设 ℤ × ℤ 是二维整数格且 k , l ∈ ℕ ，若格点 ( m , n ) ∈ ℤ × ℤ 位于形如 y = r x k ( r ∈ ℚ ) 的曲线上，且在 ( m , n ) 与原点 ( 0 , 0 ) 之间的相应曲线段上至多有 l − 1 个格点(不含端点)，则称 ( m , n ) 是l-重的k-可见格点。特别地，当重数 l = 1 时，简称 ( m , n ) 为k-可见格点。本文给出了方形区域 [ 1 , x ] × [ 1 , x ] 中l-重k-可见格点个数的一个渐近公式，这推广了Goins等人关于k-可见格点密度的一个结果。

格点，k-可见，渐近公式

Yang Huang

School of Mathematics and Statistics, Qingdao University, Qingdao Shandong

Received: Jan. 13^th, 2021; accepted: Feb. 16^th, 2021; published: Feb. 24^th, 2021

Let ℤ × ℤ be the two dimensional integer lattice and k , l ∈ ℕ . We say a point ( m , n ) ∈ ℤ × ℤ is k-visible with Level-l if it lies on a curve of type y = r x k with r ∈ ℚ and there are at most l − 1 lattice points on the curve segment between points ( m , n ) and ( 0 , 0 ) (not included). In this paper, we prove an asymptotic formula for the number of lattice points in the square [ 1 , x ] × [ 1 , x ] which are k-visible with Level-l. This generalizes a result of Goins et al.

Keywords:Lattice Points, k-Visibility, Asymptotic Formula

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二维格 ℤ × ℤ 中的一个格点 ( m , n ) 称为是可见的，若没有其它格点位于 ( m , n ) 与 ( 0 , 0 ) 之间的直线段(不含端点)上。1883年，Sylvester [ 1 ] 证明了 ℤ × ℤ 中可见格点的比例为 1 / ζ ( 2 ) = 6 / π 2 ≈ 0.60793 ，其中 ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ n − s ， ℜ ( s ) > 1 ，是黎曼Zeta函数。2018年，Goins，Harris，Kubik和Mbirika [ 2 ] 将Sylvester的结果推广到了沿曲线可见的情形。格点 ( m , n ) ∈ ℤ × ℤ 称为是k-可见的，若 ( m , n ) 位于形如 y = r x k   ( r ∈ ℚ ) 的曲线上，且在 ( m , n ) 与 ( 0 , 0 ) 的之间曲线段(不含端点)上没有其它格点。Goins等人证明了 ℤ × ℤ 中k-可见格点的比例为 1 / ζ ( k + 1 ) ，其他相关研究可参见文献 [ 3 ] 和 [ 4 ] 等。

最近，刘奎和孟宪昌 [ 5 ] 提出了多重k-可见性的概念。对于 k , l ∈ ℕ ，若格点 ( m , n ) ∈ ℤ × ℤ 在形如 y = r x k   ( r ∈ ℚ ) 的曲线上，且在点 ( m , n ) 与 ( 0 , 0 ) 之间的曲线段(不含端点)上至多有 l − 1 个格点，则称点 ( m , n ) 是l-重k-可见的(见图1)。特别地，当 l = 1 时，简称 ( m , n ) 为k-可见格点；当 k = 1 时，简称 ( m , n ) 是l-重可见格点。刘奎和孟宪昌给出了方形区域 [ 1 , x ] × [ 1 , x ] 中1-重和2-重k-可见格点个数的渐近公式。从他们的结果可以得到 ℤ × ℤ 中2-重可见格点的密度为 5 / ( 4 ζ ( 2 ) ) = 15 / ( 2 π 2 ) ≈ 0.75991 。

图1. 沿曲线的多重2-可见格点

本文主要考虑更高重数的k-可见格点。对于 k , l ∈ ℕ ，定义

V l ( k ; x ) : = { ( m , n ) ∈ ℕ × ℕ :   m , n ≤ x ,   ( m , n )   l - 重 k - 可 见 }

为 [ 1 , x ] × [ 1 , x ]   ( x ≥ 2 ) 中l-重k-可见格点的集合。

定理1.1. 对于任意的 x ≥ 2 和给定的 k , l ∈ ℕ ，则

# V l ( k ; x ) = 1 ζ ( k + 1 ) ( ∑ i = 1 l 1 i k + 1 ) x 2 + O k , l ( x log x ) .

注：由于格点的可见性在四个象限里是对称分布的，因此由定理1.1可知，格 ℤ × ℤ 中l-重k-可见格点的密度为 ζ - 1 ( k + 1 ) ∑ i = 1 l i − ( k + 1 ) 。由此及黎曼Zeta函数的定义可知，当l趋于无穷时，该密度趋于1，符合直观。特别地，当 l = 1 , 2 时，定理1.1分别覆盖了上述Goins等人 [ 2 ] 以及刘奎和孟宪昌 [ 5 ] 的相应结果。

我们还对l-重k-可见格点的密度进行了数值实验(见表1)，实验结果与理论结果十分吻合。

表1. l-重k-可见格点的密度

根据定理1.1，容易得到以下推论。

推论. 对于给定的 l ∈ ℕ ，格 ℤ × ℤ 中l-重可见格点的密度为 1 ζ ( 2 ) ( ∑ i = 1 l 1 i 2 ) 。

符号说明:

以下是对本文用到的符号的说明。

以下广义最大公约数的定义是由Goins等人在 [ 2 ] 中提出的。

定义2.1.对 k ∈ ℕ ，与参数k有关的广义最大公约数定义为

gcd k ( m , n ) : = max { d ∈ ℕ : d | m   且   d k | n } .

在证明l-重k-可见格点的判别法则之前，我们先证明以下引理。

引理2.1. 对任意 b ∈ ℤ ， ( m , n ) ∈ ℤ × ℤ ，我们有

b | m 且 b k | n   ( k ∈ ℕ ) 当且仅当 b | gcd k ( m , n ) 。

证明：若 b | m 且 b k | n 。设 gcd k ( m , n ) = d ， b ≠ d 。根据 gcd k 的定义，我们知道d是使得 d | m 且 d k | n 的最大正整数，显然有 b | d 。否则，若 b ∤ d ，则由 b | m ， d | m ，我们有 [ b , d ] | m 。同样，由 b k | n ， d k | n ，我们有 [ b , d ] k | n 。而显然 [ b , d ] > d ，这与 gcd k ( m , n ) = d 矛盾。

反之。若 b | gcd k ( m , n ) ，设 gcd k ( m , n ) = d ，则有 b | d 。令 d = b t ，由 gcd k 的定义，有 b t | m ， ( b t ) k | n ，从而有 b | m ， b k | n 。

以下l-重k-可见格点的判别法则是证明定理1.1的关键。

引理2.2. 对 k ∈ ℕ ，任意整数 d ≥ 1 。格点 ( m , n ) ∈ ℤ × ℤ 位于曲线 y = r x k   ( r ∈ ℚ ) 上，则在点 ( m , n ) 与点 ( 0 , 0 ) 之间的曲线段上恰好有 d − 1 个整数格点当且仅当 gcd k ( m , n ) = d 。

证明：假设 gcd k ( m , n ) = d 。当 d = 1 时，点 ( m , n ) 与点 ( 0 , 0 ) 之间的曲线段(不含端点)上恰好有0个整数格点，即格点 ( m , n ) 关于原点k-可见，当且仅当 gcd k ( m , n ) = 1 。详细证明细节见( [ 2 ]，命题3)。

当 d > 1 时。位于曲线 y = r x k   ( r ∈ ℚ ) 的连接点 ( m , n ) 与点 ( 0 , 0 ) 的曲线段(不含端点)上任意整数格点 ( p , q ) 可以用以下参数形式表示出来：

{ p = t m q = t k n ，

0 < t < 1 ， t ∈ ℚ 。t的所有可能取值的个数即为点 ( m , n ) 与点 ( 0 , 0 ) 之间的曲线段(不含端点)上的整数格点数。

设 t = a b   ( a , b ∈ ℤ ,   b ≠ 0 ) ， gcd ( a , b ) = 1 。 p , q ∈ ℤ ，则必有 b | a m ， b k | a k n ，因而有 b | m ， b k | n 。由引理1.1可知， b | gcd k ( m , n ) ，即 b | d 。则 1 / d , ⋯ , ( d − 1 ) / d 为t的全部可能取值。由此得证。

我们还需要用到以下两个熟知的公式。

引理2.3. ( [ 6 ]，定理2.1)设 μ 是莫比乌斯函数，则对任意整数 n ≥ 1 ，有

∑ d | n μ ( d ) = { 1 ,   当 n = 1 0 ,   其 它

引理2.4. ( [ 6 ]，定理3.2)对 x ≥ 1 ，有

∑ n ≤ x 1 n = log x + γ + O ( x − 1 ) ，

其中 γ = lim N → ∞ ( ∑ n = 1 N n − 1 − log N ) 是欧拉常数。

设 ( m , n ) ∈ V l ( k ; x ) 。由l-重k-可见格点的定义，并运用引理1.2，区域 [ 1 , x ] × [ 1 , x ] 中l-重k-可见格点数可表示为

# V l ( k ; x ) = S 1 ( k ; x ) + ⋯ + S l ( k ; x ) ， (1)

其中

S i ( k ; x ) : = ∑ m , n ≤ x gcd k ( m , n ) = i 1 ，

1 ≤ i ≤ l 。运用引理1.3，得

S i ( k ; x ) = ∑ m , n ≤ x i | m , i k | n gcd k ( m / i , n / i k ) = 1 1 = ∑ m , n ≤ x i | m , i k | n ∑ d | gcd k ( m / i , n / i k ) μ ( d ) .

交换求和顺序，得到

S i ( k ; x ) = ∑ d ≤ x k / i μ ( d ) ∑ m , n ≤ x i | m , i k | n d | ( m / i ) ) , d k | ( n / i k ) 1 = ∑ d ≤ x k / i μ ( d ) ∑ s ≤ x / i s ≡ 0 ( mod d ) 1 ∑ t ≤ x / i k t ≡ 0 ( mod d k ) 1 .

因为同余式 s ≡ 0 ( mod d ) 且 s ≤ x / i 的解数为 x / ( i d ) + O ( 1 ) ，同余式 t ≡ 0 ( mod d k ) 且 t ≤ x / i k 的解数为 x / ( i d ) k + O ( 1 ) 。因此，我们有

S i ( k ; x ) = ∑ d ≤ x k / i μ ( d ) ( x i d + O ( 1 ) ) ( x i k d k + O ( 1 ) ) .

余项中对 μ ( d ) 取绝对值，整理得

S i ( k ; x ) = x 2 i k + 1 ∑ d ≤ x k / i μ ( d ) d k + 1 + O ( x i ∑ d ≤ x k / i 1 d ) + O ( x i k ∑ d ≤ x k / i 1 d k ) + O ( x k i ) .

下面整理一下这3个余项。应用引理1.4，第一个余项可得如下估计

x i ∑ d ≤ x k / i 1 d ≪ k , i x log x .

当 k = 1 时，第二个余项与第一个余项估计结果相同； k > 1 时，由于 ∑ d = 1 ∞ 1 / d k 是一个收敛级数，因此 ∑ d ≤ x k / i 1 / d k = O ( 1 ) ，从而

x i k ∑ d ≤ x k / i 1 d k ≪ k ,   i x 。

故而有

S i ( k ; x ) = x 2 i k + 1 ∑ d ≤ x k / i μ ( d ) d k + 1 + O k , i ( x log x ) 。

扩大上式中求和的范围，得到

S i ( k ; x ) = x 2 i k + 1 ∑ d = 1 ∞ μ ( d ) d k + 1 + O ( x 2 i k + 1 ∑ d > x k / i 1 d k + 1 ) + O k , i ( x log x ) 。

由于 ∑ d > x k / i 1 d k + 1 ≪ ∫ x k / i ∞ d t t k + 1 = 1 x ，因此

x 2 i k + 1 ∑ d > x k / i 1 d k + 1 ≪ k , i x 。

又因为 1 ζ ( k + 1 ) = ∑ d = 1 ∞ μ ( d ) d k + 1 ，因此，

S i ( k ; x ) = x 2 ζ ( k + 1 ) i k + 1 + O k , i ( x log x ) ，

1 ≤ i ≤ l 。将 S i ( k ; x ) ， 1 ≤ i ≤ l ，代入(1)式，定理得证。

由国家自然科学基金(项目编号：NSFC12071238)资助。

黄 旸. 格点的多重可见性Multiple Visibility of Lattice Points[J]. 理论数学, 2021, 11(02): 271-276. https://doi.org/10.12677/PM.2021.112036