根据弱链对角占优M-矩阵A的逆矩阵元素，定义新的参数，结合不等式放缩技巧，给出 ‖ A − 1 ‖ ∞ 的新上界估计式。理论分析和数值例子说明，新估计式改进了现有文献的有关结果。

弱链对角占优M-矩阵，逆矩阵，无穷范数的上界

Huijun Li, Hongmin Mo^*

College of Mathematics and Statistics, Jishou University, Jishou Hunan

Received: Jun. 15^th, 2022; accepted: Jul. 12^th, 2022; published: Jul. 19^th, 2022

According to the inverse matrix elements of weakly chain diagonally dominant M-matrix A, the new parameters are defined and the inequality scaling technique is used to obtain ‖ A − 1 ‖ ∞ . Theoretical analysis and numerical examples show that the new estimate improves the relevant results in the existing literature.

Keywords:Weak Chain Diagonally Dominant Matrices, Inverse Matrices, Upper Bound on an Infinite Norm

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弱链对角占优矩阵在现代经济学、网络、信息论和算法设计等领域都有着广泛的应用。从1974年开始，众多学者对弱链对角占优M-矩阵的逆矩阵的无穷范数的上界估计进行了广泛研究，得到了一些不同的估计结果并将其进行了应用(见文献 [ 1 ] - [ 8 ])。本文将通过定义关于弱链对角占优M-矩阵A的元素的新参数，同时结合 A − 1 的元素，从新的角度给出弱链对角占优M-矩阵 ‖ A − 1 ‖ ∞ 的新上界估计式，并验证结果的有效性。

C n × n ( R n × n ) 表示n阶复(实)矩阵集，设 A = ( a i j ) ∈ C n × n ， N = { 1 , 2 , ⋯ , n } ，为方便叙述给出下列符号：

R i = ∑ k ≠ i | a i k |   ,

d i = R i | a i i | ,

r i j = | a i j | | a i i | − ∑ k ≠ i , j | a i k | j ≠ i ,

s i j = | a i j | + ∑ k ≠ i , j | a i k | r k j | a i i | j ≠ i ,

v i j = | a i j | + ∑ k ≠ i , j | a i k | s k j | a i i | j ≠ i ,

v i = max j ≠ i { v j i } ,

m k i = { | a k i | | a k k | − ∑ j = i + 1 , j ≠ k n | a k j | s j i | a k i | ≠ 0 , 0 | a k i | = 0.

m i = { max i + 1 ≤ k ≤ n { m k i } 1 ≤ i ≤ n − 1 , 0 i = n .

定义1 [ 1 ] 设 A = ( a i j ) ∈ R n × n ，若 ∀ i ∈ N ，有 d i ≤ 1 ， J ( A ) = { i ∈ N | d i < 1 } ≠ ϕ ，且 ∀ i ∈ N ， i ∉ J ( A ) ，有 a i i 1 a i 1 i 2 ⋯ a i r i k ≠ 0 ，( i ≠ i 1 , i 1 ≠ i 2 , ⋯ , i r ≠ i k )， 0 ≤ r ≤ k − 1 ， i k ∈ J ( A ) ，则称A为弱链对角占优矩阵。

定义2 [ 1 ] 设 A = ( a i j ) ∈ Z n = { A = ( a i j ) ∈ R n × n | a i j ≤ 0 , i , j ∈ N , i ≠ j } ，若 A − 1 ≥ 0 ，则称A为M-矩阵；若 ∀ i ∈ N ，有 a i i > 0 ，则称A为L-矩阵。弱链对角占优L-矩阵为M-矩阵。

定义3 [ 1 ] 设 A = ( a i j ) ∈ R n × n ，A为弱链对角占优矩阵，若 A = ( a i j ) ∈ Z n ， A − 1 ≥ 0 ，则称A为弱链对角占优矩阵M-矩阵。

引理1 [ 1 ] 设A为n阶弱链对角占优M-矩阵，则 A ( k , n ) ( k = 1 , 2 , ⋯ , n − 1 ) 为弱链对角占优M-矩阵。

引理2 [ 1 ] 若 A = ( a i j ) ∈ R n × n 为弱链对角占优M-矩阵， B = A ( 2 , n ) ∈ R ( n − 1 ) × ( n − 1 ) ， A − 1 = ( α i j ) ， B − 1 = ( β i j ) ，则

α 11 = 1 Δ ,

α i 1 = 1 Δ ∑ k = 2 n β i k ( − a k 1 ) ,

α 1 j = 1 Δ ∑ k = 2 n β k j ( − a 1 k ) ,

α i j = β i j + α 1 j ∑ k = 2 n β i k ( − a k 1 ) ,

Δ = a 11 − ∑ k = 2 n a 1 k ( ∑ k = 2 n β k i a i 1 ) > 0.

引理3 [ 1 ] 若 A = ( a i j ) ∈ R n × n 为弱链对角占优M-矩阵， A − 1 = ( α i j ) ，则 ∀ i , j ∈ N ， i ≠ j ，有

| α i j | ≤ d i | α j j | ≤ | α j j | .

引理4 [ 2 ] 若 A = ( a i j ) ∈ R n × n 为弱链对角占优M-矩阵，且 J ( A ) = { i 1 , i 2 , ⋯ , i k } ，那么存在一个N的置换 { i 1 , i 2 , ⋯ , i n } ，使得对所有的 j ∈ N ，有

g i = | a i j i j | − ∑ l = j + 1 n | a i j i l | > 0.

引理5 若 A = ( a i j ) ∈ R n × n 为弱链对角占优M-矩阵， n ≥ 2 ， A − 1 = ( α i j ) ，满足 u 1 < 1 ，则

α 11 ≤ 1 a 11 ( 1 − m 1 d 1 ) .

证明

因A为M-矩阵，则 A − 1 ≥ 0 ，设 A m = x ，其中 m = ( 1 , m 1 , ⋯ , m 1 ) T ， x = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) T ，因为 0 ≤ m 1 ≤ 1 ， u 1 = ∑ k = 2 n | a 1 k | / | a 11 | < 1 ，则

x 1 = a 11 + ∑ k = 2 n a 1 k m 1 = | a 11 | − ∑ k = 2 n | a 1 k | m 1 ≥ | a 11 | − ∑ k = 2 n | a 1 k | > 0 ,

对 ∀ i ∈ N ， 2 ≤ i ≤ n ，有

∑ k = 2 n a i k = | a i i | − ∑ k ∈ N , k ≠ 1 , i | a i k | ≥ | a i i | − ∑ k ∈ N , k ≠ i | a i k | ≥ 0.

当 a i 1 = 0 时， x i = ∑ k = 2 n a i k m 1 ≥ 0 ；当 a i 1 ≠ 0 时， x i = a i 1 + ∑ k = 2 n a i k m 1 ≥ a i 1 + ( ∑ k = 2 n a i k ) m i 1 = 0 ，即

x 1 > 0 , x i ≥ 0 ( i = 2 , ⋯ , n ) .

再由 A − 1 x = m ， A − 1 ≥ 0 ，有

α 11 ≤ 1 x 1 = 1 a 11 + m 1 ∑ k = 2 n a 1 k = 1 a 11 ( 1 − m 1 d 1 ) .

引理6 设 A = ( a i j ) ∈ R n × n 为弱链对角占优M-矩阵，且 A − 1 = ( α i j ) ，对 ∀ i , j ∈ N ， i ≠ j ，有

| α i j | ≤ | a i j | + ∑ k ≠ i , j | a i k | s k j | a i i | | α j j | ≤ v j | α j j | ≤ | α j j | .

证明

根据引理3，设

s j i ( ε , 1 ) = { | a i j | + ∑ k ≠ i , j | a i k | r k j + ε | a i i | i ∈ J ( A ) , 1 i ∈ N , i ∉ J ( A ) .

其中 ε > 0 足够小，使得 0 < s j i ( ε , 1 ) ≤ 1 ( i , j ∈ N , i ≠ j ) 。

设

S j ( ε , 1 ) = d i a g ( s j 1 ( ε , 1 ) , ⋯ , s j j − 1 ( ε , 1 ) , 1 , s j j + 1 ( ε , 1 ) , ⋯ , s j n ( ε , 1 ) ) , j ∈ N .

显然，当 S j ( ε , 1 ) = d i a g ( 1 , 1 , ⋯ , 1 ) = I 时， A S j ( ε , 1 ) 是弱链对角占优矩阵，且当 S j ( ε , 1 ) ≠ I 时， A S j ( ε , 1 ) 是严格对角占优矩阵，所以， A S j ( ε , 1 ) 一定是一个弱链对角占优矩阵，从而

| α i j | s j i ( ε , 1 ) ≤ | a i j | + ∑ k ≠ i , j | a i k | s k j ( ε , 1 ) | a i i | s j i ( ε , 1 ) | α j j | , i ≠ j

也就是

| α i j | ≤ | a i j | + ∑ k ≠ i , j | a i k | s k j ( ε , 1 ) | a i i | | α j j | , i ≠ j

当 ε → 0 时，得

| α i j | ≤ | a i j | + ∑ k ≠ i , j | a i k | s k j | a i i | | α j j | ≤ v j | α j j | ≤ | α j j | , i ≠ j .

1974年，P N Shivakumar在文献 [ 1 ] 中给出弱链对角占优M-矩阵A的 ‖ A − 1 ‖ ∞ 的上界：

‖ A − 1 ‖ ∞ ≤ ∑ i = 1 n [ a i i ∏ j = 1 i − 1 ( 1 − u j ) ] − 1 . (1)

2012年，潘淑珍在文献 [ 3 ] 中给出优于文献 [ 1 ] 的弱链对角占优M-矩阵A的 ‖ A − 1 ‖ ∞ 的上界估计式：

‖ A − 1 ‖ ∞ ≤ 1 | a 11 | ( 1 − u 1 t 1 ) + ∑ i = 2 n [ 1 | a i i | ( 1 − u i t i ) ∏ j = 1 i − 1 ( 1 + u j 1 − u j t j ) ]     . (2)

其中

t i = { max i + 1 ≤ k ≤ n { t k i } 1 ≤ i ≤ n − 1 , 0 i = n . 0 ≤ t i ≤ 1 , ∀ i ∈ N

t k i = { | a k i | | a k k | − ∑ j = i + 1 , j ≠ k n | a k j | | a k i | ≠ 0 , 0 | a k i | = 0. ∀ k ∈ N , i + 1 ≤ k ≤ n , 1 ≤ i ≤ ( n − 1 )

本文继续给出弱链对角占优M-矩阵A的 ‖ A − 1 ‖ ∞ 的新上界估计式。

例1设

A = ( 4 − 1 − 1 − 2 5 − 3 − 1 − 2 4 ) .

J = { 1 , 3 } ，易得到A为弱链对角占优M-矩阵， ‖ A − 1 ‖ ∞ = 1.100 。

应用(1)式得

‖ A − 1 ‖ ∞ ≤ 2.7500 ;

应用(2)式得

‖ A − 1 ‖ ∞ ≤ 1.500 ;

应用定理2得

‖ A − 1 ‖ ∞ ≤ 1.1503.

例2 设

A = ( 4 − 2 − 1 − 1 3 − 2 − 1 0 2 ) .

易得到A为弱链对角占优M-矩阵， ‖ A − 1 ‖ ∞ = 1.54 。

应用(1)式得

‖ A − 1 ‖ ∞ ≤ 11 ;

应用(2)式得

‖ A − 1 ‖ ∞ ≤ 5.6667 ;

应用定理2得

‖ A − 1 ‖ ∞ ≤ 1.996.

理论证明本文所得弱链对角占优M-矩阵逆矩阵无穷范数的新上界估计式优于文献 [ 1 ] [ 3 ] 中的结果，数值算例亦说明了本文所得新上界估计式的有效性和可行性。

感谢莫宏敏老师对本篇论文的悉心指导和帮助。

吉首大学研究生科研项目(JDY21012)。

李慧君,莫宏敏. 弱链对角占优M-矩阵逆的无穷范数新上界估计New Upper Bound Estimates of the Infinite Norm for the Inverse of Weakly Chain Diagonally Dominant M-Matrices[J]. 应用数学进展, 2022, 11(07): 4683-4689. https://doi.org/10.12677/AAM.2022.117494