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Pure Mathematics

2160-7583

Scientific Research Publishing

10.12677/PM.2021.1112235

PM-47464

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数学与物理

模糊线性系统中关联矩阵的DMP逆和BT逆的分块表示 A Block Representation Involving the DMP Inverse and BT Inverse of the Associated Matrix in Fuzzy Linear System

李

静

¹ ²

null

上海理工大学理学院，上海

09 12 2021

11 12 2105 2110

2014

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

模糊线性系统(FLS)是指系数矩阵A是一个实矩阵，右端向量是一个给定的模糊数向量的线性系统。为了便于求解模糊线性系统，可以利用嵌入方法将转换为2n×2n清晰线性系统SX=Y。基于已有的模糊线性系统理论，研究了模糊线性系统中关联矩阵S的DMP逆与BT逆的分块表示。
A linear system , where the coefficient matrix A is a real matrix, the right-hand side vector given fuzzy number vector is called a fuzzy linear system (FLS). In order to solve fuzzy linear system, n × n fuzzy linear system can be transformed into the 2n × 2n crisp linear system by the embedded method. Based on the existing theories about the fuzzy linear system, a block representation involving the DMP inverse and BT inverse of the associated matrix S was investigated and studied.

模糊线性系统，DMP逆，BT逆, Fuzzy Linear System DMP Inverse BT Inverse

摘要

模糊线性系统(FLS)是指系数矩阵A是一个实矩阵，右端向量 Y ˜ 是一个给定的模糊数向量的线性系统 A X ˜ = Y ˜ 。为了便于求解模糊线性系统，可以利用嵌入方法将 A X ˜ = Y ˜ 转换为2n × 2n清晰线性系统 S X = Y 。基于已有的模糊线性系统理论，研究了模糊线性系统中关联矩阵S的DMP逆与BT逆的分块表示。

关键词

模糊线性系统，DMP逆，BT逆

A Block Representation Involving the DMP Inverse and BT Inverse of the Associated Matrix in Fuzzy Linear System<sup> </sup>

Jing Li

College of Science, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai

Received: Nov. 15^th, 2021; accepted: Dec. 17^th, 2021; published: Dec. 27^th, 2021

ABSTRACT

A linear system A X ˜ = Y ˜ , where the coefficient matrix A is a real matrix, the right-hand side vector Y ˜ given fuzzy number vector is called a fuzzy linear system (FLS). In order to solve fuzzy linear system, n × n fuzzy linear system can be transformed into the 2n × 2n crisp linear system by the embedded method. Based on the existing theories about the fuzzy linear system, a block representation involving the DMP inverse and BT inverse of the associated matrix S was investigated and studied.

Keywords:Fuzzy Linear System, DMP Inverse, BT Inverse

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

模糊线性系统最早由Friedman [ 1 ] 等人在1998年提出，后来模糊线性系统的求解问题备受关注，很多学者加入到模糊线性系统的求解问题中。随着广义逆的发展，继而出现了利用Moore-Penrose逆、Group逆、Drazin逆、core逆等广义逆求解模糊线性系统的方案。

2015年Nikuie M和Ahmad M Z在 [ 2 ] 中提出了利用加权Drazin逆求解奇异模糊线性系统的方法。在2018年，Mihailovic B等人在 [ 3 ] 中首次将广义逆矩阵的分块表示和模糊线性系统相结合，运用了Moore-Penrose逆的分块表示对模糊线性系统进行求解，继而在 [ 4 ] 中给出了利用Group逆的分块表示求解模糊线性系统的算法，这为模糊线性系统的求解问题提供了一个全新的思路。2020年，Jiang H等人在 [ 5 ] 中将模糊线性系统的求解进一步推广到利用core逆的分块表示进行求解。是否可以研究关联矩阵的其他广义逆，这值得我们思考。

2010年Baksalary O M和Trenkler G在 [ 6 ] 中给出core逆的概念。而core逆只存在指标为1的方阵中，针对于这一局限性，2014年Baksalary O M和Trenkler G在 [ 7 ] 中提出了广义core逆(简记为BT逆)，同年Malik S B和Thome N在 [ 8 ] 中给出了DMP逆的定义。作为core逆的一种拓展，DMP逆和BT逆存在于任意指标k的方阵中。因此受 [ 5 ] 的启发，是否可以利用DMP逆和BT逆的分块表示求解模糊线性系统，这一问题十分值得思考和探究。

2. 已有结论及相关准备 2.1. 模糊线性系统

定义1.1 [ 1 ] 对于一个有序数对： z ˜ = ( z _ ( r ) , z ¯ ( r ) ) ， r ∈ [ 0 , 1 ] ，若满足下面三个条件：

1) z _ ( r ) 在 [ 0 , 1 ] 上是一个有界左连续不降，

2) z ¯ ( r ) 在 [ 0 , 1 ] 上是一个有界左连续不增，

3) z _ ( r ) < z ¯ ( r ) ， r ∈ [ 0 , 1 ] ，

则称 z ˜ 为一模糊数。

定义1.2 [ 1 ] 对于 n × n 的模糊矩阵方程 A X ˜ ( r ) = Y ˜ ( r ) ：

[ a 11 a 12 a 21 a 22 ⋯ a 1 n ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋱ ⋮ ⋯ a n n ] [ x ˜ 1 ( r ) x ˜ 2 ( r ) ⋮ x ˜ n ( r ) ] = [ y ˜ 1 ( r ) y ˜ 2 ( r ) ⋮ y ˜ n ( r ) ] ，

此处 A = ( a i j ) 为一实数矩阵， x ˜ i ( r ) 和 y ˜ i ( r ) 均为模糊数， i , j ∈ [ 0 , 1 ] ，称为模糊线性系统(FLS)。

定义1.3 [ 1 ] 若模糊数向量 X ˜ ( r ) = [ x ˜ 1 ( r ) , x ˜ 2 ( r ) , ⋯ , x ˜ i ( r ) ] T ，其中

x ˜ i ( r ) = ( x _ i ( r ) , x ¯ j ( r ) ) ， i = 1 , ⋯ , n ， r ∈ [ 0 , 1 ] ，

满足

{ ∑ j = 1 n a i j x ¯ j ( r ) = y ¯ j ( r ) ∑ j = 1 n a i j x _ j ( r ) = y _ i ( r ) ， i = 1 , ⋯ , n

则称该模糊数向量 X ˜ ( r ) 为FLS的一个解。

根据 [ 1 ] 可知，模糊线性系统 A X ˜ ( r ) = Y ˜ ( r ) 的解可以通过求解下面的清晰线性系统：

S X ( r ) = Y ( r ) ， r ∈ [ 0 , 1 ] ，

即

[ s 11 s 12 s 21 s 22 ⋯ s 1 n ⋯ s 2 n ⋮ ⋮ s n 1 s n 2 ⋱ ⋮ ⋯ s n n ] [ x _ 1 ( r ) ⋮ x _ n ( r ) − x ¯ 1 ( r ) ⋮ − x ¯ n ( r ) ] = [ y _ 1 ( r ) ⋮ y _ n ( r ) − y ¯ 1 ( r ) ⋮ − y ¯ n ( r ) ] ，

此处 s i j 定义如下：

当 a i j ≥ 0 时， s i j = a i j ， s i + n , j + n = a i j ；

当 a i j < 0 时， s i , j + n = − a i j ， s i + n , j = − a i j ；

其他未注明元素均为0。

由上述可知，矩阵的分块表示为：

S = [ D E E D ] ， (1)

其中，D与E均为 n × n 阶方阵， D = [ a i j + ] ， E = [ a i j − ] ， a i j + = a i j ∨ 0 ， a i j − = − a i j ∨ 0 。

此时，我们称矩阵S为矩阵A的关联矩阵。

2.2. DMP逆和BT逆

这一节中，我们的主要目的是介绍一下DMP逆和BT逆的定义。首先，先介绍一些常见的广义逆的定义以及相关的概念。我们用 S ⋄ 表示所有 m × n 复矩阵的集合， A * 表示矩阵A的共轭转置。 I n d ( A ) = k 表示矩阵A的指标为k，即对于矩阵 A ∈ ℂ n n ，满足 r a n k ( A k ) = r a n k ( A k + 1 ) 的最小正整数为k。

定义2.1 给定矩阵 A ∈ ℂ n n ， I n d ( A ) = k 。

(I) [ 9 ] 矩阵X为A的Moore-Penrose逆，记为 X = A + ，当且仅当X满足下列方程：

(1) A X A = A ，(2) X A X = X ，(3) ( A X ) * = A X ，(4) ( X A ) * = X A 。

(II) [ 10 ] 矩阵X为A的Drazin逆，记为 X = A D ，当且仅当X满足下列方程：

(1^k) X A k + 1 = A k ，(2) X A X = X ，(5) A X = X A 。

(III) [ 8 ] 矩阵X为A的DMP逆，记为 X = A D , + ，当且仅当X满足下列方程：

X A X = X ， X A = A D A 以及 A k X = A k A + 。

另外，我们可以知道 A D , + = A D A A + 。

(IV) [ 7 ] 矩阵 A ⋄ 为A的广义核逆(简记为BT逆)，当且仅当

A ⋄ = ( A P A ) + ，

其中 P A = A A + 表示矩阵A的投影矩阵。

3. 关联矩阵S的DMP逆和BT逆的分块表示

在这一节，我们将给出本文的主要结果即模糊线性系统中关联矩阵S的DMP逆 S D , + 以及BT逆 S ⋄ 的分块表示，这对模糊线性系统的求解问题有一定的意义。假设关联矩阵S的分块表示为 S = [ D E E D ] ，其中 D , E ∈ ℝ n × n 。

引理2.1 [ 3 ] 关联矩阵S的Moore-Penrose逆 S + 的分块表示如下：

S + = [ H Z Z H ] ，

当且仅当 H = 1 2 [ ( D + E ) + + ( D − E ) + ] ， Z = 1 2 [ ( D + E ) + − ( D − E ) + ] 。

引理2.2 [ 4 ] 关联矩阵S的Drazin逆 S D 的分块表示如下：

S D = [ H Z Z H ] ，

当且仅当 H = 1 2 [ ( D + E ) D + ( D − E ) D ] ， Z = 1 2 [ ( D + E ) D − ( D − E ) D ] 。

受上述引理的启发我们研究关联矩阵S的DMP逆的分块表示，结果在定理2.3中给出。

定理2.3关联矩阵S的DMP逆 S D , + 的分块表示如下：

S D , + = [ H Z Z H ] ，

当且仅当 H = 1 2 [ ( D + E ) D , + + ( D − E ) D , + ] ， Z = 1 2 [ ( D + E ) D , + − ( D − E ) D , + ] 。

证明：由公式(1)、引理2.1和引理2.2可知，我们可以知道矩阵S、 S D 、 S + 分块表示为

S = [ D E E D ] ， S D = [ H Z Z H ] ， S + = [ M N N M ] ，

当且仅当

H = 1 2 [ ( D + E ) D + ( D − E ) D ] ， Z = 1 2 [ ( D + E ) D − ( D − E ) D ] 。

M = 1 2 [ ( D + E ) + + ( D − E ) + ] ， N = 1 2 [ ( D + E ) + − ( D − E ) + ] 。

所以，我们可以得到

S D , + = S D S S + = [ H Z Z H ] [ D E E D ] [ M N N M ] 。

计算得，

S D , + = [ 1 2 [ ( D + E ) D , + + ( D − E ) D , + ] 1 2 [ ( D + E ) D , + − ( D − E ) D , + ] 1 2 [ ( D + E ) D , + − ( D − E ) D , + ] 1 2 [ ( D + E ) D , + + ( D − E ) D , + ] ] ，

定理得证。

类似的，我们也可以得到关联矩阵S的BT逆的分块表示，如定理3.4所示。

定理2.4 关联矩阵S的BT逆 S ⋄ 的分块表示如下：

S ⋄ = [ H Z Z H ] ，

当且仅当 H = 1 2 [ ( D + E ) ⋄ + ( D − E ) ⋄ ] ， Z = 1 2 [ ( D + E ) ⋄ − ( D − E ) ⋄ ] 。

证明：由矩阵的BT逆的定义可知， S ⋄ = ( S P S ) + = ( S S S + ) + 。

因为 S = [ D E E D ] ，可得

S ⋄ = [ H Z Z H ] = [ [ D E E D ] [ D E E D ] [ D E E D ] + ] + : = [ B C C B ] + ，

其中，

B = 1 2 ( D + E ) ( D + E ) ( D + E ) + + 1 2 ( D − E ) ( D − E ) ( D − E ) + ，

C = 1 2 ( D + E ) ( D + E ) ( D + E ) + − 1 2 ( D − E ) ( D − E ) ( D − E ) + 。

因此， B + C = ( D + E ) ( D + E ) ( D + E ) + ， B − C = ( D − E ) ( D − E ) ( D − E ) + 。

根据引理2.1可知，

[ H Z Z H ] = [ B C C B ] + = [ 1 2 [ ( B + C ) + + ( B − C ) + ] 1 2 [ ( B + C ) + − ( B − C ) + ] 1 2 [ ( B + C ) + − ( B − C ) + ] 1 2 [ ( B + C ) + + ( B − C ) + ] ] 。

所以，

[ H Z Z H ] = [ 1 2 [ ( D + E ) ⋄ + ( D − E ) ⋄ ] 1 2 [ ( D + E ) ⋄ − ( D − E ) ⋄ ] 1 2 [ ( D + E ) ⋄ − ( D − E ) ⋄ ] 1 2 [ ( D + E ) ⋄ + ( D − E ) ⋄ ] ] ，

定理得证。

4. 结语

已经得到了模糊线性系统 A X ˜ = Y ˜ 中系数矩阵A的关联矩阵S的DMP逆 S D , + 与BT逆 S ⋄ 的分块表示，我们希望这个结果能为求解模糊线性系统提供一个新的思路。如何分别用 S D , + 和 S ⋄ 的分块表示来求解模糊线性系统，这是下一步要研究的课题。

文章引用

李静. 模糊线性系统中关联矩阵的DMP逆和BT逆的分块表示A Block Representation Involving the DMP Inverse and BT Inverse of the Associated Matrix in Fuzzy Linear System[J]. 理论数学, 2021, 11(12): 2105-2110. https://doi.org/10.12677/PM.2021.1112235

参考文献

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