三元组 ( U , I , F ) 称为用户–项目评分信息系统 [ 12 ]，其中 U = { u 1 , u 2 , ⋯ , u n } 是所有用户的集合， I = { t 1 , t 2 , ⋯ , t m } 是所有项目的集合， F = { f : U × I → V } 是 U × I 上信息函数构成的集合，则对任意的 u k ∈ U ， t j ∈ I ， r k j = f ( u k , t j ) ∈ V 表示用户 u k 对项目 t j 的评分值， V = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } 为评分值域。 r k j = 0 表示用户 u k 未给项目评分， r k j ≠ 0 表示用户 u k 给项目评过分。表1给出了用户–项目评分信息系统。

表1. 用户–项目评分信息系统(U, I, F)

如表1所示， r 12 = f ( u 1 , t 2 ) = 3 表示用户 u 1 对项目 t 2 的评分为3分， r 21 = f ( u 2 , t 1 ) = 0 表示用户 u 2 对项目 t 1 未评分。若判断是否为用户 u 2 推荐项目 t 1 ，文献 [ 1 ] 提出了基于项目的推荐系统，其核心思想是，对于未评分项目，通过计算用户对未评分项目与用户对评分项目的相似度，进而引入用户对未评分项目的兴趣度，决定是否给用户推荐该项目。

对任意两个项目 t i 与 t j ，相似度 [ 1 ] 定义为：

s i j = | N ( t i ) ∩ N ( t j ) | | N ( t i ) | | N ( t j ) | , (1)

其中， N ( t i ) = { u k ∈ U | r k i > 0 } 表示给项目 t i 评分的用户集合， | N ( t i ) | 表示集合 N ( t i ) 的基数。

用户 u k 对项目 t j 的兴趣度 [ 1 ] 为：

q k j = ∑ i ∈ P ( u k ) ∩ V ( t i , n ) s i j r k i , (2)

P ( u k ) = { t i ∈ I | r k i > 0 } 是用户 u k 评价的项目集合， V ( t i , n ) 表示和项目 t i 最相似的n个近邻项目的集合。

算法1：基于项目的推荐系统算法如下 [ 14 ]：

输入：用户–项目评分信息系统 ( U , I , F )

输出：为用户 u k 推荐的项目

步骤1：根据公式(1)，计算两个项目 t i 和 t j 的相似度 s i j ，将最相似的n个项目提出;

步骤2：根据公式(2)，计算用户 u k 对推荐项目 t j 的兴趣度 q k j ；

步骤3：将兴趣度从大到小排列，依次将项目推荐给用户 u k 。

定义1 [ 15 ] [ 16 ] 设论域U表示非空有限对象构成的集合， R ⊆ U × U 是定义在U上的等价关系。记 a p r = ( U , R ) 为Pawlak近似空间。对任意 x ∈ U ，记 [ x ] R = { y ∈ U | ( x , y ) ∈ R } 为x关于等价关系R的等价类。对 X ⊆ U ， α , β ∈ ( 0 , 1 ) 且 0 ≤ β < α ≤ 1 ，X的 ( α , β ) -下、上近似集分别定义为：

a p r _ ( α , β ) ( X ) = { x ∈ U | P ( X | [ x ] R ) ≥ α } , a p r ¯ ( α , β ) ( X ) = { x ∈ U | P ( X | [ x ] R ) > β } , (3)

其中， P ( X | [ x ] R ) = | X ∩ [ x ] R | | [ x ] R | 为条件概率。 ( α , β ) -下、上近似集将论域分为三个部分 [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]：

P O S ( α , β ) ( X ) = { x ∈ U | P ( X | [ x ] R ) ≥ α } , B N D ( α , β ) ( X ) = { x ∈ U | β < P ( X | [ x ] R ) < α } , N E G ( α , β ) ( X ) = { x ∈ U | P ( X | [ x ] R ) ≤ β } . (4)

文献 [ 19 ] 提出了利用损失函数构造决策总风险最小时的三支决策规则，从而得到阈值 α 和 β 。

设 Ω = { ω 1 , ⋯ , ω s } 表示s个状态构成的集合， A = { a 1 , ⋯ , a m } 表示m个行为构成的集合， λ ( a i | ω j ) 表示状态为 ω j 时采取行为 a i 的损失， P ( ω j | x ) 表示对象x在状态 ω j 下的条件概率。则采取行为 a i 的期望损失为 [ 19 ]：

R ( a i | x ) = ∑ j = 1 s λ ( a i | ω j ) P ( ω j | x ) . (5)

在三支决策理论中 [ 21 ]， Ω = { X , X c } 表示状态集合(属于X和不属于X)， A = { a P , a N , a B } 表示行为集合，即对于不同状态，采取接受，延迟和拒绝三种行为策略。由于采取不同行为会产生不同损失，分别用 λ P P 、 λ B P 、 λ N P 表示当对象x处于状态X ( x ∈ X )时，采取行为 a P 、 a B 、 a N 的损失；分别用 λ P N 、 λ B N 、 λ N N 表示当对象x处于状态 X c ( x ∉ X )时，采取行为 a P 、 a B 、 a N 的损失。表2给出了对应的损失矩阵：

表2. 损失矩阵

于是采取 a P 、 a B 、 a N 三种行为对应的期望损失分别为：

R ( a P | [ x ] R ) = λ P P P ( X | [ x ] R ) + λ P N P ( X c | [ x ] R ) , R ( a B | [ x ] R ) = λ B P P ( X | [ x ] R ) + λ B N P ( X c | [ x ] R ) , R ( a N | [ x ] R ) = λ N P P ( X | [ x ] R ) + λ N N P ( X c | [ x ] R ) . (6)

根据最小风险决策规则，需选择损失最小的行为集作为最佳行动方案，可得如下决策规则：

(P)：若 R ( a P | [ x ] R ) ≤ R ( a B | [ x ] R ) 和 R ( a P | [ x ] R ) ≤ R ( a N | [ x ] R ) ，则 x ∈ P O S ( X ) ，

(B)：若 R ( a B | [ x ] R ) ≤ R ( a P | [ x ] R ) 和 R ( a B | [ x ] R ) ≤ R ( a N | [ x ] R ) ，则 x ∈ B N D ( X ) ，

(N)：若 R ( a N | [ x ] R ) ≤ R ( a P | [ x ] R ) 和 R ( a N | [ x ] R ) ≤ R ( a B | [ x ] R ) ，则 x ∈ N E G ( X ) 。

由于 P ( X | [ x ] R ) + P ( X c | [ x ] R ) = 1 ，上述规则只与概率 P ( X | [ x ] R ) 和损失函数 λ i j ( i , j = P , B , N ) 有关。此外，考虑到接受正确事物的损失不大于延迟接受正确事物的损失，且这两者都小于拒绝正确事物的损失；拒绝错误事物的损失不大于延迟拒绝错误事物的损失，且这两者都小于接受错误事物的损失，因此，损失函数的大小关系满足 [ 18 ]：

λ P P ≤ λ B P < λ N P , λ N N ≤ λ B N < λ P N . (7)

故上述决策规划可化简为以下决策规则：

(P)：若 P ( X | [ x ] R ) ≥ α 和 P ( X | [ x ] R ) ≥ γ ，则 x ∈ P O S ( X ) ；

(B)：若 P ( X | [ x ] R ) ≤ α 和 P ( X | [ x ] R ) ≥ β ，则 x ∈ B N D ( X ) ；

(N)：若 P ( X | [ x ] R ) ≤ β 和 P ( X | [ x ] R ) ≤ γ ，则 x ∈ N E G ( X ) ，

其中：

α = λ P N − λ B N ( λ P N − λ B N ) + ( λ B P − λ P P ) , β = λ B N − λ N N ( λ B N − λ N N ) + ( λ N P − λ B P ) , γ = λ P N − λ N N ( λ P N − λ N N ) + ( λ N P − λ P P ) . (8)

由决策规则(B)可知 β < α ，进而可得：

λ B P − λ P P λ P N − λ B N < λ N P − λ B P λ B N − λ N N . (9)

由公式(7)和公式(8)即得 0 ≤ β < γ < α ≤ 1 .于是决策规则(P) (B) (N)可进一步简化为：

(P1)：若 P ( X | [ x ] R ) ≥ α ，则 x ∈ P O S ( X ) ；

(B1)：若 β < P ( X | [ x ] R ) < α ，则 x ∈ B N D ( X ) ；

(N1)：若 P ( X | [ x ] R ) ≤ β ，则 x ∈ N E G ( X ) 。

实验数据采用http://www.grouplens.org网站提供的公开MovieLens数据集(用户对电影评分数据集)。评分是1~5的离散值，由6040名用户，3706部电影和约100万条评分组成，本文随机选取87.5%的数据进行训练，其余的数据进行测试，本文在采集数据后，将评分量过少，且不具有意义的数据进行数据清洗 [ 22 ]，得到表6所示数据。

表6. 数据集

本文在训练集中计算误推荐损失，比较基于项目的三支决策推荐系统与基于项目的二支决策推荐系统的损失。当 r k j ≥ r ¯ k 时，表明用户 u k 喜欢项目 t j ，故项目 t j 应该被推荐；当 r k j < r ¯ k 时，表明用户 u k 不喜欢项目 t j ，故项目 t j 应该不被推荐，其中， r ¯ k 为用户 u k 对项目的喜好阈值：

r ¯ k = ∑ j = 1 n r k j | P ( u k ) | , (14)

其中 P ( u k ) = { t j ∈ I : r k j > 0 } 表示用户 u k 评过分的项目集合。

对于三支决策的三种决策：推荐、不推荐和延迟推荐，其所产生的误推荐损失分为四类 [ 23 ]：推荐 → 不推荐( a P → a N )、推荐 → 延迟推荐( a P → a B )、不推荐 → 推荐( a N → a P )、不推荐 → 延迟推荐( a N → a B )。也即，若 r k j ≥ r ¯ k 时，则项目 t j 应该被推荐给用户 u k ，却做出对项目 t j 不推荐的决策，从而造成损失，记为 a P → a N 。用 n a P → a N 表示将推荐项目归类为不推荐项目的误推荐项目的数量。故根据三支决策推荐系统的损失矩阵可得其误推荐损失为：

E 3 = λ N P n a P → a N + λ B P n a P → a B + λ P N n a N → a P + λ B N n a N → a B . (15)

特别的，对于二支决策，其误推荐损失仅含两类：推荐 → 不推荐( a P → a N )，不推荐 → 推荐( a N → a P )。根据二支决策推荐系统的损失矩阵可得其误推荐损失为：

E 2 = λ N P n a P → a N + λ P N n a N → a P . (16)

实验采用覆盖率(COVERAGE)、准确率(PRECISION)、召回率(RECALL)和F1值4个评价指标来比较系统的推荐性能。

1) 覆盖率(COVERAGE)计算能够预测项目占所有待测项目的比率，从而评价预测的全面性。COVERAGE越大，预测质量越高。假设有推荐结果的项目为h个，则COVERAGE的计算公式为 [ 1 ]：

COVERAGE = h n . (17)

2) 准确率(PRECISION)，它表示用户对一个被推荐项目感兴趣的可能性；召回率(RECALL)表示一个用户喜欢的项目被推荐的概率，F1值表示得分值，准确率，召回率，F1值计算公式如表7所示：

表7. 准确率、召回率和F1值

其中相关指标说明如下表8所示：

表8. 相关指标说明