流场为长方体渠道，流场上游为圆柱形障碍物用于激发湍流，通过固定流入口和流出口的压力差进行了雷诺数分别为50，300，800的不可压缩流体的DNS，其控制方程为Navier-Stokes方程：

∂ u / ∂ t + u ⋅ ∇ u = − ∇ p + ν   ∇ 2 u , (1)

∇ ⋅ u = 0 . (2)

数值仿真的具体设置参考之前的研究 [ 1 ]，我们导入了拉格朗日系粒子用以统计湍流变量，这个方法的优点是可以避免对流项带来的复杂性，本研究中我们将继续使用这种方法取得的数据。

通过雷诺分解将速度分解为平均速度和波动速度( u i = U i + u ′ i )之后，可以发现平均速度的时间发展方程中出现了波动速度乘积的平均的项

τ i j = − u ′ i u ′ j ¯ ,(3)

因为该项可以影响平均流的加速度，我们将其称为雷诺应力。我们对湍流模型研究的主要目标之一就是找到雷诺应力的合理的表现形式。 k - ϵ 模型使用湍流粘性

ν turb : = C μ k 2 / ϵ , (4)

和宏观速度剪切率 S i j = ( ∂ i U j + ∂ j U i ) / 2 来表示雷诺应力 τ i j : = 2 ν turb S i j ，这里 k = u ′ i u ′ i ¯ / 2 为湍流动能， ϵ = ν ( ∂ i u ′ j + ∂ j u ′ i ) 2 / 2 为湍流动能耗散率，可以发现 ν turb 为非负的场量。根据湍流的能量串跌理论，湍流中动能主要从大尺度传往小尺度，这意味着雷诺应力整体上起到让动能衰减的效果，而湍流粘性的方法能很好地满足总能量衰减的特性，并且从数值计算的角度考虑，湍流粘性模型具有较好的收敛性。

本研究中，我们定义了两个比例系数 α 和 β 用来衡量实际的湍流粘性

ν turb ∗ : = | τ | / | 2 S | , (5)

分别表示 k - ϵ 模型对湍流粘性评价偏差的程度以及高湍流粘性区域的分布：

α : = ν turb ∗ / ν turb , (6)

β : = log ( ν turb ∗ / ν ) . (7)

Lengani [ 4 ] 针对2维问题提出了一种解决方案，他使用湍流粘性 ν turb ∗ = ( ν 11 0 0 0 ν 22 0 0 0 0 ) 和旋转矩阵 X ( θ ) = ( cos θ sin θ 0 − sin θ cos θ 0 0 0 0 ) 相结合的方法来表示雷诺应力

τ : = 2 ν turb ∗ X Γ X tr , (8)

这里 Γ 为 S 的特征值构成的对角矩阵， ν turb ∗ 和 θ 由计测得到的大数据复归得到，右上角的tr表示矩阵的转置。其中 θ 所表示的角度为雷诺应力的特征向量的正主成分(对应的特征值最大的那一个)和平均速度剪切率的特征向量的正主成分的夹角。一个直观的联想是，取零成分(对应的特征值中间的那一个)的夹角为 ψ 的话，就可以做出三维空间的变换矩阵用来解决三维问题。但这么做是没有意义的，我们可以发现Lengani的方法里 ν turb ∗ 和 θ 只依赖于欧拉坐标，因此他的数据是全时间平均的，尽管Z方向的雷诺应力不可避免的引发能量耗散，但是在他的模型里根据实际平均得到的 S 不包含Z方向的任何成分，那么关于Z方向的角度变换和湍流粘性的扩展都是毫无意义的。

因此我们认为如果要改进模型，历史相关的数据是不可缺少的，也就是大数据应该取自拉格朗日系粒子，这样才能体现尾流随时间摆动的特点。此外Lengani的模型对几何有较强的限制，尽管可以导入几个自由度，比如雷诺数、障碍相对渠道宽度的比例、根据主流速度无量纲化的X位置等，但是一旦几何模型出现了变化，比如圆柱变成方柱、增加圆柱数量等，就必须重新建立大数据数据库。

我们提议的改进方案包括两点：一个是随时间衰减的某种标量，这种标量较大时会引起应力减弱，该势能的减弱的同时将会引起应力增强，该标量的通量则会引起雷诺应力和速度剪切率的夹角；而是这种标量的诱发机制为流域速度的强烈非连续性(比如平均速度的旋转张量)，衰减机制为流体的分子粘性。这些机制与固体力学的“损伤”概念类似但是有着微妙的不同，固体力学里的损伤可以通过能量守恒得到，流体的场景下湍流动能的本质并不是能量，雷诺应力的本质也不是应力。如果我们的模型可以与 k - ϵ 模型相结合，他的方程组将是：

∂ U / ∂ t + U ⋅ ∇ U = − ∇ p ¯ + ∇ ⋅ [ ( ν I + ν turb ∗ ∗ ) : ∇ U ] , (9)

∇ ⋅ U = 0 , (10)

ν turb ∗ ∗ = ν turb ∗ ∗ ( ν turb , ∇ D out ) , (11)

∂ k / ∂ t + U ⋅ ∇ k = ∇ ⋅ [ ( ν + ν turb / σ k ) ∇ k ] + ν turb S 2 − ϵ + D out , (12)

∂ ϵ / ∂ t + U ⋅ ∇ ϵ = ∇ ⋅ [ ( ν + ν turb / σ ϵ ) ∇ ϵ ] + C 1 ϵ ν turb S 2 / k − C 2 ϵ 2 / k , (13)

∂ D / ∂ t + U ⋅ ∇ D = D in ( Ω ) − D out − D diss ( ν ) ,(14)

如果令 ν turb ∗ ∗ : = ν turb I ，(4)，(9)，(10)，(12)，(13)就是现有的 k - ϵ 模型解非压缩性流体的湍流问题的方程组。在这个模型中，我们至少要找到三个式子定义式 ν turb ∗ ∗ ( ν turb , ∇ D out ) ， D in ( Ω ) 和 D diss ( ν ) 。本研究中我们只调查(6)和(7)作为建立模型的基础。

雷诺应力 τ i j 、宏观速度剪切率 S i j 、湍流动能k和湍流动能耗散率 ϵ 的计算方法参考先前的研究 [ 1 ]。

将粒子的数据根据其所在的x，y坐标进行分组平均，由此算出映射在平面位置上的湍流粘性期待值 ν turb ∗ 和 k - ϵ 模型定义的湍流粘性 ν turb 的样本平均，并基于这两个量算出系数场 α ( x , y ) 和 β ( x , y ) ，其空间分布如图1所示。系数 α 对于层流没有实在的物理意义，因此我们首先比较图1(b)和图1(c)。可以发现两者圆柱后部有 α ∈ [ 0 , 2 ] 的区域，且随着雷诺数的增加该区域向各个方向扩大。此外，关于 y ~ ± 0.15 的强应力区域，可以发现低雷诺数时只出现于上游，而高雷诺数时则是全流域的。对此一个可能的解释是，高雷诺数时相对于墙壁的高速度的主流引起的强速度剪切，有可能引起与圆柱障碍的扰动相类似的效果。此外我们还可以发现，墙壁附近的系数 α 也呈现较低的数值，这与 k - ϵ 模型在墙壁附近的表现不准确的经验一致，在产业中通常使用单独的壁面函数 [ 5 ] 来解决这个问题。但是这种方法也存在着明显的缺点，如果墙壁不是平直的，那基于经验的对数法则的速度分布函数可能就会失效。因此我们提议一种基于边界条件引发的非连续性导致的扰动的统计规律的湍流模型，这种扰动与固体力学里的损伤类似，可以引起应力的弱化并且被流体的粘性摩擦所修复或者抵消。

接下来我们以左右对照的方式去观察图1，左图里的亮色区域代表 k - ϵ 模型过小评价了湍流粘性，右图里的亮色区域则代表湍流粘性大幅度强于分子粘性。层流时在圆柱后方这种因为圆柱扰动而引发的湍流应力大约10倍于分子粘性应力，但是随着向下游移动则会逐渐减弱。另一方面， k - ϵ 模型无法正确估算的 y ~ ± 0.15 区域，其实际的湍流应力并不比分子粘性应力高太多。对比图2(e)和图2(f)，可以发现随着雷诺数的增加，湍流应力较之于分子粘性应力的比例越来越大，雷诺数从300增加到800后，圆柱后方的倍率从约50提高了约200。这与我们对湍流的可以增强动量输送效果的经验是一致的。对比左侧高雷诺数时，系数 α 没有在 x > 0.3 的后方区域呈现递减的变化，系数 β 仍旧体现出与x坐标相关的分布。对于这种现象可能的解释是，在扰动没有明显减弱前，雷诺应力的强度与 k - ϵ 模型有较大差距，但是在远离圆柱障碍以后，这种扰动就快速失去了效果。

图1. 系数α和β在x-y平面的分布，左侧为系数α，表现实际雷诺应力强度与 k - ϵ 模型的预测值的差距，右侧为系数β，表现雷诺应力与分子粘性应力强度的比重。自上至下对应的DNS的雷诺数分布为50，300，800

把粒子离最近的墙壁的距离定义为 Y wall ，根据各时刻的x坐标和跟墙壁间的距离取样本平均，两个系数 α 和 β 的分布如图2所示。可以发现，在层流时，似乎可以发现与墙壁距离的某种相关性，特别是在上游，离墙壁越远， α 的数值越低， β 的数值越高。但是在湍流时，我们并没有发现两者呈现出相关性，随机性引发的波动幅度远远大于 Y wall 的影响。因此我们认为这种由圆柱障碍的扰动引发的雷诺应力的弱化机制基本与墙壁距离无关，虽然在层流中两系数会体现出与墙壁距离的关联，但是对于流场为稳定状态的层流来说动态仿真不是必需的，可以适当加密网格来取得更加精确的结果，这并不需要增加太多的计算量。

图2. 系数α和β与墙壁距离之间的关系，自上至下对应的DNS的雷诺数分布为50，800

我们可以选择4个代表性的区域，两翼处应力强化发生的区域的上游A ( x ∈ [ 0.1 , 0.2 ] , y ∈ [ − 0.16 , − 0.12 ] ) 和下游B ( x ∈ [ 0.8 , 0.9 ] , y ∈ [ − 0.16 , − 0.12 ] ) ，流场中轴应力弱化发生的区域的上游C ( x ∈ [ 0.1 , 0.2 ] , y ∈ [ − 0.02 , 0.02 ] ) 和下游D ( x ∈ [ 0.8 , 0.9 ] , y ∈ [ − 0.02 , 0.02 ] ) 。不同雷诺数四个区域系数 α 的平均值记录在表1里，对比结果我们可以发现在湍流情况下C点的数值相对于层流下发生了明显的变化，D点数值虽然也体现出了和雷诺数的负相关，但是总体上我们可以判断在高雷诺数下，C点的效果的“寿命”更长，因此影响到了D点。A、B点的数值似乎和层流还是湍流没什么直接关系，可能是圆柱绕流这种几何下固有的特征。总体来说，800的雷诺数从湍流的角度来讲并不是特别高的数值，尽管从DNS或者水槽实验的角度来讲，进一步提高雷诺数有很大的难度，但是我们希望能从风洞试验中得到更有代表性的数据，比如雷诺数上万时，C点的 α 能否得到小于1的数值，A、B点的数值是否能仍旧维持在10附近。

表1. 系数α在不同雷诺数/区域下的平均值