若干个互不相交的圆周 S i 1 嵌入到球面 S 3 或三维欧氏空间 R 3 所得到的三维图形称作链环，其中 1 ≤ i ≤ n 。 [ 1 ]

注释2.1当 i = 1 时，链环只有一个分支，称为纽结。

注释2.2当链环的每个分支都给定方向时，得到有向链环。

有序三元组 ( V ( G ) , E ( G ) , φ ( G ) ) 称为图，记为G， V ( G ) 为图G的顶点集， E ( G ) 为图G的边集，并且 E ( G ) ∩ V ( G ) = ∅ ， φ ( G ) 将G的每条边对应G的顶点对(顶点可以是同一个)。若边e与两个顶点 u , v 满足 φ ( e ) = u v ，则称顶点 u , v 是用边e连接的，且e的两个端点是顶点 u , v 。 [ 1 ]

注释2.3若在图G中删除边e后，图G的分支数增加，则称边e为图G的割边。

注释2.4若边e的两个端点是相同的顶点，则e为环边。

注释2.5若连接两顶点的边不止一条，则这些边为多重边。

1) C n 表示长为n的循环图。

2) θ n 表示由两个顶点，n条连接这两个顶点的边组成的图1。

图1. 图 C n 与图 θ n

设图G的对偶图为 G ∗ ，则满足 G ∗ 的每一个顶点对应G的每个面，若G的对应面在边界上有k条边，则在对应面的 G ∗ 的两个顶点就有k条边(如图2)。

图2. G到 G ∗ 的变换过程

1) 在链环投影图中，若对链环的每个分支沿着投影图的每条线，交叉点均为一上一下交错出现，那么称此链环为交错链环。 [ 1 ]

2) 每条边均被标记为正号或者负号的图称为符号图，边的标号规则如图3。

图3. 边的标号规则

注释2.6任意交错链环投影图都能找到其符号图(如图4)，反过来，任一符号图都能找到其对应的链环图(如图5)。

图4. 八字结与其对应的符号图

图5. C 3 符号图及其对应的链环图

一个有向链环投影图L的所有交叉点的+1与−1之和称为链环L的拧数，记为 W ( L ) [ 1 ]。

规定从上行线的箭头转到下行线的箭头的最小转角为逆时针时，记为+1；

从上行线的箭头转到下行线的箭头的最小转角为顺时针时，记为−1。

定向链环L的Jones多项式是一个变量为 t 1 2 的一变元洛朗多项式，满足如下拆阶关系式 [ 1 ]：(图6)。

t − 1 V L + ( t ) − t V L − ( t ) = ( t 1 2 − t − 1 2 ) V L 0 ( t )

图6. L + ， L − 和 L 0

Tutte多项式是二变量多项式，且满足：

性质1当图G的边集是空集时， T G ( x , y ) = 1 ；

性质2当e是环边时， T G ( x , y ) = y T ( G − e ; x , y ) ；

性质3当e是割边时， T G ( x , y ) = x T ( G / e ; x , y ) ；

性质4当e不是环边也不是割边时， T G ( x , y ) = T ( G / e ; x , y ) + T ( G − e ; x , y ) 。(图7)

图7. G， G − e 和G/e

令图G是各边均标为正号的连通平面图，G对应的定向交错链环投影图记为L，则链环L的Jones多项式为：

V L ( t ) = ( − 1 ) w r ( L ) t b ( L ) − a ( L ) + 3 w r ( L ) 4 T G ( − t , − t − 1 )

其中 a ( L ) 为G的顶点数， b ( L ) 为 G ∗ 的顶点数， w r ( L ) 为L的拧数。

说明：本文中的图均为符号图，且每个边的符号均为正号。

定义3.1 ( 4 , n ) 图：在循环图 C 4 的基础上，选择任一条边为其增加n条边后得到的图(如图8)。

图8. ( 4 , n ) 图

定理3.1 ( 4 , n ) 图的Tutte多项式为：

T ( 4 , n ) ( x , y ) = x 3 + ( x 2 + x + y ) ∑ i = 0 n y i

证明：当 n = 1 时，由Tutte多项式的减边与缩边的性质，得到：

T ( 4 , 1 ) = T ( ) = T ( ) +   T ()

= T ( ) +   T ( ) +   y T ()

= x 3 + ( 1 + y ) T ()

其中， T ( ) = T ( ) +   T ()

= x T ( ) +   T ( ) +   T ()

= x 2 T ( ) +   x T ( ) + y

= x 2 + x + y

则 T ( ) = x 3 + ( x 2 + x + y ) ( 1 + y ) ，

即 n = 1 时成立；

假设 n = k 成立，即 T ( 4 , k ) = x 3 + ( x 2 + x + y ) ∑ i = 0 k y i ，下证 n = k + 1 成立：

T 4 , k + 1 = T ( ) = T ( ) +   T ()

= x 3 + ( x 2 + x + y ) ∑ i = 0 k y i + y k + 1 ( x 2 + x + y ) = x 3 + ( x 2 + x + y ) ∑ i = 0 k + 1 y i

定理3.1得证。

推论3.1 T ( 4 , n ) ( − t , − t − 1 ) = − t 4 − t 2 − 1 + ( − 1 ) n + 2 t − n + 2 + ( − 1 ) n + 1 t − n + 1 + ( − 1 ) n + 1 t − n − 1 1 + t

证明：由定理3.1知，

T ( 4 , n ) ( − t , − t − 1 ) = − t 3 + [ ( − t ) 2 + ( − t ) + ( − t − 1 ) ] ∑ i = 0 n ( − t − 1 ) i = − t 3 + ( t 2 − t − t − 1 ) ( − t − 1 ) n + 1 − 1 − t − 1 − 1 = − t 3 + ( − t 2 + t + t − 1 ) ( − 1 ) n + 1 t − n − t 1 + t = − t 4 − t 2 − 1 + ( − 1 ) n + 2 t − n + 2 + ( − 1 ) n + 1 t − n + 1 + ( − 1 ) n + 1 t − n − 1 1 + t

( 4 , n ) 图对应的交错链环L分为两类，当n为奇数时，L为一分支链环，即纽结；当n为偶数时，L为两分支链环。

情况1. 当n为奇数时，分析G，L， a ( L ) ， b ( L ) 与 w r ( L ) ，具体如表1所示。

发现：当n为奇数时， a ( L ) = 4 ， b ( L ) = n + 2 ，L的所有交叉点处的值均为−1，总共有 n + 4 个交叉点，故 w r ( L ) = − n − 4 。

情况2. 当n为偶数时，且两分支链环同向时，分析G，L， a ( L ) ， b ( L ) 与 w r ( L ) ，具体如表2所示。

发现：当n为偶数时， a ( L ) = 4 ， b ( L ) = n + 2 ，L的所有交叉点处的值均为+1，总共有 n + 4 个交叉点，故 w r ( L ) = n + 4 ；

表1. n为奇数情况下的(4, n)图及链环L

表2. n为偶数情况下的(4, n)图及链环L

同样地，可以得到：当n为偶数且两分支链环不同向时，与n为奇数时一样， w r ( L ) = − n − 4 。

定理3.2. 当n为奇数时，图 G ( 4 , n ) 对应的交错链环L的Jones多项式为：

V L ( t ) = 1 1 + t ( t − n 2 + 1 2 + t − n 2 − 3 2 + t − n 2 − 7 2 + t − 3 2 n − 3 2 − t − 3 2 n − 5 2 − t − 3 2 n − 9 2 )

证明： a ( L ) = 4 ， b ( L ) = n + 2 ，且n为奇数时， w r ( L ) = − n − 4 ，由引理1，

V L ( t ) = ( − 1 ) w r ( L ) t b ( L ) − a ( L ) + 3 w r ( L ) 4 T G ( − t , − t − 1 ) = ( − 1 ) − n − 4 t n + 2 − 4 + 3 ( − n − 4 ) 4 − t 4 − t 2 − 1 + ( − 1 ) n + 2 t − n + 2 + ( − 1 ) n + 1 t − n + 1 + ( − 1 ) n + 1 t − n − 1 1 + t = − t − n 2 − 7 2 − t 4 − t 2 − 1 + ( − 1 ) n + 2 t − n + 2 + ( − 1 ) n + 1 t − n + 1 + ( − 1 ) n + 1 t − n − 1 1 + t = 1 1 + t ( t − n 2 + 1 2 + t − n 2 − 3 2 + t − n 2 − 7 2 + t − 3 2 n − 3 2 − t − 3 2 n − 5 2 − t − 3 2 n − 9 2 )

定理3.2得证。

定理3.3当n为偶数时，图 G ( 4 , n ) 对应的交错链环L的Jones多项式为：

V L ( t ) = { 1 1 + t ( − t n + 13 2 − t n + 9 2 − t n + 5 2 + t 9 2 − t 7 2 − t 3 2 ) , L     两 分 支 同 向 1 1 + t ( t − 3 2 n − 3 2 − t − 3 2 n − 5 2 − t − 3 2 n − 9 2 − t − n 2 + 1 2 − t − n 2 − 3 2 − t − n 2 − 7 2 ) , L     两 分 支 不 同 向

证明：当链环的两个分支同向(同为逆时针或顺时针)时， w r ( L ) = n + 4 ， a ( L ) = 4 ， b ( L ) = n + 2 ，则 T G ( − t , − t − 1 ) 前的系数为 t n + 5 2 ，故

V L ( t ) = t n + 5 2 T G ( − t , − t − 1 ) = t n + 5 2 − t 4 − t 2 − 1 + ( − 1 ) n + 2 t − n + 2 + ( − 1 ) n + 1 t − n + 1 + ( − 1 ) n + 1 t − n − 1 1 + t = 1 1 + t ( − t n + 13 2 − t n + 9 2 − t n + 5 2 + t 9 2 − t 7 2 − t 3 2 )

同理，当链环的两个分支同向(一分支为逆时针另外一分支为顺时针)时， a ( L ) = 4 ， b ( L ) = n + 2 ，此时， w r ( L ) = − n − 4 ， T G ( − t , − t − 1 ) 前的系数为 t − n 2 − 7 2 ，则链环的Jones多项式为：

V L ( t ) = t − 1 2 n − 7 2 T G ( − t , − t − 1 ) = t − 1 2 n − 7 2 − t 4 − t 2 − 1 + ( − 1 ) n + 2 t − n + 2 + ( − 1 ) n + 1 t − n + 1 + ( − 1 ) n + 1 t − n − 1 1 + t = 1 1 + t ( t − 3 2 n − 3 2 − t − 3 2 n − 5 2 − t − 3 2 n − 9 2 − t − n 2 + 1 2 − t − n 2 − 3 2 − t − n 2 − 7 2 )

定理3.3得证。

定义4.1 ( A , n ) 图是在循环图 C A ( A ≥ 3 ) 的基础上，选取任一条边后，为这条边增加n条边后得到的图(如图9)。

图9. C A 图与 ( A , n ) 图

定理4.1 ( A , n ) 图的Tutte多项式为：

T ( A , n ) ( x , y ) = x A − 1 + ( x A − 2 + x A − 3 + ⋯ + x + y ) ∑ i = 0 n y i

证明：当 A = 3 时， T ( 3 , n ) ( x , y ) = x 2 + ( x + y ) ∑ i = 0 n y i [ 5 ]；

假设 T ( A , k ) ( x , y ) = x k − 1 + ( x k − 2 + x k − 3 + ⋯ + x + y ) ∑ i = 0 n y i ，下证 A = k + 1 时等式成立。

由Tutte多项式的缩边减边性质，

T ( k + 1 , n ) ( x , y ) = T ( k , n ) ( x , y ) + x k − 1 T ()

= T ( k , n ) ( x , y ) + x k − 1 [ T ( ) +   T ( )]

= T ( k , n ) ( x , y ) + x k − 1 ( x + 1 + y + y 2 + ⋯ + y n ) = T ( k , n ) ( x , y ) + x k + x k − 1 ( 1 + y + y 2 + ⋯ + y n ) = x k + ( x k − 1 + x k − 2 + ⋯ + x + y ) ∑ i = 0 n y i

定理4.1得证。

推论4.1 T ( A , n ) ( − t , − t − 1 ) = ( − t ) A − 1 + 1 ( 1 + t ) 2 [ ( − 1 ) n + 1 t − n − t ] [ ( − t ) A − 1 + t + 1 + t − 1 ] 。

证明： T ( A , n ) ( − t , − t − 1 ) = ( − t ) A − 1 + [ ( − t ) A − 2 + ( − t ) A − 3 + ⋯ + ( − t ) + ( − t − 1 ) ] ∑ i = 0 n ( − t − 1 ) i = ( − t ) A − 1 + [ ( − t ) A − 1 − 1 − t − 1 − 1 − t − 1 ] ( − t − 1 ) n + 1 − 1 − t − 1 − 1 = ( − t ) A − 1 + 1 ( 1 + t ) 2 [ ( − 1 ) n + 1 t − n − t ] [ ( − t ) A − 1 + t + 1 + t − 1 ]

定理4.2 ( A , n ) 图对应的链环L的拧数为：

当A为偶数时，若n为奇数，L为一分支链环， w r ( L ) = − n − A ；若n为偶数，L为二分支链环，且两分支同向时， w r ( L ) = n + A ，当且两分支不同向时， w r ( L ) = − n − A ；

当A为奇数时，L为一分支链环，若n为奇数， w r ( L ) = 2 + n − A ；若n为偶数， w r ( L ) = n + A 。

证明：当A为偶数，而n为奇数时，给定L定向，L的每个交叉点的值均为−1，交叉点的个数为 n + A 个，故此时 w r ( L ) = − n − A ；当A为偶数，而n为偶数时，给定L定向，若L的两分支同向，则L的每个交叉点的值均为+1，故此时 w r ( L ) = n + A ；当A为偶数，而n为偶数时，给定L定向时，若L的两分支不同向，则L的每个交叉点的值均为−1，故此时 w r ( L ) = − n − A 。

当A为奇数时，L为纽结，若n为奇数，图 ( A , n ) 的非重边对应的交叉点的值为−1，其余交叉点对应的值为+1，即

w r ( L ) = ( − 1 ) ( A − 1 ) + n + A − ( A − 1 ) = 2 + n − A ；

若n为偶数，给定L定向时，L的每个交叉点的值均为+1，同样地，此时 w r ( L ) = n + A 。

定理4.3 ( A , n ) 图对应的链环L的Jones多项式为：

情况1. 当A为偶数时，若n为奇数时，

V L ( t ) = t − 1 2 n − 1 2 − 1 ( 1 + t ) 2 ( t − 3 2 n − A + 1 2 − t − n 2 − A + 3 2 ) [ ( − t ) A − 1 + t + 1 + t − 1 ]

情况2. 当A为偶数时，若n为偶数时，L的两分支同向时，

V L ( t ) = − t n + 3 2 A − 1 2 + 1 ( 1 + t ) 2 ( − t 1 2 A + 1 2 − t n + 1 2 A + 3 2 ) [ ( − t ) A − 1 + t + 1 + t − 1 ]

当链环两分支不同向时，

V L ( t ) = − t − 1 2 n − 1 2 + 1 ( 1 + t ) 2 ( − t − 3 2 n − A + 1 2 − t − n 2 − A + 3 2 ) [ ( − t ) A − 1 + t + 1 + t − 1 ]

情况3. 当A为奇数时，若n为奇数时，

V L ( t ) = t n + 1 + 1 ( 1 + t ) 2 ( t 2 − A − t n + 3 − A ) [ ( − t ) A − 1 + t + 1 + t − 1 ]

情况4. 当A为奇数时，若n为奇数时，

V L ( t ) = − t n + 3 A 2 − 1 2 + 1 ( 1 + t ) 2 ( t 1 2 A + 1 2 + t n + 1 2 A + 3 2 ) [ ( − t ) A − 1 + t + 1 + t − 1 ]

此定理可直接利用引理1与定理4.2得证。