任务调度的目标是将各个任务合理分配到处理器内核中，使得任务执行完成所需的时间最小。对于多核系统的静态任务调度问题而言，各任务的执行时间，任务之间的通讯消耗以及任务的依赖关系是固定不变的，因此，针对此类问题可以采用有向无环图(Directed Acyclic Graph, DAG)进行建模，如图1所示。

同构多核系统下的任务在DAG图中可以采用式(1)的表达方式：

G = ( V , E , W , C ) (1)

图1. 一种实际程序映射而来的DAG图

其中，V表示图中所有任务的集合， V = { v 1 , v 2 , ⋯ , v n } ， v i 代表其中一个任务；E指的是任务所有边的集合， e ( i , j ) ∈ E 表示任务i与任务j之间存在数据通讯关系，即任务i是任务j的前驱，任务j是任务i的后继；W代表的是任务的权重集合，即每个任务在各个处理器上的执行的时间，对于同构多核系统来说，各任务在不同处理器上的执行时间相同，即 W ( v i , p k ) = W ( v i , p t ) ；C表示任务之间通讯时间的集合，若两个任务在同一个处理器上则 c ( i , j ) = 0 ，否则 c ( i , j ) ≠ 0 。

在任务的调度过程中，需要对调度的任务进行条件约束，模拟任务在多核处理器上的执行过程，获得真实有效的调度结果，所以在任务调度的过程中，任务需要满足以下约束条件：

1) 若两任务被分配到同一内核中，在同一时间只能执行其中的一个任务；

2) 若两个任务之间存在数据通信，只有前驱任务执行结束且两任务之间完成数据通信后，后继任务才开始执行；

3) 任务的执行过程不可中断，只有当一个任务执行结束，才可以开始执行下一个任务。

遗传算法遵循的是“优胜劣汰，适者生存”的主要思想，这一思想主要表现在个体的选择上，个体的适应值越高被选择的机率就越大，其余个体被选择的机会就会大大降低，为了提高其它个体被选择的机率，在传统遗传算法的基础上同时选择多组个体进行变异，增加个体被选择的机率，提高解空间的搜索范围及搜索效率。基于此思想，本文在传统遗传算法的基础上进行改进，采用多组竞争的算法GCGA结构。在选择个体时同时从父代个体中选择两组个体进行遗传操作，并采用两组不同的遗传方式。在进化的初始阶段，个体的优劣有一定的差异，此时可以根据不同的遗传方式使得个体解朝最优解方向前进。若个体的适应值较大，说明该个体的调度解较为优秀，此时可以采用破环性较小的基于单点交换的交叉算子SPC (Single Point Cross)和基于两点基因随机交换的变异算子EM (Exchange Mutation)，在父代个体的较小范围内进行细致的搜索，继承父代个体的优良基因的同时有更好的发展；若个体的适应值较小，说明该个体的调度解比较差，没有进入最优解的区域范围内，此时可以采用适合大范围搜索空间的基于随机概率的均匀交叉算子UC (Uniform Cross)和基于位置倒换的变异算子RM (Reverse Mutation)，对父代基因的破坏能力更大，从而提高获得优秀个体的机率。在种群进化的后期阶段，采用不同遗传算子的方法同样适用。在遗传后期，个体的适应值趋向于收敛，若只在较小范围内搜索，个体的基因变异的可能较小，获得调度解趋向于局部最优解，若同时增大个体的搜索范围，使用具有更大破坏性的遗传算子，从多个方向进行搜索，更容易获得全局最优解。算法主要实现流程如图2所示。

图2. GCGA算法框架图

不同交叉概率与变异概率的设置能够影响算法的整体性能。对于交叉率Pc而言，如果数值过大，在遗传模式下具有高适应值的个体结构可能会遭到破坏，若取值过小会导致整个搜索过程缓慢，难以搜索到最优解。而变异率Pm的取值也应该选取适当，如果取值太大，那么遗传算法就会变成完全随机的搜索类算法，如果太小，个体进行变异的概率就会降低不易产生新的个体，无法获得更佳个体。所以需要根据种群中个体适应值的改变自适应的选择交叉与变异的概率。传统的遗传算法中采用的都是固定的交叉与变异的概率值，无法根据种群中个体的进化自适应地做出改变，对算法性能的提升效果不明显。针对这类问题，可以采用自适应的交叉与变异概率，其计算方式如式(2)和式(3)所示。

P c = { K 1 ∗ f max − f ( i ) f max other K 2 P ( i , j ) ≥ 0.7 K 3 P ( i , j ) ≤ 0.3 (2)

P m = { K 4 * f max − f ( i ) f max other K 5 P ( i , j ) ≥ 0.7 K 6 P ( i , j ) ≤ 0.3 (3)

式中P_c和P_m分别代表交叉概率与变异概率，f_max为当前种群中最大的适应值，K₁~K₆是一个0到1之间的常数，其中K₂> K₃，K₅> K₆，这是因为当个体与最大适应值个体得相似率较大时，此时个体的质量可能较差，需要通过遗传运算获取更为优秀的子代。P(i, j)表示的是所选个体与最大适应值个体的相似率。相似率指的是两个体中基因重复的次数与任务数的比值，计算方式如式(4)所示。依次比较两个体中相同基因位置上的值，相同取值为1，不同取值为0，所有基因位置对应相同值得次数记为 △ i j ( k ) 。

P ( i , j ) = ∑ k = 1 n △ i j ( k ) N T (4)

△ i j ( k ) = { 0 , i ( k ) ≠ j ( k ) 1 , i ( k ) = j ( k ) (5)

GCGA算法意在提高解空间的搜索范围，获取更多的任务拓扑序列，使得任务调度的最终执行时间最短。在个体的进化过程中会获得很多的任务列表，但是这些任务列表存在相似情况，若种群中多个个体的相似度过高，产生的子代个体相似度也会过高，不利于种群的个体多样性，减少了解空间的搜索范围。基于这一目标，GCGA算法从提高种群中个体的多样性出发，提出了个体相似性判断机制。对生成的子代个体与种群的个体进行相似度判断，相似度的计算公式如(4)和(5)所示，当P(i, j) = 1时说明个体与种群的个体重复，不允许将此个体写入新种群，重新选择个体进化生成新的符合要求的个体，以便改善个体的质量，提高搜索效率。

GCGA算法是一种分组竞争，择优选取的遗传算法，所以在个体的进化过程中采用不同的交叉与变异算子，实现不同方向的解空间的搜索。

基于随机概率的均匀交叉算子UC通过概率计算对选中的个体进行大范围的搜索，且保持良好的信息交换。首先随机生成一个个体的交换概率ps，然后再对个体中的每一个基因生成对应的概率p，对满足p > ps条件的基因进行对应位置基因交换。基于单点交换的交叉算子SPC是对某单一位置上的基因进行交叉，具有更小的破环原个体的能力，对解空间的搜索更细致。该算子通过随机选择个体的某一基因位置，将此基因位置之后的所有基因进行交换。

基于位置倒换的变异算子RM是在个体基因的长度范围内，随机选择连续位置上的部分基因，并随机打乱这些位置上的基因。基于随机交换的变异算子EM是在个体基因的长度范围内，随机选择两个位置上的基因，并将两个位置上的基因进行交换形成新的个体，此变异方法产生的新个体很好的继承了旧个体的大部分基因，加速了向最优解方向前进的速度。

根据Kun [ 14 ] 工作中生成随机任务图的流程，本实验选取任务图中任务节点的总数(NT)、随机任务DAG的最大层级数(LEVEL)和通讯计算比(CCR)、处理单元的总数(NP)作为对比随机任务图时的控制参数。其中，NT的取值为25，50，75，100 (默认值50)；LEVEL的取值是3，5，7，9 (默认值5)；NP的取值为2，3，4，5；CCR的取值是0.1，1.0，5.0，10.0 (默认值1.0)。通过控制变量法，每组包括100张任务图，总计生成6400张任务图。

图3. 随机任务图实验结果

由图3(a)~(d)的实验结果可知，在各种参数的设置范围内，无论参数NT，LEVEL，CCR和NP如何变化，GCGA算法都能取到一个很好的调度效果，平均加速比为25.84%。图3(a)与图3(b)所示，当NT = 30和LEVEL = 5时，算法的加速效果最好，而图3(c)与图3(d)所示，ACC的数值与通信比CCR和处理器的个数NP成正相关，CCR和NP的数值越大，调度效果越明显，且当CCR = 10时，任务的加速比达到了91.56%，说明GCGA算法在通讯权值较大的情况下调度结果出现质的飞跃。因此，与IGA算法相比，GCGA算法更适合处理通讯占比更大，任务数不多且层级数较少的任务图。

此实验是为了验证GCGA算法相比于IGA算法在处理实际应用任务图的加速效果，实验采用常见的两种任务 [ 15 ]：快速傅里叶变换(FFT)和高斯消元(Gauss)和具有相同任务数的随机任务图作为对比对象，实际任务图如图4(a)、图4(b)所示。

图4. 实际任务的DAG图

图5. 实际任务图实验结果

实验选取了CCR和NP作为控制参数，其对应的取值范围分别是0.1，1.0，5.0，10.0 (默认1.0)和2，3，4，5 (默认为4)。不同参数下的加速效果如图5(a)、图5(b)所示，从图中可以看出，在不同的参数取值下GCGA算法的调度结果均优于IGA算法。其中，CCR对算法的影响更明显，任务间的通讯消耗越大，算法的加速比越大，调度效果更好。对于Gauss任务图来说，NP的值与ACC成负相关，NP值越大，GCGA算法对Gauss的调度效果相对减小。对FFT任务图和Random任务图来说，不同的NP取值下都能取得较好的调度效果。