借用MATLAB中的imread函数先将图片数据导入MATLAB软件并进行读取。实验发现，使用经过二值化处理的数据与没处理过的数据相比复原率要高，因此，我们将数据进行二值化处理，即将图片上的灰度值置为0和255，使图片仅显现黑白两种颜色 [ 1 ] [ 2 ]。

求解所有图片的排列顺序，其实是一个最优化问题，于是我们将碎纸片拼接问题转化为经典的旅行商问题来进行处理 [ 3 ]。

旅行商问题是经典的组合优化中的一个NP难题，可以将它描述为：一个旅行商从指定的一个城市出发，游玩所有城市并且每个城市只能游玩一次，每个城市之间的距离是不同的，求旅行商游玩路线的最短距离。现在国内外学者提出了多种方法来解决这一问题，比如遗传算法，蚁群算法等，本文将在前人的基础上介绍一种改进的量子蚁群算法来求碎纸片拼接问题的最优解。

碎纸片之间的距离定义为 I = a a + b + c ，a为两个向量1-1配对的总数，b为两个向量不配对的总数，

c为两个向量0-0配对的总数。

将每个碎纸片看作一座城市，定义城市之间的距离D为：一条碎纸片右侧和另一条碎纸片左侧的距离。通过计算所有城市之间的距离，可以得到相关的距离矩阵(值得注意的是，城市A到城市B的距离与城市B到城市A的距离是不同的，因为它们顺序相反时对应的是碎纸片不同侧的距离)。由于文档最左侧和文档最右侧的碎纸条都为空白，所以可以形成一个哈密顿圈，由此转化为求最优解的旅行商问题。

解决旅行商问题的算法主要有神经网络算法、模拟退火算法和遗传算法等，但为了提高运算的速度和准确性，这里我们介绍一种量子蚁群算法 [ 4 ]。

蚁群算法是由意大利学者Dorigo、Maniezzo等人于20世纪90年代提出的 [ 5 ] [ 6 ]。他们从蚂蚁寻找食物的过程中受到了启发，蚂蚁在其经过的路径上会留下信息素，其他蚂蚁可以识别这一物质，在蚂蚁寻找食物过程中，每只蚂蚁到达食物的路径上，都会留下信息素，每条路径对应了一种“可行解”，蚂蚁将食物搬回蚁穴后还会回去继续搬食物，所以路径短的蚂蚁用的时间少，重复频率快，单位时间内往返的蚂蚁就越多，路上留下的信息素也就会越多 [ 7 ]。同时，蚂蚁会沿着信息素浓度较高的路径行走，由此形成一种正反馈机制，当蚂蚁数量非常大时，一段时间后蚂蚁会集中到最佳路径上，对应问题中的最优解。

由于量子算法具有并行性，在运算时会大大提高运算速度，下文将用量子思想对蚁群算法进行改进。我们认为蚂蚁释放的信息素是在蚂蚁当前位置留下的，蚂蚁的位置由一组量子比特的概率幅表示，蚂蚁的移动用量子旋转门实现，同时引入量子变异操作 [ 8 ]。设蚂蚁m携带的一组量子比特为

X m = ( cos φ m 1 cos φ m 2 cos φ m 3 ⋯ cos φ m n sin φ m 2 sin φ m 2 sin φ m 3 ⋯ sin φ m n ) ，则蚂蚁占据的位置分别为 P m x = ( cos φ m 1 , ⋯ , cos φ m n ) 和

P m y = ( sin φ m 1 , ⋯ , sin φ m n ) [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]。蚂蚁的位置对应问题的可能解，我们求得的最优位置便对应着问题的最优解。虽然蚂蚁数量不变，但借助于量子并行性，搜索空间加倍了，从而提高了搜索速度 [ 12 ]。

设蚂蚁在r处的信息素为f(r)，初始时全部设置为零，可见度g(r)我们用信息的可检测性来表示，即定义为实际检测强度与原有信息素强度的比值。

(1) 定义蚂蚁m由 r s 到 r t 位置的移动规则为

r t = { arg max { [ f ( r s ) ] α [ f ( r t ) ] β }       ( r s ∈ R )         q ≤ q 0 r ′ s                                                                                                           q > q 0

这里q为介于0到1之间的随机数， q 0 为0到1之间的一个常数，R为蚂蚁位置的集合， r ′ s 为目标位置。

P ( r s ) = [ f ( r s ) ] α [ f ( r t ) ] β ∑ r s , r t ∈ R [ f ( r s ) ] α [ f ( r t ) ] β

其中 α 和 β 代表着信息素强度和它的可检测性对移动的影响比重，可由实际情况定义。

(2) 接下来我们用量子旋转门来改变量子比特的相位，从而实现蚂蚁位置的改变。蚂蚁的量子比特为

X r = ( cos φ r 1 cos φ r 2 cos φ r 3 ⋯ cos φ r n sin φ r 2 sin φ r 2 sin φ r 3 ⋯ sin φ r n )

X s = ( cos φ s 1 cos φ s 2 cos φ s 3 ⋯ cos φ s n sin φ s 1 sin φ s 2 sin φ s 3 ⋯ sin φ s n )

量子旋转门转角的大小其实是十分重要的，我们要尽可能使 X r 旋转后趋近于 X s 。这里我们取0.001π到0.05π之间。记

A i = | cos φ r i cos φ s i sin φ r i sin φ s i |

转角由下式确定：

Δ θ i = − sgn ( A i ) θ 0 e − t

其中 θ 0 为迭代初值，t为优化步数，对蚂蚁进行量子旋转门操作后，蚂蚁移动到 r t 位置。

(3) 为了使蚂蚁有新的空间位置，我们用量子非门对蚂蚁进行变异处理，方法如下

[ 0 1 1 0 ] [ α s i β s i ] = [ β s i α s i ]

(4) 设蚂蚁的前一个位置为 r q ，当前位置为 r s ，移动后的位置为 r t ，可得出更新规则为

f ( r t ) = f ( r s ) + sgn ( Δ f i t ) × | Δ f i t | α

Δ f i t = f i t ( r t ) − f i t ( r s )

g ( r t ) = g ( r s ) + sgn ( Δ ∂ f i t ) × | Δ ∂ f i t | α

Δ ∂ f i t = max 1 ≤ i ≤ n ∂ f i t ∂ r t i − max 1 ≤ i ≤ n ∂ f i t ∂ r s i

f i t 为适应度函数，定义为 f i t ( x ) = A max − f ( x ) ，其中 A max 可为输入的恰当值，也可以为优化过程的最大数值。

当所有蚂蚁进行一次循环后，按照下面的公式更新信息素

f ( r u ) = { ( 1 − ρ ) f r u + ρ f i t ( r u )           r u = r ′ ( 1 − ρ ) f r u                                       r u ≠ r ′

其中， ( 1 − ρ ) 为信息素挥发系数，大小在0到1之间， r ′ 为最优解。

(5) 算法实现步骤

步骤1：将每一只蚂蚁的信息素强度和可见度进行初始化，赋以相同的值。变异概率设为 p n ，

最大迭代次数为Max，当前迭代次数为0，随机生成初始群体为

p i = ( cos φ i 1 cos φ i 2 cos φ i 3 ⋯ cos φ i n sin φ i 1 sin φ i 2 sin φ i 3 ⋯ sin φ i n )

其中 φ i j = 2 π × q ， i = 1 , 2 , 3 , ⋯ , m ； j = 1 , 2 , 3 , ⋯ , n ；m是种群规模，n是量子位数。

步骤2：对种群中的每个蚂蚁按其移动规则和转移概率用量子旋转门进行移动，随机选取蚂蚁用量子非门进行变异操作。

步骤3：按照更新规则对信息素强度和可见度进行更新。

步骤4：迭代次数加一，当t < Max时，重复b；当t > Max时，输出结果。

借用量子改进蚁群算法，按照以上步骤编写算法程序，并在计算机上进行仿真运算。结果显示：成功拼接了碎纸片，完美地还原了原图片，且无需人工干预，得到了碎纸片的拼接序列(如表1所示)。

表1. 附件1结果顺序表

还原结果图：(如图1所示)。

图1. 附件一还原的图片

量子蚁群算法由于利用了量子并行性，其运算速度得到了很大提高，本例中只有19条碎纸片，当碎纸片数量达到上千上万甚至更大后，量子算法的优越性将会更好的体现。考虑到改进的量子蚁群算法具有运算速度快，正确率高的优点，还可以把该算法运用到其他优化问题的求解中。例如银行在破碎现金的复原中，多数拼接方法因准确率问题大都需要人工辅助完成，而改进的量子蚁群算法经过测试后具有较高的准确性，可直接完成拼接任务。

我们引入一种新型的聚类方法，是在传统的K-means算法基础上改进得来的 [ 13 ]。

(1) 数据的量子比特的表示

空间中的任意两个点a和b，可以把点a和b表示成向量，接下来将向量a和b用量子态表示，

a = | a | | a 〉 ， b = | b | | b 〉

接下来我们讨论二维情况

| a 〉 = x 1 | 0 〉 + x 2 | 1 〉 ， | b 〉 = y 1 | 0 〉 + y 2 | 1 〉

其中 | 0 〉 ， | 1 〉 为计算基， | a 〉 、 | b 〉 表示计算后的概率，并且对它们进行了归一化。

(2) 用量子方法，描述碎纸片间的距离，定义两个态之间的距离为：

C = | a − b | = ( | a | 〈 a | − | b | 〈 b | ) ( | a | | a 〉 − | b | | b 〉 )

添加一个辅助量子比特来构建分类点a到聚类中心b的量子纠缠态，并测量这个纠缠态，从而得到概率和欧氏距离的关系。

步骤1：根据最左边碎纸片边距要大的规律选择出最左边的11个碎纸片

E = { ( | b 1 | | b 1 〉 ) 0 , ( | b 2 | | b 2 〉 ) 0 , ⋯ , ( | b n | | b n 〉 ) 0 }

步骤2：对剩余的碎纸片归类到已有的11类中，其中归类方法是按最小距离原则进行，从而使得距离最近的碎纸片被分为一类。

步骤3：更新聚类中心，聚类中点为

( | b i | | b i 〉 ) t + 1 = ∑ j = 1 m i | a j | | a j 〉 m i

其中 m i 表示中点数， a j 为距离元素。

步骤4：若 ( | b i | | b i 〉 ) t + 1 = ( | b i | | b i 〉 ) t ，结束并输出 ∑ j = 1 m i | a j | | a j 〉 ，否则转至步骤2。

这里我们选择初始聚类中心时，没有用K-means算法的传统方法随机选取，而是通过分析数据的特点即页边距得出了初始聚类中心，大大地减少了迭代次数，从而使运算速度和正确率都有了很大程度地提升。

按照上述算法的四个步骤，利用MATLAB软件进行编程，通过详细运算成功的还原了原图像。碎纸片的聚类结果和排列顺序：(如表2所示)。

表2. 附件3结果顺序表

还原出的结果图：(如图2所示)。

图2. 附件三还原的结果图

事实证明，改进的量子K-means算法的聚类速度和准确率都得到了大幅提升，多次试验后，需要手工辅助的次数也比传统方法少了很多 [ 14 ]。此次实验仅有209个元素，当碎纸片被分割的更细小时，量子算法的优越性将会更好的展现。