如果对称完全二部多重有向图 λ K m , n ∗ 的有向弧集可以分拆为 λ K m , n ∗ 的 P ⇀ k -因子，则称 λ K m , n ∗ 存在 P ⇀ k -因子分解。对称完全二部多重有向图 λ K m , n ∗ 存在 P ⇀ 7 -因子分解的充分必要条件是：1) 3 m ≤ 4 n ，2) 3 n ≤ 4 m ，3) m + n ≡ 0 ( m o d 7 ) ，4) 7 λ m n / [ 3 ( m , n ) ] 是整数。

二部多重有向图，因子，因子分解

Li Zhu

Nantong Vocational University, Nantong Jiangsu

Received: Jul. 26^th, 2021; accepted: Aug. 23^rd, 2021; published: Aug. 30^th, 2021

A P ⇀ k -factorization λ K m , n ∗ is a set of arc-disjoint P ⇀ k -factors of λ K m , n ∗ . A necessary and sufficient condition for P ⇀ 7 -factorization of λ K m , n ∗ is that: 1) 3 m ≤ 4 n , 2) 3 n ≤ 4 m , 3) m + n ≡ 0 ( m o d 7 ) and 4) 7 λ m n / [ 3 ( m + n ) ] .

Keywords:Complete Bipartite Multi-Digraphs, Factor, Factorization

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本文所涉及的图均为有向图。 K m , n * 表示对称完全二部有向图，其点集划分为X和Y两个部分，分别具有m和n个点。 K m , n * 中来自不同部分的两个点有两条方向相反的有向弧相连，同一部分的两个点无有向弧相连。 λ K m , n * 表示多重图，它是 λ 个 K m , n * 的并。如果 λ K m , n * 的子图F包含了图的所有点，则称F为 λ K m , n * 的一个生成子图。 P ⇀ k 是具有k个点的有向路。若 λ K m , n * 生成子图F的每个分支均同构于图 P ⇀ k ，则称F为 λ K m , n * 的一个 P ⇀ k -因子。如果 λ K m , n * 有向弧集可以分拆为 λ K m , n * 的 P ⇀ k -因子，则称 λ K m , n * 存在 P ⇀ k -因子分解。在文献 [ 1 ] 中，Ushio称 λ K m , n * 的 P ⇀ k -因子分解为可分解的 ( m , n , k , λ ) 二部有向路设计。如果 λ K m , n * 存在 P ⇀ k -因子分解，则称 λ K m , n * 是可 P ⇀ k -因子分解的。本文涉及到的其他图论概念，均参照图论著作 [ 2 ] [ 3 ]。

λ K m , n * 的 P ⇀ k -因子分解存在性问题已有许多研究结论。k是偶数时，Ushio [ 1 ]、Wang [ 4 ] 和Du [ 5 ] 完全解决了 λ K m , n * 的 P ⇀ k -因子分解的存在性问题。k是奇数时， λ K m , n * 的 P ⇀ k -因子分解的存在性问题复杂了很多。当 k = 3 时，Ushio [ 6 ]、Du [ 7 ] 和Wang [ 8 ]，完全解决了 λ K m , n * 的 P ⇀ 3 -因子分解的存在性问题。当 k = 5 时，Wang和Du [ 9 ]，完全解决了 λ K m , n * 的 P ⇀ 5 -因子分解的存在性问题。本文研究当 k = 7 时，对称完全二部多重有向图 λ K m , n * 的 P ⇀ 7 -因子分解的存在性。即证明 λ K m , n * 存在 P ⇀ 7 -因子分解的充分必要条件。

定理1.1 对称完全二部多重有向图 λ K m , n * 存在 P ⇀ 7 -因子分解的充分必要条件是：1) 3 m ≤ 4 n ，2) 3 n ≤ 4 m ，3) m + n ≡ 0 ( mod 7 ) ，4) 7 λ m n / [ 3 ( m + n ) ] 是整数。

通过简单计算，可得 λ K m , n * 存在 P ⇀ 7 -因子分解的必要条件。

定理2.1 如果对称完全二部多重有向图 λ K m , n * 存在 P ⇀ 7 -因子分解，则1) 3 m ≤ 4 n ，2) 3 n ≤ 4 m ，3) m + n ≡ 0 ( mod 7 ) ，4) 7 λ m n / [ 3 ( m + n ) ] 是整数。

为了证明 λ K m , n * 存在 P ⇀ 7 -因子分解的充分条件，需要以下几个引理，其中 gcd ( a , b ) 表示a和b的最大公约数。

引理2.2 设 a , b , u 和v是正整数。如果 gcd ( a u , b v ) = 1 ，则 gcd ( u v , a u + b v ) = 1 。

引理2.3 设s是任意正整数。如果 λ K m , n * 存在 P ⇀ 7 -因子分解，则 λ s K m , n * 存在 P ⇀ 7 -因子分解。

引理2.4 设s是任意正整数。如果 λ K m , n * 存在 P ⇀ 7 -因子分解，则 λ K m s , n s * 存在 P ⇀ 7 -因子分解。

引理2.2~2.4的证明参见文献 [ 7 ] [ 8 ]。

引理2.5 K 3 , 4 * 存在 P ⇀ 7 -因子分解。

证明设 K 3 , 4 * 的两个部分点集为 { x 1 , x 2 , x 3 } 和 { y 1 , y 2 , y 3 , y 4 } ，则

y 1 x 1 y 2 x 2 y 3 x 3 y 4 ， y 4 x 3 y 3 x 2 y 2 x 1 y 1 ， y 3 x 1 y 4 x 2 y 1 x 3 y 2 ， y 2 x 3 y 1 x 2 y 4 x 1 y 3

是 K 3 , 4 * 的 P ⇀ 7 -因子分解。

根据引理2.3、2.4和2.5，可得以下结论。

引理2.6 当 4 m = 3 n 或 4 n = 3 m 时， λ K m , n * 存在 P ⇀ 7 -因子分解。

考虑 3 m < 4 n 且 3 n < 4 m 时的情形。此时，设 a = ( 4 n − 3 m ) / 7 ， b = ( 4 m − 3 n ) / 7 ， t = ( m + n ) / 7 和 r = 7 λ m n / [ 3 ( m + n ) ] 。显然 a , b , t , r 是整数，同时 0 < a < m ， 0 < b < n 。于是 3 a + 4 b = m ， 4 a + 3 b = n 。可得 r = 4 λ ( a + b ) + λ a b / [ 3 ( a + b ) ] 。令 z = λ a b / [ 3 ( a + b ) ] ，则z是整数。令 gcd ( 3 a , 4 b ) = d ， 3 a = d p ， 4 b = d q ， gcd ( p , q ) = 1 。因而 z = λ d p q / [ 3 ( 4 p + 3 q ) ] 。通过计算可得下列各式：

d = 3 ( 4 p + 3 q ) z / ( λ p q )

m = 3 ( p + q ) ( 4 p + 3 q ) z / ( λ p q )

n = ( 16 p + 9 q ) ( 4 p + 3 q ) z / ( 4 λ p q )

r = ( p + q ) ( 16 p + 9 q ) z / ( p q )

a = p ( 4 p + 3 q ) z / ( λ p q )

b = 3 q ( 4 p + 3 q ) z / ( 4 λ p q )

为了对上面的则有式子进行分类，我们引入以下引理

引理2.7 1) 假设 gcd ( p , 9 ) = 1 ， gcd ( q , 16 ) = 1 ，令 gcd ( 4 p + 3 q , λ ) = γ ，那么

m = 12 ( p + q ) ( 4 p + 3 q ) s / γ ， n = ( 16 p + 9 q ) ( 4 p + 3 q ) s / γ ，

r = 4 ( p + q ) ( 16 p + 9 q ) s λ / γ ， a = 4 p ( 4 p + 3 q ) s / γ ， b = 3 q ( 4 p + 3 q ) s / γ

这里s为正整数。

2) 假设 gcd ( p , 9 ) = 1 ， gcd ( q , 16 ) = 2 ，设 q = 2 q 1 ，令 gcd ( 2 p + 3 q 1 , λ ) = γ ，那么

m = 6 ( p + 2 q 1 ) ( 2 p + 3 q 1 ) s / γ ， n = ( 8 p + 9 q 1 ) ( 2 p + 3 q 1 ) s / γ ，

r = 2 ( p + 2 q 1 ) ( 8 p + 9 q 1 ) s λ / γ ， a = 2 p ( 2 p + 3 q 1 ) s / γ ， b = 3 q 1 ( 2 p + 3 q 1 ) s / γ

这里s为正整数。

3) 假设 gcd ( p , 9 ) = 1 ， gcd ( q , 16 ) = 4 ，设 q = 4 q 2 ，令 gcd ( 2 ( p + 3 q 2 ) , λ ) = γ ，那么

m = 3 ( p + 4 q 2 ) ( p + 3 q 2 ) s / γ ， n = ( 4 p + 9 q 2 ) ( p + 3 q 2 ) s / γ ，

r = ( p + 4 q 2 ) ( 4 p + 9 q 2 ) s λ / γ ， a = p ( p + 3 q 2 ) s / γ ， b = 3 q 2 ( p + 3 q 2 ) s / γ

这里s为正整数。

4) 假设 gcd ( p , 9 ) = 1 ， gcd ( q , 16 ) = 8 ，设 q = 8 q 3 ，令 gcd ( p + 6 q 3 , λ ) = γ ，那么

m = 3 ( p + 8 q 3 ) ( p + 6 q 3 ) s / γ ， n = 2 ( 2 p + 9 q 3 ) ( p + 6 q 3 ) s / γ ，

r = 2 ( p + 8 q 3 ) ( 2 p + 9 q 3 ) s λ / γ ， a = p ( p + 6 q 3 ) s / γ ， b = 6 q 3 ( p + 3 q 3 ) s / γ

这里s为正整数。

5) 假设 gcd ( p , 9 ) = 1 ， gcd ( q , 16 ) = 16 ，设 q = 16 q 4 ，令 gcd ( p + 12 q 4 , λ ) = γ ，那么

m = 3 ( p + 16 q 4 ) ( p + 12 q 4 ) s / γ ， n = 4 ( p + 9 q 4 ) ( p + 12 q 4 ) s / γ ，

r = 4 ( p + 16 q 4 ) ( p + 9 q 4 ) s λ / γ ， a = p ( p + 12 q 4 ) s / γ ， b = 12 q 4 ( p + 12 q 4 ) s / γ

这里s为正整数。

6) 假设 gcd ( p , 9 ) = 3 ， gcd ( q , 16 ) = 1 ，设 p = 3 p 1 ，令 gcd ( 3 ( 4 p 1 + q ) , λ ) = γ ，那么

m = 12 ( 3 p 1 + q ) ( 4 p 1 + q ) s / γ ， n = 3 ( 16 p 1 + 3 q ) ( 4 p 1 + q ) s / γ ，

r = 4 ( 3 p 1 + q ) ( 16 p 1 + 3 q ) s λ / γ ， a = 12 p 1 ( 4 p 1 + q ) s / γ ， b = 3 q ( 4 p 1 + q ) s / γ

这里s为正整数。

7) 假设 gcd ( p , 9 ) = 3 ， gcd ( q , 16 ) = 2 ，设 p = 3 p 1 ， q = 2 q 1 ，令 gcd ( 2 p 1 + q 1 , λ ) = γ ，那么

m = 6 ( 3 p 1 + 2 q 1 ) ( 2 p 1 + q 1 ) s / γ ， n = 3 ( 8 p 1 + 3 q 1 ) ( 2 p 1 + q 1 ) s / γ ，

r = 2 ( 3 p 1 + 2 q 1 ) ( 8 p 1 + 3 q 1 ) s λ / γ ， a = 6 p 1 ( 2 p 1 + q 1 ) s / γ ， b = 3 q 1 ( 2 p 1 + q ) s / γ

这里s为正整数。

8) 假设 gcd ( p , 9 ) = 3 ， gcd ( q , 16 ) = 4 ，设 p = 3 p 1 ， q = 4 q 2 ，令 gcd ( 6 ( p 1 + q 2 ) , λ ) = γ ，那么

m = 3 ( 3 p 1 + 4 q 2 ) ( p 1 + q 2 ) s / γ ， n = 3 ( 4 p 1 + 3 q 2 ) ( p 1 + q 2 ) s / γ ，

r = 2 ( 3 p 1 + 4 q 2 ) ( 4 p 1 + 3 q 2 ) s λ / γ ， a = 3 p 1 ( p 1 + q 2 ) s / γ ， b = 3 q 2 ( p 1 + q 2 ) s / γ

这里s为正整数。

9) 假设 gcd ( p , 9 ) = 3 ， gcd ( q , 16 ) = 8 ，设 p = 3 p 1 ， q = 8 q 3 ，令 gcd ( 3 ( p 1 + 2 q 3 ) , λ ) = γ ，那么

m = 3 ( 3 p 1 + 8 q 3 ) ( p 1 + 2 q 3 ) s / γ ， n = 6 ( 2 p 1 + 3 q 3 ) ( p 1 + 2 q 3 ) s / γ ，

r = 2 ( 3 p 1 + 8 q 3 ) ( 2 p 1 + 3 q 3 ) s λ / γ ， a = 3 p 1 ( p 1 + 2 q 3 ) s / γ ， b = 6 q ( p 1 + 2 q 3 ) s / γ

这里s为正整数。

10) 假设 gcd ( p , 9 ) = 3 ， gcd ( q , 16 ) = 16 ，设 p = 3 p 1 ， q = 16 q 4 ，令 gcd ( 3 ( p 1 + 4 q 4 ) , λ ) = γ ，那么

m = 3 ( 3 p 1 + 16 q 4 ) ( p 1 + 4 q 4 ) s / γ ， n = 12 ( p 1 + 3 q 4 ) ( p 1 + 4 q 4 ) s / γ ，

r = 4 ( 3 p 1 + 16 q 4 ) ( p 1 + 3 q 4 ) s λ / γ ， a = 3 p 1 ( p 1 + 4 q 4 ) s / γ ， b = 12 q 4 ( p 1 + 4 q 4 ) s / γ

这里s为正整数。

11) 假设 gcd ( p , 9 ) = 9 ， gcd ( q , 16 ) = 1 ，设 p = 9 p 2 ，令 gcd ( 12 p 2 + q , λ ) = γ ，那么

m = 4 ( 9 p 2 + q ) ( 12 p 2 + q ) s / γ ， n = 3 ( 16 p 2 + 3 q ) ( 12 p 2 + q ) s / γ ，

r = 4 ( 9 p 2 + q ) ( 16 p 1 + q ) s λ / γ ， a = 12 p 2 ( 12 p 2 + q ) s / γ ， b = q ( 12 p 2 + q ) s / γ

这里s为正整数。

12) 假设 gcd ( p , 9 ) = 9 ， gcd ( q , 16 ) = 2 ，设 p = 9 p 2 ， q = 2 q 1 ，令 gcd ( 6 p 2 + q 1 , λ ) = γ ，那么

m = 2 ( 9 p 2 + 2 q 1 ) ( 6 p 2 + q 1 ) s / γ ， n = 3 ( 8 p 2 + q 1 ) ( 6 p 2 + q 1 ) s / γ ，

r = 2 ( 9 p 2 + 2 q 1 ) ( 8 p 2 + 3 q 1 ) s λ / γ ， a = 6 p 2 ( 6 p 2 + q 1 ) s / γ ， b = q 1 ( 6 p 2 + q 1 ) s / γ

这里s为正整数。

13) 假设 gcd ( p , 9 ) = 9 ， gcd ( q , 16 ) = 4 ，设 p = 9 p 2 ， q = 4 q 2 ，令 gcd ( 2 ( 3 p 2 + q 2 ) , λ ) = γ ，那么

m = ( 9 p 2 + 4 q 2 ) ( 3 p 2 + q 2 ) s / γ ， n = 3 ( 4 p 2 + q 2 ) ( 3 p 2 + q 2 ) s / γ ，

r = ( 9 p 2 + 4 q 2 ) ( 4 p 2 + q 2 ) s λ / γ ， a = 3 p 2 ( 3 p 2 + q 2 ) s / γ ， b = q 2 ( 3 p 2 + q 2 ) s / γ

这里s为正整数。

14) 假设 gcd ( p , 9 ) = 9 ， gcd ( q , 16 ) = 8 ，设 p = 9 p 2 ， q = 8 q 3 ，令 gcd ( 3 p 2 + 2 q 3 , λ ) = γ ，那么

m = ( 9 p 2 + 8 q 3 ) ( 3 p 2 + 2 q 3 ) s / γ ， n = 6 ( 2 p 2 + q 3 ) ( 3 p 2 + 2 q 3 ) s / γ ，

r = 2 ( 9 p 2 + 8 q 3 ) ( 2 p 2 + q 3 ) s λ / γ ， a = 3 p 2 ( 3 p 2 + 2 q 3 ) s / γ ， b = 2 q 3 ( 3 p 2 + 2 q 3 ) s / γ

这里s为正整数。

15) 假设 gcd ( p , 9 ) = 9 ， gcd ( q , 16 ) = 16 ，设 p = 9 p 2 ， q = 16 q 4 ，令 gcd ( 3 p 2 + 4 q 4 , λ ) = γ ，那么

m = ( 9 p 2 + 16 q 4 ) ( 3 p 2 + 4 q 4 ) s / γ ， n = 12 ( p 2 + q 4 ) ( 3 p 2 + 4 q 4 ) s / γ ，

r = 4 ( 9 p 2 + 16 q 4 ) ( p 2 + q 4 ) s λ / γ ， a = 3 p 2 ( 3 p 2 + 4 q 4 ) s / γ ， b = 4 q 4 ( 3 p 2 + 4 q 4 ) s / γ

这里s为正整数。

证明 (1)根据题意有 gcd ( p , 9 ) = gcd ( q , 16 ) = gcd ( p , q ) = 1 ，所以 gcd ( 16 p + 9 q , 2 ) = gcd ( 4 p + 3 q , 2 ) = 1 且 gcd ( 16 p , 9 q ) = gcd ( 4 p , 3 q ) = 1 。这样

n = ( 16 p + 9 q ) ( 4 p + 3 q ) z / ( 4 λ p q ) 。

根据引理2.2，得 gcd ( p q , 16 p + 9 q ) = gcd ( p q , 4 p + 3 q ) = 1 。于是 z / ( 4 p q ) 是正整数。设 z ′ = z / ( 4 p q ) 。令 gcd ( 4 p ( 4 p + 3 q ) , λ ) = γ 1 ， gcd ( q ( 4 p + 3 q ) , λ ) = γ 2 。由 a = 4 p ( 4 p + 3 q ) z ′ / λ ， b = 3 q ( 4 p + 3 q ) z ′ / λ 。可得 z ′ γ 1 / λ 和 z ′ γ 2 / λ 是正整数。由于 gcd ( 4 p , 3 q ) = 1 ，因此 z ′ γ / λ 是正整数，其中 gcd ( 4 p + 3 q , λ ) = γ 。记 s = z ′ γ / λ ，于是可得1)中的结论。

2)~15)中各式的结论同理可证。

引理2.8 设 η ，p和q是正整数，如果 m = 3 ( p + 4 q ) ( p + 3 q ) ， n = ( 4 p + 9 q 2 ) ( p + 3 q ) ，那么当 ( p + 3 q ) / η 是正整数时， η K m , n * 存在 P ⇀ 7 -因子分解。

证明 设 r = ( p + 4 q ) ( 4 p + 9 q ) ， a = p ( p + 3 q ) ， b = 3 q ( p + 3 q ) ， r 1 = p + 4 q 和 r 2 = 4 p + 9 q 。并设X和Y是多重二部图 η K m , n * 的两个部分点集

X = { x i j | 1 ≤ i ≤ r 1 ,   1 ≤ j ≤ 3 ( p + 3 q ) / η } ，

Y = { y i j | 1 ≤ i ≤ r 2 ,   1 ≤ j ≤ ( p + 3 q ) / η } 。

以下通过直接构造，证明 η K m , n 存在 P ⇀ 7 -因子分解。约定 x i j 的第一个下标i和第二个下标j分别在 { 1 , 2 , ⋯ , r 1 } 和 { 1 , 2 , ⋯ , 3 ( p + 3 q ) / η } 中进行模 r 1 和模 3 ( p + 3 q ) / η 的运算； y i j 的第一个下标i和第二个下标j分别在 { 1 , 2 , ⋯ , r 2 } 和 { 1 , 2 , ⋯ , ( p + 3 q ) / η } 中进行模 r 2 和模 ( p + 3 q ) / η 的运算。

对于正整数i， 1 ≤ i ≤ p ，构造如下有向弧集

E i = { x i , j + ( u − 1 ) ( p + 3 q ) / η y 4 ( i − 1 ) + u , j + i : 1 ≤ j ≤ ( p + 3 q ) / η , 1 ≤ u ≤ 3 }               ∪ { y 4 ( i − 1 ) + u + 1 , j + i + 1 x i , j + ( u − 1 ) ( p + 3 q ) / η : 1 ≤ j ≤ ( p + 3 q ) / η , 1 ≤ u ≤ 3 } 。

对于正整数i， 1 ≤ i ≤ q ，构造如下有向弧集

E p + i = { x p + 4 ( i − 1 ) + u , j + ( v − 1 ) ( p + 3 q ) / η y 4 p + 9 ( i − 1 ) + 3 ( v − 1 ) + u , p + 3 ( i − 1 ) + u + j : 1 ≤ j ≤ ( p + 3 q ) / η , 1 ≤ u , v ≤ 3 }                     ∪ { y 4 p + 9 ( i − 1 ) + 3 ( v − 1 ) + u , p + 3 ( i − 1 ) + u + j x p + 4 ( i − 1 ) + u + 1 , j + ( v − 1 ) ( p + 3 q ) / η : 1 ≤ j ≤ ( p + 3 q ) / η , 1 ≤ u , v ≤ 3 } 。

记 F = ∪ 1 ≤ i ≤ p + q E i ，那么F是 η K m , n * 的一个 P ⇀ 7 -因子。定义一个双射

σ : σ ( x i , j ) = x i + 1 , j , σ ( y i , j ) = y i + 1 , j 。

对于每一个i和每一个j(其中 i ∈ { 1 , 2 , ⋯ , r 1 } ， j ∈ { 1 , 2 , ⋯ , r 2 } )，令

F i , j = { σ i ( x j ) σ i ( y j ) | x ∈ X , y ∈ Y , x y ∈ F } 。

通过验证可知每一个 F i , j ( 1 ≤ i ≤ r 1 , 1 ≤ j ≤ r 2 ) 都是 η K m , n * 的 P ⇀ 7 -因子。并且它们有限弧集的并构成 η K m , n * ，于是 { F i , j ( 1 ≤ i ≤ r 1 , 1 ≤ j ≤ r 2 ) } 就是 η K m , n * 的一个 P ⇀ 7 -因子分解。

下列引理2.9和引理2.10的证明过程同引理2.8类似，我们在证明中只写出二部图的两个部分点集X、Y的表达式和有向弧集 E i 、 E p + i 的表达式。

引理2.9 设 η ，p和q是正整数，如果 m = 12 ( 3 p + q ) ( 4 p + q ) ， n = 3 ( 16 p + 3 q ) ( 4 p + q ) ，那么当 3 ( 4 p + q ) / η 是正整数时， η K m , n * 存在 P ⇀ 7 -因子分解。

证明 设 r = 4 ( 3 p + q ) ( 16 p + q ) ， a = 12 p ( 4 p + q ) ， b = 3 q ( 4 p + q ) ， r 1 = 4 ( 3 p + q ) 和 r 2 = 16 p + q 。并设

X = { x i j | 1 ≤ i ≤ r 1 , 1 ≤ j ≤ 3 ( 4 p + q ) / η } ，

Y = { y i j | 1 ≤ i ≤ r 2 , 1 ≤ j ≤ 3 ( 4 p + q ) / η } 。

对于正整数i ( 1 ≤ i ≤ 4 p )，构造有向弧集

E i = { x 3 ( i − 1 ) + u , j y 4 ( i − 1 ) + u , j + 3 ( i − 1 ) + u : 1 ≤ j ≤ 3 ( 4 p + q ) / η , 1 ≤ u ≤ 3 }               ∪ { y 4 ( i − 1 ) + u + 1 , j + 3 ( i − 1 ) + u + 1 x 3 ( i − 1 ) + u , j : 1 ≤ j ≤ 3 ( 4 p + q ) / η , 1 ≤ u ≤ 3 }

对于正整数i ( 1 ≤ i ≤ q )，构造有向弧集

E p + i = { x 12 p + 4 ( i − 1 ) + u , j y 16 p + 3 ( i − 1 ) + u , 12 p + 3 ( i − 1 ) + u + j : 1 ≤ j ≤ 3 ( 4 p + q ) / η , 1 ≤ u ≤ 3 }                     ∪ { y 16 p + 3 ( i − 1 ) + u , 12 p + 3 ( i − 1 ) + u + j x 12 p + 4 ( i − 1 ) + u + 1 , j : 1 ≤ j ≤ 3 ( 4 p + q ) / η , 1 ≤ u ≤ 3 } 。

引理2.10 设 η ，p和q是正整数，如果 m = 6 ( 3 p + 2 q ) ( 2 p + q ) ， n = 3 ( 8 p + 3 q ) ( 2 p + q ) ，那么当 3 ( 2 p + q ) / η 是正整数时， η K m , n * 存在 P ⇀ 7 -因子分解。

证明 设 r = 2 ( 3 p + 2 q ) ( 8 p + 3 q ) ， a = 6 p ( 2 p + q ) ， b = 3 q ( 2 p + q ) ， r 1 = 2 ( 3 p + 2 q ) 和 r 2 = 8 p + 3 q 。并设

X = { x i j | 1 ≤ i ≤ r 1 , 1 ≤ j ≤ 3 ( 2 p + q ) / η } ，

Y = { y i j | 1 ≤ i ≤ r 2 , 1 ≤ j ≤ 3 ( 2 p + q ) / η } 。

对于正整数i ( 1 ≤ i ≤ 2 p )，构造有向弧集

E i = { x 3 ( i − 1 ) + u , j y 4 ( i − 1 ) + u , j + 3 ( i − 1 ) + u : 1 ≤ j ≤ 3 ( 2 p + q ) / η , 1 ≤ u ≤ 3 }               ∪ { y 4 ( i − 1 ) + u + 1 , j + 3 ( i − 1 ) + u + 1 x 3 ( i − 1 ) + u , j : 1 ≤ j ≤ 3 ( 2 p + q ) / η , 1 ≤ u ≤ 3 } 。

对于正整数i ( 1 ≤ i ≤ q )，构造有向弧集

E p + i = { x 6 p + 4 ( i − 1 ) + u , j y 8 p + 3 ( i − 1 ) + u , 6 p + 3 ( i − 1 ) + u + j : 1 ≤ j ≤ 3 ( 2 p + q ) / η , 1 ≤ u ≤ 3 }                     ∪ { y 8 p + 3 ( i − 1 ) + u , 6 p + 3 ( i − 1 ) + u + j x 6 p + 4 ( i − 1 ) + u + 1 , j : 1 ≤ j ≤ 3 ( 2 p + q ) / η , 1 ≤ u ≤ 3 } 。

引理2.8~2.10构造了引理2.7中情形3、情形6和情形7的 P ⇀ 7 -因子分解。分别令引理2.8中p的为 2 p ′ 、 3 p ′ 、 4 p ′ 、 2 q ′ 、 4 q ′ ，可得到引理2.7中的情形2、情形8、情形1、情形4和情形5，再将情形1~7中的p和q互换，则得情形9~15。于是结合引理2.3~2.10，我们可得 λ K m , n * 存在 P ⇀ 7 -因子分解的充分条件。

定理2.11 如果正整数 λ ，m和n满足1) 3 m ≤ 4 n ，2) 3 n ≤ 4 m ，3) m + n ≡ 0 ( mod 7 ) ，4) 7 λ m n / [ 3 ( m + n ) ] 是整数，则对称的完全二部多重有向图 λ K m , n * 存在 P ⇀ 7 -因子分解。

结合定理2.1和定理2.11，即可完成定理1.1的证明。

国家自然科学基金资助项目(11571251)。

朱 莉. 对称的完全二部多重有向图的_P7^⇀-因子分解_P7^⇀-Factorization of Symmetric Complete Bipartite Multi-Digraphs[J]. 应用数学进展, 2021, 10(08): 2881-2887. https://doi.org/10.12677/AAM.2021.108301