匀质网络是指，金融个体的连接关系相似，即合作、连接对象相同或相等。对应在复杂网络中即为匀质网络。因此，我们将网络中的金融个体分为四类： S ( t ) ， E ( t ) ， I ( t ) 和 R ( t ) ，分别为正常主体、潜在风险主体、风险主体和移出主体的相对密度，且 S ( t ) + E ( t ) + I ( t ) + R ( t ) = 1 。由平均场理论和均匀网络，构建金融风险传播的SEIR基础动力学模型，可得风险传播的动力学方程组：

{ d S ( t ) d t = δ R ( t ) + β φ E ( t ) − λ 〈 k 〉 S ( t ) I ( t ) d E ( t ) d t = α λ 〈 k 〉 S ( t ) I ( t ) − φ E ( t ) d I ( t ) d t = ( 1 − α ) λ 〈 k 〉 S ( t ) I ( t ) + ( 1 − β ) φ E ( t ) − γ I ( t ) d R ( t ) d t = γ I ( t ) − δ R ( t ) (1)

令系统(1)的右边均等于零，可解得出匀质网络的无风险平衡点为 P 0 ( 1 , 0 , 0 , 0 ) ，非零风险平衡点为 P * ( S * , E * , I * , R * ) ，其中，

S * = γ ( 1 − α β ) λ 〈 k 〉 ， E * = α γ δ [ ( 1 − α β ) λ 〈 k 〉 − γ ] ( 1 − α β ) λ 〈 k 〉 [ α δ γ + φ ( δ + γ ) ( 1 − α β ) ] ，

I * = φ δ [ ( 1 − α β ) λ 〈 k 〉 − γ ] λ 〈 k 〉 [ α δ γ + φ ( δ + γ ) ( 1 − α β ) ] ， R * = φ γ [ ( 1 − α β ) λ 〈 k 〉 − γ ] λ 〈 k 〉 [ α δ γ + φ ( δ + γ ) ( 1 − α β ) ]

下面，利用下一代矩阵方法来计算基本再生数 R 0 。

系统可简写为：

d x d t = F ( x , y ) − V ( x , y ) d y d t = G ( x , y ) (2)

其中， x = { E ( t ) , I ( t ) } 表示被感染仓室， y = { S ( t ) , R ( t ) } 表示其他仓室。 F ( x , y ) 表示新风险状态主体的出现率， V ( x , y ) 表示主体迁移率。

这里计算基本再生数 R 0 时只涉及到潜伏者仓室 E ( t ) 和染病者仓室 I ( t ) 。

首先，划分X向量，

X = [ E ( t ) I ( t ) ] (3)

根据文献 [ 14 ] 中的引理1可得：

F ( t ) = [ α λ 〈 k 〉 S ( t ) I ( t ) ( 1 − α ) λ 〈 k 〉 S ( t ) I ( t ) ] ; V ( t ) = [ φ E ( t ) ( β − 1 ) φ E ( t ) + γ I ( t ) ] (4)

则无风险平衡点 P 0 下的雅可比矩阵分别为：

F = ∂ F ( t ) ∂ X | P 0 = [ 0 α λ 〈 k 〉 0 ( 1 − α ) λ 〈 k 〉 ] ;   V = ∂ V ( t ) ∂ X | P 0 = [ φ 0 ( β − 1 ) φ γ ] (5)

所以， R 0 = ρ ( F V − 1 ) = ( 1 − α β ) λ 〈 k 〉 γ ，且当 R 0 > 0 时， R 0 恰好就等于非零风险平衡点上 S * 的倒数。

接下来证明无风险平衡点的局部渐进稳定性。

系统可简写为，

{ d S ( t ) d t = δ ( 1 − S ( t ) − E ( t ) − I ( t ) ) + β φ E ( t ) − λ 〈 k 〉 S ( t ) I ( t ) d E ( t ) d t = α λ 〈 k 〉 S ( t ) I ( t ) − φ E ( t ) d I ( t ) d t = ( 1 − β ) φ E ( t ) + ( 1 − α ) λ 〈 k 〉 S ( t ) I ( t ) − γ I ( t ) (6)

所以在点 P 0 处的雅可比矩阵为

J ( P 0 ) = ( − δ β φ − δ − δ − λ 〈 k 〉 0 − φ α λ 〈 k 〉 0 ( 1 − β ) φ ( 1 − α ) λ 〈 k 〉 − γ )

此时，矩阵对应的一个特征根为 − δ ，另外两个特征根满足特征方程

f ( x ) = x 2 + ( φ + γ − ( 1 − α ) λ 〈 k 〉 ) x + φ ( γ − ( 1 − α β ) λ 〈 k 〉 ) = 0 .

当 R 0 < 1 ，即 ( 1 − α β ) λ 〈 k 〉 < γ 时，根据 { f ( 0 ) = φ ( γ − ( 1 − α β ) λ 〈 k 〉 ) > 0 φ + γ − ( 1 − α ) λ 〈 k 〉 > 0 可以判断，特征方程 f ( x ) 的两个解都小于0，也就是说在点 P 0 处的三个特征根均为负，说明点 P 0 局部稳定。

反之，当 R 0 > 1 时，在点 P 0 处的三个特征根中正负号不相同，此时点 P 0 不稳定。

考虑无风险平衡点 P 0 的全局稳定性。首先构造李雅普诺夫函数： L ( t ) = ( 1 − β ) E ( t ) + I ( t ) 。

再将 L ( t ) 关于模型(1)对t求导可得，

L ′ = ( 1 − α β ) λ 〈 k 〉 S ( t ) I ( t ) − γ I ( t ) ≤ [ ( 1 − α β ) λ 〈 k 〉 − γ ] I ( t ) = γ ( R 0 − 1 ) I ( t ) (7)

所以，当 R 0 ≤ 1 时， L ′ ≤ 0 ，且 L ′ = 0 除 P 0 外无模型(7)的其他轨线， P 0 全局渐近稳定。反之，当 R 0 ≥ 1 时， P 0 不稳定。

下面讨论非零风险平衡点 P * 的局部稳定性。

在点 P * 处的雅可比矩阵为

J ( P * ) = ( − δ − λ 〈 k 〉 I * β φ − δ − δ − λ 〈 k 〉 S * α λ 〈 k 〉 I * − φ α λ 〈 k 〉 S * ( 1 − α ) λ 〈 k 〉 I * ( 1 − β ) φ ( 1 − α ) λ 〈 k 〉 S * − γ )

所以，对应的特征方程为

f ( x ) = x 3 + A x 2 + B x + C .

其中，

A = φ + γ + δ + λ 〈 k 〉 I * − ( 1 − α ) λ 〈 k 〉 S * = φ + δ + λ 〈 k 〉 I * + α ( 1 − β ) 1 − α β γ > 0

B = φ δ + γ δ + φ γ + λ 〈 k 〉 [ ( φ + γ + δ − α β φ ) I * + ( α δ − δ − φ + α β φ ) S * ] = φ δ + λ 〈 k 〉 ( ( 1 − α β ) φ + γ + δ ) I * + α ( 1 − β ) 1 − α β ( φ + δ ) γ > 0

C = φ γ δ + λ 〈 k 〉 [ ( φ δ + φ γ + α γ δ − α β φ ( γ + δ ) ) I * − ( 1 − α β ) φ δ S * ] = λ 〈 k 〉 ( α γ δ + ( 1 − α β ) ( γ + δ ) φ ) I * > 0

从而可以进一步证明， A B − C > 0 ，再根据Routh-Hurwitz判定定理可知，特征方程 f ( x ) = 0 的根均为负，故模型(6)在非零风险平衡点 P * ( S * , E * , I * , R * ) 处是局部渐近稳定的。

考虑到现实的金融网络许多具有无标度特性，即存在度非常大的个体。因此，我们基于网络度进行分类，记为： S k ( t ) , E k ( t ) , I k ( t ) 和 R k ( t ) ，分别为度为k的正常主体、潜在风险主体、风险主体和移出主体的相对密度，且 S k ( t ) + E k ( t ) + I k ( t ) + R k ( t ) = 1 。

可以得到异质网络下的金融风险传播的动力学方程组：

{ d S k ( t ) d t = δ R k ( t ) + β φ E k ( t ) − λ k S k ( t ) Θ ( t ) d E k ( t ) d t = α λ k S k ( t ) Θ ( t ) − φ E k ( t ) d I k ( t ) d t = ( 1 − α ) λ k S k ( t ) Θ ( t ) + ( 1 − β ) φ E k ( t ) − γ I k ( t ) d R k ( t ) d t = γ I k ( t ) − δ R k ( t ) (8)

其中， Θ ( t ) = 1 〈 k 〉 ∑ k k p ( k )   I k ( t ) ，表示t时刻随机取一条边与感染节点相连接的概率。 〈 k 〉 = ∑ k k p ( k ) 表示网络的平均度。

得出异质网络的无风险平衡点为 P k 0 ( 1 , 0 , 0 , 0 ) ，非零风险平衡点 P k ∗ ( S k ∗ , E k ∗ , I k ∗ , R k ∗ ) ，其中，

S k ∗ = φ γ δ A , E k ∗ = α λ k γ δ   Θ ∗ A , I k ∗ = ( 1 − α β ) λ k φ δ   Θ ∗ A , R k ∗ = ( 1 − α β ) λ k φ γ   Θ ∗ A

A = ( φ + α λ k Θ * ) γ δ + ( 1 − α β ) ( γ + δ ) λ k φ   Θ * , Θ * = 1 〈 k 〉 ∑ k k p ( k ) I k ∗ .

将 I k ∗ 代入， Θ * 满足自相容条件，可得

Θ * = 1 〈 k 〉 ∑ k k p ( k ) ( 1 − α β ) λ k φ δ   Θ * ( φ + α λ k Θ * ) γ δ + ( 1 − α β ) ( γ + δ ) λ k φ   Θ * = f ( Θ * ) (9)

显然 Θ * = 0 是方程的一个平凡解，且 f ( Θ ) 连续可微， f ( Θ ) 关于 Θ 关严格单调递增。

故当且仅当 f ′ ( Θ ) | Θ = 0 > 1 ，即 R 0 = ( 1 − α β ) λ 〈 k 2 〉 γ 〈 k 〉 > 1 时，方程存在唯一非平凡解 Θ * ( Θ * ∈ ( 0 , 1 ) ) 。且其中， 〈 k 2 〉 = ∑ k k 2 p ( k ) 。

接着讨论无风险平衡点的局部稳定性。

系统(8)可简写为：

{ d S k ( t ) d t = δ ( 1 − S k ( t ) − E k ( t ) − I k ( t ) ) + β φ E k ( t ) − λ k S k ( t ) Θ ( t ) d E k ( t ) d t = α λ k S k ( t ) Θ ( t ) − φ E k ( t ) d I k ( t ) d t = ( 1 − α ) λ k S k ( t ) Θ ( t ) + ( 1 − β ) φ E k ( t ) − γ I k ( t ) (10)

故在点 P k 0 处的雅可比矩阵为

J ( P k 0 ) = ( − δ E ˜ n ( β φ − δ ) E ˜ n − H − δ E ˜ n 0 n − φ E ˜ n α H 0 n ( 1 − β ) φ E ˜ n ( 1 − α ) H − γ E ˜ n ) 3 n × 3 n

其中，

H = λ 〈 k 〉 ( 1 ⋅ 1 p ( 1 ) 1 ⋅ 2 p ( 2 ) ⋯ 1 ⋅ n p ( n ) 2 ⋅ 1 p ( 1 ) 2 ⋅ 2 p ( 2 ) ⋯ 2 ⋅ n p ( n ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ n ⋅ 1 p ( 1 ) n ⋅ 2 p ( 2 ) ⋯ n ⋅ n p ( n ) ) n × n

E ˜ n 为n阶单位矩阵， 0 n 为n阶零矩阵。

显然，矩阵 J ( P k 0 ) 有n个特征值等于 − δ 。

对矩阵作行列相似变换，所得矩阵与原矩阵有相同特征根。

( − φ E ˜ n α H ( 1 − β ) φ E ˜ n ( 1 − α ) H − γ E ˜ n ) 2 n × 2 n → ( − φ E ˜ n α H 0 n ( 1 − α β ) H − γ E ˜ n ) 2 n × 2 n

所以，矩阵 J ( P k 0 ) 有n个特征值等于 − φ ，其余n个特征值是矩阵 ( 1 − α β ) H − γ E ˜ n 的特征值。

对矩阵 ( 1 − α β ) H − γ E ˜ n 作行列变换，可得矩阵 J ( P k 0 ) 有 n − 1 个特征值等于 − γ ，第3n个特征值是

( 1 − α ) λ ∑ i = 1 n i ⋅ i p ( i ) 〈 k 〉 − γ = γ ( R 0 − 1 ) .

因此，当 R 0 < 1 时，矩阵 J ( P k 0 ) 的3n个特征根均为负值，说明系统(10)的无风险平衡点 P k 0 是局部渐近稳定的。反之，当 R 0 > 1 时，点 P k 0 不稳定。

对于无风险平衡点 P k 0 的全局渐近稳定性的证明，先构造李雅普诺夫函数，

L ( t ) = ∑ k = 1 n k P ( k ) 〈 k 〉 [ ( 1 − β ) E k ( t ) + I k ( t ) ] (11)

再将 L ( t ) 关于模型对t求导得，

L ′ = ∑ k = 1 n k P ( k ) 〈 k 〉 [ ( 1 − α β ) λ 〈 k 〉 S k ( t ) Θ ( t ) − γ I k ( t ) ] = γ ( R 0 S k ( t ) − 1 ) Θ ( t ) ≤ γ ( R 0 − 1 ) Θ ( t ) (12)

当 R 0 ≤ 1 时， L ′ ≤ 0 ，且 L ′ = 0 除 P k 0 外无模型(10)的其他轨线，所以 P k 0 全局渐近稳定。

以下是对风险传播的持久性的证明。

首先，定义

X = { ( S 1 , E 1 , I 1 , R 1 , ⋯ , S n , E n , I n , R n ) : S k , E k , I k , R k ≥ 0 , S n + E n + I n + R n = 1 }

X 0 = { ( S 1 , E 1 , I 1 , R 1 , ⋯ , S n , E n , I n , R n ) ∈ X : ∑ k = 1 n k p ( k ) I ( k ) > 0 } , ∂ X 0 = X \ X 0

容易证明，集合X是正不变集，从而，对 S k ( 0 ) ≥ 0 ， E k ( 0 ) ≥ 0 ， R k ( 0 ) ≥ 0 ，

I ( 0 ) = ∑ k = 1 n p ( k ) I k ( 0 ) > 0 ，一定对任意 t > 0 有， S k ( 0 ) ≥ 0 ， E k ( 0 ) ≥ 0 ， R k ( 0 ) ≥ 0 ，且由比较定理可得 I ( t ) = ∑ k = 1 n p ( k ) I k ( 0 ) > 0 。

因此，集合 X 0 也是正不变集。进一步可知，存在集合X的紧子集B，使得从X中出发的任何一个解，将进入并永远停留在B中。对此紧子集B，易证满足文献 [ 15 ] 中紧性条件(C_4.2)。

定义

M ∂ = { ( S k ( 0 ) , E k ( 0 ) , I k ( 0 ) , R k ( 0 ) ) : ( S k ( t ) , E k ( t ) , I k ( t ) , R k ( t ) ) ∈ ∂ X 0 , k = 1 , ⋯ , n ; t ≥ 0 } ,

Ω = ∪ ω ( y ) , y ∈ M ∂ ,

这里 ω = ( S k ( 0 ) , E k ( 0 ) , I k ( 0 ) , R k ( 0 ) ) 是系统(8)的 ω 极限集。将系统(8)限制在 M ∂ 上，得到，

{ d S k d t = δ R k ( t ) + β φ E k ( t ) d E k d t = − φ E k ( t ) d I k d t = ( 1 − β ) φ E k ( t ) − γ I k ( t ) d R k d t = γ I k ( t ) − δ R k ( t ) (13)

显然，系统(13)有唯一的全局渐进稳定的平衡点 P k 0 ，因此， Ω = P k 0 ，显然 P k 0 是一个孤立的非循环覆盖。最后，我们将证明平衡点 P k 0 相对于 X 0 是弱排斥的，即相对于系统(8)任何一个初值从 X 0 出发的

解 ( S k ( t ) , E k ( t ) , I k ( t ) , R k ( t ) ) ，满足 lim sup t → ∞ dist ( S k ( t ) , E k ( t ) , I k ( t ) , R k ( t ) , P k 0 ) > 0 。

从文献 [ 16 ] 中引理3.5的证明知，要使上式成立，只需证明 W s ( P k 0 ) ∩ X 0 = ∅ ，其中 W s ( P k 0 ) 是系统(8)平衡点的稳定流形。若不然，则一定存在解 ( S k ( t ) , E k ( t ) , I k ( t ) , R k ( t ) , P k 0 ) ∈ X 0 ，使得

S k ( t ) → 1 ， E k ( t ) → 0 ， I k ( t ) → 0 ， R k ( t ) → 0 ，当 t → ∞

因为对于 ε > 0 ，由上式得一定存在 T > 0 ， 1 − ε < S k ( t ) < 1 + ε ， 0 ≤ E k ( t ) ， I k ( t ) ， R k ( t ) < ε ， t ≥ T 。

定义函数 V ( t ) = ∑ k = 1 n p ( k ) ( E k ( t ) + I k ( t ) ) ，沿着系统(8)对 V ( t ) 求导得 V ′ ( t ) ≥ ρ V ( t ) 。

因此， V ( t ) ≥ V ( 0 ) e ρ t 。注意到 Θ ( 0 ) > 0 ，则有 V ( 0 ) = ∑ k = 1 n p ( k ) ( E k ( 0 ) + I k ( 0 ) ) > 0 ，从而，当 t → ∞ 时，有 L ( t ) → ∞ ，这明显与 ( S k ( t ) , E k ( t ) , I k ( t ) , R k ( t ) ) ∈ X 0 导致 V ( t ) 有界相矛盾。

数据选自Wind数据库(收集时间：2021年8月10日)中2008年、2018年和2020年的沪深股票市场以及美国股票市场的wind金融类股票的日收盘价数据，并剔除掉缺失数据较多的金融机构，最终数据包括：沪深股票市场2008年52家机构的246个有效交易日的数据、2018年94家机构的243个有效交易日的数据、2020年116家机构的243个有效交易日的数据，美国股票市场2008年445家机构的238个有效交易日的数据、2018年651家机构的235个有效交易日的数据、2020年52家机构的779个有效交易日的数据。对日收盘价数据作如下处理。

根据股票i在第t个交易日的收盘价格 P i ( t ) ，得到股票i的价格收益率： r i ( t ) = ln P i ( t ) − ln P i ( t − 1 ) ，并计算任意两个金融i与j之间的Pearson相关系数 ρ i , j = E ( r i r j ) − E ( r i ) E ( r j ) E ( r i 2 ) − ( E ( r i ) ) 2 E ( r j 2 ) − ( E ( r j ) ) 2 。其中， E ( x ) 为统计平均。从而可以得到一个相关系数矩阵 C n × n = ( ρ i , j ) n × n 。

但由于我国不是强型有效市场，所以利用证券市场信息所构建的金融网络存在噪音，需要去除噪音，使得该复杂网络中各节点间的风险传播更具真实性(对于美股数据而言则可省略这一步骤)。而基于随机矩阵理论的金融网络去噪方法，能够保留原始网络的关键信息(吴翎燕，2013)。具体步骤是先计算出相关系数矩阵 C n × n 基于随机矩阵理论的最大、最小特征值 λ max 和 λ min ： λ min max = ( 1 + 1 Q ± 2 1 Q ) σ 2 。其中，Q等于矩阵的行数除以列数(本文中 Q = 1 )， σ 2 为矩阵中所有元素的方差。

先求得相关系数矩阵 C n × n 的特征值和特征向量，再将处于 [ λ min , λ max ] 内的特征值全部替换为0，进而得出新的特征值序列 ( λ 1 , ⋯ , λ k , 0 , ⋯ , 0 , λ s , ⋯ , λ n ) ，然后根据新的特征值和特征向量计算出除去噪音后的相关系数矩阵 C n × n ∗ 。最后，基于阈值方法确定金融网络。图2展示了六个网络(如：CHN2008代表2008年中国沪深金融网络；USA2008代表2008年美股金融网络)的最大连通子图包含的节点数随着阈值大小的变化情况。结合下图网络最大连通子图节点个数随阈值的变化趋势，考虑将沪深市场阈值设为0.5，而将美股市场的阈值设为0.25，也就是如果沪深股票数据的关系矩阵中的元素大于等于阈值0.5，则将其替换为1，否则为0；而美国股票数据的关系矩阵中的元素大于等于阈值0.25，则将其替换为1，否则为0，由此得到邻接矩阵，从而根据邻接矩阵构建金融网络。

表1和表2列出了六个网络的几个重要指标。以2008年的沪深金融网络为例，它形成了一个具有52个节点(其中3个为孤立的节点)、791条边的复杂网络。经分析得到该网络的拓扑特征如下：平均度为16.1，意味着网络中每个节点平均有16个邻居节点；平均聚集系数为0.8209，说明节点的聚集程度比较高，但较高的网络凝聚性也会使得风险传播的广度有所增大；平均最短路径为1.3，即任意两个节点基本都有直接的联系。整体来看，三个年份的沪深市场的金融机构个数都远远少于美股市场，六个网络的平均最短路径都偏小，说明各个金融机构之间的联系日益紧密，风险传播变得更加迅速。图3也展示了六个网络去除孤立节点之后的金融网络结构示意图，从图上也可以直观的看到，中国沪深股票市场的各个金融机构都在一个最大连通网络中，而2018年和2020年的美股金融网络均形成了一个包含较多节点的最大连通图和一个包含2个节点的连通子图的网络结构。网络中均表现为“强强联合”、两极分化的特征，度较高的节点个数较多，度低的节点个数较少，即具有较高的度的关键节点之间建立起了十分紧密的联系，而与具有较低的度的边缘节点的联系较少。

图2. 最大连通子图节点个数随阈值的变化情况

图3. 各金融网络结构图

表1. 沪深金融网络拓扑特征

表2. 美股金融网络拓扑特征

下面分析不同基本再生数 R 0 下，利用Mean Field (MF)和Monte Carlo (MC)两种方法进行模拟仿真，并将四类状态主体的初始密度设为 ( S 0 , E 0 , I 0 , R 0 ) = ( 0.95 , 0 , 0.05 , 0 ) ，来分析四种不同状态主体的密度随时间的演化规律。图4所示为 R 0 < 1 情况下，六个金融网络中的四种不同状态(正常状态主体S、潜在风险状态主体E、风险状态主体I和移出状态主体R)的节点密度演化规律，这里考虑到沪深网络和美股网络的平均度差距较大，为了保证 R 0 < 1 ，所以其中 λ 也取不同的值分别为0.01、0.001，其余参数设为： α = 0.5 、 β = 0.5 、 φ = 0.5 、 γ = 1 、 δ = 0.5 。可以看出，当 R 0 < 1 (具体的 R 0 分别为：2008年中国沪深金融网络0.2830；2018年中国沪深金融网络0.3908；2020年中国沪深金融网络0.6189；2008年美股金融网络0.2377；2018年美股金融网络0.2919；2020年美股金融网络0.4752)时，六个网络的密度曲线最终都到达无风险平衡点 P 0 ( 1 , 0 , 0 , 0 ) ，且由图像得知，S状态主体密度呈现出先降低再逐渐增加到1的趋势；E先增加后逐渐趋于0；I从最初的0.05快速减小到0；R先增大后又减小到0。横向来看，中国沪深市场和美股金融市场的三个网络的潜在风险状态E密度曲线的峰值越来越大，且美股金融市场网络中E密度曲线的峰值均大于沪深金融网络，2020年美股金融网络到达无风险状态平衡点相比其他网络所需的时间要更长一些。图5所示为 R 0 > 1 (具体的 R 0 分别为：2008年中国沪深金融网络2.8295；2018年中国沪深金融网络3.9083；2020年中国沪深金融网络6.1893；2008年美股金融网络11.8859；2018年美股金融网络14.5968；2020年美股金融网络23.7613)情况下的四种不同状态下的节点密度演化规律，沪深市场和美股市场的 λ 分别取0.1和0.05，其余参数均不变。从图中可以看到最终平衡点风险状态主体的密度已经远大于初始设定值0.05，说明风险已经在网络中进行了扩散。在MC方法下，密度曲线都经过波动后逐渐趋于稳定状态。在MF方法下，所有I的密度变化都呈现先骤增再逐渐减小至稳定状态的趋势，分别看中国沪深市场的三个金融网络中的风险状态I的峰值和最终密度在逐年变大，美股市场的2008年金融网络的峰值大于2018年的，但差距很小，最终密度的稳定值也是越来越大的，这可能与各个金融机构之间的关系越来越密切有关。

图4. R₀< 1时，各网络下的四类主体密度变化

图5. R₀> 1时，各网络下的四类主体密度变化

图6所示为六个金融网络下风险状态主体I的密度随风险传播概率 λ 的变化曲线，其余参数设定为： α = 0.1 、 β = 0.1 、 φ = 0.5 、 γ = 1 、 δ = 0.5 。从图中可以很明显地看到，在MF方法下的风险状态主体I密度曲线都是高于MC方法下的，这可能是由于MC方法只能分析每一次算法过程中的具体状态主体的个数，而MF则是基于数量比例，所以这两种方法存在一定的差异性。在MC方法下，三个沪深市场金融网络的临界 λ 分别为：0.04、0.02、0.01，而美股金融网络的临界 λ 几乎为0，也就是说在相同条件下，美股金融网络更容易造成风险的传播，即使很小的风险传播概率也会导致金融风险迅速地在美股金融市场中传播。

图6. 六个网络的风险状态主体密度随λ的变化曲线

图7展示的是在六个网络中，利于MF和MC两种方法分析 α 取不同的值时，风险状态主体I的密度随时间变化情况。参数 β = 0.5 、 φ = 0.5 、 γ = 1 、 δ = 0.5 ，沪深市场和美股市场的 λ 分别取0.1和0.05， α 分别取0.1、0.5，从图像得出 α 与风险状态主体I密度成负相关关系的结论。正常状态主体受风险传播影响而变成潜在风险状态的概率越大，处于潜在风险状态的金融个体的密度就越高，而处在风险状态主体的密度则越小。

图8展示的是在六个金融网络中，利用MF和MC两种方法分析当救助率 β 取不同的值时，风险状态主体I的密度随时间变化情况。当其他参数： α = 0.4 、 φ = 0.5 、 λ = 0.3 、 γ = 1 、 δ = 0.5 ，而救助率 β 分别取0.1和1时，从图中可以看出，在六个网络中都表现出随着 β 的增大，网络中的风险状态主体越来越少，风险传播效应减小，这与现实情况一致。也就是说，救助率越高，越能抑制金融风险的扩散。

图7. 考虑不同α时，六个网络中风险状态主体I的密度变化情况

图8. 考虑不同救助率β时，六个网络中风险状态主体I的密度变化情况

图9为考虑不同 δ 时，各个网络中风险状态主体I密度随时间的变化曲线。当 δ = 0.5 、 β = 0.5 、 φ = 0.5 、 γ = 1 ，沪深市场和美股市场的 λ 分别取0.1和0.05， δ 分别取0.5、1， δ 越大I密度越大，这是因为 δ 代表的是移出主体变为正常主体的比例，也就是更多比例的移出状态主体不具备抵御风险的能力了，而是又进入到网络中变成其他状态的主体。

图9. 考虑不同δ时，六个网络中风险状态主体I的密度变化情况