双块式无砟轨道已在我国多条高速铁路线路上投入使用。系统自上而下由钢轨、高弹性扣件、双块式轨枕、混凝土道床板以及水硬性混凝土支承层等组成，图1为双块式无砟轨道系统结构示意图。

图1. 双块式无砟轨道结构示意图

通常将纵向混凝土轨道层简化为多层复合梁，由于双块式轨道的整体性强，将道床板和支承层等效为单一材料的混凝土层，其截面如图2所示。

图2. 双块式无砟轨道截面图

道床板和支承层等效截面的形心位置计算如下：

y ∗ = A 1 y 1 n + A 2 y 2 A 1 n + A 2 (1)

式中，A₁、A₂分别为道床板和支承层的截面积；y₁、y₂分别为道床板和支承层截面的形心位置；E₁和E₂分别为道床板和支承层的弹性模量；n为弹性模量比例系数，其中n = E₁/E₂。

根据材料力学中的等效截面法，道床板和支承层叠合之后的等效抗弯刚度可以描述如下：

E ∗ I ∗ = ( 1 12 n A 1 h 1 2 + n A 1 a 1 2 + 1 12 A 2 h 2 2 + A 2 a 2 2 ) E 2 (2)

式中，a₁和a₂分别为道床板和支承层截面形心到等效截面形心的距离；h₁、h₂分别为道床板和支承层的厚度。

本节基于非线性Winkler弹性地基梁理论，建立了考虑路基不均匀沉降的双块式无砟轨道–路基模型如图3所示。在模型中，用简支梁来模拟钢轨和由道床板/支承层构成的混凝土结构层，并通过一系列离散弹簧相连，用来描述实际弹性扣件的布置。路基模拟为Winkler连续弹性地基。由于实际中混凝土层下方的路基不提供抗拉作用，因此采用无拉力弹簧来模拟路基支撑。

图3. 考虑路基不均匀沉降的双块式无砟轨道–路基力学模型

在以往的研究中，路基不均匀沉降一般设定为关于振幅和波长的函数，采用全波凹型余弦曲线来描述，如图3所示。因此，路基沿轨道各节点的位移(Z_s)表示如下：

Z s i = { A 2 ( 1 + cos 2 π x i s ) , ( l 2 − s 2 < x i < l 2 + s 2 ) 0 , 其 他 (3)

式中，l为轨道的计算长度；x_i为沿轨道第i个节点的坐标；s为沉降波长；A为沉降幅度。

在自重和离散弹簧附加力的作用下，每个节点的钢轨位移(Z_r)和混凝土层位移(Z_b)可描述为：

{ Z r i = − ∑ j = 1 N w i j ( 1 ) P 1 j + f i ( 1 ) ⋅ q r ( i = 1 ~ N ) Z b i = ∑ j = 1 N w i j ( 2 ) P 1 j − ∑ j = 1 M w i j ( 2 ) P 2 j + f i ( 2 ) ⋅ q b     ( i = 1 ~ M ) (4)

式中，N为扣件弹簧的数量；M为路基弹簧的数量；P_1j为第j个扣件弹簧反力；P_2j为第j个路基弹簧反力；q_r为单位长度钢轨的重力；q_b为单位长度混凝土层的重力；w_ij为节点j上的单位力引起的节点i上的相应位移；f_i为节点i处因施加在梁上的单位均布荷载引起的相应位移。

对于简支梁，w_ij和f_i可以通过方程(5)和(6)计算：

w i j = { b j x i 6 E I l ( l 2 − x i 2 − b j 2 ) , ( i ≤ j ) b j 6 E I l [ l b j ( x i − a j ) 3 + ( l 2 − b j 2 ) x i − x i 3 ] ( i > j ) ( a j = x j , b j = l − x j ) (5)

f i = x i 24 E I ( l 3 − 2 l x i 2 + x i 3 ) (6)

各扣件弹簧节点和路基弹簧节点处的弹簧反力可表示为：

{ P 1 i = k p ( Z r i − Z b i ) ( i = 1 ~ N ) P 2 i = k C ( Z b i − Z s i ) ( i = 1 ~ M ) (7)

式中，k_p和k分别为扣件弹簧和路基弹簧的刚度；C为表示混凝土层和路基之间接触状态的常数：

C = { 1 , ( Z b i > Z s i ) 0 , ( Z b i ≤ Z s i ) (8)

式(8)表明，当某一节点处混凝土层的位移小于路基的变形时，无砟轨道将与路基局部失去接触。此设置可用于反映混凝土轨道结构与土质路基间的非紧密联结。

结合式(4)和式(7)，轨道几何变形与路基沉降之间的关系可描述如下：

{ ( 1 + ∑ j = 1 N w i j ( 1 ) k p ) Z r i − ∑ j = 1 N w i j ( 1 ) k p Z b i = f i ( 1 ) ⋅ q r − ∑ j = 1 N w i j ( 2 ) k p Z r i + ( 1 + ∑ j = 1 N w i j ( 2 ) k p + ∑ j = 1 M w i j ( 2 ) k H ) Z b i = f i ( 2 ) ⋅ q b + ∑ j = 1 M w i j ( 2 ) k H Z s i (9)

将方程(9)组合为矩阵形式为：

[ E + k p W 1 − k p W 1 − k p W 2 E + k p W 2 + k C ⋅ W 2 ] × { Z r Z b } = { q r F 1 q b F 2 + k C ⋅ W 2 ⋅ Z s } (10)

式中，E为单位矩阵；Z_r、Z_b、Z_s分别为Z_r、Z_b、Z_s的向量形式；W、F、H分别为w_ij、f_i、H的矩阵形式。

采用逐次逼近法求解超静定结构。计算流程图如图4所示。

求解方法由以下步骤组成：

1) 在沉降初始阶段，假定无砟轨道的混凝土层与路基完全接触，因此接触矩阵C等于单位矩阵。

2) 根据给定的路基不均匀沉降设置初始路基位移Z_s，求解公式(10)以获得轨道位移Z_r和Z_b。

3) 通过方程(8)更新接触矩阵C，并重新计算方程(10)。

4) 重复步骤(2)和(3)，直到接触矩阵不再变化，即视为迭代结束。

通过上述半解析方法，可以有效确定沉降引起的轨道不平顺和轨道与路基之间的接触状态。

图4. 轨道变形计算流程图

利用上述模型，分析路基不均匀沉降对轨道平顺性的影响。表1列出了双块式无砟轨道的具体参数 [ 14 ]。

表1. 双块式无砟轨道参数

图5显示了因路基不均匀沉降引起的轨道几何变形特征，路基沉降波长和幅值分别取10 m和10 mm。从图中可以看出，由于轨道自重的影响，其结构会随路基不均匀沉降而下沉，由此产生轨道不平顺。然而，由于双块式轨道具有较高的刚度和整体性，并不总是与路基产生完全一致的跟随性变形，致使轨道与路基失去接触。如图5所示，沉降中心区轨道几何变形幅值仅为4.64 mm，远小于10 mm的沉降幅值，整体上沉降区段内出现了大范围脱空区，沿线路方向达到7.31 m。此外，沉降区外的轨道上出现两处微小的拱形区域，在此区域内无砟轨道和路基之间存在轻微离缝，见图5中部分放大区域。从图中可见，沉降引起的轨道不平顺波长相对于沉降波长略有扩散。随着列车运行速度和轴重的增加，列车在由路基不均匀沉降引起的轨道不平顺区段行驶时可能会产生异常的动力响应，对列车-轨道系统的安全构成威胁。

随着轨道几何形态的恶化，轨道各结构层中的附加应力发生相应变化，重复的动荷载的作用下又将反过来加速轨道几何形状的恶化。图6所示为受路基不均匀沉降影响的扣件弹簧反力和路基弹簧反力沿线路纵向的分布情况。从图中可以看出，不均匀沉降对层间作用力、特别是路基弹簧应力有很大影响。扣件弹簧反力和路基弹簧反力均在沉降段两侧附近出现峰值，对应轨道几何变形的微小上拱区，分别为13.05 kN和1.96 kN。此处处于轨道结构与路基脱空区之间的接触区，轨道重力重分布造成应力集中。虚线上标有A、B、C的三个区域对应的路基弹簧反力为0，其中A、C对应于图5中的轨道结构外侧拱形区域，B对应沉降区中部的大范围脱空区。

图5. 10 mm/10m路基不均匀沉降引起的双块式无砟轨道的轨道几何变形图

图6. 路基不均匀沉降引起的扣件弹簧反力和路基弹簧反力图

为研究不均匀沉降对双块式无砟轨道平顺性的影响，分别对10 mm~30 mm和10 m~30 m不同幅值和波长的路基沉降进行分析。

图7显示了在10 m沉降波长下路基沉降幅值对钢轨几何变形的影响。结果表明，随着沉降幅值的增大，相应的钢轨变形量呈增长趋势。当路基沉降幅值由5 mm增大到30 mm时，钢轨变形幅值从3.59 mm增长到5.86 mm，增幅63%，沉降区外拱形区域的幅值也有一定程度的增加，可见图7中局部放大的区域。然而，钢轨几何形态的变化并不随沉降幅值的增大而线性变化，随着混凝土轨道与土质路基的脱空情况加剧，钢轨变形的幅度明显降低。可以推断，随着路基沉降的进一步发展，上部轨道结构受结构间纵向约束的影响会变形到一个稳定的位置并最终保持在该位置，导致轨道和路基之间形成较大的脱空范围，列车高速运行时造成动力不平顺。

图8显示了双块式无砟轨道路基弹簧反力随路基沉降幅值的变化情况。计算中，不均匀沉降波长设定为10 m，幅值从5 mm增大到30 mm。结果表明，随着沉降幅值的增大，路基弹簧反力逐渐增大，但增长速度呈下降趋势。反力为0的脱空区范围也逐渐缩小。最终，当沉降达到一定程度后，轨道与路基之间的脱空区域几乎不受沉降幅值增大的影响。

图7. 双块式无砟轨道钢轨几何变形随路基沉降幅值变化图

图8. 双块式无砟轨道路基弹簧反力随路基沉降幅值变化图

图9显示了在10 mm恒定沉降幅值下路基沉降波长对钢轨几何变形的影响。从图中可以看出钢轨几何变形对路基沉降波长有很高的非协调性。当沉降波长为5 m时，钢轨几何变形的幅值仅为0.78 mm，远小于沉降幅值，这使得轨道和路基之间形成了一个明显的空吊。当沉降波长增大到10 m时，钢轨几何变形量急剧增加到4.94 mm。当沉降波长为15 m时，钢轨几何变形几乎与路基变形保持一致，与路基沉降的幅值差趋近于0，沉降区段两侧的钢轨拱区也几乎消除。当沉降波长扩大到20 m后，钢轨的几何变形与路基变形基本保持同步。

图10为不同沉降波长下的路基弹簧反力分布图。结果表明，路基不均匀沉降影响下的路基弹簧状态主要为两类：一类是分布曲线上的“零区”，即反映轨道与路基间脱空状态的路基弹簧反力，其值为0，对应的路基沉降波长分别为5 m、10 m、15 m；另一类是弹簧反力数值均在“零线”以上的情况，表明

图9. 双块式无砟轨道钢轨几何变形随路基沉降波长变化图

图10. 双块式无砟轨道路基弹簧反力随路基沉降波长变化图

该位置处轨道下方路基处于受压状态，即轨道受路基稳定支承，无脱空状况，对应的路基沉降波长为20 m、25 m、30 m。当沉降波长为10 m时，对应的路基弹簧反力沿线路纵向起伏最明显，出现了两个显著的波峰和三个“零区”，表明在该种路基不均匀沉降波形下产生的轨道结构重力重分布最为严重。在路基沉降波长处于5 m~15 m范围内时，随着沉降波长的变化，路基弹簧反力幅值先增大后减小，之后随着沉降波长扩展到20 m后，反力的“零区”及轨道–路基脱空区逐渐消失，路基弹簧反力的波动程度开始减弱。这说明沉降波长越大，轨道结构所受的附加应力越小。