计算超声速导弹以4.3 Ma飞行时产生的气动热，自由来流条件选取20 km处大气条件，计算条件 [ 9 ] [ 10 ] 为：温度216.7 K，密度为0.08891 kg/m³。

依据热流经验公式得到驻点热流

q s = 1105 × 10 5 R N ( ρ ∞ 1.206 ) 0.5 ( v ∞ 7900 ) 3.15 (1)

式中R为曲率半径， ρ 是密度，v是飞行速度。

按照计算得到的驻点热流值，以线性过渡的方法沿导弹弹头壁面施加变化的热流。

假设所用SiC陶瓷为各向同性材料，不同方向上的导热系数相同，采用傅里叶方程

ρ c ∂ T ∂ t = λ ∂ 2 T ∂ x 2 + λ ∂ 2 T ∂ y 2 + λ ∂ 2 T ∂ z 2 (2)

初始条件为

T | t = 0 = T 0 ( x , y , z )

已知物理边界上的热流密度，边界条件为

( λ x ∂ T ∂ x n x + λ y ∂ T ∂ y n y + λ z ∂ T ∂ z n z ) | s = q x ( x , y , z , t )

式中， ρ 是密度； λ x , λ y , λ z 为导热系数，c为比热容，T为温度，t为时间，q为热流密度。

建立瞬态导热有限元方程，有限元格式采用部分离散的方法，在空间域内进行有限元离散后，得到一阶常微分方程组，采用时间离散+直接积分的方法进行求解 [ 11 ]。空间域离散为节点温度的常微分方程初值问题。

[ C ] e { T ˙ } e + [ K ] e { T } e = { P } e (3)

C i j = ∫ Ω e ρ c N i N j d Ω

K i j = ∫ Ω e ( λ x ∂ N i ∂ x ∂ N j ∂ x + λ y ∂ N i ∂ y ∂ N j ∂ y ) d Ω + ∫ Γ 3 e h N i N j d Γ

P i = ∫ Γ 2 e N i q s d Γ + ∫ Γ 3 e N i h T f d Γ

其中， C i j 为热容矩阵元素， K i j 为温度刚度矩阵元素， p i 为节点等效温度荷载元素。

对时间进行离散，分为若干个单元，在每一个时间单元内，采用向后拆分格式代替微分

∂ T ∂ t = T t − T t − Δ t Δ t (4)

代入(3)式得

[ C Δ t + K ] { T } t = [ C ] Δ t { T } t − Δ t + { P } t (5)

热应力分析与温度场分析采用相同的有限元网格，假设弹性模量和泊松比为常数。假设材料为各向同性，变形不影响温度，热膨胀只产生线应变，不产生切应变 [ 12 ]。

依据线弹性理论，应变由温度变化和应力共同引起

{ ε } = { ε e } + { ε 0 } (6)

受热体弹性体的应变能

Π = 1 2 ∑ e { δ } e T [ K ] e { δ } e − ∑ e { δ } e T { F T } e (7)

单元刚度矩阵和热荷载分别为

[ K ] e = ∫ V e [ B ] T [ D ] [ B ] d v

{ F T } e = ∫ V e [ B ] T [ D ] { ε 0 } d v

由最小势能原理，得自由膨胀受到约束单元的平衡方程

[ K ] e { δ } e = { F T } e (8)

针对超声速导弹弹头热应力问题，拟利用有限元方法对其计算分析，分析过程如图2所示。

图2. 有限元分析过程

使用MSC.Patran前/后处理软件，根据结构尺寸建立有限元模型，使用XYZ空间直角坐标系，弹头的中心轴为Y轴，网格划分13610个三维四面体单元，三维模型示意图如图3所示，有限元网格如图4所示。

图3. 三维模型示意图

图4. 有限元网格示意图

将计算得到的4.3 Ma飞行导弹的气动热载荷施加到结构表面，沿弹头壁面施加变化的热流 [ 13 ]，图5可以看出弹头表面的热流分布情况，驻点处热流最大为3 × 10⁵W/m²，后缘热流最低为1.5 × 10³W/m²。沿模型中心轴方向(Y方向)，等距取结构面上的节点热流，得到表面热流分布曲线如图6所示。

在弹头模型后缘施加等效固定约束，使结构三个方向自由度为0，以简化导弹弹体对弹头的约束作用，方便分析弹头在气动热下的应力和位移。

图5. 热流边界条件

图6. 表面热流分布曲线

利用Nastran求解器进行热分析计算，求得模型的温度场，获得结构网格各个节点温度随时间变化的历程。取最大时刻400 s时的温度分布如图7所示，弹头温度分布由末端沿纵向位置逐渐增大，分布规律与热流分布基本一致，驻点处受热最为严重，温度达到1060℃。因为驻点区域气流压缩强烈，动能和压缩能几乎全部转化为内能，热流密度最大，传热量最大，温度最高。图8为沿中心Y轴温度变化曲线，外表面温度变化梯度沿壁面由底部逐渐增大，这与理论分析结果吻合，温度分布规律合理。

图7. 外表面温度场示意图

图8. 外表面温度沿Y轴方向变化曲线

对结构内表面温度进行分析，取最高温度时刻400 s时结构内表面的温度场云图如图9所示，弹头顶部的内表面温度最高达到870℃，驻点处内外表面温度差大约为200℃，内外表面温度分布规律一致，沿中心Y轴呈环状分布，随着加热时间的增加，热量持续不断的向导弹内部传递，导致外层的高温区不断向内扩展 [ 14 ]。

选取外表面驻点处的温度值进行分析，得到驻点处0~400 s温度值随时间变化的曲线如图10所示。分析结果可见，驻点温度表现为先增加较快，然后趋于平缓，前50 s内温度快速上升，至50 s时达到408℃；50 s后温度变化减缓，至200 s时达到720℃，400 s时达到1060℃。因为初始时刻，弹头表面与高温气体的温差相对较大，故弹头表面受热之后会立即升温，且速率较快，随着气动加热的持续进行，一方面头部结构温度升高的速率逐渐减小，另一方面头部整体温度趋于均匀，高温区的温度梯度逐渐减小，温度上升速率减缓 [ 14 ]。结果与实际飞行时弹头驻点温度变化规律基本一致。

图9. 内表面温度场示意图

图10. 驻点温度值0~400 s变化曲线

取最高温度时刻400 s时的温度场，利用Nastran进行热应力求解计算，得到结构应力和位移结果。VonMises应力如图11所示，整体应力沿中心Y轴呈环状分布，由于弹头的顶部热流较大，对热梯度更加敏感，结构强度最为薄弱，弹头尖端热应力最大达到220 MPa；应力最大值区域出现在驻点附近而非驻点处，这是由球头锥外形的曲面效应导致，与球头锥的曲率半径等有关。弹头后缘受固定约束的影响，发生应力集中现象。

位移云图如图12所示，从整体分析，弹头的热变形趋势与其温度场分布基本保持一致，弹头在高温作用下发生了明显的热膨胀，其热变形量由底部沿弹头表面随着结构温度的升高逐渐增大，其热变形量的变化梯度也在增大 [ 14 ]；结构整体的热变形与温度成正相关，符合热弹性力学的基本规律。由于SiC陶瓷的弹性模量较大，弹头顶部的变形量不大，至驻点区域处位移量为2.74 × 10⁻³m，进一步验证了SiC陶瓷具有较好的高温力学性能。

图11. Von Mises应力云图

图12. 整体位移云图

图13~15给出了弹头在X、Y、Z三个方向上应力分布情况。三个方向应力最大值相近，应力分布规律与热流分布基本一致；由图中可以看出，结构沿X方向应力分布关于YOZ平面对称，最大压应力为2200 MPa，最大拉应力为151 MPa；Y方向应力沿Y轴环状分布，且关于中心轴对称，最大压应力为2390 MPa，最大拉应力为190 MPa；Z方向应力分布关于XOY平面对称，最大压应力为2200 MPa，最大拉应力为151 MPa。从应力分布情况来看，压应力主要出现在前端表面，拉应力出现在弹头后缘。由于结构前端为弹头的高温区，且温度梯度大，造成弹头前端的各方向应力也最大，最大值的位置均在端头驻点区域。由于导弹模型采用的是各向同性的SiC材料，热膨胀系数在X、Y、Z三个方向上相同，因此，热应力在三个方向上的分布情况也基本相同。

图13. X方向应力

图14. Y方向应力

图15. Z方向应力