首先我们考虑如下模型。

{ d x d t = r x k + ω x − λ x y , d y d t = h x y − f y + u . (2.1)

假设 x , y 分别表示t时刻食饵(浮游动植物)和捕食者(鱼类)的种群密度；浮游动植物以 f ( x ) = r / ( k + ω x ) 的速率增长(其中 r , k , ω > 0 )， k + ω x 是食饵的环境容纳量，且食饵受到自身密度的制约，即随着食饵数量的增加食饵的增长速率逐渐减缓； λ 为鱼类对浮游动植物的捕食率；h为鱼类捕食的浮游动植物吸收转化为可存活的鱼类后代的比率；f为水污染导致的鱼类的死亡率；u为鱼类种群的常数投放率。

由于水体受有机物污染后，会发生生物降解作用，在分解过程中消耗水中的氧气，使水中的氧气量降低，导致鱼类等会因缺氧而死亡。同时鱼类种群数量减少也会导致水体中浮游动植物大量繁殖；为达到一定的产鱼量，同时也为了避免水华的产生，需要常量投放一些鱼苗来补充受水污染影响而死亡的鱼类数量。但当鱼类种群数量过多时，水体的浮游动植物又不能满足鱼类对食物的需求，所以我们会通过状态反馈脉冲控制的方法捕捞成鱼，进而保持食饵捕食系统的稳定，同时也能产生经济效益。设阈值为m，则得到状态反馈脉冲系统为：

{ d x d t = r x k + ω x − λ x y , d y d t = h x y − f y + u , } y < m Δ y = − β y , y = m (2.2)

当鱼类数量小于m时，食饵捕食系统按照系统(2.2)的前两个方程发展。当鱼类种群数量达到m时，开始以 β ( 0 < β < 1 ) 为收获率收获成鱼。根据实际的生物意义，下面的内容我们只考虑系统(2.2)在区域 { ( x , y ) | x > 0 , y > 0 } 的情况。

模型(2.1)满足如下方程：

{ d x d t = r x k + ω x − λ x y = P ( x , y ) , d y d t = h x y − f y + u = Q ( x , y ) . (3.1)

它的垂直等倾线为 x = 0 和 y = r / [ λ ( k + ω x ) ] ，水平等倾线为 y = u / ( f − h x ) 。解方程组(3.1)可知，若 r f − u λ k > 0 ，则系统(2.1)存在一个边界平衡点 N 1 ( 0 , u / f ) 和一个正平衡点 E ( x * , y * ) ，其中 x * = ( r f − u λ k ) / ( r h + u λ ω ) ， y * = ( r h + u λ ω ) / ( λ ω f + λ k h ) 。接下来，我们假设 r f − u λ k > 0

总是成立。

下面分析平衡点 N 1 ( 0 , u / f ) 和 E ( x * , y * ) 的稳定性。系统(2.1)的雅可比矩阵为：

J = ( r k ( k + ω x ) 2 − λ y − λ x h y h x − f ) .

系统(2.1)在 N 1 ( 0 , u / f ) 点的雅可比矩阵为：

J ( N 1 ) = ( r k − λ u f 0 h u f − f ) .

经计算可得 D e t ( J ( N 1 ) ) = ( u λ k − r f ) / k < 0 ，即 N 1 是一个鞍点。

系统(2.1)在 E ( x * , y * ) 点的雅可比矩阵为：

J ( E ) = ( − r ω x * ( k + ω x * ) 2 − λ x * h y * − u y * ) .

经计算可得

D e t ( J ( E ) ) = r ω u x * ( k + ω x * ) 2 y * + h λ x * y * > 0 ， T r ( J ( E ) ) = − r ω x * ( k + ω x * ) 2 − u y * < 0 .

显然，点E是一个局部渐进稳定的结点或焦点。

因此，得到结论如下。

定理1若 r f − u λ k > 0 ，则模型(2.1)的边界平衡点 N 1 ( 0 , u / f ) 是一个鞍点，正平衡点 E ( x * , y * ) 是一个局部渐近稳定的结点或焦点。

接下来讨论系统(2.1)在平衡点E处的全局渐近稳定性。

首先，构造一个Lyapunov函数：

V ( x , y ) = [ ( x − x * ) − x * ln ( x x * ) ] + η [ ( y − y * ) − y * ln ( y y * ) ] (3.2)

此函数沿着时间的导数计算为：

d V d t = x − x * x d x d t + η y − y * y d y d t = ( x − x * ) ( r k + ω x − λ y ) + η ( y − y * ) ( h x − f + u y ) (3.3)

考虑平衡点方程：

{ r k + ω x * − λ y * = 0 h x * − f + u y * = 0 (3.4)

将方程(3.4)带入(3.3)可得：

d V d t = ( x − x * ) ( r k + ω x − λ y − r k + ω x * + λ y * ) + η ( y − y * ) ( h x − f + u y − h x * + f − u y * ) = ( x − x * ) [ r ω ( x * − x ) ( k + ω x ) ( k + ω x * ) − λ ( y − y * ) ] + η ( y − y * ) [ h ( x − x * ) + u ( y * − y ) y y * ] = − r ω ( x − x * ) 2 ( k + ω x ) ( k + ω x * ) + ( h η − λ ) ( x − x * ) ( y − y * ) − η u ( y − y * ) 2 y y * (3.5)

当 η = λ / h 时，有 d V d t = − r ω ( x − x * ) 2 ( k + ω x ) ( k + ω x * ) − η u ( y − y * ) 2 y y * < 0 ，故 d V d t 在第一象限是负定的。

因此，我们得到如下结论。

定理2系统(2.1)在平衡点 E ( x * , y * ) 处是全局渐进稳定的。

根据上述分析，可知系统(2.1)的平衡点E是一个全局渐进稳定的结点或焦点(如图1所示)。接下来我们将要讨论当平衡点E是焦点时，系统(2.2)是否存在阶1周期解以及阶1周期解的唯一性。

图1. 系统(2.1)的相图。1) E ( x * , y * ) 是一个结点；2) E ( x * , y * ) 是一个焦点

情况1. m ≤ y *

当 m ≤ y * 时，直线 y = m 落在平衡点 E ( x * , y * ) 的下方，我们有如下结论。

定理3当 E ( x * , y * ) 为焦点且 m ≤ y * 时，系统(2.2)存在一个唯一的阶1周期解。

证明：令直线 y = ( 1 − β ) m 分别与水平等倾线和垂直等倾线交于 A ( x A , ( 1 − β ) m ) ， B ( x B , ( 1 − β ) m )

两点(如图2所示)。

图2. m ≤ y * 时阶一周期解的存在和唯一性

首先，我们证明阶一周期解的存在性。从点A出发的轨迹交脉冲集M于点A₁，然后经过脉冲效应点A₁被映射到相集上的点A₂。根据轨迹趋势，点A₂一定落在点A的右侧，于是有 x A 2 > x A ，且点A₂是点A的后继点，则点A的后继函数为 f ( A ) = x A 2 − x A > 0 。从点B出发的轨迹交脉冲集M于点B₁，然后经过脉冲效应点B₁被映射到相集上的点B₂。根据轨迹趋势，点B₂一定落在点B的左侧，于是有 x B 2 < x B ，且点B₂是点B的后继点，则点B的后继函数为 f ( B ) = x B 2 − x B < 0 。根据解的存在唯一性定理，在A和B之间一定存在一个点Q使得 f ( Q ) = 0 。因此，从点Q开始的轨迹 L Q Q 1 和相应的脉冲线 Q 1 Q ¯ 构成系统(2.2)的一个阶一周期解。

接下来，我们考虑阶一周期解的唯一性。在线段AB上任意取两个点 I ( x I , ( 1 − β ) m ) ， J ( x J , ( 1 − β ) m ) ，使点I，J满足 x A < x I < x J < x B 。于是从点I出发的轨迹交脉冲集M于点I₁，然后经过脉冲效应被映射到点I₂，则点I₂是点I的后继点。根据轨迹趋势可知， x I < x I 2 。同理，从点J出发的轨迹交脉冲集M于点J₁，然后经过脉冲效应被映射到点J₂，则点J₂是点J的后继点。根据轨迹趋势可知， x J 2 < x J 。由于 x I < x J ，则 x I < x I 2 < x J 2 < x J 。于是点I，J的后继函数满足：

f ( J ) − f ( I ) = ( x J 2 − x J ) − ( x I 2 − x I ) = ( x J 2 − x I 2 ) − ( x J − x I ) < 0 .

这表明后继函数 f ( A ) 在线段AB上是单调递减的。因此，在线段AB上仅存在一个点Q使得 f ( Q ) = 0 ，从而系统(2.2)的阶1周期解是唯一的。

情况2. 0 < ( 1 − β ) m < y * < m

当 0 < ( 1 − β ) m < y * < m 时，直线 y = m 在平衡点 E ( x * , y * ) 的上方，直线 y = ( 1 − β ) m 在平衡点 E ( x * , y * ) 的下方，直线 y = m 与水平等倾线 d y / d t = 0 相交，设其交点为 C ( x C , m ) ，并设通过点C的轨迹为L_C，设直线 y = m 与轨线L_C的负延长线的交点为 C 0 ( x C 0 , m ) ，且C₀是直线 y = m 上距离点C最近的点，从C₀到C的轨线段记为 L C 0 C ，记由轨线段 L C 0 C 、直线 y = m 和两坐标轴围成的区域为 Ω (如图3)，我们得到如下结论。

定理4若 E ( x * , y * ) 为焦点且 0 < ( 1 − β ) m < y * < m 时，则存在一个参数 β * ∈ ( 0 , 1 ) 满足：

当 0 < β < β * 时，系统(2.2)不存在阶一周期解，且所有的轨迹都将趋于平衡点E；

当 β * ≤ β < 1 时，系统(2.2)存在一个唯一的阶一周期解。

证明：首先证明 β * ∈ ( 0 , 1 ) 的存在性。

我们知道直线 y = m 与水平等倾线 d y / d t = 0 相交于点 C ( x C , m ) ，且通过点C的轨迹为L_C，过点C做一条垂直于x轴的直线 x = x C ，则直线 x = x C 与轨迹L_C相交，设其交点为 C 1 ( x C , h C 1 ) ，其中C₁是直线 x = x C 上距离点C最近的点。我们再过点C₁做直线 y = h C 1 。由于函数 y = ( 1 − β ) m 关于 β 是单调的，则这里一定存在一个参数 β * ∈ ( 0 , 1 ) 使得 h C 1 = ( 1 − β * ) m 。于是，当 β = β * 时，从点C₁出发的轨迹交脉冲集M于点C，且经过脉冲效应后，点C被映射到点C₁。因此，轨迹 L C 1 C 和线段 C C 1 ¯ 构成了系统(2.2)的一个阶一周期解，其中轨线 L C 1 C 表示点C₁和点C之间的部分。

当 β < β * 时，直线 y = ( 1 − β ) m 落在直线 y = ( 1 − β * ) m 的上方，则从某一点出发的轨迹经过有限次脉冲效应将落在轨线 L C 1 C 的左侧，并最终趋向于平衡点E。因此，当 β < β * 时，系统(2.2)不存在阶一周期解(如图3所示)。

当 β * < β < 1 时，直线 y = ( 1 − β ) m 落在直线 y = ( 1 − β * ) m 的下方。因为直线 x = x C 与直线 y = ( 1 − β ) m 相交，我们将其交点表示为 C 2 ( x C 2 , ( 1 − β ) m ) (如图4所示)。根据轨迹趋势，从点 ( x 0 , y 0 ) ∈ Ω 出发的轨迹一定与脉冲集M相交，且交点一定落在点C的右侧，则从点C₂出发的轨迹交脉冲集M于点 C 3 ( x C 3 , m ) ，根据轨迹趋势，交点C₃一定落在点C的右侧。经过脉冲效应点C₃被映射到相集上的点 C 4 ( x C 4 , ( 1 − β ) m ) ，则点C₄是点C₂的后继点，且 x C 4 > x C 2 ，于是点C₂的后继函数为 f ( C 2 ) = x C 4 − x C 2 > 0 。已知直线 y = ( 1 − β ) m 与垂直等倾线 d x / d t = 0 交于点 B ( x B , ( 1 − β ) m ) ，则从点B出发的轨迹与脉冲集M交于点B₁，然后经过脉冲效应点B₁被映射到点B₂，由轨迹趋势可知点B₂一定落在点B的左侧，于是有 x B 2 < x B ，则点B的后继函数为 f ( B ) = x B 2 − x B < 0 。

图3. β * 的存在性及 β < β * ， m > y * 时的轨线趋势

因此，由解的存在唯一性定理可知，在点C₂和B之间一定存在一个点Q，使得 f ( Q ) = 0 ，即从点Q开始的轨迹 L Q Q 1 和相应的脉冲线 Q 1 Q ¯ 构成系统(2.2)的一个阶1周期解。系统(2.2)的阶1周期解的唯一性的证明方法类似于定理3。

图4. β * < β < 1 ， m > y * 时的阶一周期解