本文给出了紧致度量空间上自由半群作用的拓扑r压的定义，并给出了它的一些性质。通过斜积变换为介质，我们可以得到以下两个主要结果。1) 将拓扑r压的极限推广到自由半群作用( r → 0 )。2) 假设 f i , i = 0 , 1 , ⋯ , m − 1 是紧致度量空间上的同胚，则对于任意连续函数，我们证明了 f 0 , ⋯ , f m − 1 的拓扑压等于 f 0 − 1 , ⋯ , f m − 1 − 1 的拓扑压。

拓扑r压，拓扑压，斜积变换，自由半群作用

Yinan Zheng, Qian Xiao

School of Mathematics, South China University of Technology, Guangzhou Guangdong

Received: Jan. 8^th, 2021; accepted: Feb. 11^th, 2021; published: Feb. 19^th, 2021

In this paper, we introduce the definition of topological r-pressure of free semigroup actions on compact metric space and provide some properties of it. Through skew-product transformation into a medium, we can obtain the following two main results. 1) We extend the result that the topological pressure is the limit of topological r-pressure to free semigroup actions ( r → 0 ). 2) Let f i , i = 0 , 1 , ⋯ , m − 1 , be homeomorphisms on a compact metric space. For any continuous function, we verify that the topological pressure of f 0 , ⋯ , f m − 1 equals the topological pressure of f 0 − 1 , ⋯ , f m − 1 − 1 .

Keywords:Topological r-Pressure, Topological Pressure, Skew-Product Transformations, Free Semigroup Actions

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Adler等人 [ 1 ] 引入拓扑熵来描述系统的复杂性，它同时是拓扑共轭的不变量。后来Bowen [ 2 ] 利用生成集和分离集定义了度量空间上一致连续映射的拓扑熵，并证明了对于紧致度量空间，他们与Adler等人定义的拓扑熵一致。拓扑压作为拓扑熵的自然推广，是动力系统的重要的概念。Ruelle [ 3 ] 首先引入可扩动力系统上的可加势函数的拓扑压的概念。Walters [ 4 ] [ 5 ] 随后将这一概念扩展到紧致空间上的连续变换。由于拓扑压在动力系统中有着重要的作用，一些研究者试图找到一些适用于其他系统的拓扑压的推广(见 [ 6 ] - [ 14 ] )。

1980年，Feldman [ 15 ] 对于 ℤ 和 ℝ n 之间的相互作用引入了r熵的概念。在此基础上，引入了连续映射的拓扑r熵和测度r熵的概念。

设 ( X , d ) 是紧致度量空间，f是X连续自映射。对于有限集合A，我们用 C a r d   A 表示A的基数。对于 x ∈ X ， n ≥ 0 ， ε > 0 ， 0 < r < 1 ， φ ∈ C ( X , ℝ ) ，有

B ( x , n , ε , r , f ) = { y ∈ X : 1 n C a r d { 0 ≤ i ≤ n − 1 : d ( f i x , f i y ) < ε } > 1 − r }

如果对于任意 x ∈ X ，存在 y ∈ F ，使得 x ∈ B ( y , n , ε , r , f ) ，则称F为X的 ( n , ε , r , f ) 生成集。

用 r n ( f , ε , r ) 表示X的任何 ( n , ε , r , f ) 生成集的最小基数。Ren等人在文 [ 16 ] 中定义

h r ( f , ε ) = lim sup n → ∞ 1 n log r n ( f , ε , r ) ,

和

h r ( f ) = lim ε → 0 h r ( f , ε )

h r ( f ) 叫做f的拓扑r熵。

定理1.1：( [ 16 ] , Corollary 2.5)设 ( X , d ) 是度量为d的紧致度量空间， f : X → X 是一个连续映射。则有

lim r → 0 h r ( f ) = h ( f )

其中 h ( f ) 为f的拓扑r压。

Zhu等人 [ 17 ] 引入了紧致度量空间上自由半群作用的拓扑r熵的概念，并证明了：

定理1.2：( [ 17 ] , Theorem 1.1)设 f 0 , ⋯ , f m − 1 是在紧致度量空间 ( X , d ) 上的连续自映射。则有

lim r → 0 h r ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 ) = h ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 ) ,

其中 h ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 ) 定义为 f 0 , ⋯ , f m − 1 的拓扑熵； h r ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 ) 定义为 f 0 , ⋯ , f m − 1 的拓扑r熵( [ 17 ]，定义3.1)。

在文 [ 18 ] 中，Chen进一步介绍了紧致度量空间中拓扑r压的概念，并给出了相关的性质。

对于 φ ∈ C ( X , ℝ ) ，有

Q n ( f , φ , ε , r ) = inf { ∑ x ∈ F e ( S n φ ) ( x ) : F   是   X   的 ( n , ε , r , f ) 张 成 集 } .

在文 [ 18 ] 中，Chen定义了

P r ( f , φ ) = lim ε → 0 lim sup n → ∞ 1 n log Q n ( f , φ , ε , r ) ,

P r ( f , φ ) 叫做f的拓扑r压。

定理1.3：( [ 18 ] , Corollary 3.2.2)设 f : X → X 是在紧致度量空间 ( X , d ) 上的一个连续映射，且 φ ∈ C ( X , ℝ ) ，则有

lim r → 0 P r ( f , φ ) = P ( f , φ ) ,

其中 P ( f , φ ) 定义为f的拓扑压。

在上述结果的基础上，我们引入了自由半群作用的拓扑r压的概念，并给出了这个概念的一些性质。本文的主要结果是以下两个定理。

定理1.4：设 f 0 , ⋯ , f m − 1 是在紧致度量空间 ( X , d ) 上的连续自映射，且 φ ∈ C ( X , ℝ ) ，则有

lim r → 0 P r ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 , φ ) = P ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 , φ ) ,

其中 P ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 , φ ) 表示 f 0 , ⋯ , f m − 1 的拓扑压； P r ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 , φ ) 表示 f 0 , ⋯ , f m − 1 的拓扑r压。

定理1.5：设 f 0 , ⋯ , f m − 1 是在紧致度量空间 ( X , d ) 上的连续自映射，且 φ ∈ C ( X , ℝ ) ，则有

P ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ) = P ( f 0 − 1 , ⋯ , f m − 1 − 1 , φ ) .

本文概要如下。在第二章，我们作一些初步的介绍。在第三章中，我们给出了自由半群作用的拓扑r压的定义，并给出了它们的一些性质。在第四章中，我们给出定理1.4的证明。在第五章，我们给出定理1.5的证明。

在这一章中，我们介绍了自由半群作用的拓扑r压的定义，并给出了这个概念的一些性质。

设 f 0 , ⋯ , f m − 1 是在紧致度量空间 ( X , d ) 上的连续自映射。对 x ∈ X ， w ∈ F m + ， ε > 0 以及 0 < r < 1 ，令

B ( x , w , ε , r , f 0 , ⋯ , f m − 1 ) = { y ∈ X : 1 | w | C a r d { w ′ : d ( f w ′ x , f w ′ y ) < ε , w ′ ≤ w } > 1 − r } .

若X的子集F满足，对任意 x ∈ X ，存在 y ∈ F ，使得 x ∈ B ( y , w , ε , r , f 0 , ⋯ , f m − 1 ) ，则称F是X的 ( w , ε , r , f 0 , ⋯ , f m − 1 ) 张成集，令

Q w ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ , ε , r ) = inf { ∑ x ∈ F e ( S w φ ) ( x ) : F   是   X   的 一 个 ( w , ε , r , f 0 , ⋯ , f m − 1 ) 张 成 集 }

Q n ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ , ε , r ) = 1 m n ∑ | w | = n Q w ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ , ε , r ) .

注3.1：设 r w ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , ε , r ) 表示紧致度量空间X的 ( w , ε , r , f 0 , ⋯ , f m − 1 ) 张成集的最小基数，令

r n ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , ε , r ) = 1 m n ∑ | w | = n r w ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , ε , r ) .

1) 若 ε 1 < ε 2 ，有 Q w ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ , ε 1 , r ) ≥ Q w ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ , ε 2 , r ) 。因此，

Q n ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ , ε 1 , r ) ≥ Q n ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ , ε 2 , r ) .

2) 0 < Q w ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ , ε , r ) ≤ ‖ e S w φ ‖ r w ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , ε , r ) 。因此，

0 < Q n ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ , ε , r ) ≤ e n ‖ φ ‖ r n ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , ε , r ) .

3) Q w ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , 0 , ε , r ) = r w ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , ε , r ) ，因此，

Q n ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , 0 , ε , r ) = r n ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , ε , r ) .

定义 3.1:对于 0 < r < 1 ， φ ∈ C ( X , ℝ ) ，自由半群作用的拓扑r压定义为

P r ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ) = lim ε → 0 lim sup n → ∞ 1 n log Q n ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ , ε , r ) .

有时候为了强调度量d的，我们可以写成 P r , d ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ) 。

注3.2：显然 P ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ) ≥ P r ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ) ，若 m = 1 ，它与文 [ 18 ] 中定义的拓扑r压相一致，若 φ = 0 ，它与文 [ 17 ] 中定义的自由半群作用的拓扑r熵一致。

现在我们简单介绍一下分离集。

若X的子集E满足对任意 x , y ∈ X ， x ≠ y ，使得

1 | w | C a r d { w ′ : d ( f w ′ x , f w ′ y ) ≥ ε , w ′ ≤ w } > r .

则称E是X的 ( w , ε , r , f 0 , ⋯ , f m − 1 ) 分离集。

故

Q w s ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ , ε , r ) = sup { ∑ x ∈ E e ( S w φ ) ( x ) : E   是   X   的 ( w , ε , r , f 0 , ⋯ , f m − 1 ) 分 离 集 }

Q n s ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ , ε , r ) = 1 m n ∑ | w | = n Q w s ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ , ε , r ) .

注3.3：若 ε 1 < ε 2 有 Q w s ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ , ε 1 , r ) ≥ Q w s ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ , ε 2 , r ) ，则

Q n s ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ , ε 1 , r ) ≥ Q n s ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ , ε 2 , r ) .

故

P r s ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ) = lim ε → 0 lim sup n → ∞ 1 n log Q n s ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ , ε , r ) .

有时候为了强调度量d的，我们可以写成 P r , d s ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ) 。

引理3.1：对任意 n ≥ 1 ， ε > 0 ， 0 < r < 1 ，有

1) Q n ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ , ε , r ) ≤ Q n s ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ , ε , r ) ，

2) 令 M = max x ∈ X | φ ( x ) | ，若 δ = sup { | φ ( x ) − φ ( y ) | : d ( x , y ) ≤ ε } ，则

Q n s ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ , 2 ε , 2 r ) ≤ e n δ + 2 n r M Q n ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ , ε , r ) .

证明：1) 假设E是X一个具有最大基数的 ( w , ε , r , f 0 , ⋯ , f m − 1 ) 分离集，则E也是X的一个 ( w , ε , r , f 0 , ⋯ , f m − 1 ) 张成集。

假设E不是X一个 ( w , ε , r , f 0 , ⋯ , f m − 1 ) 张成集，则至少存在一个点 x ∈ X ，使得对所有 y ∈ E ，有

1 | w | C a r d { w ′ : d ( f w ′ x , f w ′ y ) < ε , w ′ ≤ w } < 1 − r ,

即

1 | w | C a r d { w ′ : d ( f w ′ x , f w ′ y ) ≥ ε , w ′ ≤ w } > r ,

这与最大基数的分离集相矛盾。

我们由此得到一个 ( w , ε , r , f 0 , ⋯ , f m − 1 ) 分离集必然是 ( w , ε , r , f 0 , ⋯ , f m − 1 ) 张成集，则有

Q w ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ , ε , r ) ≤ Q w s ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ , ε , r ) .

故

Q n ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ , ε , r ) ≤ Q n s ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ , ε , r ) .

2) 为了证明这个结果，我们先假设E是X的一个 ( w , 2 ε , 2 r , f 0 , ⋯ , f m − 1 ) 分离集，F是X的一个 ( w , 2 ε , 2 r , f 0 , ⋯ , f m − 1 ) 张成集。定义映射 ϕ : E → F ，映射 ϕ 满足任意 x ∈ E ， ϕ ( x ) ∈ F ，使得 x ∈ B ( ϕ ( x ) , w , ε , r , f 0 , ⋯ , f m − 1 ) 。我们可知 ϕ ( x ) 是单射(详细可见文 [ 17 ] )。令 z ∈ E ，使得

S w φ ( ϕ ( z ) ) − S w φ ( z ) = min x ∈ E { S w φ ( ϕ ( x ) ) − S w φ ( x ) } .

令 A = { w ′ : d ( f w ′ z , f w ′ ϕ ( z ) ) < ε , w ′ ≤ w } ,有 C a r d   A > | w | ( 1 − r ) ，记 C a r d   A = | w | ( 1 − r ) ⋅ k ，其中 1 < k ≤ 1 1 − r 。故

∑ y ∈ F e S w φ ( y ) ≥ ∑ y ∈ ϕ E e S w φ ( y ) = ∑ x ∈ E e S w φ ( ϕ ( x ) ) − S w φ ( x ) e S w φ ( x ) ≥ min x ∈ E { e S w φ ( ϕ ( x ) ) − S w φ ( x ) } ∑ x ∈ E e S w φ ( x ) = e S w φ ( ϕ ( z ) ) − S w φ ( z ) ∑ x ∈ E e S w φ ( z ) ≥ e − | w | ( 1 − r ) k δ − | w | ( 1 − ( 1 − r ) ⋅ k ) ⋅ 2 M ∑ x ∈ E e S w φ ( x ) ≥ e − | w | δ − | w | r ⋅ 2 M ∑ x ∈ E e S w φ ( x ) .

因此

Q w s ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ , 2 ε , 2 r ) ≤ e | w | δ + 2 | w | r M Q w ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ , ε , r ) .

故

Q n s ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ , 2 ε , 2 r ) ≤ e n δ + 2 n r M Q n ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ , ε , r ) .

定理3.2：设 ( X , d ) 是紧致度量空间， f 0 , ⋯ , f m − 1 是X到自身的连续映射，且 φ ∈ C ( X , ℝ ) ，有

P 2 r s ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 , φ ) − 2 M r ≤ P r ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 , φ ) ≤ P r s ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 , φ ) .

证明：显然由引理3.1可推得定理3.2。

注3.4：若 m = 1 ，由定理1.3和定理3.2可得 lim r → 0 P r s ( f , φ ) = lim r → 0 P r ( f , φ ) = P ( f , φ ) 。

现在我们来研究 P r ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 , ⋅ ) 和 P r s ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 , ⋅ ) 的相关性质。

定理3.3：设 f i : X → X , i = 0 , 1 , ⋯ , m − 1 是紧致度量空间 ( X , d ) 上的连续映射。若 φ , ψ ∈ C ( X , ℝ ) ， ε > 0 ， 0 < r < 1 ，且 c ∈ ℝ ，则有下面的成立

1) P r ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 , 0 ) = h r ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 ) 。

2) φ ≤ ψ 可得 P r ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 , φ ) ≤ P r ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 , ψ ) ，特别地

h r ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 ) + inf φ ≤ P r ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 , φ ) ≤ h r ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 ) + sup φ .

3) P r ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 , ⋅ ) 要么是有限值，要么是无穷。

4) | P r s ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 , φ , ε ) − P r s ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 , ψ , ε ) | ≤ ‖ φ − ψ ‖ 。因此若 P r s ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 , ⋅ ) < ∞ ，则

| P r s ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 , φ ) − P r s ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 , ψ ) | ≤ ‖ φ − ψ ‖ 。

5) P r s ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 , ⋅ , ε ) 是凸的，且若 P r s ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 , ⋅ ) < ∞ ，则 P r s ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 , ⋅ ) 也是凸的。

6) P r ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 , φ + c ) = P r ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 , φ ) + c 。

7) P r s ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 , φ + ψ ) ≤ P r s ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 , φ ) + P r s ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 , ψ ) + log m 。

8) 若 c ≥ 1 ,有 P r s ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 , c φ ) ≤ c P r s ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 , φ ) + ( c − 1 ) log m ；若 c < 1 ，有 P r s ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 , c φ ) ≥ c P r s ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 , φ ) + ( c − 1 ) log m 。

9) − 2 log m − P r s ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 , | φ | ) ≤ P r s ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 , φ ) ≤ P r s ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 , | φ | ) 。

证明：定理(1)~(8)的证明类似于文 [ 10 ] 中Lin等人的证明，因此我们省略证明。然后证明(9)

对于 w ∈ F m + ，设E是X的一个 ( w , ε , r , f 0 , ⋯ , f m − 1 ) 分离集，由于 − | φ | ≤ φ ≤ | φ | ，故

∑ x ∈ E e ( S w ( − | φ | ) ) ( x ) ≤ ∑ x ∈ E e ( S w φ ) ( x ) ≤ ∑ x ∈ E e ( S w | φ | ) ( x ) .

因此

Q w s ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , − | φ | , ε , r ) ≤ Q w s ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ , ε , r ) ≤ Q w s ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , | φ | , ε , r ) .

Q n s ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , − | φ | , ε , r ) ≤ Q n s ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ , ε , r ) ≤ Q n s ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , | φ | , ε , r ) .

则

P r s ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , − | φ | ) ≤ P r s ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ) ≤ P r s ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , | φ | ) .

由(8)我们可以得到

− P r s ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , | φ | ) − 2 log m ≤ P r s ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , − | φ | ) .

因此

− P r s ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , | φ | ) − 2 log m ≤ P r s ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ) ≤ P r s ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , | φ | ) .

现在我们来研究一下 P r ( f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 , ⋅ ) 关于 f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 的性质。

定理3.4：若 ( X 1 , d 1 ) ， ( X 2 , d 2 ) 都是紧致度量空间。假设 f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 是 X 1 上的连续映射， g 0 , g 1 , ⋯ , g m − 1 是 X 2 上的连续映射。当 π : X 1 → X 2 是一个连续满射，对任意 0 ≤ i ≤ m − 1 使得 π ∘ f i = g i ∘ π ，则有

P r ( g 0 , ⋯ , g m − 1 , φ ) ≤ P r ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ∘ π ) , ∀ φ ∈ C ( X 2 , ℝ ) .

若 π 是同胚的，则有

P r ( g 0 , ⋯ , g m − 1 , φ ) = P r ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ∘ π ) .

证明：设 ε > 0 ，取 δ > 0 使得 d 1 ( x , y ) < δ 可得 d 2 ( π ( x ) , π ( y ) ) < ε 。当 w = i 1 i 2 ⋯ i n ∈ F m + ， 0 < r < 1 。若F是 X 1 的一个 ( w , δ , r , f 0 , ⋯ , f m − 1 ) 张成集，则 π ( F ) = { π ( x ) : x ∈ F } 是 X 2 的一个 ( w , ε , r , g 0 , ⋯ , g m − 1 ) 张成集。故

∑ x ∈ F e φ ∘ π ( x ) + φ ∘ π ( f i 1 ( x ) ) + ⋯ + φ ∘ π ( f i n − 1 i n − 2 … i 1 ( x ) ) = ∑ x ∈ F e φ ∘ π ( x ) + φ ∘ g i 1 ∘ π ( x ) + ⋯ + φ ∘ g i n − 1 i n − 2 ⋯ i 1 ∘ π ( x ) ≥ ∑ y ∈ π ( F ) e φ ( y ) + φ ∘ g i 1 ( y ) + ⋯ + φ ∘ g i n − 1 i n − 2 ⋯ i 1 ( y ) ≥ Q w ( g 0 , ⋯ , g m − 1 , φ , ε , r ) .

因此，我们有

Q w ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ∘ π , δ , r ) ≥ Q w ( g 0 , ⋯ , g m − 1 , φ , ε , r ) .

即

Q n ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ∘ π , δ , r ) ≥ Q n ( g 0 , ⋯ , g m − 1 , φ , ε , r ) .

我们再取对数和极限( δ → 0 ，有 ε → 0 )，得到

P r ( f 0 , ⋯ , f n − 1 , φ ∘ π ) ≥ P r ( g 0 , ⋯ , g n − 1 , φ ) .

若 π 是同胚，我们可以应用上面的 f i , g i , π , φ 替换 g i , f i , π − 1 , φ ∘ π 推得

P r ( g 0 , ⋯ , g n − 1 , φ ) ≥ P r ( f 0 , ⋯ , f n − 1 , φ ∘ π ) . 。

定理3.5：设 ( X i , d i ) 是以 d i 为度量的紧致度量空间，令 F ( i ) ( i = 1 , 2 ) 是 X i 上的一组有限连续映射，其中 F ( 1 ) = { f 0 ( 1 ) , ⋯ , f m − 1 ( 1 ) } ， F ( 2 ) = { f 0 ( 2 ) , ⋯ , f k − 1 ( 2 ) } 。

若 φ i ∈ C ( X i , ℝ ) ， F ( 1 ) 满足 P r , d 1 s ( F ( 1 ) , φ 1 ) = lim ε → 0 lim inf n → ∞ 1 n log Q n s ( F ( 1 ) , φ 1 , ε , r ) ，或 F ( 2 ) 满足

P r , d 2 s ( F ( 2 ) , φ 2 ) = lim ε → 0 lim inf n → ∞ 1 n log Q n s ( F ( 2 ) , φ 2 , ε , r ) ，则

P r , d s ( F ( 1 ) × F ( 2 ) , φ 1 × φ 2 ) ≥ P r , d 1 s ( F ( 1 ) , φ 1 ) + P r , d 2 s ( F ( 2 ) , φ 2 ) ,

其中 F ( 1 ) × F ( 2 ) = { f × g : f ∈ F ( 1 ) , g ∈ F ( 2 ) } : = { ( f × g ) 0 , ⋯ , ( f × g ) m k − 1 } ，对任意 f × g ∈ F ( 1 ) × F ( 2 ) 有 ( f × g ) ( x 1 , x 2 ) = ( f ( x 1 ) , g ( x 2 ) ) ；d是乘积空间 X 1 × X 2 上的度量，其定义为 d ( ( x 1 , x 2 ) , ( y 1 , y 2 ) ) = max { d 1 ( x 1 , y 1 ) , d 2 ( x 2 , y 2 ) } ，其中 φ 1 × φ 2 ∈ C ( X 1 × X 2 , ℝ ) 定义为 ( φ 1 × φ 2 ) ( x 1 , x 2 ) = φ 1 ( x 1 ) + φ 2 ( x 2 ) 。

证明：首先 F ( 1 ) × F ( 2 ) 是 X 1 × X 2 上的一组有限连续映射，对任意 ν = p n ⋯ p 1 ∈ F m k + ，存在唯一的 w ( 1 ) = j n ( 1 ) ⋯ j 1 ( 1 ) ∈ F m + 和唯一的 w ( 2 ) = j n ( 2 ) ⋯ j 1 ( 2 ) ∈ F k + 使得对任意 1 ≤ i ≤ n ，满足 ( f × g ) p i = f j i ( 1 ) ( 1 ) × f j i ( 2 ) ( 2 ) 。因此 ( f × g ) ν = f w ( 1 ) ( 1 ) × f w ( 2 ) ( 2 ) 。

另一方面，如果 w ( 1 ) = j n ( 1 ) ⋯ j 1 ( 1 ) ∈ F m + , w ( 2 ) = j n ( 2 ) ⋯ j 1 ( 2 ) ∈ F k + ，存在唯一 ν = p n ⋯ p 1 ∈ F m k + ，使得对任意 1 ≤ i ≤ n ，满足 f j i ( 1 ) ( 1 ) × f j i ( 2 ) ( 2 ) = ( f × g ) p i ，因此 f w ( 1 ) ( 1 ) × f w ( 2 ) ( 2 ) = ( f × g ) ν 。

因此对任意 n ≥ 1 ，映射 h : ν ↦ ( w ( 1 ) , w ( 2 ) ) 是一一对应的。

对于 ε > 0 和 ν ∈ F m k + ，存在 w ( 1 ) ∈ F m + 、 w ( 2 ) ∈ F k + 使得 ( f × g ) ν = f w ( 1 ) ( 1 ) × f w ( 2 ) ( 2 ) 。

如果 E 1 是 X 1 的 ( w ( 1 ) , ε , r , F ( 1 ) ) 分离集，对任意的 x 1 , y 1 ∈ E 1 ，我们有

1 | w ( 1 ) | C a r d { w : d 1 ( f w ( 1 ) x 1 , f w ( 1 ) y 1 ) ≥ ε , w ≤ w ( 1 ) } > r .

令

A = { w : d 1 ( f w ( 1 ) x 1 , f w ( 1 ) y 1 ) ≥ ε , w ≤ w ( 1 ) } ,

则 C a r d   A > | w ( 1 ) | r 。

类似地，如果 E 2 是 X 1 的 ( w ( 2 ) , ε , r , F ( 2 ) ) 分离集，对任意的 x 2 , y 2 ∈ E 2 ，我们有

1 | w ( 2 ) | C a r d { w : d 1 ( f w ( 2 ) x 1 , f w ( 2 ) y 1 ) ≥ ε , w ≤ w ( 2 ) } > r .

令

B = { w : d 2 ( f w ( 2 ) x 1 , f w ( 2 ) y 1 ) ≥ ε , w ≤ w ( 2 ) } ,

则 C a r d   B > | w ( 2 ) | r 。

因此对任意 ν ′ = p k ⋯ p 1 ≤ h − 1 ( w ( 1 ) , w ( 2 ) ) ， 1 ≤ k ≤ n ，我们有

d ( ( f × g ) ν ′ ( x 1 , x 2 ) , ( f × g ) ν ′ ( y 1 , y 2 ) ) = d ( ( f j k ( 1 ) ⋯ j 1 ( 1 ) ( 1 ) ( x 1 ) , f j k ( 2 ) ⋯ j 1 ( 2 ) ( 2 ) ( x 2 ) ) , ( f j k ( 1 ) ⋯ j 1 ( 1 ) ( 1 ) ( y 1 ) , f j k ( 2 ) ⋯ j 1 ( 2 ) ( 2 ) ( y 2 ) ) ) = max { d 1 ( f j k ( 1 ) ⋯ j 1 ( 1 ) ( 1 ) ( x 1 ) , f j k ( 1 ) ⋯ j 1 ( 1 ) ( 1 ) ( y 1 ) ) , d 2 ( f j k ( 2 ) ⋯ j 1 ( 2 ) ( 2 ) ( x 2 ) , f j k ( 2 ) ⋯ j 1 ( 2 ) ( 2 ) ( y 2 ) ) } .

令 C = { ν ′ : d ( ( f × g ) ν ′ ( x 1 , x 2 ) , ( f × g ) ν ′ ( y 1 , y 2 ) ) ≥ ε , ν ′ ≤ v } ，其中 ν = h − 1 ( w ( 1 ) , w ( 2 ) ) ，则

C a r d   C ≥ C a r d   A > | w ( 1 ) | r

和

C a r d   C ≥ C a r d   B > | w ( 2 ) | r .

由于 | w ( 1 ) | = | w ( 2 ) | = | ν | ，则

1 | ν | C a r d { ν ′ : d ( ( f × g ) ν ′ ( x 1 , x 2 ) , ( f × g ) ν ′ ( y 1 , y 2 ) ) ≥ ε , ν ′ ≤ ν } > r .

因此， E 1 × E 2 是 X 1 × X 2 的一个 ( ν , ε , r , F ( 1 ) × F ( 2 ) ) 分离集。由于

∑ ( x 1 , x 2 ) ∈ E 1 × E 2 exp ( ∑ ν ′ ≤ ν ( φ 1 × φ 2 ) ( f × g ) ν ′ ( x 1 , x 2 ) ) = ( ∑ x 1 ∈ E 1 exp ( ∑ w ′ ≤ w ( 1 ) φ 1 ( f ) w ′ 1 ( x 1 ) ) ) ( ∑ x 2 ∈ E 2 ( ∑ w ′ ≤ w ( 2 ) φ 2 ( g ) w ′ 2 ( x 2 ) ) ) ,

我们得到

Q ν s ( F ( 1 ) × F ( 2 ) , φ 1 × φ 2 , ε , r ) ≥ Q w ( 1 ) s ( F ( 1 ) , φ 1 , ε , r ) ⋅ Q w ( 2 ) s ( F ( 2 ) , φ 2 , ε , r ) .

则有

1 ( m k ) n ∑ | w | = n Q w s ( F ( 1 ) × F ( 2 ) , φ 1 × φ 2 , ε , r ) ≥ 1 ( m k ) n ∑ | w ( 1 ) | = n , | x ( 2 ) | = n Q w ( 1 ) s ( F ( 1 ) , φ 1 , ε , r ) ⋅ Q w ( 2 ) s ( F ( 2 ) , φ 2 , ε , r ) = 1 m n ∑ | w ( 1 ) | = n Q w ( 1 ) s ( F ( 1 ) , φ 1 , ε , r ) ⋅ 1 k n ∑ | w ( 2 ) | = n Q w ( 2 ) s ( F ( 2 ) , φ 2 , ε , r ) .

因此

Q n s ( F ( 1 ) × F ( 2 ) , φ 1 × φ 2 , ε , r ) ≥ Q n s ( F ( 1 ) , φ 1 , ε , r ) ⋅ Q n s ( F ( 2 ) , φ 2 , ε , r ) .

故

lim sup n → ∞ 1 n log Q n s ( F ( 1 ) × F ( 2 ) , φ 1 × φ 2 , ε , r ) ≥ lim inf n → ∞ 1 n log Q n s ( F ( 1 ) , φ 1 , ε , r ) + lim sup n → ∞ 1 n log Q n s ( F ( 2 ) , φ 2 , ε , r ) .

因为 P r , d 1 s ( F ( 1 ) , φ 1 ) = lim ε → 0 lim inf n → ∞ 1 n log Q n s ( F ( 1 ) , φ 1 , ε , r ) ，令 ε → 0 ，可以得到

P r , d s ( F ( 1 ) × F ( 2 ) , φ 1 × φ 2 ) ≥ P r , d 1 s ( F ( 1 ) , φ 1 ) + P r , d 2 s ( F ( 2 ) , φ 2 ) .

类似的方法可以证明 P r , d 2 s ( F ( 2 ) , φ 2 ) = lim ε → 0 lim inf n → ∞ 1 n log Q n s ( F ( 2 ) , φ 2 , ε , r ) 的情况。

到目前为止我们还不能证明其另一不等式，即

P r , d s ( F ( 1 ) × F ( 2 ) , φ 1 × φ 2 ) ≤ P r , d 1 s ( F ( 1 ) , φ 1 ) + P r , d 2 s ( F ( 2 ) , φ 2 ) 。

在这一章中，我们给出定理1.4的证明。该定理将自由半群作用的拓扑r压与拓扑压联系起来。

在证明定理1.4之前，我们利用类似于Bufetov [ 19 ] 和Lin等人 [ 10 ] 的方法，得到了以下引理。

引理4.1：对任意 n ≥ 1 ， ε > 0 ， φ ∈ C ( X , ℝ ) ，且 g ( ω , x ) = φ ( x ) ，我们有

Q n ( F , g , ε , r ) ≤ K ( ε , r ) m n Q n ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ , ε , r )

其中F是斜积变换， K ( ε , r ) 是一个取决于 ε 和r的正常数。

证明：令 C ( ε ) 是一个正整数且满足 2 − C ( ε ) < ε 100 和 N = m n + 2 C ( ε ) ，则 F m + 中有N个长度为 n + 2 C ( ε ) 的不同的词。记为 w 1 , ⋯ , w N 。对每个 1 ≤ i ≤ N ，选取 ω ( i ) ∈ Σ m ，使得 ω ( i ) | [ − C ( ε ) , n + C ( ε ) − 1 ] = w i 。显然对于 0 ≤ ε ≤ 1 / 2 ， { ω ( i ) , i = 1 , ⋯ , N } 是 Σ m 的一个 ( n , ε , r , σ m ) 张成集。定义 w ′ i = ω ( i ) | [ 0 , n − 1 ] ，令 B i 表示度量空间X的 ( w ¯ ′ i , ε , r , f 0 , ⋯ , f m − 1 ) 张成集的最大基数， i = 1 , 2 , ⋯ , N 。假设点 x ′ i , ⋯ , x ′ B i 构成X的 ( w ¯ ′ i , ε , r , f 0 , ⋯ , f m − 1 ) 张成集，故这些点

( ω ( i ) , x j i ) ∈ Σ m × X ,   i = 1 , ⋯ , N , j = 1 , ⋯ , B i ,

构成 Σ m × X 的 ( n , ε , r , F ) 张成集，因此，有

Q n ( F , g , ε , r ) ≤ ∑ ( ω , x ) ∈ { ( ω ( i ) , x j i ) : i = 1 , ⋯ , N , j = 1 , ⋯ , B i } e S n g ( ω , x ) ≤ K ( ε , r ) ∑ | w ¯ ′ i | = n , x ∈ { x ′ j , j = 1 , ⋯ , B i } e S w ¯ i φ ( x ) ,

其中 K ( ε , r ) 是一个取决于 ε 和r的正常数。因此

Q n ( F , g , ε , r ) ≤ K ( ε , r ) m n Q n ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ , ε , r ) .

定理1.4的证明：对于 0 < r < 1 ， φ ∈ C ( X , ℝ ) ，由注3.2，有

P r , d ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ) ≤ P d ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ) ,

则

lim sup r → 0 P r , d ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ) ≤ P d ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ) .

从引理4.1我们可以得到

Q n ( F , g , ε , r ) ≤ K ( ε , r ) m n Q n ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ , ε , r ) ,

因此

P r , D ( F , g ) ≤ log m + P r , d ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ) .

从定理1.3和定理2.1，可得

lim inf r → 0 P r , d ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ) ≥ lim inf r → 0 P r , D ( F , g ) − log m = P D ( F , g ) − log m = P d ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ) .

因此

lim sup r → 0 P r , d ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ) ≤ P d ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ) ≤ lim inf r → 0 P r , d ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ) .

故

P d ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ) = lim r → 0 P r , d ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ) .

推论4.2：令 ( X , d ) 是紧致度量空间， f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 是X上到自身的连续映射，则

lim r → 0 P r s ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ) = P ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ) .

证明：从定理3.2，我们可以得到

P 2 r s ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ) − 2 M r ≤ P r ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ) ≤ P r s ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ) ,

则

lim sup r → 0 P 2 r s ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ) ≤ lim sup r → 0 P r ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ) ,

lim inf r → 0 P r ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ) ≤ lim inf r → 0 P r s ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ )

由定理1.4可得

lim r → 0 P r ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ) = P ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ) ,

则

lim sup r → 0 P 2 r s ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ) ≤ P ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ) ≤ lim inf r → 0 P r s ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ) .

这就证实了极限的存在，所以

lim r → 0 P r s ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ) = P ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ) .

在证明定理1.5之前，我们应该做了些工作。

令 ( X , d ) 是紧致度量空间，假设一个有m个生成子的自由半群作用于X和生成子 f 0 , f 1 , ⋯ , f m − 1 都是X上的同胚。我们容易看到斜积变换 F : Σ m × X → Σ m × X 也是同胚。

我们可以看到斜积逆变换 F − 1 : Σ m × X → Σ m × X ， g : Σ m × X → ℝ 满足

F − 1 ( ω , x ) = ( σ − 1 ω , f ω − 1 − 1 ( x ) ) ,

g ( ω , x ) = φ ( x ) ,

其中 φ ∈ C ( X , ℝ ) ， ω = ( ⋯ , ω − 1 , ω 0 * , ω 1 , ⋯ ) ∈ Σ m ，若 ω − 1 = 0 ， f ω − 1 表示 f 0 ； ω − 1 = 1 ， f ω − 1 表示 f 1 ，以此类推。既有，

F − n ( ω , x ) = ( σ − n ω , f ω − n − 1 f ω − n + 1 − 1 ⋯ f ω − 1 − 1 ( x ) ) = ( σ − n ω , f ω | [ − n , − 1 ] ¯ − 1 ( x ) )

为了证明定理1.5，我们给出了 P ( F − 1 , g ) 的下列性质。

定理5.1：斜积逆变换的拓扑压 F − 1 满足

P D ( F − 1 , g ) = log m + P d ( f 0 − 1 , ⋯ , f m − 1 − 1 , φ ) ,

其中 Σ m × X 上的度量D定义为

D ( ( ω , x ) , ( ω ′ , x ′ ) ) = max { d ′ ( ω , ω ′ ) , d ( x , x ′ ) }

Σ m 上的度量 d ′ 满足 d ′ ( ω , ω ′ ) = 1 / 2 k ， k = inf { | n | : ω n ≠ ω ′ n } 。

下面两个引理的证明与Lin等人的 [ 10 ] 的证明类似，因此我们省略了证明。

引理5.2：对任意 n ≥ 1 ， 0 ≤ ε ≤ 1 2 ，则

Q n s ( F − 1 , g , ε ) ≥ m n Q n s ( f 0 − 1 , ⋯ , f m − 1 − 1 , φ , ε ) .

引理5.3：对任意 n ≥ 1 ， ε > 0 ，则

Q n ( F − 1 , g , ε ) ≤ K ( ε ) m n Q n ( f 0 − 1 , ⋯ , f m − 1 − 1 , φ , ε ) ,

其中 K ( ε ) 是取决于 ε 的正常数。

定理5.1的证明：从引理5.2，我们得到

P D ( F − 1 , g ) ≥ log m + P d ( f 0 − 1 , ⋯ , f m − 1 − 1 , φ ) .

从引理5.3，我们可以得到

P D ( F − 1 , g ) ≤ log m + P d ( f 0 − 1 , ⋯ , f m − 1 − 1 , φ ) ,

证明完成。

现在我们来证明定理1.5。

定理1.5的证明。因为F是同胚，我们有

P D ( F − 1 , g ) = P D ( F , g ) .

从定理5.1和定理2.1，我们可以得到

P D ( F − 1 , g ) = log m + P d ( f 0 − 1 , ⋯ , f m − 1 − 1 , φ ) , P D ( F , g ) = log m + P d ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ) .

因此

P d ( f 0 , ⋯ , f m − 1 , φ ) = P d ( f 0 − 1 , ⋯ , f m − 1 − 1 , φ ) .

注5.1：在文 [ 11 ] 中，作者给出了一个例子来说明文章 [ 11 ] 意义下的拓扑压不具有类似定理1.5的性质。

国家自然科学基金资助的课题(批准号：11771149, 11671149)；广东省自然科学基金项目 2018B0303110005。

郑伊楠,肖 倩. 自由半群作用的拓扑r压和拓扑压Topological r-Pressure and Topological Pressure of Free Semigroup Actions[J]. 理论数学, 2021, 11(02): 222-236. https://doi.org/10.12677/PM.2021.112031