综合考虑联合投送任务要求和投送网络的一般特点，“关键路段”应具有如下三个基本特征：

1) 最优性：联合投送任务一般要求时间最短、里程最短或成本最少，故运输线路须事先规划，利用网络拓扑图和相关算法，选择“费用”最少的最优路径，因此关键路段必定位于在投送网络图的最短路径上；

2) 脆弱性：即抗干扰性，“关键路段”容易受到自然灾害、恶劣天气或敌军火力打击的影响，表现为路段的脆弱性，中断几率越高的路段，脆弱性越高，更加可能对整体路网造成影响；

3) 重要性：中断后对整个投送任务产生较大的影响，多条路线需要调整，任务总时间、里程或成本显著增大，投送路线网的整体效率明显下降，这种特性为路段的重要性，重要性越高的路段，中断后产生的影响越大。

具有这些特征路段之间的关系如图1。

图1. 特征路段关系图

其中，集合A——运输网络中所有路段的集合，包含联合投送线路上的所有路段；

集合B——最短路径上所有路段的集合，包含所有利用网络拓扑图和相关算法筛选出来的路段；

集合C——脆弱路段的集合，包含联合投送任务中易中断的路段；

集合D——重要路段的集合，包含对联合投送整体效率有较大影响路段；

因此，综合考虑以上三个特征，将原来最优路径上易遭到破坏且在中断后对投送任务影响程度较大的路段定义为联合投送任务的关键路段。即为图1中的集合E，代表关键路段的集合。

因此，对于关键路段的描述研究，应该从以下两个层次综合考虑：首先，估测投送线路中各路段的中断的可能性，并使用概率量化这种可能性，以此表征其脆弱性；其次，量化各路段的重要程度，即中断后的影响大小；最后将两个方面综合起来，形成关键路段的识别模型。

首先分析关键路段的脆弱性。在战时情况下，联合投送运输线路部分路段存在一定的风险，这种风险主要来自于敌军打击破坏导致的线路瘫痪、恶劣天气导致的运输受阻或者是自然灾害导致的道路中断。每个路段中断的可能性不同，为了方便研究，本节将基于贝叶斯网络将这种可能性量化为概率 λ i 。

贝叶斯网络(也称有向无环图模型)，是一种概率图模型，具有概率论与图论的双重优势，可以用来准确地推理和描述问题的结构。一般来说，贝叶斯网络中的节点表示随机变量，节点之间的有向弧表示变量间的因果关系，通过图形表达不确定性，因此可以很好得描述运输网络中各路段中断不确定性。贝叶斯网络既可以通过先验概率计算后验概率，也可以根据后验概率推算出先验概率。

贝叶斯网络的基本条件概率公式：

P ( A | B ) = P ( B | A ) P ( A ) P ( B )

其中：A，B代表2个事件， P ( A | B ) 表示后验概率； P ( B | A ) 表示似然率， P ( A ) 表示先验概率， P ( B ) 表示全概率。

假定存在一个变量A，其存在 a 1 , a 2 , ⋯ , a n 共n个状态，那么根据全概率公式可以得到：

P ( B ) = ∑ i P ( B | A = a i ) P ( A = a i )

根据此公式可以进一步计算出后验概率。

在对系统性的问题进行研究时，一般采用后验概率。将联合投送运输路线视作一个系统，该方法可以计算当投送网络中断时，该路段中断的后验概率。针对联合投送的实际情况，构建基于贝叶斯网络的路段中断概率型。其具体步骤如下：

1) 确定要研究的路段，并将其定义为贝叶斯网络的根节点，这些路段所构成的集合即为所要研究的节点变量集；

2) 构建贝叶斯网络。根据各个路段之间的连接关系建立贝叶斯网络模型，根据贝叶斯网络结构给出相应的条件概率表；

3) 通过历史数据专家经验得到每个路段中断的先验概率，当路段中断的可能性没有区别时，可以用使同一个概率值。由此可以计算出各节点中断的概率及投送路线中断的概率；

4) 假设路网失效的条件下，根据模型计算各个节点的后验条件概率即为所需的路段中断概率 λ i 。

路段的重要性描述的是路段中断后对全局运输效率的影响。事实上，当路网中某一路段遭到破坏时，不仅会导致路网中整个交通流量的重新分配，而且可能会导致网络拓扑结构中的一个或多个节点的连接失效，从而使得整个路网的拓扑结构发生变化。因此，在从路段失效后果对路段重要度进行评估时，应当从路网本身拓扑结构的改变以及路网中流量分布的变化两个角度综合考虑。

在上面的分析中，分别从中断风险概率的角度，描述了路段的脆弱性程度，又各从网络结构和对全局影响的方面，量化了路段的重要性，但都具有一定的局限性，因此需要综合两个层次的研究，建立综合的识别模型。

为了更加直观、全面的识别关键路段，结合关键路段最优性、脆弱性和重要性三个特点，本文引入路段的关键度这一概念，并定义联合投送路网中编号为i路段的关键度 θ i 为

θ i = λ i [ ε α i + ( 1 − ε ) β i ]

其中， λ i 为路段i的中断概率， α i 为网络效率变化率， β i 为中断后费用变化率， ε 为相对重要性参数，当路网负荷较大而失效后影响较小时， ε 较大；反之， ε 较小。一般情况下，取该值为0.5，也可根据实际需求，由专家评估确定。

依据此模型，计算运输网络中的每一个路段的关键度，并将最终所有路段的关键度进行排序，取关键度最高的路段为关键路段。

综上，联合投送关键路段的识别流程图如图2。

图2. 联合投送关键路段识别流程图

上节通过分析中断概率和中断后影响的方法，建立了关键路段的识别模型。而识别关键路段的最终目的是要针对关键路段，采取相应的措施，保障运输网络的稳定运行。结合联合投送的实际要求，通常有以下方法：

1) 集中资源对关键路段进行重点保护，对道路进行加固。

2) 避开关键路段。规划投送路径时，不选择原本最优的路径，而选择除去关键路径外的最优路径，防止事故的发生。

3) 减少关键路段上的运输量。在规划路径时，人为减少关键路段的权值，使其运载荷量较少，以此减轻中断后的影响。

某次联合投送任务计划以公路和铁路为主要投送方式，要求在时间最短的情况下，将物资和兵力从若干源点投送到若干目的地。其投送规则如下：

1) 投送分为A、B、C三个编组，同一个编组只能在同一条路线上行进，且A组优先用铁路进行投送，B组在发生冲突时具有优先通过权；

2) 各编组在是运输途中不能停留，必须连续投送；

3) 单个编组只允许铁路转公路，且最多中转一次；

4) 不能超过各个路段的最大容量；

5) 投送起点和终点需进行装卸载：铁路为18梯队/每天，公路为15梯队/每天。

各个路段编号及相关信息见表1。

表1. 路段信息表

按照第二章和第三章中的步骤，首先根据路径连接情况建立如图3所示的投送网络拓扑图。

其中，圆圈为运输网络节点， { a 1 , ⋯ , a 13 } 代表十三个出发源点， { b 1 , ⋯ , b 8 } 代表八个目的地， { c 1 , ⋯ , c 8 } 代表可能经过的节点，节点之间的实线表示通过公路运输，虚线表示通过铁路运输，其长度不代表实际里程，标识的数字表示通过该方式运输的时间期望值。

基于以上所构建的网络拓扑图，求解关键路段和最优路径，具体步骤如下：

Step 1：数据预处理。首先根据网络拓扑图中的连接关系和边权值，建立并利用matlab软件分别储存通过公路和铁路运输时间的邻接矩阵和距离矩阵。由于矩阵较大，图4和图5故只截取了通过公路运输的部分节点之间邻接矩阵和距离矩阵，其中inf在matlab中表示无穷大，即代表两个节点不相邻。

图3. 网络拓扑图

图4. 部分节点间的邻接矩阵

图5. 部分节点间的距离矩阵

利用matlab软件中的shortestpath函数计算单个编组投送的最短时间(表2)。

表2. 各编组的最短投送时间

Step 2：脆弱性评估。根据贝叶斯网络模型分析路段的脆弱性。图中共有13个出发点，8个目的地，因此贝叶斯网络模型的OD对共有104个，规模较大。通过计算或使用贝叶斯推理软件，得到各路段的后验条件概率，即路段的失效概率。

Step 3：重要性评估。依次移除每个路段，并计算网络结构上的重要性和流量分布上的重要性。

Step 4：识别关键路段。根据模型计算出关键路段并从大到小进行排序，所有路段关键度的分布图见图6。

关键度最高的10个路段见表3。

因此，关键度最高的路段是编组为75的路段，即为本文要求的关键路段。

图6. 路段关键度分布图

表3. 部分路段的关键度