离差系数能够反映样本的离散程度，为了体现距离中位数较大数据与较小数据的离散程度，本文提出上离差系数与下离差系数：

s j = ( − 1 ) j − 1 ∑ ( x m − x j i ) 2 n j

c v j = s j x m

j = 1 , 2

其中 x m 表示中位数， x 1 i 表示大于中位数的数据， x 2 i 表示小于中位数的数据， c v 1 表示上离差系数， n 1 表示 x 1 i 的个数。

1) 阈值确定

根据上述公式计算cv₁以及cv₂，设定安全系数k₁、k₂，得到上下阈值 k 1 ∗ c v 1 ， l 2 ∗ c v 2 。

2) 异常值识别

b i = ( x i − x m ) / x m

其中 x i 表示原始序列的值， x m 表示中位数，当 b i 不在上下阈值范围内则为异常值。

3) 异常值处理

采用所在周(weekday)的饮品销量的平均值进行替换。

对于销量数据，其时间序列常具有周期性以及趋势性，只采用上下离散系数阈值方法进行处理只能识别极端异常值，而采用小波变换相结合得方法能够挖掘出时序数据的周期性以及趋势性。

对任意的 x ( t ) ∈ L 2 ( R ) ，称：

W T x ( α , τ ) = 1 a ∫ x ( t ) φ ( t − τ a ) d t

为一维信号x(t)依赖于参数a和τ的一维连续小波变换。

小波逆变换：

X ( t ) = 1 c φ ∫ 0 + ∞ d a a 2 ∫ 0 + ∞ W T x ( a , τ ) 1 a φ ( t − τ a ) d τ

经过小波变换和逆变换，可实现小波的分解与重构，从而达到去噪的目的。

1) 采用上述公式得到去噪后的时间序列

2) 阈值确定

采用局部计算上离差系数与下离差系数，利用左右相邻的15条数据进行离差系数的计算，当左右相邻数据一方不足15条时，则选取全部数据。中位数用重构后的序列替代。设定安全系数k₁、k₂。

3) 异常值识别

c i = ( x i − y i ) / y i

其中 x i 表示原始序列的值， y i 表示重构后序列的值，当 c i 不在上下阈值范围内则为异常值。

4) 异常值处理

采用小波分解与重构后得到的新时间序列对应的值替换。

Prophet采用的也是时间序列趋势分解的模型，得到三个部分：trend (趋势项)，seasonality (周期性,包括年周期，月周期，周周期以及日周期等)，holidays (节假日影响因子)，可以用以下式子表示：

y ( t ) = g ( t ) + s ( t ) + h ( t ) + ϵ ( t )

其中 g ( t ) , s ( t ) , h ( t ) 分别表示趋势项、周期项、节假日项，最后一项表示整个模型中的不适应的残差部分。Prophet也是对模型的三个部分分别建模，最后组合生成预测数据。

1) 趋势成分

趋势部分的实现主要应用两种模型，一种饱和增长模型，一种分段线性模型；

饱和增长模型公式：

g ( t ) = c ( t ) 1 + exp ( − ( k + a ( t ) T δ ) ) ( t − ( m + a ( t ) T γ ) )

分段线性模型公式：

g ( t ) = ( k + a ( t ) T δ ) t + ( m + a ( t ) T γ )

其中k为增长率， δ 为增长率的变化量，m是偏置参数，在该模型中均为随时间t变化的函数。

2) 周期部分

Prophet对周期性因子部分的处理采用的是傅里叶级数，并且可以手动调整傅里叶级数的阶数N。

s ( t ) = ∑ 1 N ( a n cos ( 2 π n t P ) + b n sin ( 2 π n t P ) )

其中P表示时间序列的周期，当周期为年时，P的值一般为365.25，当周期为周时，P值一般为7。

3) 节假日部分

节假日部分采用自回归矩阵进行计算：

z ( t ) = [ 1 ( t ∈ D 1 ) , ⋯ , 1 ( t ∈ D L ) ]

h ( t ) = z ( t ) κ

κ ~ n o m a l ( 0 , v 2 )

其中i表示每一个节日， D i 为每年这个节日的日期。V表示节假日灵活度参数，其值越大，表示节假日对模型的影响越大。

4) 额外回归量

对于额外回归量，可以使用Add_regressor()的方法将其添加到模型的线性部分。具有回归量的值的列需要添加到拟合和预测数据框中。Add_regressor()可以将另一个时间序列作为回归量，但是预测的值在另一个时间序列中必须是已知的，如果未知，可以先对该部分时间序列进行预测。

本文主要以国内某公司自动售卖机的销售数据为研究对象，涉及销售设备154台，覆盖该城市大部分区域，时间主要为201801~201812销售数据，该数据集覆盖地区较广，设备数目较多，数据量相对完整。原始数据集包含主要数据信息如表1所示。

由于自动售卖机的销量受到许多因素的影响，本次考虑的外部因素主要时气象数据，节假日等，因此本文爬取分析了可获得的外部环境数据，主要数据信息如表2所示。

表1. 自动售货机销售数据主要字段

表2. 自动售货机外部数据主要字段

由于目前该企业正处于上升阶段，自动贩卖机设备的数量处于不断上升的过程，所产生的数据由于各种原因会存在部分、整体缺失或者不合理的情况，无法直接用于分析与预测研究，因此需要对数据进行预处理操作，主要包含以下步骤：

1) 数据归约：

由于销量数据太过庞大，并且每条销量数据记录之间的间隔并不确定，因此需要对销量数据进行聚合处理。提取出销售数据中的关键信息，按照合适的时间粒度对初始数据进行整理，完成数据归约操作，得到售卖机销量数据表，本次选取的预测时间粒度为一天，反映了一天内用户购买的饮品数量。

2) 数据清洗：

对于接入的数据，很多都包含了缺失、异常或者类型不一致的字段数据，此时需要对数据进行数据清洗，数据清洗就是发现这些类型的数据并纠正这些类型的数据，其中包含数据一致性、无效值以及缺失值的处理，处理方法有补全、删除等。本次由于自动售卖机机器损坏或数据为接入等原因导致销量存在较多的缺失值与部分异常值；对于该部分缺失值与异常值军进行异常处理，采用离散系数和小波分析相结合的方式进行识别，识别后采用对应方法处理。

依据主观分析，温度对饮品的销量会产生较大的影响，此次采用散点图的形式判断温度与销量之间是否存在相关关系。

图1 为2018年销量与温度对应的关系图表，其中纵坐标表示不同温度对应的平均日销量，从图中可以发现饮品的销量与温度之间存在明显的相关关系，尤其是当温度越高时，相关关系越明显。因此可以将温度作为销量预测的一个影响变量。

图1. 销量与温度关系图

以10号站台01号机为例进行分析，如图2。

1) 上下离散系数初步检测：

图3中超出红线阈值部分为异常值，图4为采用周均值替代异常值之后的销量时序图。

图2. 10号站台01号机销量时序图

图3. 上下阈值初步检测

图4. 初步调整之后序列图

2) 小波分析再次检测

图5为基于初步异常值检测及调整后的时间序列进行小波变换后得到的去噪时间序列；图6为计算得到的上下阈值，超出阈值曲线部分为异常值；图7中黑线为初步调整之后的时序图，红色点线为最终调整异常值之后得到时序图。

图5. 小波变换后时序图

图6. 上下阈值再次检测

图7. 再次调整之后时序图

对47台机器进行异常值调整前后prophet预测结果进行指标评估，时间序列长度采取一年。

图8中橙色线图为异常值调整之前对47台机器预测的MAPE指标评估结果，蓝色波点线图为异常值调整之后对47台机器预测的MAPE指标评估结果，从图中可以发现异常值调整之后大部分机器的预测结果评估明显优于异常值调整之前。并且不同机器的评估指标值相较于之前较为平稳。

将47台机器的单台预测结果相加，得到47台机器总的预测结果。异常值调整前47台机器总预测结果MAPE评估指标为5.48%，调整之后MAPE为4.58%。

综上，不管是单机预测还是总体预测，异常值调整之后的指标评估结果均优于异常值调整之前，说明异常值处理结果合适。

1) 单机预测结果

对47台机器分别采用不同时间序列长度的prophet预测。MAPE评估指标结果如下表3。

从表3中我们可以发现对于不同的机器，最优的时间序列长度都不一样，因此对于单台机器需要具体分析，通过计算47台机器的平均MAPE指标值，一年、半年、四个月、两个月、一个月分别平均MAPE值为20.7%, 19.68%, 19.31%, 21.47%, 23.52%，并且对单机不同时间序列长度对应MAPE值比较结果进行综合分析，当时间序列长度为4个月或者6个月时，预测效果较好。

图8. 异常值调整前后时间序列预测MAPE评估结果

表3. 不同时间序列长度下单台机器预测结果评估MAPE值

图9. 累计预测结果MAPE指标评估图

2) 累计相加总体预测结果

对47台机器的预测结果进行累计相加，得到总体预测值。预测结果评估MAPE值如图9。

图9为不同时间序列长度对应的MAPE指标评估结果值，可以发现当时间序列长度为一年时，预测效果最好，因此对于总体预测，时间序列长度采取一年。