铁路客运量预测是铁路运输组织管理工作的重要基础和主要依据之一。本文建立多种分解–集成方法对全国铁路月度客运量进行预测分析。分别利用集合经验模态分解(EEMD)、奇异谱分解(SSA)和小波分解(WT)将原始序列进行分解，再分别使用季节差分移动自回归模型(SARIMA)模型和反向传播神经网络(BP)模型及其组合模型对分解后的子序列进行拟合、预测和集成。对比研究发现采用分解–集成方法有助于提高相关模型的预测准确性，且EEMD-SARIMA-BP组合模型在所有模型中预测效果最佳。

预测，铁路客运量，集合经验模态分解，奇异谱分解，小波变换，BP神经网络

Jianxi Liu, Yihong Zhao, Meili Liang

School of Mathematics and Statistics, Guangdong University of Foreign Studies, Guangzhou Guangdong

Received: Nov. 12^th, 2022; accepted: Dec. 6^th, 2022; published: Dec. 14^th, 2022

The forecast of railroad passenger volume is one of the important foundations and main bases of railroad transportation organization and management. In this paper, we establish multiple decomposition-aggregation methods to forecast and analyze the monthly passenger volume of national railroads. We use the ensemble empirical modal decomposition (EEMD), the singular spectrum decomposition (SSA) and the wavelet analysis (WT) respectively to decompose the original data series into several sub-series, then we process the forecast by fitting, forecasting and aggregating by the seasonal difference moving autoregressive model (SARIMA) model and back propagation neural network (BP) and their combined model of the sub-series, respectively. We find that the use of decomposition-aggregation methods helps to improve the prediction accuracy, and the combined EEMD-SARIMA-BP model has the best prediction effect among all models.

Keywords:Forecast, Railroad Passenger Volume, Ensemble Empirical Model Decomposition, Singular Spectrum Decomposition, Wavelet Transform, BP Neural Network

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铁路是国家重要交通基础设施及重大民生工程，关系着千千万万户的出行和国家经济发展 [ 1 ]。目前正处于我国铁路的高速发展期间，高速铁路服务网络覆盖范围不断扩大，越来越多人享受到安全快捷的高速铁路服务，高铁出行逐渐成为人们的长短途出行首选 [ 2 ]。铁路客运量作为反映铁路旅客运输的基本产量指标，可以直接反映铁路客运市场，体现铁路网络的客运服务规模。科学的铁路旅客运输量预测方法，可以建立高速铁路的需求分析，并结合建设标准和财政补贴，完善当前铁路发展水平，最终实现运营模式的盈利和更长足的发展 [ 3 ] [ 4 ]。

目前，我国许多学者对于铁路客运量预测的研究主要有传统计量和统计方法、人工智能方法和组合预测方法 [ 4 ] - [ 16 ]。传统的计量和统计方法是基于问题的历史数据并利用模式识别，参数估计，模型检测来建立问题的数学模型。王雷 [ 6 ] 等人根据铁路月客运量的趋势性和周期性，分别采用季节性指数平滑法和季节差分自回归移动平均法建立模型。缪巧芬 [ 7 ] 等人先用SARIMA模型对铁路客运量进行建模预测，再同时采用X-13A-S季节调整方法重新建模预测，得到了X-13A-S季节调整方法较优的结论。人工智能相关的预测方法也已取得了较好的预测效果，如将神经网络理论、灰色系统理论、支持向量机理论、遗传算法理论引入到客运量预测中 [ 8 ]。侯福均和吴祈宗 [ 4 ] 采用反向传播(BP)人工神经网络算法研究了铁路客运市场的时间序列。王卓 [ 9 ] 等人对客运量预测的BP神经网络模型进行优化，得到了改进后的BP神经网络模型的预测效果较标准BP模型较优的结论。汪健雄等人 [ 10 ] 为克服BP神经网络易计算效率和泛化能力低的问题，结合Gram-Schmidt正交化定理，提出了基于双层次BP神经网络模型的铁路客运量预测模型。针对客运量时间序列的特性和影响因素，许多学者也提出了新的组合预测方式来提高预测的精度。侯丽敏和马国峰 [ 13 ] 在灰色预测理论的基础上，建立了GM(1,1)与线性回归的组合模型。贺晓霞 [ 14 ] 等人为了充分考虑客运量的周期变动性，结合灰色预测理论GM(1,1)与周期扩展模型，得到了与实际值较吻合的预测值。刘琳玥 [ 15 ] 提出了利用主成分分析法去除和减少影响原始铁路客运量因素之间的相关性，再进行PCA-BP神经网络模型分析和预测，得到较好的预测效果。

近十几年来，我国学者就铁路客运量预测展开了多维度、多角度的探讨与研究，取得了许多宝贵的成果。但是由于铁路客运量本身的季节性较强及外部影响因素较多，许多方法仍存在不足和缺陷。在此基础上，进一步探讨铁路旅客运输量预测模式，探索更多方法的结合是否能为预测带来更高的准确性，本文首先采用季节时间序列模型(SARIMA)和BP神经网络模型对铁路月客运量进行预测，再采用集合经验模态分解(EEMD)、奇异谱分解(SSA)和小波分解(WT)三种分解方法对月客运量数据进行分解，结合SARIMA模型和BP神经网络模型进行预测。最后，通过预测结果比较上述方法的有效性与精确性。

奇异谱分析(SSA) [ 21 ] [ 22 ] 是1978年Colebrook提出的一种用于非线性时序资料的新方法。建立了观察到的时间资料的轨迹矩阵，并将轨迹矩阵分解、重建，从表示原始时刻的序列中分离出各种分量信号，例如长期趋势、周期、噪声信号等，从所提取的信号中进一步分析和预测时间序列结构。

第一步，嵌入。将一维时间序列数据 y = ( y 1 , y 2 , ⋯ , y N ) 转化为其轨迹矩阵X：

X = ( x i j ) i , j = 1 L , K = ( y 1 y 2 ⋯ y K y 2 y 3 ⋯ y K + 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ y L y L + 1 ⋯ y N ) (4.1)

其中，L为选取的窗口长度， 1 < L < N , K = N − L + 1 。

第二步，奇异值分解。令 S = X X T ，对S进行奇异值分解后得到的其L个特征值 λ 1 ≥ λ 2 ≥ ⋯ ≥ λ L ≥ 0

和其所有的正交特征向量 U 1 , U 2 , ⋯ , U L ，令 d = max { i , λ i > 0 } U 2 ，记 V i = X T U i λ i , i = 1 , 2 , ⋯ , d 。则矩阵X的

奇异值分解可以写成：

X = X 1 + X 2 + ⋯ + X d (4.2)

其中， X i = λ i U i V i T ， λ i 是矩阵X的奇异值， U i 是左特征向量， V i 是右特征向量， ( λ i , U i , V i ) 称为矩阵X的第i个三重特征向量。

第三步，分组。以不同的提取成分作为依据，将 X i 分为m个不同的组 I 1 , I 2 , ⋯ , I m ,并将每组的矩阵相加。如第 I i 组包含的子集为 I i = { i 1 , ⋯ , i p } ，则

X I i = X i 1 + X i 2 + ⋯ + X i p (4.3)

而X相应分解为

X = X I 1 + X I 2 + ⋯ + X I m (4.4)

其中， X I j 的贡献率可表示为 ∑ i ∈ I j λ i / ∑ 1 ≤ j ≤ m , i ∈ I j λ i 。

第四步，重构。设Y为 L × K 维矩阵，矩阵元为 y i j ， 1 ≤ y i j ≤ L , 1 ≤ j ≤ K 。定义 L * = min ( L , K ) ， K * = max ( L , K ) ， N = L + K − 1 ， y i j * = { y i j , 若 L < K y j i , 若 L ≥ K ，则重构序列 G = ( g 0 , g 1 , ⋯ , g N − 1 ) 可通过下列式子计算获得：

g k = { 1 k + 1 ∑ m = 1 k + 1 y m , k − m + 2 * 若   0 ≤ k ≤ L * − 1 1 L * ∑ m = 1 L * y m , k − m + 2 * 若   L * ≤ k ≤ K * − 1 1 N − K * ∑ m = k − K * + 2 N − K * + 1 y m , k − m + 2 * 若   K * ≤ k ≤ N (4.5)

式(4.5)本质上是对矩阵 X i j 在对角线方向上求出 i + j = k + 2 各单元的平均，并求得相应的 g k 值，从而获得 X i j 的重组序列G。

小波变换(Wavelet Transform，缩写为WT)，又称小波分析 [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]，是指信号通过有限长或者快速衰减的“母小波”的振荡波形来表出，它不仅传承和延续了短时傅里叶变换的局部化思想，也克服和改进短时傅里叶变换的窗口大小不随频率变化等缺点。小波变化旨在对信号进行多尺度细化分析，信号中的信息有效地通过伸缩和平移等运算的方式，以及时间和领域的局域变换被提取出来。小波分析主要包括分解、去噪和重建三个步骤。

小波分解是将某一小波基函数 ψ 做位移b后，再在不同尺度a下，与尚未分析的信号y做内积。上述过程可逆，其逆过程称作小波重构。小波分解和小波重构的表达式分别如下：

W y ( a , b ) = 〈 y ( t ) , Ψ a , b 〉 = | a | − 1 / 2 ∫ − ∞ + ∞ Ψ ( t − b a ) ¯   y ( t ) d t (5.1)

y ( t ) = K ∫ ∫ − ∞ + ∞ W y ( a , b ) | a | − 1 2 Ψ ( t − b a ) d a d b a 2 (5.2)

其中， W y ( a , b ) 为小波分解系数，a为伸缩因子，b为平移因子， Ψ a , b 为小波基函数， 〈   ,   〉 为内积， y ( t ) 为数据， Ψ ¯ 是 Ψ 的共轭。

反向传播神经网络(Back Propagation Neural Network，简称BP神经网络)运用输入数据的训练让网络存在联想记忆，从而使得联想记忆发挥其预测能力。模型的主要结构分为输入层，隐含层，输出层。BP神经网络的结构如图1所示。信号通过输入层、隐含层向输出层的正向传播，误差的逆向传播，以及对预测的错误部分的误差调节，使得预测结果与预期输出不断逼近 [ 26 ]。

各个层次的数学关系如下所示：

对于隐含层有：

y j = f ( n e t j ) ,   n e t j = ∑ i = 1 n v i j x i ,     j = 1 , 2 , ⋯ , m (6.1)

对于输出层有：

o k = f ( n e t k ) ,   n e t k = ∑ i = 0 m w i k y i ,     j = 1 , 2 , ⋯ , l (6.2)

一般情形下激活函数 f ( x ) 取 1 1 + e − x ，也可以根据需要取 1 − e − x 1 + e − x 。

图1. BP神经网络的结构

铁路客运量具有较强的季节性，也具有趋势性，同时在内外部因素影响下还具有随机性和非线性等特点。因此，本文引入的具有季节效应的自回归移动平均模型和具有强非线性模拟、自学习能力的神经网络方法可对客运量进行有效的预测。基于改进预测精度的想法，本文引入集合经验模态分解、奇异谱分解和小波分解三种方法先对序列数据进行处理后再进行不同预测模型的建模。对1984年1月至2022年1月的全国铁路月客运量序列数据进行训练和预测，得到了以下结论：

1) 通过集合经验模态分解、奇异谱分解和小波分解三种分解方法处理过的数据，得到不同频率的分量再建立预测模型进行预测均可以有效地提高序列的预测精度。这说明分解数据可以为预测提取更有效的信息，使得预测模型的建模更具有针对性。

2) 在集合经验模态分解方法中，EEMD-SARIMA-BP组合模型的预测精度是本文中提到的十种预测模型中最好的。而EEMD-BP模型的精度略低于组合模型，这是因为组合模型中部分分量采用SARIMA可以得到更佳的预测效果，因此叠加后的组合模型可以提高整体预测的精确度。若不进行组合预测，将所有的IMF分量和残差项均进行BP模型预测，得到的预测结果的误差则是小于将所有分量全部进行SARIMA模型预测的误差。

3) WT-SARIMA-BP组合模型是所有小波分解预测方法中精度最高的，其次是WT-BP模型，预测效果最差的是WT-SARIMA模型。这说明，BP神经网络模型进行预测较SARIMA方法更适用于小波分解与重构后的铁路月客运量序列，可以提高预测的精确性。虽然WT-SARIMA模型的精度略低于上述两种方法，但还是高出原始序列直接采用SARIMA模型和BP模型预测的精度很多。

4) 虽然预测的精度低于上述两种分解方法的预测模型，但SSA-BP模型和SSA-SARIMA的预测精度也是高于直接用预测模型进行预测的。这表明通过奇异谱分解后的序列数据预测值较直接使用预测模型得到的预测值更加接近真实值，用该种分解方法进行分解后再预测同样可以提高预测的精度，但是对于铁路客运量预测值提升精度的效果有限。

刘建熙,赵依虹,梁美丽. 基于分解–集成方法的铁路客运量预测Railway Passenger Transportation Volume Prediction Models Based on Decomposition-Aggregation Methods[J]. 应用数学进展, 2022, 11(12): 8634-8649. https://doi.org/10.12677/AAM.2022.1112910