ARIMA模型的基本思路是首先对原始数据进行平稳性和纯随机性检验，若序列不平稳先差分，后检验差分序列是否为白噪声，若为平稳非白噪声序列则拟合模型，然后对模型进行检验并展开预测。杨颖梅(2015)以北京市1998年1月至2013年5月的CPI月度数据为训练集，建立自回归单整移动平均模型ARIMA(12, 1, 8)，成功预测未来北京市7期的CPI月度数据 [ 1 ]。孙晓丹(2021)同样建立ARIMA(13, 0, 0)模型对我国CPI月度数据进行分析并预测2021年我国通货膨胀情况，研究结果表明CPI指数具有较长的滞后期，当经济复苏后，CPI指数持续回升使得通货膨胀水平稳定增长 [ 2 ]。

部分学者采用马尔科夫链模型对CPI进行预测。关李娜(2021)将河北省CPI数据依据CPI与通货膨胀的关系划分为四个区间，分别为通货紧缩、正常、通货膨胀、严重通货膨胀，并以此建立马尔科夫链模型预测河北省2020和2021年的通货膨胀都为正常水平 [ 3 ]。赵雪妍(2021)利用马尔科夫模型对陕西省1998~2019年CPI数据进行分析，建立的预测模型通过了Markov检验并表明预测结果的误差控制在合理范围内，实验结果显示陕西省2021年CPI增速将保持稳定，可能在[0%, 1%)之间 [ 4 ]。

张徐荣和袁之焕(2018)采用灰色预测模型(1, 1)对我国2011~2015年的CPI变动趋势进行预测，结果显示灰色预测相对误差小，模拟精度高 [ 5 ]。张洋洋等(2020)基于5个月的数据将改进的GM(1, 1)模型用于山东省的CPI预测中，预测精度为I级 [ 6 ]。

综上所述，灰色预测模型操作简单，不需要很多的样本数据就能得到精度较高的预测模型，特别是对具有短期相关性的数据效果更好。但是马尔科夫链模型的应用需要满足以下三个条件，系统状态转移概率矩阵不变；预测期内系统状态总数不变；状态转移只与时间间隔有关，只有通过检验的数据才能应用马尔科夫链模型。大部分模型基于年度历史数据对CPI进行预测，本文采用云南省月度CPI历史数据，且ARIMA模型结构简单，并不需要其他外生变量就能对CPI做出较好的拟合。因此，本文采用季节性ARIMA模型对云南省的月度消费价格指数建立模型并作出预测。

在实践中，有些时间序列除了表现出普通的非平稳性以外，在周期上也表现出季节性非平稳性，可以对非季节性部分建立普通的 ARMA ( p , d , q ) ，而对季节性部分建立 ARMA ( P , D , Q ) ，更为一般的模型如下：

ϕ ( L ) ϕ s ( L s ) ( L s ) ( 1 − L ) d ( 1 − L s ) D X t = Θ ( L ) Θ s ( L s ) ε t

这就是所谓的 ARIMA ( p , d , q ) ( P , D , Q ) s 模型，其中有

ϕ s ( L s ) = 1 − φ 1 L s − φ 2 L 2 s − ⋯ − φ p L P s

Θ s ( L s ) = 1 + ϑ 1 L s + ϑ 2 L 2 s + ⋯ + ϑ Q L Q s

分别对应季节性的AR(P)和MA(Q)部分。

ϕ ( L ) = 1 − φ 1 L − φ 2 L 2 − ⋯ − φ p L p

Θ ( L ) = 1 + ϑ 1 L + ϑ 2 L 2 + ⋯ + ϑ Q L q

分别对应非季节性的ar(p)和ma(q)。

对序列的平稳性检验一般有两种方法，一是根据图像直接作出判断，但是该方法容易主观臆测；二是通过构造统计量进行假设检验，常用ADF检验。ADF检验原理如下：

对任一AR(p)过程，有

x t = ϕ 1 x t − 1 + ⋯ + ϕ p x t − p + ε t

等价变换为：

x t − x t − 1 = ϕ 1 x t − 1 + ⋯ + ϕ p x t − p + ε t

整理上式为：

∇ x t = ( ϕ 1 + ⋯ + ϕ p − 1 ) x t − 1 − ( ϕ 2 + ⋯ + ϕ p ) ∇ x t − 1 − ⋯ − ϕ p − 1 ∇ x t − p + 1 + ε t

简记为：

∇ x t = ρ x t − 1 + β 1 ∇ x t − 1 + ⋯ + β p − 1 ∇ x t − p + 1 + ε t

其中：

ρ = ϕ 1 + ϕ 2 + ⋯ + ϕ p − 1

β j = − ϕ j + 1 − ϕ j + 2 − ⋯ − ϕ p ,   j = 1 , 2 , ⋯ , p − 1

若序列 { x t } 平稳，则

ϕ 1 + ϕ 2 + ⋯ + ϕ p < 1

等价于 ρ < 0 。

若序列非平稳，则至少存在一个单位根，有

ϕ 1 + ϕ 2 + ⋯ + ϕ p = 1

等价于 ρ = 0 。在AR(p)过程单位根检验的假设条件可以确定为：

H 0 : ρ = 0

H 1 : ρ < 0

构造ADF检验量：

τ = ρ ^ / s ( ρ ^ )

其中 s ( ρ ^ ) 为参数 ρ 的样本标准差。

模型的显著性检验一般通过对序列残差进行白噪声检验 [ 7 ]。

原假设：

H 0 : ρ 1 = ρ 2 = ⋯ = ρ p = 0 ,     ∀ m > 1

备择假设：

H 1 : 至 少 存 在 某 个     ρ k ≠ 0 ,     k < m

LB统计量由Ljung和Box证明出其近似服从自由度为m的卡方分布，数学表达式为：

LB = n ( n + 2 ) ∑ k = 0 m ( ρ ^ k 2 / n − k ) ~ X 2 ( m )

其中，m为延迟期数，n为观测期数。若LB统计量小于显著性水平，认为原序列为非白噪序列，数据具有可提取的信息，可以继续拟合模型。

首先对原始时间序列进行ADF检验，检验结果见表1。在5%显著性水平下，无漂移项无趋势项模型、有漂移项无趋势项模型、有漂移项有趋势项模型均没有通过ADF检验，因此认为原始时间序列是不平稳的。

表1. 原始序列ADF检验

将原始CPI月度数据进行一阶差分，差分之后时序图见图2。

一阶差分后的自相关图和偏自相关图见图3，都呈现出1、12阶显著，且图像近似三角函数，表明一阶差分后的序列具有季节效应。故对1阶差分后的序列再进行12步差分，然后对1阶12步差分的序列进行单位根检验，单位根检验结果如表2所示。在5%显著性水平下，三种模型的P值均小于或等于0.01，表明1阶12步差分后的云南省月度CPI数据已经实现了平稳。

图2. 一阶差分后时序图

图3. 一阶差分后的ACF、PACF图

表2. CPI的1阶12步差分后的ADF检验

数据具有平稳性质之后再通过“Ljung-Box”进行纯随机性检验，以判断平稳时间序列是否为白噪声。检验结果见表3所示。

表3. 纯随机性检验

根据表3的纯随机性检验结果，延迟6阶和12阶的LB统计量P值均未超过显著性水平0.05，表明1阶12步差分后的云南省月度CPI数据是平稳非白噪声序列，可以用ARIMA建立模型。