铣削稳定性数值求解法是在时域内对铣削动力学微分方程进行直接求解，获得了包括切削力、刀尖与工件振动等时域信号，在此基础上根据某种或某几种稳定性判据 [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] 来获取颤振稳定性叶瓣图的方法。如图2所示，数值求解法的仿真流程可表示为：

1) 建立考虑再生效应的铣削过程动力学微分方程；

2) 采用数值法求解铣削动力学微分方程。对铣削全过程进行离散化处理，首先计算每一时间步下的动态切削力，接着通过求解微分方程得到振动系统的位移、速度与加速度，然后对动态切削厚度进行修正，重复前面过程直至仿真结束；

3) 对仿真得到的时域信号施加某种或某几种稳定性判据，以确定当前切削条件下加工系统是否稳定；

4) 改变切削条件(主轴转速和轴向切深)，重复上述过程直至获得稳定性叶瓣图。

数值求解方法的仿真过程未进行线性化处理，且综合考虑了诸如刀具几何、刀齿偏心、刀齿因振动脱离切削区、切削过程阻尼等因素对铣削过程稳定性的影响，故预测精度较高 [ 17 ]。缺点是目前尚很难找到一种能非常准确判定系统稳定性的判据。此外，由于需要针对不同主轴转速、轴向切深组合用数值方法求解微分方程，故其计算量大，计算时间长。

图2. 铣削稳定性数值求解流程图

半离散求解法最早由Insperger等 [ 18 ] 提出。它将延时周期T划分为m个时间间隔t，即T = mt (其中m为正整数)。在每一个区段 k τ ≤ t ≤ ( k + 1 ) τ 内， ( k = 0 , ⋯ , m ) ，以 x k = x ( k τ ) 为初始条件，用 x ( t − T ) 对每个时间间隔内的时滞项做加权平均，对周期系数B(t)矩阵做零阶平均，从而获得一个周期内系统的状态空间表达式。在此基础上构造转移矩阵，再使用Floquet理论对传递矩阵进行判稳，进而确定当前切削条件是否稳定 [ 11 ] [ 12 ]。

半离散法的离散间隔τ考虑了时变以及周期因子的影响，因此该方法的预测精度更高，尤其适用于小径向颤振稳定性的预测。由于半离散法需要针对不同切削条件迭代搜索稳定性边界，计算量大，故需要从提高计算速度和收敛速度两方面来改进半离散法。

对系统方程的延迟项的处理是减少计算量、提高计算速度和收敛速度的关键。Henninger [ 19 ] 引入了一种预先定义的非等距变量离散格式对延迟项所需的时间间隔进行离散。相较于完全等距离散，可以在数量级上减少计算成本。Jiang等 [ 20 ] 使用二阶牛顿插值多项式来代替原始一阶半离散化方法中使用的线性函数。Huang等 [ 21 ] 将延迟项近似为两个相邻离散延迟状态值的加权和，并确定单个周期内的转换矩阵。笔者等 [ 22 ] 提出了利用三阶Runge-Kutta法(RGKM-3)求解延时周期T，推导传递矩阵，从而避免了因直接积分法而产生的指数矩阵。

全离散法最先是由丁烨等 [ 23 ] 提出的。该方法将时间周期T等分为m个时间间隔 。不同于半离散法，全离散法同时对周期系数矩阵、状态项以及时滞项进行线性逼近，再用直接积分法获得系统的变换矩阵。最后用Floquet理论对传递矩阵进行判稳。目前，对全离散法的研究主要是提高预测精度和降低计算量。

Quo [ 24 ] 提出了用三阶牛顿插值理论离散状态方程来计算铣削稳定性，而不是现有的二次拉格朗日多项式来插值状态项。引入Hermite插值法来近似状态项，获得了令人满意的精度和效率 [ 25 ]。Ozoegwu [ 26 ] 提出了四阶和五阶全离散化方法，他发现稳定性预测精度随着阶数的增加而提高，在四阶时达到峰值并在五阶时开始下降。Yang [ 27 ] 开发了一种基于积分的三阶全离散化方法，该方法可以在铣削稳定性预测中无需进行矩阵求逆运算。为了简化推导过程，Qin采用二次插值法将时间周期参数矩阵、状态项和延迟项作为一个整体单位在两个不同的子区间上逼近 [ 28 ]。

相较于半离散法，全离散法在计算传递矩阵时只对主轴转速进行循环，而半离散法计算传递矩阵却需要对主轴转速和切深进行二重循环，全离散法的计算效率更高。但是全离散法收敛速度却不及半离散法。因此，有必要在提高收敛速度方面对全离散法加以改进。

时间有限元法首先由Bayly [ 29 ] 提出。不同于半离散法和全离散法，时间有限元法将系统受强迫振动时间均分为m个时间段，再通过加权残值法获得一个周期内的系统状态转移矩阵。再用Floquet理论对传递矩阵进行判稳，以确定当前切削条件是否稳定，获得颤振稳定性叶瓣图。姜燕等 [ 30 ] 首先将主轴的旋转周期m等分，然后在每个时间间隔内对系统状态变量进行插值简化处理，最后求出传递矩阵。实验结果表明，相较于半离散法，该方法预测精度更高，最小误差仅有3%。

相较于半离散法和全离散法，时间有限元法可以在时域内快速收敛，因此计算效率比半离散法和全离散法高。综上所述，四种时域求解方法的优点和局限性如表2所示。

表2. 域求解方法的优点和局限性

切削信号的拾取与预处理是指采用传感器来感知切削信号，并进行信号调理、采集与处理的过程。拾取的切削信号主要包括了切削力、加速度以及声信号等。切削力在切削颤振识别中应用广泛。它使被加工材料发生变形，产生切屑，灵敏度高，对切削状态的变化反应迅速。Peng等 [ 33 ] 在实际加工过程中采用切削力信号进行检测，求出了各主轴转速对应的临界轴向切削深度和径向切削深度，其结果与半离散法进行比较，获得很好的验证。加速度信号则可以提供对切削过程动力学的深入了解。Pérez-Canales等 [ 34 ] 通过检测相关加速度信号的随机性来检测加工过程的颤振。实验结果表明，该方法对颤振检测有效的。

除了加速度以及切削力信号，近来越来越多的学者将声信号运用到颤振检测中。Altintas和Chan [ 35 ] 对一个过程的声音信号进行了频谱分析，并将频谱中的最大振幅作为颤振的指标，用于颤振在线检测。Schmitz等 [ 36 ] 使用在每次旋转时采样的音频信号中的统计方差作为抖动的指示器。Delio等 [ 37 ] 将麦克风收集的声信号与加速度信号进行了比较，得出的结论是，在许多情况下，声信号对颤振的检测更为有效。因此加速度、切削力以及声信号都可以运用到颤振在线监测中，三者的特点和局限性如表3所示。

表3. 切削信号的特点及局限性

由于切削现场存在各种噪声的干扰，因此有必要对所采集到的信号进行模拟或数字滤波。最常用的做法是对信号进行傅里叶变换。Tlusty [ 38 ] 等对铣削力信号进行傅里叶变换，根据信号的频谱构成与幅值进行颤振判别。但傅里叶变换只适合于对周期信号或者平稳信号处理，而切削振动信号却是典型的非平稳信号，同时傅里叶变换只能描述整体频率变化。相较于傅里叶变换，时频分析方法不仅可以将一维时频信号反映到二维时频平面上，还能反映频率随时间变化的关系。Lei [ 39 ] 对信号进行小波变换从而监测颤振的发生。然而颤振的在线监测需要在特征值到达阈值时进行及时的控制反馈，而小波变换等方法却不能同时兼具时域与频域良好的分辨率。考虑到切削信号属于多分量信号，因此越来越多的学者对切削信号进行了多分量信号分解研究。通常的做法是采用经验模态分解对信号进行分解，但该方法存在模态混叠现象。Li等 [ 40 ] 利用变分模式分解将滤波后的信号分解为一组固有模态函数，进而得到颤振信息。然而变分模式分解方法存在分解过多，则信号断断续续，没有多少规律可言的问题。因此，优化的变分模式分解被提出来对信号进行处理 [ 41 ]。Ji等 [ 42 ] 证明了自适应分析方法对信号进行分解具有很好的效果。

颤振识别是颤振抑制的关键所在。在线颤振监测方法的目的是提高监测精度以及计算效率。运用方差对切削信号进行判断最为直接 [ 43 ]，但是方差容易受到噪声信号的干扰，因此监测结果不够准确。同时，在面对不同的切削条件时，方差的阈值不易确定。因此，越来越多的学者从能量的角度来判别颤振。由于颤振的特征之一是能量集中在高次谐波频率范围内，基于能量的方法具有捕捉信号能量变化信息的内在能力，因此被广泛用于识别颤振，这其中熵的运用最为广泛 [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ]。熵是一种能反映不同频率在频带内分布的无量纲指标。当频率分量广泛分布在频带上时，分布不确定性最大，导致熵的值最大。相反，当频率分量分布在某一频带上时，频率分布的不确定性最小，导致熵的值最小。但是基于能量的方法对噪声敏感，会导致灵敏度不理想，且计算量大。为了解决计算效率的问题，Ji等 [ 42 ] [ 45 ] 数理论运用到颤振判别中。分形维数是一种关注自相似或自仿射对象复杂度的方法，它包含了分形在多个尺度上的几何结构信息。因此能够准确反映出切削力、位移、速度、加速度等信号的幅值变化。同时相较于熵等基于能量变化的方法，分形维数是直接对时域信号进行判断，且计算简单，极大地提高了计算效率。

综上所述，上述几种颤振识别方法的对比如表4所示。

表4. 不同颤振识别方法的对比

目前，颤振的在线抑制主要包括振动控制法和变切削参数控制法两种 [ 44 ]。前者需要附加减震装置(如增加阻尼器或采用减振刀具等。振动控制法的优点是附加减震装置的结构简单，工作可靠，应用范围广，但会影响了切削加工空间，而且附加装置设计之后，其性能参数都已确定，无法随加工的改变而改变，因此很难适合颤振的在线抑制 [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ]。

变切削参数控制是当颤振发生或将要发生时，在线改变切削参数，从而抑制颤振。变切削参数控制主要包括变切削速度、变进给量以及变刀具工作角度三种方法，其中以变速铣削的应用最为广泛。这是因为变速铣削在各个转速下都能有效的抑制颤振。且由于变速铣削的临界切深比恒速铣削的临界切深大很多，因此变速铣削的加工效率比恒速铣削提高了30% [ 49 ]。针对变速铣削，宋春雷等 [ 50 ] 提出了一种整体逼近的离散化算法。通过对被积分项的矩阵进行重构，并将被积函数进行整体逼近，减少了误差。相较于半离散算法，计算时间减少了65%。于骏一等 [ 51 ] 对变速铣削的加工工艺进行试验。试验证明中小惯量的机床应采用正弦波、锯齿波等无平顶特性的波形进行变速。

变切削参数控制使用简单，尤其适合数控机床。其原理虽简单，但是对供电线路、功率放大器以及电动机的负荷能力要求较高。