非线性色散方程

{ u t + ( u n ) x + ( u n ) x x x = 0 ,     a ≤ x ≤ b ,     0 < t ≤ T u ( x , 0 ) = u 0 ( x ) (1)

通过引入辅助变量可将方程(1)改写成一阶方程组

{ u t + ( v + p ) x = 0 p − q x = 0 q − v x = 0 v − u n = 0     a ≤ x ≤ b , 0 < t ≤ T (2)

首先对求解区域 [ a , b ] 进行剖分， a = x − 1 / 2 < x 1 / 2 < ⋯ < x N − 1 / 2 = b , 其中 x j − 1 / 2 ( 0 ≤ j ≤ N ) 为求解区间的剖分节点，并定义控制单元 I j = ( x j − 1 / 2 , x j + 1 / 2 ) ，且

x j = ( x j − 1 / 2 + x j + 1 / 2 ) / 2 ,     Δ x j = x j + 1 / 2 − x j − 1 / 2 , f j − 1 / 2 + = lim x → x j − 1 / 2 + f ( x ) ,     f j − 1/2 − = lim x → x j − 1 / 2 − f ( x ) ,     h = max 0 ≤ j ≤ N Δ x j

选取控制单元

I j 1 = ( x j − 1 / 2 , x j − 1 / 2 + 1 4 Δ x ) ,     I j 2 = ( x j − 1 / 2 + 1 4 Δ x , x j + 1 / 2 − 1 4 Δ x ) ,     I j 3 = ( x j + 1 / 2 − 1 4 Δ x , x j + 1 / 2 )

I j 上的试探函数空间 V h 相应基函数为

φ j ( 0 ) ( ξ ) = 2 ξ ( ξ − 1 2 ) ,       φ j ( 1 ) ( ξ ) = − 4 ( ξ − 1 2 ) ( ξ + 1 2 ) ,       φ j ( 2 ) ( ξ ) = 2 ξ ( ξ + 1 2 )

因此单元形状函数可以表示为 u h ( x , t ) = ∑ l = 0 2 u j l φ j ( l ) ( ξ ) ，其中 ξ = x − x j h 。

对于LDPG而言，控制单元 I j 1 , I j 2 , I j 3 上检验函数是一个分段常数函数

ψ j l = { 1 , ∀ x ∈ I j l 0 , otherwise , l = 1 , 2 , 3

将方程组(2)两边同时乘以检验函数 ψ j l ，并在 I j l 上积分， l = 1 , 2 , 3 ，可以得到

∫ I j l u t ψ j l d x + ∫ I j l ( v + p ) x ψ j l d x = 0 (3)

∫ I j l p ψ j l d x + ∫ I j l q x ψ j l d x = 0 (4)

∫ I j l q ψ j l d x + ∫ I j l v x ψ j l d x = 0 (5)

检验函数用相应基函数代替， v , p , q , u 用 v h , p h , q h , u h ∈ V h 代替得到

∫ I j l ( u h ) t d x + ∫ I j l ( v h + p h ) x d x = 0 (6)

∫ I j l p h d x + ∫ I j l ( q h ) x d x = 0 (7)

∫ I j l p h d x + ∫ I j l ( q h ) x d x = 0 (8)

利用积分公式得

( d u j 0 d t d u j 1 d t d u j 2 d t ) = A − 1 ( − [ ( v h + p h ) j − 1 / 2 + 1 / 4 Δ x − ( v ˜ h + p ^ h ) j − 1 / 2 ] − [ ( v h + p h ) j + 1 / 2 − 1 / 4 Δ x − ( v h + p h ) j − 1 / 2 + 1 / 4 Δ x ] − [ ( v ˜ h + p ^ h ) j + 1 / 2 − ( v h + p h ) j − 1 / 2 + 1 / 4 Δ x ] ) (9)

( p j 0 p j 1 p j 2 ) = A − 1 ( ( q h ) j − 1 / 2 + 1 / 4 Δ x − ( q ^ h ) j − 1 / 2 ( q h ) j + 1 / 2 − 1 / 4 Δ x − ( q h ) j − 1 / 2 + 1 / 4 Δ x ( q ^ h ) j + 1 / 2 − ( q h ) j + 1 / 2 − 1 / 4 Δ x ) (10)

( q j 0 q j 1 q j 2 ) = A − 1 ( ( v h ) j − 1 / 2 + 1 / 4 Δ x − ( v ^ h ) j − 1 / 2 ( v h ) j + 1 / 2 − 1 / 4 Δ x − ( v h ) j − 1 / 2 + 1 / 4 Δ x ( v ^ h ) j + 1 / 2 − ( v h ) j + 1 / 2 − 1 / 4 Δ x ) (11)

其中

A = ( 1 6 5 48 − 1 48 1 48 11 24 1 48 − 1 48 5 48 − 1 6 ) ， A − 1 = ( 19 3 − 5 3 1 − 1 3 7 3 − 1 3 1 − 5 3 19 3 )

空间离散完毕，可得常微分方程组

{ d u h d t = A − 1 G ( v h , p h ) p h = A − 1 G ( q h ) q h = A − 1 G ( v h )

上式中 p ^ , q ^ , v ^ 为数值流通量，在这里使用“交替型数值流通量” [ 10 ]。对于K(m, n)方程，若n为奇数，数值流通量做如下选取

p ^ h = p h + ,       q ^ h = q h + ,       v ^ h = v h −

若n为偶数，数值流通量做如下选取

p ^ h = p h + ,         v ^ h = v h + q ^ h = { q h + ,         if   ( u h + ) n − 1 + ( u h − ) n − 1 ≥ 0 q h − ,         otherwise

流通量 v ˜ h 为局部Lax-Friedrichs数值流通量

f ^ ( u − , u + ) = 1 2 [ f ( u − ) + f ( u + ) − α ( u + − u − ) ]

其中

α = max u ∈ Ω | f ′ ( u ) | ,       Ω = [ min ( u − , u + ) , max ( u − , u + ) ]

经过空间离散后的常微分方程组，利用三阶TVD Runge-Kutta方法来求解。令

d U h d t = L h ( U h , t )

其中

L h ( U h , t ) = A − 1 G ( V h , P h )

则有

{ u ( 1 ) = u n + Δ t L ( u n , t n ) u ( 2 ) = 3 4 u n + 1 4 ( u ( 1 ) + Δ t L ( u ( 1 ) , t n + Δ t ) ) u n + 1 = 1 3 + 2 3 ( u ( 2 ) + Δ t L ( u ( 2 ) , t n + Δ t ) )

u t + u x x x = 0 ,     0 ≤ x ≤ 2 π ,     0 < t ≤ T (12)

u ( x , 0 ) = sin ( x ) ,     0 ≤ x ≤ 2 π (13)

边界条件

u ( 0 , t ) = sin ( t ) ,     u ( 2 π , t ) = sin ( 2 π + t )

表1. 例1分别使用 P 1 , P 2 元在t = 1时的精度及误差

Table1. L 1 , L 2 and L ∞ errors at time=1 with P 1 and P 2 for case 1

g r i d               L 1       o r d e r                     L 2       o r d e r                       L ∞       o r d e r P 1 20 2.6509 × 10 − 2     1.1732 × 10 − 2     6.5971 × 10 − 3 40 6.6391 × 10 − 3     1.9975     2.9480 × 10 − 3     1.9926     1.6030 × 10 − 3     2.0405 80 1.6569 × 10 − 3     2.2024     7.3735 × 10 − 4     1.9993     3.8496 × 10 − 4     2.0580 160 4.1352 × 10 − 4     2.0025     1.8429 × 10 − 4     2.0003     9.7907 × 10 − 5     1.9752 P 2 10 4.2531 × 10 − 3     3.3619 × 10 − 3     1.2432 × 10 − 3 20 5.0078 × 10 − 4     3.0862     4.0071 × 10 − 4     3.0686     1.4864 × 10 − 4     3.0641 40 6.1521 × 10 − 5     3.0250     4.9254 × 10 − 5     3.0242     1.8913 × 10 − 5     2.9743 80 7.6752 × 10 − 6     3.0028     6.1174 × 10 − 6     3.0093     2.4109 × 10 − 6     2.9717

u t + ( u 3 ) x + ( u 3 ) x x x = 0 (14)

初始条件

u 0 = { 2 cos ( x 5 )             x ∈ [ − 2.5 π , 2.5 π ] 0                                         else where (15)

模拟结果如下图1，我们选取200个单元格以及 P 2 元LDPG与LDG方法进行比较。

从图像可以看出，随着时间推移，一列紧孤子从初始波形分裂出来向右移动，在初始波形的左侧出现了高频震荡，这说明使用局部间断Petrov-Galerkin方法可以同时捕捉到尖锐的界面和高频振荡，这在伪谱方法中是无法实现的，证实了LDPG的稳定性和精度。

使用初始条件

u 0 = { 3 2 cos ( x 6 )         x ∈ [ − 3 π , 3 π ] 0                                       else where (16)

图1. K(3, 3)方程(14)使用初值(15)在不同时刻的解

也观察到类似的振荡情况，如图2：

图2. K(3, 3)方程(14)使用初值(16)在不同时刻的解

u t + ( u 2 ) x + ( u 2 ) x x x = 0 (17)

初始条件

u 0 = { 4 3 cos 2 ( x 8 )         x ∈ [ − 4 π , 4 π ] 0                                     else where (18)

图3. K(3, 3)方程(14)使用初值(15)在不同时刻的解

如图3我们依旧选取200个单元格以及 P 2 元来模拟不同时刻紧孤子碰撞情况，并与LDG方法模拟情况作对比。