本文研究了一类带有p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题的正解的存在性，利用Leray-Schauder非线性抉择，得出边值问题至少存在一个正解的充分条件，并给出了一个具体的例子。

p-Laplacian算子，Leray-Schauder非线性抉择，正解

Jiayan Duan^*, Wenxia Wang, Xiaozhen Guo

Department of Mathematics, Taiyuan Normal University, Jinzhong Shanxi

Received: Nov. 27^th, 2020; accepted: Dec. 22^nd, 2020; published: Dec. 30^th, 2020

This paper is concerned with the existence of positive solution for a class of boundary value problems of fractional differential equations with p-Laplacian operator. By usingLeray-Schauder nonlinear choice, some sufficient conditions for the existence of at least one positive solution are obtained. In addition, an example is given to illustrate theoretical results.

Keywords:p-Laplacian Operator, Leray-Schauder Nonlinear Alternative Theorem, Positive Solution

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分数阶微积分是在整数阶微积分的理论基础上发展而来，近年来分数阶微分方程在物理学、工程学、机械、医学、生物学等许多领域得到了广泛应用 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]。为了解决越来越多复杂的现象和问题，学者和专家开始研究带p-Laplacian算子的分数阶微分方程。文 [ 5 ] 研究如下带p-Laplacian算子的分数阶微分方程

{ D 0 + β ( φ p ( D 0 + α u ) ) ( t ) + f ( t , u ( t ) ) = 0 , 0 < t < 1 , u ( 0 ) = 0 , u ( 1 ) + σ D 0 + γ u ( 1 ) = 0 , D 0 + α u ( 0 ) = 0 ,

这里 D 0 + α , D 0 + β 和 D 0 + γ 是标准的Riemann-Liouville型分数阶导数， 1 < α ≤ 2 ， 0 < β ≤ 1 ， 0 < γ ≤ 1 ， α − γ − 1 ≥ 0 ，常数 σ 是一个正数， φ p ( s ) = | s | p − 2 s , p > 1 。利用锥上的不动点定理，获得了正解的一些存在性和多重性结果。

文 [ 6 ] 研究如下带有p-Laplacian算子的Riemann-Liouville型分数阶微分方程边值问题

{ D α ( φ p ( D β u ( t ) ) ) + f ( t , u ( t ) ) = 0 , 0 < t < 1 , u ( 0 ) = 0 , u ( 1 ) = λ D γ u ( ξ ) , D β u ( 0 ) = 0 ,

应用凸锥上的不动点理获得了该问题正解的存在性结果。这里 α , β , γ ∈ ℝ ， 0 < α < 1 ， 1 < β ≤ 2 ， γ = β − 1 2 ， 0 < ξ ≤ 1 2 ， λ ∈ [ 0 , + ∞ ) ， λ Γ ( β ) ξ ( β − 1 ) / 2 < Γ ( β + 1 2 ) ， φ p ( s ) = | s | p − 2 s , p > 1 。

基于上述文献中的研究，本文主要利用Leray-Schauder非线性抉择讨论如下带有p-Laplacian算子的Riemann-Liouville型分数阶微分方程边值问题

{ ( ϕ p ( D 0 + α u ( t ) ) ) ′ + f ( t , u ( t ) , D 0 + α u ( t ) ) = 0 , t ∈ [ 0 , 1 ] , u ( 0 ) = u ( 1 ) = D 0 + α u ( 0 ) = 0 , (1)

解的存在性，其中 1 < α ≤ 2 ， ϕ p ( s ) = | s | p − 2 s 。 q > 1 ， ϕ p − 1 = ϕ q ， 1 p + 1 q = 1 。

定义1 [ 7 ] 函数 y : ( 0 , + ∞ ) → R 的 α > 0 阶Riemann-Liouville分数阶积分为

I 0 + α y ( t ) = 1 Γ ( α ) ∫ 0 t ( t − s ) α − 1 y ( s ) d s ,

等式的右端在 ( 0 , + ∞ ) 有定义，其中 Γ ( ⋅ ) 为Gamma函数。

定义2 [ 7 ] 连续函数 y : ( 0 , + ∞ ) → R 的 α > 0 阶Riemann-Liouville分数阶导数为

D 0 + α y ( t ) = 1 Γ ( n − α ) ( d d t ) n ∫ 0 t y ( s ) ( t − s ) α − n + 1 d s ,

等式的右端在 ( 0 , + ∞ ) 有定义，其中 n = min { m ∈ Z : m ≥ α } ， Γ ( ⋅ ) 为Gamma函数。

引理1 [ 7 ] α > 0 ， u ∈ C ( 0 , 1 ) ∩ L ( 0 , 1 ) ， D 0 + α u ∈ C ( 0 , 1 ) ∩ L ( 0 , 1 ) ，则分数阶微分方程 D 0 + α u ( t ) = 0 有唯一解

u ( t ) = c 1 t α − 1 + c 2 t α − 2 + c n t α − n ,

其中 n = min { m ∈ Z : m ≥ α } ， c i ∈ R , i = 1 , 2 , ⋯ , n 。

引理2 [ 7 ] α > 0 ， u ∈ C ( 0 , 1 ) ∩ L ( 0 , 1 ) ， D 0 + α u ∈ C ( 0 , 1 ) ∩ L ( 0 , 1 ) ，则

I 0 + α D 0 + α u ( t ) = u ( t ) + c 1 t α − 1 + c 2 t α − 2 + c n t α − n ,

其中 n = min { m ∈ Z : m ≥ α } ， c i ∈ R , i = 1 , 2 , ⋯ , n 。

引理3 若 y ( t ) ∈ C [ 0 , 1 ] ，且 1 < α ≤ 2 ，则分数阶微分方程

{ ( ϕ p ( D 0 + α u ( t ) ) ) ′ + y ( t ) = 0 , 0 < t < 1 , u ( 0 ) = u ( 1 ) = D 0 + α u ( 0 ) = 0 ,

有唯一解

u ( t ) = ∫ 0 1 G ( t , s ) ϕ q ( ∫ 0 s y ( τ ) d τ ) d s ,

其中

G ( t , s ) = 1 Γ ( α ) { t α − 1 ( 1 − s ) α − 1 − ( t − s ) α − 1 , 0 ≤ s ≤ t ≤ 1 , t α − 1 ( 1 − s ) α − 1 , 0 ≤ t ≤ s ≤ 1.

证明 由 ( ϕ p ( D 0 + α u ( t ) ) ) ′ + y ( t ) = 0 可得

ϕ p ( D 0 + α u ( t ) ) = − ∫ 0 t y ( s ) d s + c 0 ,

于是

D 0 + α u ( t ) = − ϕ q ( ∫ 0 t y ( s ) d s + c 0 ) .

根据引理2可得

u ( t ) = − 1 Γ ( α ) ∫ 0 t ( t − s ) α − 1 ϕ q ( ∫ 0 s y ( τ ) d τ + c 0 ) d s + c 1 t α − 1 + c 2 t α − 2 .

由 D 0 + α u ( 0 ) = 0 得 c 0 = 0 ，由 u ( 0 ) = 0 ，得 c 2 = 0 ，由 u ( 1 ) = 0 ，得

c 1 = 1 Γ ( α ) ∫ 0 1 ( 1 − s ) α − 1 ϕ q ( ∫ 0 s y ( τ ) d τ ) d s .

所以

u ( t ) = 1 Γ ( α ) ∫ 0 1 t α − 1 ( 1 − s ) α − 1 ϕ q ( ∫ 0 s y ( τ ) d τ ) d s     − 1 Γ ( α ) ∫ 0 t ( t − s ) α − 1 ϕ q ( ∫ 0 s y ( τ ) d τ ) d s = 1 Γ ( α ) ∫ 0 t [ t α − 1 ( 1 − s ) α − 1 − ( t − s ) α − 1 ] ϕ q ( ∫ 0 s y ( τ ) d τ ) d s     + 1 Γ ( α ) ∫ t 1 t α − 1 ( 1 − s ) α − 1 ϕ q ( ∫ 0 s y ( τ ) d τ ) d s = ∫ 0 1 G ( t , s ) ϕ q ( ∫ 0 s y ( τ ) d τ ) d s .

证毕。

注 由引理3的证明容易看到 D 0 + α u ( t ) = − ϕ q ( ∫ 0 t y ( s ) d s ) , t ∈ [ 0 , 1 ] 。

引理4 [ 8 ] G ( t , s ) 有下面的性质

1) G ( t , s ) ≥ 0 ，对 ∀ s , t ∈ ( 0 , 1 ) ；

2)存在正函数 r ∈ C [ 0 , 1 ] 使得

min 1 / 4 ≤ t ≤ 3 / 4 G ( t , s ) ≥ r ( s ) max t ∈ [ 0 , 1 ] G ( t , s ) = r ( s ) G ( s , s ) , 0 < s < 1 ;

3) max t ∈ [ 0 , 1 ] ∫ 0 1 G ( t , s ) d s = 1 2 2 ( α − 1 ) Γ ( α ) 。

引理5 [ 8 ] (Leray-Schauder非线性抉择)假设 Ω 是线性赋范空间X中包含原点的开集， F : Ω ¯ → X 全连续，并且满足边界条件，即当 x ∈ ∂ Ω ， 0 < λ < 1 时 F ≠ λ x ，则F在 Ω ¯ 上至少有一个不动点。

下节将用到如下假设

(H1) f : [ 0 , 1 ] × [ 0 , + ∞ ) × R → [ 0 , + ∞ ) 为连续函数，假设存在非负连续函数 j ( t ) , l ( t ) , w ( t ) 使得

| f ( t , u , v ) | ≤ j ( t ) ϕ p ( | u | ) + l ( t ) ϕ p ( | v | ) + w ( t ) , t ∈ [ 0 , 1 ] .

设 X = { u ( t ) ∈ C [ 0 , 1 ] | D 0 + α u ( t ) ∈ C [ 0 , 1 ] } ，定义范数 ‖ u ‖ = max t ∈ [ 0 , 1 ] | u ( t ) | + max t ∈ [ 0 , 1 ] | D 0 + α u ( t ) | ，容易证明X是Banach空间。定义算子

T u ( t ) = ∫ 0 1 G ( t , s ) ϕ q ( ∫ 0 s f ( τ , u ( τ ) , D 0 + α u ( τ ) ) d τ ) d s , t ∈ [ 0 , 1 ] .

定理1假设(H1)成立。若(H1)中的函数 j , l , w 满足存在常数 ρ > 0 使得

2 2 ( α − 1 ) Γ ( α ) ρ [ ρ p − 1 ( ∫ 0 1 j ( τ ) d τ + ∫ 0 1 l ( τ ) d τ ) + ∫ 0 1 w ( τ ) d τ ] q − 1 ≤ 1 , (2.1)

则边值问题(1)存在解 u = u ( t ) 且满足 0 < ‖ u ‖ < ρ 。

证明 首先证明 T : X → X 为全连续算子。由函数f的连续性容易证明T是连续算子。

以下证明T为紧的。设 Ω 是X中的有界子集，于是存在正数 M > 0 使得 u ∈ Ω ， ‖ u ‖ ≤ M 。从而对于任意的 u ∈ Ω 有

| T u ( t ) | = | ∫ 0 1 G ( t , s ) ϕ q ( ∫ 0 s f ( τ , u ( τ ) , D 0 + α u ( τ ) ) d τ ) d s | ≤ ∫ 0 1 G ( t , s ) ϕ q ( | ∫ 0 s f ( τ , u ( τ ) , D 0 + α u ( τ ) ) d τ | ) d s ≤ ∫ 0 1 G ( t , s ) ϕ q ( ∫ 0 s | f ( τ , u ( τ ) , D 0 + α u ( τ ) ) | d τ ) d s ≤ ∫ 0 1 G ( t , s ) ϕ q ( ∫ 0 1 ( j ( τ ) ϕ p ( | u ( τ ) | ) + l ( τ ) ϕ p ( | D 0 + α u ( τ ) | ) + w ( τ ) ) d τ ) d s ≤ ∫ 0 1 G ( t , s ) ϕ q ( ∫ 0 1 ( j ( τ ) ϕ p ( ‖ u ‖ ) + l ( τ ) ϕ p ( ‖ u ‖ ) + w ( τ ) ) d τ ) d s ≤ 1 2 2 ( α − 1 ) Γ ( α ) [ M p − 1 ( ∫ 0 1 j ( τ ) d τ + ∫ 0 1 l ( τ ) d τ ) + ∫ 0 1 w ( τ ) d τ ] q − 1 , t ∈ [ 0 , 1 ] ,

| D 0 + α T u ( t ) | = | − ϕ q ( ∫ 0 t f ( s , u ( s ) , D 0 + α u ( s ) ) d s ) | ≤ ϕ q ( ∫ 0 t | f ( s , u ( s ) , D 0 + α u ( s ) ) | d s ) ≤ ϕ q ( ∫ 0 1 ( j ( s ) ϕ p ( | u ( s ) | ) + l ( s ) ϕ p ( | D 0 + α u ( s ) | ) + w ( s ) ) d s ) ≤ [ ϕ q ( ϕ p ( ‖ u ‖ ) ∫ 0 1 j ( s ) d s + ϕ p ( ‖ u ‖ ) ∫ 0 1 l ( s ) d s + ∫ 0 1 w ( s ) d s ) ] ≤ [ M p − 1 ( ∫ 0 1 j ( s ) d s + ∫ 0 1 l ( s ) d s ) + ∫ 0 1 w ( s ) d s ] q − 1 , t ∈ [ 0 , 1 ] .

因此 T ( Ω ) 和 { D 0 + α T u | u ∈ Ω } 皆为一致有界的子集合。

再证 T ( Ω ) 和 { D 0 + α T u | u ∈ Ω } 皆是等度连续的。对任意的 0 ≤ t 1 < t 2 ≤ 1 ， u ∈ Ω 有

| T u ( t 2 ) − T u ( t 1 ) | = | ∫ 0 1 G ( t 2 , s ) ϕ q ( ∫ 0 s f ( τ , u ( τ ) , D 0 + α u ( τ ) ) d τ ) d s − ∫ 0 1 G ( t 1 , s ) ϕ q ( ∫ 0 s f ( τ , u ( τ ) , D 0 + α u ( τ ) ) d τ ) d s | = | ∫ 0 1 [ G ( t 2 , s ) − G ( t 1 , s ) ] ϕ q ( ∫ 0 s f ( τ , u ( τ ) , D 0 + α u ( τ ) ) d τ ) d s | ≤ [ M p − 1 ( ∫ 0 1 j ( τ ) d τ + ∫ 0 1 l ( τ ) d τ ) + ∫ 0 1 w ( τ ) d τ ] q − 1 ∫ 0 1 | G ( t 2 , s ) − G ( t 1 , s ) | d s .

注意到 G ( t , s ) 在 [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] 上的一致连续性可知， T ( Ω ) 是等度连续的。此外

| D 0 + α T u ( t 2 ) − D 0 + α T u ( t 1 ) | = | − [ ϕ q ( ∫ 0 t 2 f ( s , u ( s ) , D 0 + α u ( s ) ) d s ) − ϕ q ( ∫ 0 t 1 f ( s , u ( s ) , D 0 + α u ( s ) ) d s ) ] | = | ( ∫ 0 t 2 f ( s , u ( s ) , D 0 + α u ( s ) ) d s ) q − 1 − ( ∫ 0 t 1 f ( s , u ( s ) , D 0 + α u ( s ) ) d s ) q − 1 | ,

当 0 < q − 1 < 1 时，根据不等式 b m + c m ≥ ( b + c ) m , b ≥ 0 , c ≥ 0 , 0 < m < 1 可得

0 ≤ ( ∫ 0 t 2 f ( s , u ( s ) , D 0 + α u ( s ) ) d s ) q − 1 − ( ∫ 0 t 1 f ( s , u ( s ) , D 0 + α u ( s ) ) d s ) q − 1 ≤ ( ∫ t 1 t 2 f ( s , u ( s ) , D 0 + α u ( s ) ) d s ) q − 1 ≤ ( ∫ t 1 t 2 ( j ( s ) ϕ p ( | u ( s ) | ) + l ( s ) ϕ p ( | D 0 + α u ( s ) | ) + w ( s ) ) d s ) q − 1 ≤ ( ϕ p ( ‖ u ‖ ) ∫ t 1 t 2 j ( s ) d s + ϕ p ( ‖ u ‖ ) ∫ t 1 t 2 l ( s ) d s + ∫ t 1 t 2 w ( s ) d s ) q − 1 ≤ ( M p − 1 ( ∫ t 1 t 2 j ( s ) d s + ∫ t 1 t 2 l ( s ) d s ) + ∫ t 1 t 2 w ( s ) d s ) q − 1 ,

再根据积分第一中值定理，因 j ( s ) , l ( s ) , w ( s ) 在 [ t 1 , t 2 ] 上连续，则至少存在三点 μ , η , κ ∈ [ t 1 , t 2 ] ，使得

∫ t 1 t 2 j ( s ) d s = j ( μ ) ( t 2 − t 1 ) , ∫ t 1 t 2 l ( s ) d s = l ( η ) ( t 2 − t 1 ) , ∫ t 1 t 2 w ( s ) d s = w ( κ ) ( t 2 − t 1 ) ,

于是

| D 0 + α T u ( t 2 ) − D 0 + α T u ( t 1 ) | ≤ [ M p − 1 ( j ( μ ) + l ( η ) ) + w ( κ ) ] q − 1 ( t 2 − t 1 ) q − 1 ,

当 q − 1 ≥ 1 时，由拉格朗日中值定理有

0 ≤ ( ∫ 0 t 2 f ( s , u ( s ) , D 0 + α u ( s ) ) d s ) q − 1 − ( ∫ 0 t 1 f ( s , u ( s ) , D 0 + α u ( s ) ) d s ) q − 1 = ( q − 1 ) ( ∫ 0 ξ f ( s , u ( s ) , D 0 + α u ( s ) ) d s ) q − 2 f ( ξ , u ( ξ ) , D 0 + α u ( ξ ) ) ( t 2 − t 1 ) ≤ ( q − 1 ) [ M p − 1 ( ∫ 0 ξ j ( s ) d s + ∫ 0 ξ l ( s ) d s ) + ∫ 0 ξ w ( s ) d s ] q − 2 ( M p − 1 ( j ( ξ ) + l ( ξ ) ) + w ( ξ ) ) ( t 2 − t 1 ) ,

其中 ξ 是 ( t 1 , t 2 ) 之间某个确定的值。故

| D 0 + α T u ( t 2 ) − D 0 + α T u ( t 1 ) | ≤ ( q − 1 ) [ M p − 1 ( ∫ 0 ξ j ( s ) d s + ∫ 0 ξ l ( s ) d s ) + ∫ 0 ξ w ( s ) d s ] q − 2 ( M p − 1 ( j ( ξ ) + l ( ξ ) ) + w ( ξ ) ) ( t 2 − t 1 ) .

由此可得 { D 0 + α T u | u ∈ Ω } 是等度连续的。

既然集合 T ( Ω ) 和 { D 0 + α T u | u ∈ Ω } 都是一致有界且等度连续的，根据Arzela-Ascoli定理可知 T ( Ω ) 和 { D 0 + α T u | u ∈ Ω } 皆为 C [ 0 , 1 ] 中的相对紧集，进而可知T是全连续算子。

令 U = { u ∈ X | ‖ u ‖ ≤ ρ } ，有 U ⊂ X ，由上述证明可知 T : U ¯ → X 是全连续的。我们断言当 u ∈ ∂ U ， λ ∈ ( 0,1 ) 时 u ≠ λ T u 。如若不然存在 u 0 ∈ ∂ U ， λ 0 ∈ ( 0,1 ) 使 u 0 = λ 0 T u 0 。于是有

ρ = ‖ u 0 ‖ = ‖ λ 0 T u 0 ‖ ≤ 1 2 2 ( α − 1 ) Γ ( α ) [ ρ p − 1 ( ∫ 0 1 j ( τ ) d τ + ∫ 0 1 l ( τ ) d τ ) + ∫ 0 1 w ( τ ) d τ ] q − 1 ,

进而有

2 2 ( α − 1 ) Γ ( α ) ρ [ ρ p − 1 ( ∫ 0 1 j ( τ ) d τ + ∫ 0 1 l ( τ ) d τ ) + ∫ 0 1 w ( τ ) d τ ] q − 1 ≤ 1 ,

此与(2.1)式矛盾。由引理5可知边值问题(1)存在解 u ( t ) 使得 0 ≤ ‖ u ‖ ≤ ρ 。证毕。

考虑下列具有p-laplacian算子分数阶微分方程边值问题

{ ( ϕ 3 ( D 0 + 3 / 2 u ( t ) ) ) ′ + ( t 2 + u 2 ( t ) 1 + t 2 + e − t | D 0 + 3 / 2 u ( t ) | 2 ) = 0 , 0 ≤ t ≤ 1 , u ( 0 ) = u ( 1 ) = D 0 + 3 / 2 u ( 0 ) = 0 ,

其中 p = 3 , α = 3 / 2 ，

f ( t , u , v ) = ( t 2 + u 2 1 + t 2 + e − t | v | 2 ) , 0 ≤ t ≤ 1 ,

选取 j ( t ) = e t , l ( t ) = e − t , w ( t ) = t ，有

| f ( t , u , v ) | ≤ e t ϕ 3 ( | u | ) + e − t ϕ 3 ( | v | ) + t , 0 ≤ t ≤ 1 ,

令 ρ = 1 ，有

2 2 ( α − 1 ) Γ ( α ) ρ [ ρ p − 1 ( ∫ 0 1 j ( τ ) d τ + ∫ 0 1 l ( τ ) d τ ) + ∫ 0 1 w ( τ ) d τ ] q − 1 > 1 ,

定理1的条件皆满足，所以该边值问题至少存在一个解。

国家自然科学基金(11361047)。

段佳艳,王文霞,郭晓珍. 一类带p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题正解的存在性Existence of Positive Solutions for Boundary Value Problem of Fractional Differential Equations with p-Laplacian Operator[J]. 应用数学进展, 2020, 09(12): 2301-2307. https://doi.org/10.12677/AAM.2020.912269