在数理统计学中，似然函数是一种关于统计模型参数的函数，其描述的是随机变量的观测值已知时未知参数的可能性 [15]。二十世纪三十年代，Neyman与Pearson提出一种构造假设检验的方法为似然比检验，同时也称为概率比检验 [16]。

令随机变量x的概率密度函数为 P ( x , θ ) ，对未知参数 θ 作以下统计假设：

H 0 : θ = θ 0 VS H 1 : θ = θ 1 (1)

得到样本观测值后， P ( x , θ ) 可视为参数 θ 的似然函数，表示如下：

L ( θ | x i ) = P ( X = x i | θ ) (2)

考虑似然比统计量：

L ′ = L ( θ 1 | x i ) L ( θ 0 | x i ) = P ( X = x i | θ 1 ) P ( X = x i | θ 0 ) (3)

其中， θ 0 和 θ 1 分别是 H 0 和 H 1 成立时， θ 的极大似然估计。当 L ′ 越大，参数 θ 越接近 θ 1 ，发生备择假设 H 1 的可能性越大。反之，当 L ′ 越小，参数 θ 越接近 θ 0 ，发生原假设 H 0 的可能性越大。

进一步对于某个阈值K，规定当 L ′ > K 时，接受备择假设 H 1 ，当 L ′ ≤ K 时，接受原假设 H 0 。似然比检验 δ ( x ) 可作如下定义：

δ ( x ) = { 1 ,               L ′ > K 0 ,             L ′ ≤ K (4)

序贯概率比检验出现之前有一系列类似的检验方法出现，比如早在1926年Dodge与Roming对序贯检验与二次抽样进行分析，提出序贯抽样观察法 [17]。Bartky提出一种与SPRT类似的多次抽样方法 [18]。Thomson提出的两阶段试验法等 [19]。但是这些方法都不能体现序贯分析的优势，后来A. Wald对似然概率比检验与多次抽样检验进行研究，提出序贯概率比检验。与似然比检验不同，序贯概率比检验规定了抽验检验继续与停止的规则，讨论了似然比检验阈值与犯两类错误的关系，形成一套完整的检验理论。

对随机变量X的一系列观测值为 X 1 , X 2 , ⋯ , X i ，每观测一次求一次似然比。对于统计假设(1)，当第i次观测时的似然比函数为：

L ′ i = L ( θ 1 | X 1 , X 2 , ⋯ , X i ) L ( θ 0 | X 1 , X 2 , ⋯ , X i ) (5)

当 L ′ i 明显大或明显小时，我们可以停止试验并做出接受或拒绝原假设的决定，但是当 L ′ i 不大不小时却不能做出决定，应当继续下一次的观测。对于指定的常数 A , B 序贯概率比检验在第i次观测的判决规则可定义为：

{ L ′ i > A ,                     试 验 停 止 ,   拒 绝 原 假 设 L ′ i < B ,                     试 验 停 止 ,   接 受 原 假 设 B ≤ L ′ i ≤ A ,                   继 续 下 一 次 观 测 (6)

其中 A , B 为序贯概率比检验的边界值。与传统的固定样本量抽样检验不同，序贯概率比检验采用的是“试试看，看看试”的试验策略，能够充分利用更多的过程信息，同时也使检验的试验样本量成为一个变量。

对于统计假设(1)，其犯两类错误的概率表示如下：

α ′ = P r ( reject   H 0 | θ 0 ) ,       β ′ = P r ( do   not   reject   H 0 | θ 1 ) (7)

对产品进行抽验时， α ′ 表示当原假设成立时该批次产品被使用方拒收的概率， β ′ 表示当原假设不成立时该批次产品被使用方接收的概率。 α ′ 与 β ′ 分别表示了生产方与使用方的风险。结合式(6)可知试验犯两类错误的概率与边界值 A , B 有关，为了严格控制SPRT犯两类错误的概率不超过给定的检验水平 ( α 0 , β 0 ) ，Wald提出边界值 A , B 的近似取值可为：

{ A = 1 − β α B = β 1 − α (8)

对一批产品进行序贯检验，每次抽验完一个产品后，结论为合格与不合格。对于产品的不合格率P一般讨论如下统计假设：

H 0 : P = P 0 VS H 1 : P = P 1 ( P 0 > P 1 > 0 ) (9)

设 d n 表示n个产品中不合格的个数，则 P = P 0 与 P = P 1 时的似然函数为：

{ L n ( P 1 ) = P 1 d n ( 1 − P 1 ) n − d n L n ( P 0 ) = P 0 d n ( 1 − P 0 ) n − d n (10)

进一步有似然比函数：

L ′ = L n ( P 1 ) L n ( P 0 ) = P 1 d n ( 1 − P 1 ) n − d n P 0 d n ( 1 − P 0 ) n − d n (11)

得到检验规则：

{ L ′ i ≥ A ,                     试 验 停 止 ,   拒 绝 原 假 设 L ′ i ≤ B ,                     试 验 停 止 ,   接 受 原 假 设 B < L ′ i < A ,                   继 续 下 一 次 抽 验 (12)

结合式(8)，由序贯检验继续试验的条件变换得：

B < P 1 d n ( 1 − P 1 ) n − d n P 0 d n ( 1 − P 0 ) n − d n < A (13)

进一步得到序贯检验上下检验边界：

ln B − n ln 1 − P 1 1 − P 0 ln P 1 P 0 − ln 1 − P 1 1 − P 0 < d n < ln A − n ln 1 − P 1 1 − P 0 ln P 1 P 0 − ln 1 − P 1 1 − P 0 (14)

记：

{ W = − n ln 1 − P 1 1 − P 0 ln P 1 P 0 − ln 1 − P 1 1 − P 0 U = ln A ln P 1 P 0 − ln 1 − P 1 1 − P 0 V = ln B ln P 1 P 0 − ln 1 − P 1 1 − P 0 (15)

则二项分布计数型SPRT的示意图见图1：

图1. 二项分布计数型SPRT方案示意图

设X为指数分布产品的寿命，其概率密度函数为：

f ( x , θ ) = { 1 θ e − 1 θ x ,     x ≥ 0 0 ,                   x < 0 (16)

其中，参数 θ > 0 为产品的平均无故障工作时间 (Mean time to failure, MTTF)。对于参数 θ 一般作如下统计假设：

H 0 : θ = θ 0 VS H 1 : θ = θ 1       ( θ 0 > θ 1 > 0 ) (17)

观察第 r ( r = 1 , 2 , 3 , ⋯ ) 个产品失效时的时间，此时的总试验时间记为T。则 θ = θ 0 与 θ = θ 1 时的似然函数为：

{ L ( θ 0 ) = ( T θ 0 ) r e − T θ 0 r ! L ( θ 1 ) = ( T θ 1 ) r e − T θ 1 r ! (18)

进一步有似然比函数：

L ′ = L ( θ 0 ) L ( θ 1 ) = ( θ 0 θ 1 ) r exp [ − ( 1 θ 0 − 1 θ 1 ) T ] (19)

得到检验规则：

{ L ′ ≥ A ,                     试 验 停 止 ,   拒 绝 原 假 设 L ′ ≤ B ,                     试 验 停 止 ,   接 受 原 假 设 B < L ′ < A ,                   继 续 下 一 次 抽 验 (20)

同理得到：

ln B < r ln θ 0 θ 1 + ( 1 θ 0 − 1 θ 1 ) T < ln A (21)

进一步有：

ln B ln ( θ 0 / θ 1 ) − ( 1 / θ 0 − 1 / θ 1 ) T ln ( θ 0 / θ 1 ) < r < ln A ln ( θ 0 / θ 1 ) − ( 1 / θ 0 − 1 / θ 1 ) T ln ( θ 0 / θ 1 ) (22)

记：

{ a = ln A ln ( θ 0 / θ 1 ) b = ln B ln ( θ 0 / θ 1 ) c = − 1 / θ 0 − 1 / θ 1 ln ( θ 0 / θ 1 ) (23)

则式(22)可写为：

b + c T < r < a + c T (24)

指数分布有替换试验下的序贯检验方案示意图见图2：

图2. 指数分布计量型SPRT方案示意图

SPRT由于考虑了每个试品失效时提供的信息，因此弥补了传统固定样本量抽样检验的不足，曾一度被广泛运用于各个领域。但SPRT同时还存在一些缺陷，比如其继续试验区间存在开放性，容易导致试验时间无法控制、不利于实际操作。此外，与传统的固定样本量抽样检验相比，SPRT在 ( θ 0 , θ 1 ) 之中的某些点的平均试验样本量也反而较大 [20]。

针对SPRT以上缺陷，许多学者提出新的改进方法。其中，Anderson提出了截断的SPRT方法，该方法是在SPRT的基础上设置试验样本量的上限值，解决了SPRT试验样本量过大这一缺陷，但是对于是否能解决 ( θ 0 , θ 1 ) 之中的某些点的平均试验样本量过大这一问题却有待商榷 [21]。Kiefer and Weiss利用贝叶斯方法，采用向后循环的方式得到由两条相交曲线构成的广义序贯概率比检验(G-SPRT) [22]。但是文献 [23] 指出该方法计算困难，不利于实际应用。Donnelly提出由两条相交直线构成的序贯检验方法，可以近似地解决SPRT的问题，但是该方法依旧比较复杂 [24]。Lorden基于前面的方法提出了2-SPRT法，该方法的检验边界为通过两次SPRT得到的两条相交直线 [25]。与SPRT相比，2-SPRT能控制试验的样本量上限值，同时还具有求解方便的特点。但是在实际应用当中，2-SPRT对最大样本量的控制仍然不理想。此外，常见的还有截断2-SPRT方法 [20]、序贯网图检验法(SMT) [26]、三角形检验 (triangular test) [27]、Pocock [28] 检验以及文献 [29] 提出的对一切参数都能达到渐进最优的方法。目前常用的是一种修正均值的SPRT (Wald SPRT with trimmed mean, T-SPRT)，T-SPRT应用广泛，许多国家标准与国际标准采用的都是T-SPRT。比如当前的国际标准IEC61124 [30]、IEC1123 [31]、美国的军用标准MIL-STD-781D [32] 及我国国家军用标准GJB 899 A [33] 等均采用了截尾的SPRT (T-SPRT)方案。T-SPRT方案的示意图见图3。

图3. T-SPRT方案示意图

但是T-SPRT也不是最优的截尾序贯检验方案，比如IEC61124其中的T-SPRT方案普遍存在检验水平利用不充分或超用，以及平均试验时间也未能达到最小等不足。那么什么样的方案才是最优的截尾序贯检验呢？在严格控制犯两类错误的概率不超过给定检验水平的情况下，最优的截尾序贯检验方案应该具有最小的平均试验时间与平均试验样本量。因此，如何对最优的截尾序贯检验方案进行求解是序贯检验研究中的核心问题。文献 [34] 通过把检验边界看作是任意变动的点，利用穷举法对截尾序贯最优检验进行了求解，但是由于该方法对序贯样本空间进行了全搜索，其计算工作量也是非常庞大的。文献 [35] 针对二项分布成功率参数的假设检验问题，剔除了不可容许解，在可容许解范围内进行收索求解出截尾序贯最优检验，但是其搜索工作量还是很大并不适应于截尾值较大的截尾序贯最优检验的求解。文献 [36] 针对二项分布成功率参数的假设检验问题，采用随机模拟与优化设计思想对截尾序贯检验进行优化设计，并讨论了该方法同样适用于其他分布形式。对于导弹的截尾序贯检验中实际风险存在计算不准确的缺点，文献 [37] 利用马尔科夫链的方法计算风险，并验证了该方法的可行性与准确性。Lai基于最优停时理论，对正态分布均值参数的截尾序贯检验进行研究，但是这种检验方案并不是最优的，只能达到近似最优 [38] [39]。于是，文献 [40] 与 [41] 在此基础上利用Bayes决策理论，提出动态规划方法对截尾群序贯最优检验进行求解。文献 [42] 建立样本空间排序法(SSSM)对二项分布成功率参数的截尾序贯最优检验进行求解。该方法是通过在样本空间建立序关系，采用逐点优化的方法对最优方案进行求解，避免了对序贯样本空间进行全搜素，以及充分考虑了可优化的区域，减小了计算工作量，提高了精确性。文献 [43] 表明，采用SSSM求解的截尾序贯最优检验相比T-SPRT，能严格控制两类错误的概率不超过给定检验水平并且有效地降低试验的平均试验样本量及平均试验时间。相比SMT，SSSM在同样的检验水平及样本量截尾值下能有效地降低试验的平均试验样本量。

本节将针对指数分布来介绍截尾序贯检验的定义。

对统计假设(17)，其犯两类错误的概率作如下限制：

α ′ = P r ( reject   H 0 | θ 0 ) ≤ α 0 ,       β ′ = P r ( do   not   reject   H 0 | θ 1 ) ≤ β 0 (25)

在产品的质量与可靠性检验中， β 0 为犯第I类错误概率水平，亦称为生产方名义风险，表示当产品的M-TTF θ 已达到规定值 θ 0 时，却被使用方拒收的概率上限。 β 0 为犯第II类错误概率水平，亦称使用方名义风险，表示产品的MTTF θ 处于较低水平 θ 1 时，却被使用方接受的概率上限。

记 X n ( n = 1 , 2 , ⋯ ) 为独立同分布的随机变量序列，其概率密度函数为式(16)。当 X i 表示产品抽样检验中第i个产品的寿命时，则有序贯检验统计量 T r 0 = ∑ i = 1 r 0 X i ，表示第 r 0 个产品失效时的累积试验时间。在坐标系 ( n , T ( n ) ) 中，统计假设(17)的截尾序贯检验定义如下：

定义1 设 U 1 , U 2 , ⋯ , U r 0 与 L 1 , L 2 , ⋯ , L r 0 为两列非负实数列，满足：

{ U i ≤ U i + 1 L i ≤ L i + 1 L i ≤ U i L r 0 ≤ U r 0             i = 1 , 2 , ⋯ , r 0 − 1 (26)

令 M = inf { n | T n ≥ U n     or     T n ≤ L n , n = 1 , ⋯ , r 0 } 。当 T M ≤ L M 时，停止试验并拒绝 H 0 ；当 T M ≥ U M  时，停止试验并拒绝 H 1 ；而当 L n < T n < U n ( n = 1 , 2 , ⋯ , r 0 − 1 ) 时，继续试验。记

T = ( U 1 U 2 ⋯ U r 0 L 1 L 2 ⋯ L r 0 ) (27)

则称T为截尾序贯检验。其中， U 1 , U 2 , ⋯ , U r 0 与 L 1 , L 2 , ⋯ , L r 0 分别为T的接收边界(上边界)与拒绝边界(下边界)， r 0 ≤ N 为样本量截尾值， U r 0 为截尾时间。

总所周知，对于计量型截尾序贯检验的设计，检验犯两类错误的概率以及累计试验时间是衡量检验是否达到最优的检验标准。文献 [42] 给出犯类错误的概率 α ′ , β ′ ，以及综合平均累计试验时间(Synthesis expected test time) SETT E ( τ ) 等基本统计特征量的计算表达式。接下来将介绍截尾序贯最优检验的定义。

定义2 在样本量截尾值 r 0 及截尾时间 U r 0 给定的条件下，记统计假设(17)满足犯两类错误概率的限制条件(25)的所有试验下的截尾序贯检验方案所组成集合为 Ω 1 。当集合 Ω 1 非空，若 T B ( r 0 , U r 0 ) 满足，对于任意的 T ∈ Ω 1 ，有：

E ( τ | T B ) ≤ E ( τ | T ) (28)

则称 T B ( r 0 , U r 0 ) 为关于边界最优的截尾序贯检验(Optimal truncated sequential test on boundaries, OTB)。

对给定的样本量截尾值 r 0 ， E ( τ ) 仅与截尾时间 U r 0 有关。因此还需对 U r 0 进行搜索，寻找使 E ( τ ) 达到最小的 U r 0 。为此，给出关于截尾时间 U r 0 最优的截尾序贯检验方案的定义如下。

定义3 对于给定的样本量截尾值 r 0 ， Ω 2 为统计假设(17)满足限制条件(25)的所有OTB T B 所组成的集合。当 Ω 2 非空时，若 T O ( r 0 ) ∈ Ω 2 满足，对任意的 T B ∈ Ω 2 ，有：

E ( τ | T O ) ≤ E ( τ | T B ) (29)

则称 T O ( r 0 ) 为关于边界最优的截尾序贯检验(Optimal truncated sequential test on truncation time, OTT)。

文献 [43] 中给出了截尾序贯检验方案犯两类错误的概率、平均累计试验时间的计算表达式以及截尾序贯最优检验的相关定义，这里不必赘述。接下来将简单介绍利用SSSM进行求解的步骤。

第1步：确定初始方案 T 0 。对统计假设(17)及给定的检验水平 ( α 0 , β 0 ) ，采用SSSM求解最优方案时需要构造初始方案 T 0 ，并且满足 α ′ ( T 0 ) ≤ α 0 与 β ′ ( T 0 ) ≤ β 0 ，考虑由Epstein提出的混合双截尾抽样检验方案 T E p 作为初始方案 [44]：

T E p = ( U r 0 U r 0 ⋯ U r 0 U r 0 0 0 ⋯ 0 U r 0 ) (30)

其中，样本量截尾值 r 0 由下面的不等式(31)确定：

χ α 0 , 2 r 0 2 χ 1 − β 0 , 2 r 0 2 ≥ θ 0 θ 1 (31)

截尾时间 U r 0 由式(32)确定：

U r 0 = χ α 0 , 2 r 0 2 2 (32)

确定样本量截尾值 r 0 与截尾时间 U r 0 后，可计算 T E p 犯两类错误的概率，若小于给定检验水平 ( α 0 , β 0 ) ，则 T E p ( r 0 , U r 0 ) 可作为OTB进行求解的初值，记为：

T 0 = ( U 1 U 2 ⋯ U r 0 L 1 L 2 ⋯ L r 0 ) (32)

第2步：序贯样本空间的离散化处理。SSSM求解最优方案采用了逐点优化的方式，由于这里考虑的是指数分布计量型，于是需要对序贯样本空间离散化处理：

{ U i = r o u n d ( U i Δ ) Δ L i = r o u n d ( L i Δ ) Δ             i = 1 , 2 , ⋯ , r 0 (34)

其中 Δ > 0 为提前给定的步长。

第3步：边界点权重函数的构造。文献 [41] 提到，对方案的优化可分为以下两种情况：

T 0 , U i = ( U 1 U 2 ⋯ U i − 1 U i − Δ U i + 1 ⋯ U r 0 L 1 L 2 ⋯ L i − 1 L i L i + 1 ⋯ U r 0 ) (35)

T 0 , L j = ( U 1 U 2 ⋯ U j − 1 U j U j + 1 ⋯ U r 0 L 1 L 2 ⋯ L j − 1 L j + Δ L j + 1 ⋯ U r 0 ) (36)

这两种情形的优化将分别减小犯第I类错误的概率与犯第II类错误的概率，但是无论哪一种优化都可以减小方案的SETT E ( τ ) 。因此给出可优化点集的权重函数，其中权重较大的点优先进行优化。其表达式为：

g ( U i ) = [ E ( τ | T 0 ) − E ( τ | T 1 , U i ) ] × [ β 0 − β ′ ( T 0 ) ] [ β ′ ( T 1 , U i ) − β ′ ( T 0 ) ] − [ α ′ ( T 0 ) − α ′ ( T 1 , U i ) ] (37)

g ( L j ) = [ E ( τ | T 0 ) − E ( τ | T 1 , L j ) ] × [ α 0 − α ′ ( T 0 ) ] [ α ′ ( T 0 ) − α ′ ( T 1 , L j ) ] − [ β ′ ( T 1 , L j ) − β ′ ( T 0 ) ] (38)

第4步：迭代及 T B 的求解。将对点 U i 或 L j 改进后的方案记为 T 1 ，重复步骤3直到 α ′ ( T q ) ≥ α 0 及 β ′ ( T q ) ≥ β 0 为止。得到满足犯两类错误的概率均小于或等于检验水平 ( α 0 , β 0 ) 的最后一个检验方案 T p ( p ≤ q ) ，即 T B ( r 0 , U r 0 ) 。最后在检验方案 T B 的截尾时间 U r 0 附近进行搜索，寻找使SETT最小的截尾时间 U r 0 。至此，得到的截尾序贯最优检验方案 T O ( r 0 ) 。

动态规划法采用了“反向归纳”的思想对序贯试验每一阶段的风险进行最小化来寻找使平均试验时间到最小的检验边界。由于要寻找使SETT达到最小的检验边界，文献 [40] 引入拉格朗日乘子建立了无约束最小化问题、规定了参数 θ 的先验概率、进行序贯检验时作出的三种决策所带来的风险以及检验犯第I，II类错误的概率的计算表达式。其中三种风险分别为：

{ 拒 绝     H 0   的 风 险 : d 0 接 受     H 0   的 风 险 : d 1 继 续 试 验 每 单 位 试 验 时 间 的 风 险 : d 2 (39)

检验犯第I，II类错误的概率为：

{ 犯 第     I     类 错 误 的 概 率 : P θ = θ 0 { Reject   H 0 } 犯 第     II     类 错 误 的 概 率 : P θ = θ 0 { Accept   H 0 } (40)

令 P ( θ 0 | T r 0 = t r 0 ) 与 P ( θ 1 | T r 0 = t r 0 ) 表示在 r 0 阶段 T r 0 = t r 0 时 θ 0 与 θ 1 的后验概率，动态规划的基本思想如下。

第1步： r 0 阶段边界点的确定。首先从最后一个点 r 0 开始，此时必须做出拒绝或者接受 H 0 的决策，期望风险分别为：

{ E ( r 0 ) ( risk | Reject   H 0 ) = d 0 P ( r 0 ) ( θ 0 | T r 0 = t r 0 ) E ( r 0 ) ( risk | Accept   H 0 ) = d 1 P ( r 0 ) ( θ 1 | T r 0 = t r 0 ) (41)

在样本量截尾值 r 0 处为了使作出决策的期望风险尽可能地小，我们有：

E ( r 0 ) ( risk | Reject   H 0 ) = E ( r 0 ) ( risk | Accept   H 0 ) (42)

此时可求解出边界点为：

U r 0 = t r 0 (43)

第2步： r 0 − 1 阶段边界点的确定。观察统计量 T r 0 − 1 = t r 0 − 1 。此时试验在这个阶段有三种决策，当拒绝或接受 H 0 时所产生的期望风险为：

{ E ( r 0 − 1 ) ( risk | Reject   H 0 ) = d 0 P ( r 0 − 1 ) ( θ 0 | T r 0 − 1 = t r 0 − 1 ) E ( r 0 − 1 ) ( risk | Accept   H 0 ) = d 1 P ( r 0 − 1 ) ( θ 1 | T r 0 − 1 = t r 0 − 1 ) (44)

当继续试验时产生的风险为包含增加的平均试验时间风险以及在 r 0 处产生的犯两类错误的期望风险为：

E ( r 0 − 1 ) ( risk | Continuing   test ) = P ( r 0 − 1 ) ( θ 0 | t r 0 − 1 ) × d 0 P θ 0 { T r 0 < U r 0 | t r 0 − 1 } + P ( r 0 − 1 ) ( θ 1 | t r 0 − 1 ) × d 1 P θ 0 { T r 0 > U r 0 | t r 0 − 1 }         + P ( r 0 − 1 ) ( θ 0 | t r 0 − 1 ) × d 2 P θ 0 { T r 0 − T r 0 − 1 | t r 0 − 1 } + P ( r 0 − 1 ) ( θ 1 | t r 0 − 1 ) × d 2 P θ 1 { T r 0 − T r 0 − 1 | t r 0 − 1 } (45)

当继续试验的期望风险等于接受 H 0 的期望风险时，可以确定上边界点为：

U r 0 − 1 = t r 0 − 1 (46)

当继续试验的期望风险等于拒绝 H 0 的期望风险时，可以确定下边界点为：

L r 0 − 1 = t r 0 − 1 (47)

图4. 动态规划方案示意图

第3步：其余阶段边界点的确定。向前继续来到点 r 0 − 2 ，观察统计量 T r 0 − 2 = t r 0 − 2 。此时试验在这个阶段仍有三种决策，仍然有拒绝或接受 H 0 以及继续试验产生的风险，与之前不同，此时继续试验产生的风险还应包含在 r 0 − 1 阶段继续试验的风险，仍可写出其计算表达式。依次往后寻找边界点，直到回到第一阶段为止，这样就能得到完整的截尾序贯检验方案(动态规划方案示意图见图4所示)。