对流扩散方程作为偏微分方程一个很重要的分支,在很多的领域都有着广泛的应用,如流体力学、气体动力学等。由于对流扩散方程很难通过解析的方法得到解析解,所以通过各种数值方法来求解对流扩散方程在数值分析中占有很重要的地位。本文研究了对流扩散特征值问题的间断伽辽金有限元法,并给出了误差估计。 Convection-diffusion equations are an important class of partial differential equations that arise in many scientific fields including fluid mechanics, gas dynamics and so on. Since these equations normally have no closed form analytical solutions, it is very important to have accurate numerical approximations. In this paper, we study the discontinuous Ga-lerkin finite element method for convection-diffusion eigenvalue problems, and we present error estimates.
对流扩散方程作为偏微分方程一个很重要的分支,在很多的领域都有着广泛的应用,如流体力学、气体动力学等。由于对流扩散方程很难通过解析的方法得到解析解,所以通过各种数值方法来求解对流扩散方程在数值分析中占有很重要的地位。本文研究了对流扩散特征值问题的间断伽辽金有限元法,并给出了误差估计。
对流扩散特征值,DG方法,先验误差
Limei Duan, Yunfei Zhang
School of Mathematics Science, Guizhou Normal University, Guiyang Guizhou
Received: Oct. 21st, 2022; accepted: Nov. 6th, 2022; published: Dec. 9th, 2022
Convection-diffusion equations are an important class of partial differential equations that arise in many scientific fields including fluid mechanics, gas dynamics and so on. Since these equations normally have no closed form analytical solutions, it is very important to have accurate numerical approximations. In this paper, we study the discontinuous Galerkin finite element method for convection-diffusion eigenvalue problems, and we present error estimates.
Keywords:Convection-Diffusion Eigenvalue, Discontinuous Galerkin Method, Priori Error Estimate
Copyright © 2022 by author(s) and beplay安卓登录
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
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对流扩散特征值问题可运用于流体力学、能源开发和电子科学等多个领域。因此利用有限元方法求解对流扩散特征值问题引起了越来越多学者的研究兴趣。例如讨论对流扩散特征值问题的后验误差估计、讨论对流扩散特征值问题的多水平校正方法,讨论自适应算法等等。因此,有限元方法解决这一问题成为引起数学和物理领域关注的重要课题。文献 [
设 Ω ⊂ R 2 是一个具有Lipshitz边界 ∂ Ω 的有界域,设 n 是 ∂ Ω 的单位外法向量,考虑Dirichlet边界条件特征值问题;求 λ ∈ C 和 u ∈ H 0 1 ( Ω ) ,使得
{ − Δ u + b ⋅ ∇ u + c u = λ u , in Ω , u = 0 , on ∂ Ω , (2.1)
表示
( u , v ) = ∫ Ω u v ¯ d x ,
并定义连续的双线性形式
a ( u , v ) = ( ∇ u , ∇ v ) + ( b ⋅ ∇ u , v ) + ( c u , v ) , ∀ u , v ∈ H 0 1 ( Ω ) . (2.2)
假设 b 和c是 Ω 上的有界函数, ∇ ⋅ b 存在且满足
− 1 2 ∇ ⋅ b + c ≥ 0 , in Ω .
在这些假设下,存在与u、v无关的两个正常数A和B,使得双线性形式 a ( ⋅ , ⋅ ) 满足
| a ( u , v ) | ≤ A ‖ u ‖ 1 , Ω ‖ v ‖ 1 , Ω , ∀ u , v ∈ H 0 1 ( Ω ) | a ( v , v ) | ≥ B ‖ v ‖ 1 , Ω 2 , ∀ v ∈ H 0 1 ( Ω ) (2.3)
(2.1)的弱形式是求 ( λ , u ) ∈ C × H 0 1 ( Ω ) , u ≠ 0 ,使得下面等式成立
a ( u , v ) = λ ( u , v ) , ∀ v ∈ H 0 1 ( Ω ) . (2.4)
设 T h = { κ } 为 Ω 的形状规则网格,单元 κ 中边的长度用 h e 表示,单元 κ 的直径用 h κ 表示,并且 h = max κ ∈ T h h κ , Γ h = Γ h i ∪ Γ h b ,其中 Γ h i 表示内部边, Γ h b 表示边界 ∂ Ω 上的边。定义v在e上的均值和跳跃:
{ v } = 1 2 ( v + + v − ) , 〚 v 〛 = v + n + + v − n − ,
其中 e = ∂ κ + ∩ ∂ κ − , v + = v | κ + , v − = v | κ − , n 是从 κ + 到 κ − 的单位外法向量。如果 e ∈ Γ h b ,定义v在e上的均值和跳跃:
{ v } = v , 〚 v 〛 = v n .
定义
a h ( w h , v h ) = ∑ κ ∈ T h ∫ κ ( ∇ w h ⋅ ∇ v h ¯ + ( b ⋅ ∇ w h ) ) v h ¯ + c w h v h ¯ ) d x − ∑ e ∈ Γ h ∫ e { ∇ w h } ⋅ 〚 v ¯ 〛 d s + ∑ e ∈ Γ h ∫ e 〚 w h 〛 ⋅ { ∇ v h ¯ } d s + ∑ e ∈ Γ h σ h e − 1 ∫ e 〚 [ w h ] 〛 ⋅ 〚 v h ¯ 〛 d s . (2.5)
其中 σ 为惩罚参数。
定义DG元空间:
S h = { v ∈ L 2 ( Ω ) : v | κ ∈ ℙ m ( κ ) , ∀ κ ∈ T h } .
其中 ℙ m ( κ ) 是 κ 上的m次多项式空间。引入剖分 T h 上的分片函数空间:
H s ( T h ) = { v ∈ L 2 ( Ω ) : v | κ ∈ H s ( κ ) , ∀ κ ∈ T h } .
(2.4)的有限元近似是求 ( λ h , u h ) ∈ C × S h , u h ≠ 0 ,使得
a h ( u h , v h ) = λ h ( u h , v h ) , ∀ v h ∈ S h . (2.6)
(2.4)的源问题为:求 w ∈ H 0 1 ( Ω ) ,使得
a ( w , v ) = ( f , v ) , ∀ v ∈ H 0 1 ( Ω ) . (2.7)
(2.7)的DG近似是求 w h ∈ S h ,使得
a h ( w h , v h ) = ( f , v h ) , ∀ v h ∈ S h . (2.8)
定义线性有界算子 T : L 2 ( Ω ) → H 0 1 ( Ω ) 满足
a ( T f , v ) = ( f , v ) , ∀ f ∈ L 2 ( Ω ) , v ∈ H 0 1 ( Ω ) , (2.9)
则(2.4)等价的算子形式为:
T u = 1 λ u . (2.10)
由(2.6)可定义对应的离散解算子 T h : L 2 ( Ω ) → S h 满足
a h ( T h f , v ) = ( f , v ) , ∀ f ∈ L 2 ( Ω ) , ∀ v ∈ S h . (2.11)
则(2.6)等价的算子形式为:
T h u h = 1 λ h u h . (2.12)
引入赋予DG范数的和空间 V ( h ) = S h + H 0 1 ( Ω ) ,其中DG范数为:
‖ u h ‖ G 2 = ∑ κ ∈ T h ( ‖ ∇ u h ‖ 0 , κ 2 + ‖ u h ‖ 0 , κ 2 ) + ∑ e ∈ Γ h σ h e − 1 ‖ 〚 u h 〛 ‖ 0 , e 2 , (2.13)
并且在分片函数空间 H 1 + s ( T h ) ( s > 1 2 ) 上定义h范数为:
‖ u h ‖ h 2 = ‖ u h ‖ G 2 + ∑ e ∈ Γ h h e ‖ { ∇ u h } ‖ 0 , e 2 . (2.14)
注意在间断有限元空间 S h 上, ‖ ⋅ ‖ G 与 ‖ ⋅ ‖ h 是等价的。
由文献[
a h ( w − w h , v h ) = 0 , ∀ v h ∈ S h . (2.15)
不难看出,如下连续性和椭圆性成立:
| a h ( u h , v h ) | ≲ ‖ u h ‖ h ‖ v h ‖ h , ∀ u h , v h ∈ S h + H 1 + s ( T h ) ( s > 1 2 ) , (2.16)
‖ u h ‖ G 2 ≲ | a h ( u h , u h ) | . (2.17)
定理2.1设w和 w h 分别是(2.7)式和(2.8)式的解, w ∈ H 1 + s ( Ω ) ,那么有以下不等式成立
‖ w − w h ‖ h ≲ inf v h ∈ S h ‖ w − v h ‖ h , if s > 1 2 , (2.18)
‖ w − w h ‖ G ≲ h s ‖ f ‖ 0 , Ω , if 0 < s < 1 2 . (2.19)
证明首先,我们证明(2.18)式,通过利用(2.17)式,(2.15)式和(2.16)式,可以推导出
‖ v h − w h ‖ G 2 ≲ | a h ( v h − w h , v h − w h ) | ≲ a h ( v h − w , v h − w h ) + a h ( w − w h , v h − w h ) ≲ ‖ v h − w ‖ h ‖ v h − w h ‖ G , (2.20)
利用三角不等式,(2.20)式,可以得到
‖ w − w h ‖ h ≲ ‖ w − v h ‖ h + ‖ v h − w h ‖ G ≲ ‖ w − v h ‖ h + ‖ v h − w ‖ h . (2.21)
因此,对于足够小的h,可以得到(2.18)式。
下面,我们证明(2.19)式。由(2.17)式和(2.5)式,得到
‖ w I − w h ‖ G 2 ≲ | a h ( w I − w , w I − w h ) | ≲ ‖ w I − w ‖ G ‖ w I − w h ‖ G + | ∑ e ∫ e { ∇ ( w I − w ) } ⋅ 〚 w I − w h 〛 d s + ∑ e ∫ e 〚 w I − w 〛 ⋅ { ∇ ( w I − w h ) } d s | ≲ ‖ w I − w ‖ G ‖ w I − w h ‖ G + ∑ e ‖ { ∇ ( w I − w ) } ‖ 0 , e ‖ 〚 w I − w h 〛 ‖ 0 , e + ∑ e ‖ { ∇ ( w I − w h ) ⋅ n } ‖ ξ − 1 2 , e ‖ ( w I − w ) κ + − ( w I − w ) κ − ‖ 1 2 − ξ , e . (2.22)
由迹不等式,插值估计,逆估计,推导出
‖ { ∇ ( w I − w h ) ⋅ n } ‖ ξ − 1 2 , e ≲ h δ ( ‖ ∇ ( w I − w h ) ‖ ξ , κ + ∪ κ _ + h κ 1 − ξ ‖ Δ ( w I − w h ) ‖ 0 , κ + ∪ κ _ ) ≲ h δ ( h e − ξ ‖ ∇ ( w I − w h ) ‖ 0 , κ + ∪ κ _ + ‖ w ‖ 1 + ξ , κ + ∪ κ _ ) , (2.23)
结合以上两个式子和稳定性估计,且 δ + ξ = s ,得
∑ e ‖ { ∇ ( w I − w h ) ⋅ n } ‖ ξ − 1 2 , e ‖ ( w I − w ) κ + − ( w I − w ) κ − ‖ 1 2 − ξ , e ≲ ( h e β + δ ‖ ∇ ( w I − w h ) ‖ 0 , Ω + h e β + s ‖ w ‖ 1 + ξ , Ω ) ‖ f ‖ 0 , Ω , (2.25)
由迹不等式,插值估计,DG范数的定义和稳定性估计,可得
∑ e ‖ { ∇ ( w I − w ) } ‖ 0 , e ‖ 〚 w I − w h 〛 ‖ 0 , e ≲ ∑ e ‖ 〚 w I − w h 〛 ‖ 0 , e h e β − 1 2 ‖ w ‖ 1 + β , κ + ∪ κ ≲ ∑ e ( ‖ h e − 1 2 〚 w I − w h 〛 ‖ 0 , e 2 ) 1 2 h β ‖ w ‖ 1 + β , κ + ∪ κ ≲ h β ‖ w I − w h ‖ G ‖ f ‖ 0 , Ω , (2.26)
因此,可得到
‖ w I − w h ‖ G 2 ≲ h e β + δ ‖ w I − w h ‖ G ‖ f ‖ 0 , Ω + h β ‖ w I − w h ‖ G ‖ f ‖ 0 , Ω ≲ h s ‖ w I − w h ‖ G ‖ f ‖ 0 , Ω , (2.27)
‖ w I − w h ‖ G ≲ h s ‖ f ‖ 0 , Ω , (2.28)
利用三角不等式和插值误差估计得(2.19)式,证明完成。
定理2.2 设w和 w h 分别是(2.7)式和(2.8)式的解, w ∈ H 1 + r ( Ω ) ,那么有以下不等式成立
‖ w − w h ‖ 0 , Ω ≲ h r ‖ w − w h ‖ h , if r > 1 2 , (2.29)
‖ w − w h ‖ 0 , Ω ≲ h 2 r ‖ f ‖ 0 , Ω , if 0 < r < 1 2 . (2.30)
证明考虑(2.4)式对偶问题的源问题 a ( v , w * ) = ( v , g ) , ∀ v ∈ H 0 1 ( Ω ) ,对于任意固定的 g ∈ L 2 ( Ω ) ,利用误差公式(2.15),推导出
( w − w h , g ) = a h ( w − w h , w * ) = a h ( w − w h , w * − w * I ) ≲ h r ‖ w − w h ‖ G ‖ w * ‖ 1 + r + | ∑ e ∫ e ∇ ( w − w h ) ⋅ 〚 w * − w * I 〛 d s + ∑ e ∫ e 〚 w − w h 〛 ⋅ ∇ ( w * − w * I ) d s | . (2.31)
当 r > 1 2 时,有
| ∑ e ∫ e { ∇ ( w − w h ) } ⋅ 〚 w * − w * I 〛 d s + ∑ e ∫ e 〚 w − w h 〛 ⋅ { ∇ ( w * − w * I ) } d s | ≲ ∑ e ‖ { ∇ ( w − w h ) } ‖ 0 , e h 1 2 + r ‖ w * ‖ 1 + r + ∑ e h e r − 1 2 ‖ 〚 w − w h 〛 ‖ 0 , e ‖ w * ‖ 1 + r ≲ h r ‖ w − w h ‖ h ‖ g ‖ 0 , Ω . (2.32)
将(2.32)代入(2.31),利用Riesz表示定理可得到(2.29)式。
当 0 < r < 1 2 时,有
| ∑ e ∫ e { ∇ ( w − w h ) } ⋅ 〚 w * − w * I 〛 d s | ≲ ∑ e ‖ { ∇ ( w − w h ) } ⋅ n ‖ ξ − 1 2 , e ‖ ( w * − w * I ) κ + − ( w * − w * I ) κ − ‖ 1 2 − ξ , e ≲ ∑ e h δ ( ‖ ∇ ( w − w h ) ‖ ξ , κ + ∪ κ − + h e 1 − ξ ‖ Δ ( w − w h ) ‖ 0 , κ + ∪ κ − ) × ‖ ( w * − w * I ) κ + − ( w * − w * I ) κ − ‖ 1 2 − ξ , e ≲ h 2 r ‖ f ‖ 0 , Ω ‖ g ‖ 0 , Ω , (2.33)
和
| ∑ e ∫ e 〚 w − w h 〛 ⋅ { ∇ ( w * − w * I ) } d s | = | ∑ e ∫ e ( ( w − w h ) κ + − ( w − w h ) κ − ) { ∇ ( w * − w * I ) ⋅ n } d s | ≲ h 2 r ‖ f ‖ 0 , Ω ‖ g ‖ 0 , Ω . (2.34)
将(2.33)和(2.34)代入(2.31),利用Riesz表示定理,可以得到(2.30)式,证明完成。
从(2.19)式,我们可以得到以下稳定性估计:
‖ T h f ‖ h ≲ ‖ f ‖ 0 , Ω . (2.35)
设 λ 是(2.4)的第j个特征值,具有代数重数q和陡度 α ,其中 λ j = λ j + 1 = ⋯ = λ j + q − 1 。当 ‖ T h − T ‖ 0 , Ω → 0 ,(2.6)的q个特征值 λ j , h , ⋯ , λ j + q − 1 , h 将收敛到 λ 。设 M ( λ ) 是与 λ 相关的(2.4)式的广义特征向量空间, M h ( λ ) 是与 λ h 相关的(2.6)式的广义特征向量空间的直接和, λ h 收敛于 λ 。
给定两个闭子空间V和U,这两个子空间的间隙表示为
δ ( U , V ) = sup u ∈ V , ‖ u ‖ 0 , Ω = 1 inf v ∈ U ‖ u − v ‖ 0 , Ω , δ ^ ( U , V ) = max { δ ( U , V ) , δ ( V , U ) } .
λ ^ h = 1 q ∑ i = j j + q − 1 λ i , h 表示算术平均值。
定理3.1设 M ( λ ) ⊂ H 1 + s ( Ω ) ( s > 1 2 ) , t = min { m , s } 和 w h ,那么有以下不等式成立
| λ h − λ | ≲ h 2 t α . (3.1)
设 u h ∈ M h ( λ ) 是(2.6)的广义特征向量空间的直接和,那么存在(2.3)的特征值u使得
‖ u − u h ‖ 0 , Ω ≲ h ( t + r ) / α , (3.2)
‖ u − u h ‖ h ≲ h t + h ( t + r ) / α . (3.3)
如果设 α = 1 ,那么
‖ u − u h ‖ h ≲ h t + h t + r , (3.4)
‖ u − u h ‖ 0 , Ω ≲ h r ‖ u − u h ‖ h . (3.5)
证明记 T f = w 和 T h f = w h ,结合算子形式和(2.20)式,可以得到
‖ T − T h ‖ 0 , Ω = sup 0 ≠ f ∈ L 2 ( Ω ) ‖ T f − T h f ‖ 0 , Ω ‖ f ‖ 0 , Ω = sup 0 ≠ f ∈ L 2 ( Ω ) ‖ w − w h ‖ 0 , Ω ‖ f ‖ 0 , Ω ≲ sup 0 ≠ f ∈ L 2 ( Ω ) h r + s ‖ f ‖ 0 , Ω ‖ f ‖ 0 , Ω ≲ h 2 r → 0 , ( h → 0 ) .
由文献 [
δ ^ ( M ( λ ) , M h ( λ ) ) ≲ ‖ ( T − T h ) | M ( λ ) ‖ 0 , Ω , (3.6)
| λ − λ ^ h | ≲ ∑ i , l = j j + q − 1 | 〈 ( T − T h ) φ i , φ l * 〉 | + ‖ ( T − T h ) | M ( λ ) ‖ 0 , Ω ‖ ( T * − T h * ) | M ( λ * ) ‖ 0 , Ω , (3.7)
| λ − λ h | ≲ { ∑ i , l = j j + q − 1 | 〈 ( T − T h ) φ i , φ l * 〉 | + ‖ ( T − T h ) | M ( λ ) ‖ 0 , Ω ‖ ( T * − T h * ) | M ( λ * ) ‖ 0 , Ω } 1 / α , (3.8)
| u − u h | 0 , Ω ≲ ‖ ( T − T h ) | M ( λ ) ‖ 0 , Ω 1 / α , (3.9)
其中 { φ i } i = j j + q − 1 是 M ( λ ) 的基, { φ l * } l = j j + q − 1 是对偶基。
从定理2.2和定理2.1,我们可以推断出
‖ ( T − T h ) | M ( λ ) ‖ 0 , Ω = sup f ∈ M ( λ ) , ‖ f ‖ 0 , Ω = 1 ‖ T f − T h f ‖ 0 , Ω ≲ sup f ∈ M ( λ ) , ‖ f ‖ 0 , Ω = 1 h t + r ‖ T f ‖ 1 + t , Ω . (3.10)
同理,我们有
‖ ( T * − T h * ) | M ( λ * ) ‖ 0 , Ω ≲ h t + r sup f ∈ M ( λ * ) , ‖ f ‖ 0 , Ω = 1 ‖ T * f ‖ 1 + t , Ω . (3.11)
将(3.10)式代入(3,9)式,可以得到(3,2)。
利用算子性质,由误差公式(2.25),(2.16)式,可以得到
〈 ( T − T h ) φ i , φ l * 〉 = a h ( T φ i − T h φ i , T * φ l * ) = a h ( T φ i − T h φ i , T * φ l * − ( T * φ l * ) l ) ≲ ‖ T φ i − T h φ i ‖ h ‖ T * φ l * − ( T * φ l * ) l ‖ h ≲ h t ‖ T φ i ‖ 1 + t h t ‖ T * φ l * ‖ 1 + t ≲ h 2 t . (3.12)
将(3.10)式,(3.11)式和(3.12)式代入(3,8)式,我们得到(3.1)式。
由于 u = λ T u , u h = λ h T h u h ,利用三角不等式,(2.29),(3.1)式,我们可以推导出
| ‖ u h − u ‖ h − ‖ − λ T h u + λ T u ‖ h | ≲ ‖ − λ h T h u h + λ T h u ‖ h ≲ ‖ λ h u h − λ u ‖ 0 , Ω ≲ h ( t + r ) / α ,
加上(2.18)式得到(3.3)式。
当 α = 1 时,得
‖ u − u h ‖ h ≲ h t + h t + r , ‖ u − u h ‖ 0 , Ω ≲ h t + r .
从而可得到
‖ u − u h ‖ 0 , Ω ≲ h r ‖ u − u h ‖ h .
在本节中,将报告一些数值实验,以此来证明我们方法的有效性。
考虑问题(2.1),其中 b = ( 0 , 0 ) , c = 0 。我们的程序是在iFEM软件包下编译的,我们使用SIPG方法 ( θ = 1 ) 来进行计算。当 b = ( 0 , 0 ) 时,我们将特征值进行排序。
我们考虑以下三个测试域;L形域 Ω L = ( − 1 , 1 ) 2 \ ( [ 0 , 1 ) × ( − 1 , 0 ] ) ,方形域 Ω S 且顶点为 ( 0 , 1 ) , ( 1 , 0 ) , ( 0 , − 1 ) , ( − 1 , 0 ) ,狭缝结构域 Ω S L = ( − 1 , 1 ) 2 \ { 0 ≤ x ≤ 1 , y = 0 } 。设置惩罚参数为 σ = 40 。我们在表1和表2中列出了通过计算得出的数值结果,从表1和表2中,我们可以看出,该算法能达到最优收敛阶数。
Domin | h | dof | λ 1 | Error | rate |
---|---|---|---|---|---|
Ω L | 1/8 | 18 | 9.68183177703541 | 0.010322912178967 | 0.54752820144130 |
1/16 | 36 | 9.67042863648946 | 0.007062847360313 | 0.732189027169809 | |
1/32 | 72 | 9.65798463260152 | 0.004251762144351 | 0.875761633246100 | |
1/64 | 144 | 9.64838805730213 | 0.002317066190284 | 0.796041031633780 | |
1/128 | 288 | 9.64356880634479 | 0.001334462001625 | 0.833410276294000 | |
Domin | h | dof | λ 1 | Error | rate |
Ω S | 1/2 | 6 | 10.01089082866180 | 0.054074539728354 | 0.575380879683627 |
1/4 | 12 | 9.97164534156961 | 0.036289913061964 | 1.701594822755240 | |
1/8 | 24 | 9.91328960713576 | 0.011157190430592 | 1.100941881727680 | |
1/16 | 48 | 9.88268849973972 | 0.005201616332422 | 1.120473182924910 | |
1/32 | 96 | 9.87720972901890 | 0.002392446739869 | 0.735966882429369 | |
Domin | h | dof | λ 1 | Error | rate |
Ω S L | 1/8 | 24 | 8.47417316342465 | 0.00872281246999 | 0.54897824456314 |
1/16 | 48 | 8.45258472752046 | 0.00596207750184 | 0.64140078277942 | |
1/32 | 96 | 8.41976135769202 | 0.00382222934394 | 0.94298157998748 | |
1/64 | 192 | 8.40557928090898 | 0.00198815848681 | 0.70904441518552 | |
1/128 | 384 | 8.39398781461038 | 0.00121620662321 | 0.90308344586586 |
表1. 关于区域 Ω L , Ω S , Ω S L 的一次元特征值数值解结果
Domin | h | dof | λ 1 | Error | rate |
---|---|---|---|---|---|
Ω L | 1/8 | 36 | 9.63485000085603 | 0.00030683093408 | 0.62744396232687 |
1/16 | 72 | 9.63644377247644 | 0.00019861849599 | 1.00475087409285 | |
1/32 | 144 | 9.63787391034161 | 0.00009898275505 | 0.78674658203632 | |
1/64 | 288 | 9.63847915772557 | 0.00005737533278 | 0.14410889399246 | |
1/128 | 576 | 9.63868091390773 | 0.00005192112784 | 0.61366754022801 | |
Domin | h | dof | λ 1 | Error | rate |
Ω S | 1/2 | 12 | 9.86507391756196 | 0.00022336111619 | 0.53614942475366 |
1/4 | 24 | 9.86627449731763 | 0.00015403184314 | 1.42509423898113 | |
1/8 | 48 | 9.86817629538561 | 0.00005736069433 | 0.04501083787391 | |
1/16 | 96 | 9.86830780925435 | 0.00005559871923 | 0.70366586314381 | |
1/32 | 192 | 9.86884493234143 | 0.00003413817148 | 0.45289598783267 | |
Domin | h | dof | λ 1 | Error | rate |
Ω S L | 1/8 | 48 | 8.36323567490973 | 0.00100411394684 | 0.78893621674504 |
1/16 | 96 | 8.36557530331546 | 0.00058115172794 | 0.85945958635435 | |
1/32 | 192 | 8.36782455013341 | 0.00032030699117 | 0.26268189495829 | |
1/64 | 384 | 8.36826344754864 | 0.00026698772096 | 0.46821245124601 | |
1/128 | 768 | 8.36893577466835 | 0.00019299466151 | 0.25234957567621 |
表2. 关于区域 Ω L , Ω S , Ω S L 的二次元特征值数值解结果
对流扩散方程在实际问题中有着广泛的应用,本文给出了求解对流扩散特征值问题的间断Galerkin有限元方法,为了推导出先验误差估计,关键是证明离散解算子 T h 在 L 2 ( Ω ) 中的范数意义上收敛于狄利克雷解算子T,即 ‖ T − T h ‖ 0 , Ω → 0 ,在本文中证明了 ‖ ⋅ ‖ 0 , Ω 范数的误差是DG范数 ‖ ⋅ ‖ h 的高阶小量误差。我们在三个测试域 Ω L , Ω S , Ω S L 上进行了数值实验,从数值结果可以看出,我们的方法可以实现特征值的最优收敛阶,得到特征函数的最优阶误差估计,数值试验表明了该算法的有效性。因此,对于流体力学问题,该方法有着较强的应用价值。
贵州师范大学学术新苗基金(黔师新苗[
段丽梅,张云飞. 对流扩散特征值问题的DG有限元方法 The DG Finite Element Method for Convection-Diffusion Eigenvalue Problems[J]. 流体动力学, 2022, 10(04): 46-55. https://doi.org/10.12677/IJFD.2022.104005
https://doi.org/10.1007/s10915-022-01775-1
https://doi.org/10.1007/s00211-011-0388-x
https://doi.org/10.21136/AM.2017.0115-16
https://doi.org/10.1016/j.amc.2020.125307