在本文中我们研究了Möbius梯状图ML_n的反强迫谱，并得到了一个关于ML_n的反强迫多项式和Lucas数列关系的等式。

Möbius梯状图ML_n，完美匹配，反强迫谱，反强迫多项式，Lucas数列

Yutong Liu¹, Hui Han¹, Jiebin Wang^2*

¹College of Mathematics and Statistics, Northwest Normal University, Lanzhou Gansu

²Jiuquan Middle School, Jiuquan Gansu

Received: Jul. 23^rd, 2021; accepted: Aug. 15^th, 2021; published: Aug. 26^th, 2021

In this paper, we study the anti-forcing spectrum of ML_n and get an equation about the relationship between the anti-forcing polynomial of ML_n and Lucas sequence.

Keywords:Möbius Ladder Graph ML_n, Perfect Matching, Anti-Forcing Spectrum, Anti-Forcing Polynomial, Lucas Sequence

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Vukičević、Trinajstić和H. Lei、Y. Yeh、H. Zhang分别介绍了图G的反强迫数 [1]、完美匹配M的反强迫数及反强迫谱 [2]。设M是图G其中的一完美匹配。称子集 S a ⊆ E ( G ) \ M 为M的反强迫集，若 G − S a 有惟一的完美匹配M。M的最小反强迫集的大小被称为M的反强迫数，记作 a f ( G , M ) 。 S p e c a f ( G ) = { a f ( G , M ) | M 是 G 的 任 一 完 美 匹 配 } 。2015年，H. Hwang、H. Lei、Y. Yeh、H. Zhang介绍了图G的反强迫多项式的概念 [3] [4]。

在第1节中，我们介绍了一些定义、符号和结论。在第2节中，我们研究了Möbius梯状图 M L n 的反强迫数 a f ( M L n , M ) 和 M L n 的反强迫谱 S p e c a f ( M L n ) 。在第3节中，我们根据完美匹配的反强迫谱 S p e c a f ( M L n ) 和个数 | M | ，得到了一个关于 M L n 的反强迫多项式和Lucas数列的等式。

设M是图G的一个完美匹配。

如果G中的两个M-交错圈要么不交，要么只相交在M中的边，则称它们是M-相容的。如果在一个集合 A 中任选2个M-交错圈都是M-相容的，则 A 就是一个相容M-交错集。我们用 c ′ ( M ) 表示图G的最大相容M-交错集的大小。

定义1 [3] [4] 图G的反强迫多项式定义为：

A f ( G , x ) = ∑ M ∈ Μ x a f ( G , M ) = ∑ i = a f ( G , M ) A f ( G , M ) ϖ ( G , i ) x i

其中 ϖ ( G , i ) 表示的是反强迫数为i的完美匹配的数目，M表示G的全部完美匹配所组成的集合。

引理1 [2] 若M是图G其中一完美匹配，则 a f ( G , M ) ≥ c ′ ( M ) 。若图G是平面二部图，则

a f ( G , M ) = c ′ ( M ) .

定义2 梯子图 L n = P n × P 2 ，现将 L n 水平放置，将其顶点依次标号为 a 1 , a 2 , ⋯ , a n , b 1 , b 2 , ⋯ , b n 。如图1 [5]。

图1. 梯子图 L n

在图 L n 中，边 a i b i 和边 a i a i + 1 , b i b i + 1 分别被称为竖直边和水平边。设M是图 L n 的完美匹配， a i b i ∈ M 称为M的竖直边， a i a i + 1 , b i b i + 1 ∈ M 称为M的水平边。

定义3 在梯子图 L n 上添加边 a 1 a n 和 b 1 b n 就得到循环梯状图 C L n ，即 C L n = C n × P 2 ， n ≥ 3 ，如图2 [5]。类似地，在梯子图 L n 上添加边 a 1 b n 和 a n b 1 就得到Möbius梯状图 M L n ，如图3 [6]。

图2. 循环梯状图 C L n

图3. Möbius梯状图 M L n

类比于 L n ，在图 C L n 和 M L n 中，类似于 a i b i 的边叫做竖直边，类似于 a i a i + 1 , b i b i + 1 , a 1 a n , b 1 b n , a 1 b n , a n b 1 的边叫做水平边。设M是图 C L n 和 M L n 中的一完美匹配， a i b i ∈ M 称作M的竖直匹配边， a i a i + 1 , b i b i + 1 , a 1 a n , b 1 b n , a 1 b n , a n b 1 ∈ M 称作M的水平匹配边。

在本节的引理中，我们都给定M是 L n 的一个完美匹配，故下面引理中不在赘述。

引理2 [7] 设M有 p ( p ≥ 1 ) 条竖直匹配边，则 n ≡ p ( mod 2 ) ，并且 a i a i + 1 ∈ M ⇔ b i b i + 1 ∈ M 。

定理1 [5] 如果 a i b i ∈ M ， 2 ≤ i ≤ n − 1 ，则 a f ( L n , M ) = a f ( L ( 1 ) , M 1 ) + a f ( L ( 2 ) , M 2 ) ， M j = M ∩ E ( L ( j ) ) ， j = 1 , 2 ， L ( 1 ) 和 L ( 2 ) 分别是 L n 关于顶点集 { a 1 , a 2 , ⋯ , a i , b 1 , b 2 , ⋯ , b i } 和 { a i , a i + 1 , ⋯ , a n , b i , b i + 1 , ⋯ , b n } 导出的梯子图。

Lucas数列中 l 0 = 2 ， l 1 = 1 ，且它的递推关系为 l n = l n − 1 + l n − 2 。

引理3 [8] Lucas数列的第n项为 l n = ∑ i = 0 n n n − i ( n − i i ) 。

显然， L n 、 C L n 、 M L n 都是Hamilton圈。

引理4 当 p = 0 时，从 M L n 中删去所有竖直边后，所有水平边(含 a 1 b n 和 a n b 1 )构成的图正好是一个2n长的圈 C 2 n = a 1 a 2 ⋯ a n b 1 b 2 ⋯ b n a 1 ，一定存在完美匹配。

设M是 M L n 中含有p条竖直匹配边的完美匹配，设 a 1 b 1 ∈ M 。如果边 b n a 1 , a 1 b 1 , b 1 b 2 或 a n b 1 , b 1 a 1 , a 1 a 2 在M-交错圈C中同时存在，则称M-交错圈C跨过 a 1 b 1 。

引理5 [5] 在 M L n 中，如果边 b n a 1 , a 1 b 1 , b 1 b 2 或 a n b 1 , b 1 a 1 , a 1 a 2 在M-交错圈C中同时存在。则当n为奇数时，M-交错圈必然会跨过p条竖直边，从而有且仅有两个 n + p 长的M-交错圈；而当n是偶数时，不存在M-交错圈。

我们在边 a 1 b 1 处把 M L n 分裂成了 L n + 1 ，如图4 [6] 所示。在 L n + 1 中，假设 a i b i , a j b j ∈ M 是两条相继竖直边，则由 a i b i , a j b j 以及它们中间的全部水平边构成的子图被称为 M L n 的片段。

图4. M L n 在边 a 1 b 1 处分裂为 L n + 1

同理于 L n 的分解定理，对于 M L n 我们有

定理2 设M是 M L n 的完美匹配，而且M含有 p ( p ≥ 2 ) 条竖直匹配边，则 a f ( M L n , M ) = a f ( L ( 1 ) , M 1 ) + a f ( L ( 2 ) , M 2 ) + ⋯ + a f ( L ( p ) , M p ) ， M j = M ∩ E ( L ( j ) ) ， j = 1 , 2 , ⋯ , p ， L ( 1 ) , L ( 2 ) , ⋯ , L ( p ) 是 M L n 的p个片段。

引理6 设 n ≥ 2 ，M是 M L n 的完美匹配，且 p = 0 ，则有 a f ( M L n , M ) = { n + 2 2 , n 为 偶 数 3 , n 为 奇 数 。

证明 当 p = 0 时，n可以是偶数，也可以是奇数，从而分情况讨论。设 a 1 a 2 ∈ M 。

情形1：n是偶数时， M = { a 1 a 2 , a 3 a 4 , ⋯ , a n − 1 a n , b 1 b 2 , ⋯ , b n − 1 b n } 。(此时 a i a i + 1 ∈ M ⇔ b i b i + 1 ∈ M ，如下图5 [6] )。相容M-交错集 A 是由 n 2 个M-交错4圈及M-交错圈C构成的，从而 | A | = n 2 + 1 = n + 2 2 ，所以有 a f ( M L n , M ) ≥ | A | = n + 2 2 。在 M L n 中取M的反强迫集 S = { a 1 b n , a 1 b 1 , a 3 b 3 , ⋯ , a n − 1 b n − 1 } ，且 | S | = n + 2 2 。所以 a f ( M L n , M ) ≤ | S | = n + 2 2 。

综上所述，当n是偶数且 p = 0 时， a f ( M L n , M ) = n + 2 2 。

情形2：n为奇数时， M = { a 1 a 2 , a 3 a 4 , ⋯ , a n − 2 a n − 1 , a n b 1 , b 2 b 3 , ⋯ , b n − 1 b n } (此时M中水平匹配边不成对出现，如下图6 [6] )。取M-交错圈 C 1 = b 1 b 2 ⋯ b n a n b 1 ， C 2 = b 1 a 1 a 2 ⋯ a n b 1 ， C 3 = a 1 a 2 b 2 b 3 a 3 a 4 ⋯ b n − 1 b n a 1 ，得到相容M-交错集 A ，此时 | A | = 3 ，所以有 a f ( M L n , M ) ≥ | A | = 3 。取 S = { a 1 b n , a 1 b 1 , b 1 b 2 } 是 M L n 的一个反强迫集，并且 | S | = 3 ，所以 a f ( M L n , M ) ≤ 3 。

图5. M L n 的完美匹配M

图6. M L n 的完美匹配M

综上所述，当n是奇数且 p = 0 时， a f ( M L n , M ) = 3 。

根据引理6，我们有下面的引理。

引理7 设M是 M L n 的一个含有p条竖直边的完美匹配。当 p = 0 ，n可以是偶数，也可以是奇数；只有n是偶数时，水平匹配边才成对出现。而当 p ≥ 1 时，一定有 n ≡ p ( mod 2 ) ，且 a i a i + 1 ∈ M ⇔ b i b i + 1 ∈ M 。

引理8 设 n ≥ 2 ，M是 M L n 的完美匹配，且 p = 1 ，则有 a f ( M L n , M ) = n + 3 2 。

证明 当 p = 1 时，n必为奇数。在 M L n 中取M-交错圈 C 1 = a 1 a 2 ⋯ a n b 1 a 1 ， C 2 = b 1 b 2 ⋯ b n a 1 b 1 和 n − 1 2 个与 C 1 , C 2 M-相容的M-交错4圈，得到相容M-交错集 A ，所以 | A | = 2 + n − 1 2 = n + 3 2 ，所以有 a f ( M L n , M ) ≥ c ′ ( M ) ≥ | A | = n + 3 2 。 M L n 在中取M的反强迫集 S = { a 1 b n , a 1 a 2 , a 2 b 2 , a 4 b 4 , ⋯ , a n − 1 b n − 1 } ，且 | S | = n + 3 2 。所以 a f ( M L n , M ) ≤ | S | = n + 3 2 。

综上所述，当 n ≥ 3 是奇数且 p = 1 时， a f ( M L n , M ) = n + 3 2 。

引理9 设 n ≥ 2 ，M是 M L n 的一个含p条竖直边的完美匹配， 2 ≤ p ≤ n ，则M的反强迫数为 a f ( M L n , M ) = n + p 2 。

证明 当 2 ≤ p ≤ n 时，在 M L n 中，相容M-交错集 A 中包含 n − p 2 个M-交错4圈和p个M-交错圈，此时 | A | = p + n − p 2 = n + p 2 ，所以有 a f ( M L n , M ) ≥ c ′ ( M ) ≥ | A | = n + p 2 。

在M的p条竖直边处把 M L n 分裂成p个片段 { d 1 , d 2 , ⋯ , d p } ，然后从第一个片段里取出反强迫集 S 1 = { a 1 a 2 , a 2 b 2 , a 4 b 4 , ⋯ , a 2 i − 2 b 2 i − 2 } ，从而 d i ( 1 ≤ i ≤ p ) 的反强迫集的并S就是 M L n 的一个反强迫集，并且

| S | = n + p 2 ，因此有 a f ( M L n , M ) ≤ | S | = n + p 2 。

综上所述，可得当 2 ≤ p ≤ n 时，有 a f ( M L n , M ) = n + p 2 。

在引理6，引理8，引理9的证明过程中，我们需要借助 [9] 中引理5，从而我们得到了下面的定理。

定理3

S p e c a f ( M L n ) = { { 3 } , n = 3 { 3 , n + 3 2 , n + 5 2 , ⋯ , n } , n ≥ 5 是 奇 数 { n + 2 2 , n + 4 2 , ⋯ , n } , n ≥ 2 是 偶 数

从而当 n ≥ 7 为奇数时 S p e c a f ( M L n ) 是不连续的；当 n ≥ 2 为偶数或 n = 3 , 5 时 S p e c a f ( M L n ) 是连续的。

我们根据定理3，容易得出下面的推论。

推论1 1) a f ( M L n ) = { 3 ,       若 n ≥ 3 是 奇 数 n + 2 2 ,     若 n ≥ 2 是 偶 数

2) A f ( M L n ) = n 。

定理4 在Möbius梯状图ML_n中，设包含2q条水平边的完美匹配一共有 | M | 个，则 | M | = n n − q ( n − q n ) 。

证明 当n是奇数时，p也是奇数。设M是 M L n 的一个完美匹配，且M含有2q条水平匹配边必成对

出现，则M含有 p = n − 2 q 条竖直匹配边，其中 0 ≤ q ≤ n − 1 2 ， 1 ≤ p ≤ n 。

当 a 1 b n , b 1 a n ∈ M 时，当我们删掉 a 1 , b 1 , a n , b n 这4个顶点后就得到了 L n − 2 ，所以只需要计算出 L n − 2 (含有 2 q − 2 条水平匹配边)的完美匹配个数即可，设 M L n 有 | M 1 | 个完美匹配，故根据 [5] 中推论2得到 | M 1 | = ( n − 2 − p 2 + p p ) = ( n + p − 2 2 p ) = ( n − q − 1 n − 2 q ) = ( n − q − 1 q − 1 ) 。

当 a 1 b n , b 1 a n ∉ M 时，设 M L n 的完美匹配个数 | M 2 | ，删掉水平边 a 1 b n , b 1 a n 后就得到了 L n ，从而我们只需要计算出 L n (包含2q条水平匹配边)的完美匹配个数即可，故根据 [5] 中推论2可得

| M 2 | = ( n − p 2 + p p ) = ( n + p 2 p ) = ( n − q n − 2 q ) = ( n − q q ) 。

因此当n为奇数且 p ≥ 1 时， | M | = | M 1 | + | M 2 | = n n − q ( n − q q ) 。

当n为奇数，且 a i a i + 1 ∈ M 与 b i b i + 1 ∈ M 不同时存在时，有 n = q ，且 | M | = 2 。

当n是偶数时，p也为偶数。设M是 M L n 的一个完美匹配，且M含有2q条水平匹配边必成对出现，则M含有 p = n − 2 q 条竖直匹配边，其中 0 ≤ q ≤ n 2 ， 0 ≤ p ≤ n 。当 p ≥ 2 时，类似于n为奇数时，将 M L n 化为梯子图计算，就有 | M | = n n − q ( n − q q ) ；而当 p = 0 时， n = 2 q ，就有 2 q 2 q − q ( 2 q − q q ) = 2 = | M | 。

由定理3和定理4，我们有下面这个定理。

定理5 M L n 的反强迫多项式为：

A f ( M L n , x ) = { 3 x 2 ,     n = 2 6 x 3 ,     n = 3 2 x 3 + ( n ( n 2 − 1 ) 24 + n ) x n + 3 2 + ∑ q = 0 n − 5 2 n n − q ( n − q q ) x n − q ,     n ≥ 5 是 奇 数 ( n 2 4 + 2 ) x n + 2 2 + ∑ q = 0 n − 4 2 n n − q ( n − q q ) x n − q ,     n ≥ 4 是 偶 数

根据引理3和定理5，我们有：

推论2 Möbius梯状图 M L n 的完美匹配个数 | M | = { l n + 2 , 若 n ≥ 3 是 奇 数 l n , 若 n ≥ 2 是 偶 数 。

注：这与循环梯状图 C L n 中的结论，奇偶是相反的，详细可见 [3]。

地区科学基金(12161081)。

刘雨童,韩 慧,王杰彬. MO^¨bius梯状图的完美匹配的反强迫多项式和卢卡斯数The Anti-Forcing Polynomial of Perfect Matching of MO^¨bius Ladder Graph and Lucas Number[J]. 应用数学进展, 2021, 10(08): 2868-2874. https://doi.org/10.12677/AAM.2021.108299