以沿平面代数曲线的切触插值研究结果为基础，对沿具体流形抛物柱面的切触插值问题做出了研究。首先对定义于抛物柱面上的多元切触插值正则条件组给出定义并对其拓扑结构进行了较为详尽的研究，得到沿抛物柱面切触插值正则条件组的判定定理以及迭加方式构造插值正则条件组的方法，最后给出了实验算例验证了算法的有效性。

抛物柱面，多元切触插值，正则条件组

Wenyue Wang^*, Yaqi Wang, Xiangyu Dong, Lihong Cui

Liaoning Normal University, Dalian Liaoning

Received: Oct. 28^th, 2022; accepted: Nov. 23^rd, 2022; published: Nov. 29^th, 2022

Based on the research results of contact interpolation along planar algebraic curves, the problem of contact interpolation along a specific manifold parabolic cylinder is studied. Firstly, the multivariate contact interpolation regularization condition set defined on the parabolic cylinder is defined and its topology is studied in detail. The decision theorem of the contact interpolation regularization condition set along the parabolic cylinder and the method of constructing the interpolation regularization condition set by superposition is obtained. Finally, an experimental example is given to verify the effectiveness of the algorithm.

Keywords:Parabolic Cylinder, Multivariate Contact Interpolation, Regular Condition Group

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多年来，将多元函数插值 [ 1 ] 应用到实际的生产生活中一直是计算数学专业研究领域的一个极其重要的研究内容 [ 2 ]，而多元多项式切触插值则是多元多项式插值研究的重点方向。有关多元切触插值基本理论研究 [ 3 ] 中一个基本问题是切触插值多项式函数的正则性(即存在性与唯一性)问题。截至目前，国内外专家学者对这一问题的研究主要有两种判定方式：一种是给定插值多项式空间构造使切触插值多项式唯一存在的插值条件组；另一种是给定插值条件组构造相应的正则插值多项式空间，即要求使切触插值多项式唯一存在的多项式空间的次数尽可能地低。目前，有关在整个空间进行插值以及关于定义于空间中一般代数流形切触插值的研究结果相对系统与完整，关于定义于一些具体流形上的Lagrange插值也有一部分详细研究 [ 4 ] [ 5 ]，而关于有着重要生产生活实用价值的具体流形上的插值结果却相对较少。

抛物柱面是一类重要的二次代数曲面，其在天文卫星领域、空间探测研究以及生活各方面有着重要实际应用。比如，可展收抛物柱面天线可实现多项功能 [ 6 ]，如无线通信等，为实现大面积天区的射电巡天观测，完成精准测量大尺度结构并探测暗能量，此时抛物柱面的结构形式能较好满足工作需求，帮助设计可安装大量馈源单元的大规模射电干涉阵列天线。除此之外，由抛物柱面，建立抛物柱面透射光栅的数学模型，可讨论其在光学及其他领域的应用。因此，抛物柱面上的多元切触插值的研究有着十分重要的实际应用价值。

本文主要研究沿三维欧式空间 ℝ 3 中的抛物柱面 F ( x , y , z ) = z − a ( x 2 + y 2 ) ， a > 0 上进行切触插值的正则性问题，为此本文首先引入若干基本定义。

设k为正整数， r ∈ ℕ 。令 ℙ n ( 3 ) 表示全部全次数小于等于n的三元代数多项式所构成的集合， ℙ n , r ( 3 ) [ q ( k ) ] 表示定义在k次代数曲面 q ( x , y , z ) = 0 上的全次数小于等于n且有r阶方向导数的三元代数多项式空间。定义 d n ⋅ μ ( k ) 如下：

d n ⋅ μ ( k ) = ( n + 3 3 ) − ( n − ( μ + 1 ) k + 3 3 ) = { 1 6 ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) , n < ( μ + 1 ) k 1 6 ( μ + 1 ) k ( 3 n ( n − ( μ + 1 ) k ) + 12 n + ( μ + 1 ) 2 k 2 − 6 ( μ + 1 ) k + 11 ) , n ≥ ( μ + 1 ) k (1)

l n , r ( k ) = 1 2 ( n − r k ) k ( n − ( r + 1 ) k + 4 ) + ( k − 1 3 ) + 1 (2)

而且有 dim ℙ n , r ( 3 ) [ q ( k ) ] = d n ⋅ μ ( k ) 。

假设 q ( x , y , z ) = 0 是一个k次没有重复分量的代数曲面， B = { Q i ( r ) | r = 0 , ⋯ , μ ; i = 1 , ⋯ , l n ⋅ r ( k ) } 是这个曲面上的一个切触插值条件组。对于任意给定的一组实数组 { f i ( r ) | r = 0 , ⋯ , μ ; i = 1 , ⋯ , l n ⋅ r ( k ) } ，要寻找一个在 ℙ n ( 3 ) 中的多项式 p ( x , y , z ) ，并使其满足下述切触插值条件：

∂ r ∂ n r p ( Q i ( r ) ) = f i ( r ) , r = 0 , ⋯ , μ ; i = 1 , ⋯ , l n ⋅ r ( k ) (3)

式中 ∂ r ∂ n r p ( Q i ( r ) ) 代表多项式 p ( x , y , z ) 在曲面 q ( x , y , z ) = 0 上条件组 B 中点 Q i ( i = 1 , ⋯ , l n ⋅ r ( k ) ) 处沿这个曲面的r阶法向导数(即沿曲面位于该点处的切平面的法方向的r阶方向导数)。

定义1：( ℝ 3 中的全次数型多元切触插值)

设 z q ∈ ℤ 且 z q ≥ 0 ， q = 1 , ⋯ , m ； m ≥ 0 及一个由m个结点组成的集合 A = { Q q } q = 1 m 。 ℝ 3 中的全次数型多元切触插值问题就是如果对于给定的数组 C q , α ， q = 1 , ⋯ , m 及 | α | ≤ z q ，在 ℙ n ( 3 ) 中寻找一个多项式 p ( x , y , z ) 满足：

∂ α 1 + ⋯ + α d ∂ x 1 α 1 ⋯ ∂ x d α d p ( Q q ) = C q , α , q = 1 , ⋯ , m ; | α | ≤ z q (4)

假定 z q 及n满足 ( n + d d ) = ∑ q = 1 m ( z q + d d ) ，则称 A 及求导条件构成的插值条件组为 ℙ n ( 3 ) 的一个正则切触插值正则条件组。如果 z q , q = 1 , ⋯ , m 都相同，则该切触插值问题被称为一致切触插值问题。

定义2：(抛物柱面 F ( x , y , z ) 上的切触插值正则条件组)

设 F ( x , y , z ) 为如上所定义的抛物柱面， B = { Q i ( r ) | r = 0 , ⋯ , μ ; i = 1 , ⋯ , l n ⋅ r ( 2 ) } 为沿二次代数曲面 z = a ( x 2 + y 2 ) ， a > 0 的一个n次r阶切触插值正则条件组，并简记为 B ∈ I n , r ( 3 ) ( q ) (这里 I n , r ( 3 ) ( q ) 表示全部沿该曲面的一个n次r阶切触插值正则条件组的集)，如果对于任意给定的一组数组 { f i ( r ) | r = 0 , ⋯ , μ ; i = 1 , ⋯ , l n ⋅ r ( 2 ) } ，在 ℙ n ( 3 ) 中恒存在多项式 p ( x , y , z ) ，满足 ∂ r ∂ n r p ( Q i ( r ) ) = f i ( r ) ， r = 0 , ⋯ , μ ； i = 1 , ⋯ , l n ⋅ r ( 2 ) 。

注记：设 F ( x , y , z ) 为如上所定义的抛物柱面，是一个二次没有重复分量的代数曲面， B = { Q i ( r ) | r = 0 , ⋯ , μ ; i = 1 , ⋯ , l n ⋅ r ( 2 ) } 为这个曲面上的一个切触插值条件组。如果对于每个任意给定的数组 { f i ( r ) | r = 0 , ⋯ , μ ; i = 1 , ⋯ , l n ⋅ r ( 2 ) } 方程组(3)总是存在一组解等价于若 ℙ n ( 3 ) 中存在 p ( x , y , z ) 满足齐次切触插值条件： ∂ r ∂ n r p ( Q i ( r ) ) = f i ( r ) ， r = 0 , ⋯ , μ ； i = 1 , ⋯ , l n ⋅ r ( 2 ) ，可推出在曲面 F ( x , y , z ) 上总是有 p ( x , y , z ) 恒等于零。

我们同时能够得到结论：定义于抛物柱面上的切触插值正则条件组所包含的条件总数与插值空间的维数是要相等的。

定义3：(理想)

一个子集 I ⊂ K [ x 1 , ⋯ , x s ] ，如果其满足下述三个条件：1) 0 ∈ I ；2) 如果 f , g ∈ I ，则有 f + g ∈ I ；3) 如果 f ∈ I 且 h ∈ K [ x 1 , ⋯ , x s ] ，则有 h f ∈ I 。那么I被称为是一个理想 [ 3 ]。

定义4：(生成理想)

令 f 1 , ⋯ , f s 为n元多项式环中的s个多项式，则定义：

〈 f 1 , ⋯ , f s 〉 = { ∑ i = 1 s h i f i , h 1 , ⋯ , h s ∈ K [ x 1 , ⋯ , x n ] } (5)

显然有 〈 f 1 , ⋯ , f s 〉 是一个理想，称 〈 f 1 , ⋯ , f s 〉 是 f 1 , ⋯ , f s 的生成理想。

定义5：(根理想)

设 I ⊂ K [ x 1 , ⋯ , x s ] 是一个理想，用 I 表示I的根理想，它是集合： { f     对 某 些 整 数     m ≥ 1 , f m ∈ I } [ 3 ]。

定义6：(关于r阶理想I的一个强H-基)

设 f 1 , ⋯ , f s 为 K [ x 1 , ⋯ , x n ] 中的s个多项式， deg ( f i ) = l i ，且理想 I = 〈 f 1 , ⋯ , f s 〉 。若对于每个给定的多项式 p ∈ I ∩ ℙ m ( n ) ，在 K [ x 1 , ⋯ , x n ] 中恒存在多项式 p 1 , ⋯ , p s ，使得

p = ∑ i = 1 s p i f i r + 1 , deg ( p i ) ≤ n − ( r + 1 ) l i , i = 1 , ⋯ , s (6)

称多项式集 { f 1 , ⋯ , f s } 是关于r阶理想I的一个强H-基 [ 3 ]。

命题1：

设I为一个理想且令 V 1 , V 2 为两个仿射簇，则有 V 1 ⊂ V 2 蕴含 I ( V 1 ) ⊃ I ( V 2 ) 。

命题2：

若f是一个 K [ x 1 , ⋯ , x s ] 中的s元多项式， I = 〈 f 〉 是由f生成的素理想， f = f 1 α 1 ⋯ f n α n 是f的不可约多项式的分解，则有I的根理想为 〈 f 〉 = 〈 f 1 , ⋯ , f n 〉 。特别，假若f是一个没有重复分量的代数多项式，则有I的根理想与I相等。(注：素理想是由一个元素生成的理想)

本文所获得的研究结果如下：

定理1：(抛物柱面 F ( x , y , z ) 上的n次r阶切触插值正则条件组判定定理)

由如上定义的抛物柱面 F ( x , y , z ) 上的切触插值条件组 B = { ( Q i ( r ) ) | r = 0 , ⋯ , μ ; i = 1 , ⋯ , l n ⋅ r ( 2 ) } 能够做成定义在该曲面的一个n次r阶切触插值正则条件组的充分必要条件是：若 ℙ n ( 3 ) 中存在多项式 p ( x , y , z ) ，满足下述齐次切触插值条件：

∂ r ∂ n r p ( Q i ( r ) ) = f i ( r ) , r = 0 , ⋯ , μ ; i = 1 , ⋯ , l n ⋅ r ( 2 ) (7)

则一定在 ℙ n − 2 ( μ + 1 ) ( 3 ) 中存在多项式 p 1 ( x , y , z ) ，使得

p ( x , y , z ) = [ z − a ( x 2 + y 2 ) ] μ + 1 ⋅ p 1 ( x , y , z ) , a > 0 (8)

若 n < 2 ( μ + 1 ) ， p 1 ( x , y , z ) 恒等于零。

定理2：(构造 ℙ n ( 3 ) 上的切触插值正则条件组的添加抛物柱面法)

设关于 ℙ n ( 3 ) 的一个切触插值正则条件组为 Φ = { D A ( Q i ) | A ∈ A i , i = 0 , 1 , ⋯ , t } ，且 Φ 中任何点都不在抛物柱面 F ( x , y , z ) 上，则对 F ( x , y , z ) 上的一个 n + 2 ( μ + 1 ) 次r阶切触插值正则条件组 B = { ( Q i ( r ) ) | r = 0 , ⋯ , μ ; i = 1 , ⋯ , l n + 2 r ( μ + 1 ) ( 2 ) } ，则 B ∪ Φ 一定构成一个关于 ℙ n + 2 ( μ + 1 ) ( 3 ) 的切触插值正则条件组。

由定理1和文献 [ 3 ] 中的结果，我们得到如下推论：

推论1：(构造抛物柱面 F ( x , y , z ) 上切触插值正则条件组的添加圆锥曲线法)

构造思想：通过垂直于z轴的平面与抛物柱面 F ( x , y , z ) 一次次相交，即把添加圆锥曲线法构造抛物柱面 F ( x , y , z ) 上切触插值正则条件组的问题转化为添加曲线交点法构造平面代数曲线上切触插值正则条件组的问题。

设二次代数曲线 s ( x , y ) = c − a ( x 2 + y 2 ) = 0 ， a > 0 ，c为正的常数，与另一条 l ( l ≥ 2 ) 次代数曲线 w ( x , y ) = 0 正好交于2l个互不相同的点，由此确定一个插值条件组，将其记为 A = { Q i ( r ) | i = 1 , ⋯ , 2 l , r = 0 , ⋯ , μ } (求导方向既有沿曲线 c − a ( x 2 + y 2 ) = 0 ， a > 0 ，c为正的常数的法方向又有沿曲线 w ( x , y ) = 0 的法方向)，而 { s , w } 正好做成关于理想 〈 s , w 〉 的强H-基。若 B = { Q i ( r ) | i = 1 , ⋯ , e n ⋅ r ( 2 ) ; r = 0 , ⋯ , μ } ∈ I n ⋅ r ( 2 ) ( w ) ，其中 e n ⋅ r ( 2 ) = 2 ( n − 2 r ) − ( 2 − 1 2 ) + 1 ，且满足 B ∩ A = ∅ ，则有 B ∪ A ∈ I n + ( μ + 1 ) l ⋅ r ( 2 ) ( w ) 。

定理1的证明：

由注记，充分性得证，以下只需证明定理的必要性。

设 B = { ( Q i ( r ) ) | r = 0 , ⋯ , μ ; i = 1 , ⋯ , l n ⋅ r ( 2 ) } 是定义在抛物柱面 F ( x , y , z ) 上的一个n次r阶切触插值正则条件组，且在 ℙ n ( 3 ) 中存在多项式 p ( x , y , z ) 满足

∂ r ∂ n r p ( Q i ( r ) ) = f i ( r ) , r = 0 , ⋯ , μ ; i = 1 , ⋯ , l n ⋅ r ( 2 ) (9)

则若 r = 0 ，由注记可得，沿抛物柱面 F ( x , y , z ) = z − a ( x 2 + y 2 ) = 0 ， a > 0 上恒有 p ( x , y , z ) = 0 ，

将 〈 F 〉 记为 I 1 ，将 〈 p 〉 记为 I 2 ，则有 V ( I 1 ) ⊂ V ( I 2 ) 蕴含 I ( V ( I 1 ) ) ⊃ I ( V ( I 2 ) ) ，

而抛物柱面 F ( x , y , z ) = z − a ( x 2 + y 2 ) = 0 ， a > 0 是一个二次没有重复分量的代数曲面，所以有

I ( V ( I 1 ) ) = I 1 = I 1

又由

I ( V ( I 2 ) ) = I 2 ⊃ I 2

故有 I 2 ⊂ I 1 ，则根据理想的定义可知，存在 ℙ n − 2 ( 3 ) 中的 p 1 ( x , y , z ) ，使得

p ( x , y , z ) = ( z − a ( x 2 + y 2 ) ) ⋅ p 1 ( x , y , z ) , a > 0 (10)

假定定理2结论对 r = s , r ∈ ℤ 且 r > 0 成立，即有 B = { ( Q i ( s ) ) | r = 0 , ⋯ , s ; i = 1 , ⋯ , l n ⋅ r ( 2 ) } 为定义在曲面 F ( x , y , z ) = z − a ( x 2 + y 2 ) = 0 ， a > 0 的n次s阶切触插值正则条件组，同时满足条件

∂ s ∂ n s p ( Q i ( r ) ) = 0 , ∀ Q i ( s ) ∈ B (11)

有

p ( x , y , z ) = [ z − a ( x 2 + y 2 ) ] s + 1 ⋅ p 1 ( x , y , z ) , a > 0 (12)

则若 r = s + 1 ，我们对公式(11)两端求法向导数直到 s + 1 阶，并使用Leibniz公式，有

r ( Q i ( r ) ) = 0 , ∀ Q i ( r ) ∈ B (13)

因为 p 1 ( x , y , z ) ∈ ℙ n − 2 ( 3 ) 同时经过唯一且确定的 F ( x , y , z ) = z − a ( x 2 + y 2 ) = 0 , a > 0 的所有条件点，所以沿 F ( x , y , z ) 上总有 p 1 ( x , y , z ) ≡ 0 。由 r = 0 情况同理可得

p 1 ( x , y , z ) = [ z − a ( x 2 + y 2 ) ] ⋅ p ′ 1 ( x , y , z ) , a > 0 (14)

将公式(14)代入到公式(12)中得：

p ( x , y , z ) = [ z − a ( x 2 + y 2 ) ] s + 2 ⋅ p ′ 1 ( x , y , z ) , a > 0 (15)

由归纳法知，结论成立。

定理2的证明：

只证明仅存在零多项式满足所给出的齐次切触插值条件即得出结论成立。

可知所有的条件数是：

( n + 3 3 ) + ∑ r = 0 μ     l n + 2 ( μ + 1 ) , r ( 2 ) = ( n + 3 3 ) + ∑ r = 0 μ ( 2 ⋅ 1 2 ( n + 2 ( μ + 1 ) − 2 r ) ( n + 2 ( μ + 1 ) − 2 ( r + 1 ) + 4 ) + ( 2 − 1 3 ) + 1 ) = ( n + 3 3 ) + 2 ⋅ 1 6 ( μ + 1 ) ( 3 ⋅ 2 n ( n + ( μ + 1 ) ) + 12 n + 4 ( μ + 1 ) 2 − 6 ⋅ 2 ( μ + 1 ) + 11 ) = ( n + 3 3 ) + ( n + 2 ( μ + 1 ) + 3 3 ) − ( n + 3 3 ) = ( n + 2 ( μ + 1 ) + 3 3 )

显然这与多项式空间 ℙ n + 2 ( μ + 1 ) ( 3 ) 的维数相等。

假设 ℙ n + 2 ( μ + 1 ) ( 3 ) 中存在满足齐次切触插值条件的多项式 p ( x , y , z ) ，即有：

D A p ( Q i ) = 0 , ∀ Q i ∈ N (16)

∂ r ∂ n r p ( Q i ( r ) ) = 0 , ∀ Q i ( r ) ∈ B (17)

因为 ∂ r ∂ n r p ( Q i ( r ) ) = 0 ， ∀ Q i ( r ) ∈ B ，同时有 B ∈ I n + 2 ( μ + 1 ) , r ( 3 ) ( F ) ， p ( x , y , z ) ∈ ℙ n + 2 ( μ + 1 ) ( 3 ) 。

则据定理1可得，在 ℙ n ( 3 ) 中存在多项式 p 1 ( x , y , z ) ，使得

p ( x , y , z ) = [ z − a ( x 2 + y 2 ) ] μ + 1 ⋅ p ′ 1 ( x , y , z ) , a > 0 (18)

对公式(18)两端求导数直到 μ + 1 阶，得到

0 = D A p ( Q 2 ) = D A { [ z − a ( x 2 + y 2 ) ] μ + 1 ⋅ p ′ 1 ( x , y , z ) } ( Q i ) , a > 0 , ∀ Q i ∈ N (19)

因为对 ∀ Q i ∈ N 在 F ( x , y , z ) 上取值都不为零，则根据Leibniz公式得对任意 Q i ∈ N ， D A r ( Q i ) = 0 。但 Φ 是关于 ℙ n ( 3 ) 的正则切触插值条件组，则有 p 1 ( x , y , z ) ≡ 0 ，即有 p ( x , y , z ) ≡ 0 。

设被插值函数为 f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 ，抛物柱面方程： z = x 2 + y 2 ，取该抛物柱面外的一点 Q 0 0 ( 2 , 0 , 2 ) ，并且在此抛物柱面上取点 Q 1 0 ( 1 , 0 , 1 ) ，此时 Q 1 1 ( 2 2 , 0 , 2 2 ) 由上述定理1知，条件组 { Q 0 0 , Q 1 0 , Q 1 1 } 构成沿抛物柱面 z = x 2 + y 2 上的1次插值正则条件组，如图1所示。设被插值函数在这些条件下的一次插值多项式为

p ( x , y , z ) = a 1 x + a 2 y + a 3 z + a 4

插值条件： { p ( Q 0 ( 0 ) ) = f 0 ( 0 ) p ( Q 1 ( 0 ) ) = f 1 ( 0 ) ∂ 1 ∂ n 1 p ( Q 1 ( 1 ) ) = f 1 ( 1 ) , n = 1

代入条件得： { 2 a 1 + 2 a 3 + a 4 = 2 2 a 1 + a 3 + a 4 = 2 a 1 = 2 2 a 2 = 0 a 3 = 2 2

图1. 抛物柱面取点图(含结点)

解方程组得到： { a 1 = 2 2 a 2 = 0 a 3 = 2 2 a 4 = 0

代入得到插值多项式为： p ( x , y , z ) = 2 2 x + 2 2 z 。

经计算求得被插值函数和插值多项式在点 ( 1 2 , 0 , 1 4 ) 处的值分别是： f ( 1 2 , 0 , 1 4 ) = 5 4 ， p ( 1 2 , 0 , 1 4 ) = 3 2 8 。误差为 m = | 5 4 − 3 2 8 | ≈ 0.0287 。

本文首先介绍了多元切触插值的相关定义与基本定理，同时重点研究了定义于抛物柱面上的多元切触插值正则条件组，提出构造抛物柱面上多元切触插值正则条件组的判定定理，最后给出实验算例说明并验证有关结论。本文创新点为给出定义于一类具体流形抛物柱面上的切触插值结果，其对生产生活有着重要的实用价值。在此研究基础上，多元切触插值的研究领域还需我们进行不断的探索与完善，从而使其应用范围更加广泛。

王文跃,王亚琦,董相妤,崔利宏. 定义于抛物柱面上的多元切触插值问题研究Research on Multivariate Contact Interpolation Defined on Parabolic Cylinder[J]. 应用数学进展, 2022, 11(11): 8311-8318. https://doi.org/10.12677/AAM.2022.1111879