ u ‖ k + 1 + h k + 1 ‖ ω ‖ k + 1 ) 。
考虑端部受抛物线载荷作用的悬臂梁问题。在本问题中，取梁的长度为 L = 8 ，高度为 D = 4 ，抛物
线载荷为 P = − 1000 N ，I为梁的横截面惯性矩，对于单位厚度的矩形截面 I = D 3 12 。考虑本文的线弹性问
题，给出相应的材料参数，弹性模量为 E = 10 7 ，泊松比为 υ = 0.3 。其精确解见文献 [
σ 11 = − P ( L − x ) y I , σ 22 = 0 , σ 12 = P 2 I ( D 2 4 − y 2 ) .
位移的精确解为
u 1 = − P y 6 E I ( ( 6 L − 3 x ) x + ( 2 + υ ) y 2 − 3 D 2 2 ( 1 + υ ) ) , u 2 = P 6 E I ( 3 υ y 2 ( L − x ) + ( 3 L − x ) x 2 ) .
接下来对区域 Ω = ( 0 , 8 ) × ( − 2 , 2 ) 进行剖分，网格剖分依照文献 [
图1. 不同网格数对应的剖分图
图2是网格剖分数N为100、200、400、1600下位移与应力的数值解图，其中 u 1 , h ， u 2 , h 为位移的数值解， σ 11 , h 为应力的数值解。
为了验证方法的收敛性，需要考虑不同剖分下位移和应力的相对误差。
表1给出了网格剖分数N为100、200、400、1600下的应力以及位移的相对误差，其中 e ( u ) 表示 L 2 范数下位移的相对误差，即 e ( u ) = ‖ u − u h ‖ 0 ，其中 u 为位移的精确解， u h 为位移的数值解。 e ( σ ) 表示 L 2 范数下应力的相对误差，即 e ( σ ) = ‖ σ − σ h ‖ 0 ，其中 σ 表示应力的精确解， σ h 表示应力的数值解。
图2. 不同网格数对应的位移与应力的数值解
| N | e ( u ) | e ( σ ) |
|---|---|---|
| 100 | 4.67 × 10−1 | 4.30 × 10−1 |
| 200 | 1.11 × 10−2 | 1.04 × 10−1 |
| 400 | 5.92 × 10−3 | 7.26 × 10−2 |
| 1600 | 8.61 × 10−4 | 3.57 × 10−2 |
表1. 不同网格数对应的位移与应力的相对误差
根据表1所给出的不同网格剖分数下的误差数据可以明显看出，随着剖分数的增加，应力以及位移的相对误差都呈现逐渐减小的趋势，则可以看出本文所讨论的方法收敛性较好，同时也验证了误差估计的有效性。
虚拟元方法可以看作是有限元方法对一般多边形和多面体单元的扩展。本文研究应用虚拟元方法求解具有Dirichlet和Neumann混合边界条件的线弹性问题，文中所考虑的线弹性问题是二维混合弱对称形式的线弹性问题。从给定弹性力学方程和二维连续问题出发，通过变分原理得到连续问题的变分形式，然后根据定义局部刚体运动空间构造位移、应力和旋转张量的虚拟元空间，通过构造的虚拟元空间得到变分形式的离散格式，通过引理以及三角不等式和Cauchy-Schwarz不等式证明方法的收敛性，并给出理论分析的误差估计。最后以悬臂梁问题验证方法的收敛性与误差估计的有效性为结尾。
程新博,梁晓坤,马俊驰. 面向线弹性问题的虚拟元方法Virtual Element Method for Linear Elasticity Problem[J]. 应用数学进展, 2022, 11(12): 9103-9111. https://doi.org/10.12677/AAM.2022.1112960
https://doi.org/10.1142/S0218202512500492
https://doi.org/10.1137/120874746
https://doi.org/10.1142/S0218202515500372
https://doi.org/10.1016/j.cma.2014.05.005
https://doi.org/10.1016/j.amc.2018.01.023
https://doi.org/10.1007/978-3-642-36519-5
https://doi.org/10.1016/j.cma.2017.06.036
https://doi.org/10.1007/s11075-016-0235-3