刘含荃，顾静

浙江师范大学数学与计算机科学学院，浙江 金华

收稿日期：2020年8月3日；录用日期：2020年8月19日；发布日期：2020年8月26日

图G的一个正常k-全染色是指一个映射 φ : V ( G ) ∪ E ( G ) → { 1 , 2 , ⋯ , k } ，使得 V ( G ) ∪ E ( G ) 中任意两个相邻的或相关联的元素染不同颜色。令C_φ(v)表示点v的颜色与v的关联边的颜色组成的集合。如果满足对任意一条边 u v ∈ E ( G ) 都有和 | C φ ( v ) \ C φ ( u ) | ≥ 1 ，则称φ是k-严格邻点可区别的。图G的严格邻点可区别全色数是使G是k-严格邻点可区别全可染的最小正整数k，用χ_snt(G)表示。本文证明了每个子立方图满足 χ s n t ( G ) ≤ 6 。

关键词 :严格邻点可区别全染色，严格邻点可区别全色数，子立方图

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本文只考虑有限简单图，设G是一个点集为V(G)，边集为E(G)的图，它的最大度，最小度分别为Δ(G)，δ(G)。当点v的度是k时，称为k-点。令N_G(v)代表与v相邻的点集。很容易得到对简单图G中的任一点v，有 d G ( v ) = | N G ( v ) | 。在不会混淆的情况下，Δ(G)，δ(G)，d_G(v)和N_G(v)分别可以写成Δ，δ，d(v)和N(v)。令P_n和C_n分别表示阶为n的路和阶为n的圈。如果图G的每个点的度都是一个固定的常数k，则称G是k-正则的。一个图G如果是3-正则的，则称为立方图；如果满足 Δ ( G ) ≤ 3 ，则称为子立方图。图G如果满足 δ ( G ) ≥ 2 ，则称G为正常的。

图G的一个正常k-全染色是指一个映射 φ : V ( G ) ∪ E ( G ) → { 1 , 2 , ⋯ , k } ，使得对任意两个相邻的或相关联的元素 z 1 , z 2 ∈ V ( G ) ∪ E ( G ) ，有 φ ( z 1 ) ≠ φ ( z 2 ) 。设 C φ ( v ) = { φ ( v } ∪ { φ ( e ) : e ∈ E G ( v ) } 。如果对任意一对相邻的点u和v，有 C φ ( u ) ≠ C φ ( v ) ，我们把φ称为邻点可区别的。图G的邻点可区别全色数X_at(G)是使G有一个k-邻点可区别全染色的最小正整数k。此外，如果对任意一对相邻的点u和V，有 | C φ ( u ) \ C φ ( v ) | ≥ 1 和 | C φ ( v ) \ C φ ( u ) | ≥ 1 ，我们称φ为严格邻点可区别的。图G的严格邻点可区别全色数χ_at(G)是使G有一个k-严格邻点可区别全染色的最小正整数k。

2005年，张忠辅等人在 [ 1 ] 中首先给出了图的邻点可区别全染色的概念，并且对圈、完全图、完全二部图、扇、轮图和树的邻点可区别全染色展开研究，确定了它们的邻点可区别全色数，并根据特殊图的邻点可区别全色数提出了如下猜想：

猜想1 [ 1 ] 对于阶不少于2的简单连通图G，有 χ a t ( G ) ≤ Δ ( G ) + 3 。

如果猜想1成立，则这个上界是紧的。例如，对于任意正整数 t ≥ 1 ，有 χ a t ( K 2 t + 1 ) = 2 t + 1 + 2 = Δ ( K 2 t + 1 ) + 3 。Chen和Wang分别在 [ 2 ] 和 [ 3 ] [ 4 ] 中证明了 Δ = 3 的连通图满足猜想1。奇数阶的完全图的邻点可区别全色数可以达到猜想1的上界，由于奇数阶的完全图的最大度为偶数，但是对于 Δ = 3 的连通图，上界6是否是紧的这一问题至今仍未解决。Papaioannou和Raftopoulou在 [ 5 ] 中从算法的角度证明了所有的4-正则图G，有 χ a t ( G ) ≤ 7 ，是满足猜想1的。Lu等人在 [ 6 ] 中运用组合零点定理证明了所有 Δ = 4 的连通图G，有 χ a t ( G ) ≤ 7 ，是满足猜想1的。Huang，Wang和Yan在 [ 7 ] 中把 Δ ≥ 3 的图的邻点可区别全色数的上界改进到2Δ(G)。

严格邻点可区别全染色(被命名为Smarandachely邻点可区别全染色)有及以下猜想。

猜想2 对于阶不小于2的简单连通图G，有 χ s n t ( G ) ≤ Δ ( G ) + 3 。

2009年，梁少卫在 [ 8 ] 中证明了 k ≥ 2 的k-正则偶图和k-方体图Q_k，满足猜想2。2011年，卫斌等人在 [ 9 ] 中证明了圈的平方图，满足猜想2。文献 [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] 中给出了若干类的3-正则图的严格邻点可区别全色数均为5，满足猜想2。2015年，陈妹君等人在 [ 14 ] 中研究了Mycielski图的严格邻点可区别全色数满足猜想2。2019年，李春梅等人在 [ 15 ] 证明了 Δ ≤ 3 的2-连通外平面图满足猜想2。

在展示主要结果前，我们先建立一些有用的观察。首先，根据定义，以下式子显然成立。

引理1 [ 2 ] 如果图G是一个 Δ = 3 的图，则G有一个6-邻点可区别全染色。

引理2 对 r ≥ 2 ，每个r-正则图G满足 χ s n t ( G ) = χ a t ( G ) 。

结合引理1和2，我们得到以下事实：

引理3 如果图G是一个3-正则图，则 χ s n t ( G ) ≤ 6 。

引理4 对一个阶为n的圈C_n，有 χ s n t ( G ) = 4 。

引理5 对 P n ( n ≥ 2 ) ，有 χ s n t ( P n ) = 4 。

证明：设 P n = v 1 v 2 ⋯ v n , n ≥ 2 ，连接v₁和v_n得到一个圈C_n。设 C = { 1 , 2 , 3 , 4 } 是一个颜色集合。由引理4，C_n有一个4-严格邻点可区别全染色φ。除了点v₁和v_n，用与C_n相同的颜色染P_n中的点和边，设 α ∈ C \ C φ ( v 2 ) ， β ∈ C \ C φ ( v n − 1 ) ，用α染点v₁，用β染点v_n。 £

定理1 如果图G是一个正常的子立方图，则 χ s n t ( G ) ≤ 6 。

证明：我们用反证法证明。设 C = { 1 , 2 , ⋯ , 6 } 是一个颜色集合。假设图G是一个边数 | E ( G ) | 最小的极小反例。如果 | E ( G ) | ≤ 6 ，则定理成立，因为足以给每条边分配不同的颜色。所以假设G是一个 Δ ≤ 3 ， | E ( G ) | ≥ 7 的图，且G无法用C中的颜色染好。

如果 Δ = 2 ，G是一个圈或一条路，由引理4和引理5，有 χ s n t ( G ) ≤ 6 。所以假设 Δ = 3 。为了完成证明，我们需要构造以下一系列的断言。在断言的证明中，我们用C(v)代替C_φ(v)。

断言1 G不包含1-点。

证明：反之，G包含一个1-点v。设点u是v的邻点。如果 d ( u ) = 2 ，设 N ( u ) = { v , u 1 } ；如果 d ( u ) = 3 ，设 N ( u ) = { v , u 1 , u 2 } 。令 H = G − v ，则H是一个 | E ( H ) | < | E ( G ) | 且 Δ ( H ) ≤ Δ ( G ) 的图。所以H存在一个6-严格邻点可区别全染色φ，其所用颜色集合为C。

对 i ∈ { 1 , 2 } ，如果 | C ( u i ) \ C ( u ) | = 1 ，取 a i ∈ C ( u i ) \ C ( u ) 。令 α ∈ C \ C ( u ) ∪ { a 1 , a 2 } ，用α染边uv。令 β ∈ C \ C ( u ) ∪ { α } ，用β染点v。断言1的证明完成。 £

断言2 G不包含相邻2-点。

证明：反之，G包含两个相邻2-点u和v。设 N ( u ) = { v , u 1 } ， N ( v ) = { u , v 1 } 。令 H = G − u v ，则H是一个 | E ( H ) | < | E ( G ) | 且 Δ ( H ) = Δ ( G ) = 3 的图。所以H存在一个6-严格邻点可区别全染色φ，其所用颜色集合为C。

先假设 C ( u ) = C ( v ) 。己知 | C ( v 1 ) ∪ C ( v ) | ≤ 5 ，令 α ∈ C \ C ( v 1 ) ∪ C ( v ) ，用α改染点v。令 β ∈ C \ C ( u ) ∪ { a } ，用β染边uv。因此 C ( u ) ≠ C ( v ) 。如果 φ ( u ) = φ ( v ) ，令 α ∈ C \ C ( v 1 ) ∪ C ( v ) ，用α改染点v。令 β ∈ C \ C ( u ) ∪ { α , φ ( v v 1 ) } ，用β染边uv。如果 φ ( u ) ≠ φ ( v ) ，令 β ∈ C \ C ( u ) ∪ C ( v ) ，用β染边uv。断言2的证明完成。 £

断言3 G中的3-点不与3个2-点相邻。

证明：反之，v是G中的3-点， N ( v ) = { u , x , y } 且 d ( u ) = d ( x ) = d ( y ) = 2 。由断言2，u，x，y两两不相邻。令 H = G − v ，则H是一个 | E ( H ) | < | E ( G ) | 的图。所以H存在一个6-严格邻点可区别全染色φ，其所用颜色集合为C。

情形1. | C ( u ) ∪ C ( x ) ∪ C ( y ) | < 6 。

令 α ∈ C \ C ( u ) ∪ C ( x ) ∪ C ( y ) ，用α染点v。集合C\{α}中必定存在一个在C(u)，C(x)，C(y)中至多用了一次的颜色，不妨设为1。

如果 1 ∉ C ( u ) ∪ C ( x ) ∪ C ( y ) ，用1染边uv。令 β 1 ∈ C \ C ( x ) ∪ { 1 , α } ，用β₁染边vx。当 β 1 ∉ C ( u ) ，因为 | C ( y ) ∪ { 1 , α , β 1 } | ≤ 5 ，令 β 2 ∈ C \ C ( y ) ∪ { 1 , α , β 1 } ，用β₂染边vy。当 β 1 ∈ C ( u ) ，删去边uv的颜色，用1染边vy。设 C ′ ( v ) = { 1 , α , β 1 } ， C ′ ( y ) = C ( y ) ∪ { 1 } 。如果 | C ′ ( y ) \ C ′ ( v ) | = 1 ，取 a 1 ∈ C ′ ( y ) \ C ′ ( v ) ，因为 | C ( u ) ∪ { 1 , α , a 1 } | ≤ 5 ，令 β 2 ∈ C \ C ( u ) ∪ { 1 , α , a 1 } ，用β₂染边uv。

如果 1 ∈ C ( u ) (或C(x)，或C(y))，假设 C ( u ) = { 1 , 2 } 。用1染边vx，因为 | C ( y ) ∪ { 1 , 2 , α } | ≤ 5 ，令 β 1 ∈ C \ C ( y ) ∪ { 1 , 2 , α } ，用β₁染边vy。设 C ′ ( v ) = { 1 , α , β 1 } ， C ′ ( x ) = C ( x ) ∪ { 1 } 。如果 | C ′ ( x ) \ C ′ ( v ) | = 1 ，取 a 2 ∈ C ′ ( x ) \ C ′ ( v ) ，因为 | C ( u ) ∪ { β 1 , α , a 2 } | ≤ 5 ，令 β 2 ∈ C \ C ( u ) ∪ { β 1 , α , a 2 } ，用β₂染边uv。

情形2. | C ( u ) ∪ C ( x ) ∪ C ( y ) | = 6 。

设 N ( u ) = { v , u 1 } ，则 d ( u 1 ) = 3 。因为 | C ( u 1 ) ∪ C ( u ) | ≤ 5 ，令 α ∈ C \ C ( u 1 ) ∪ C ( u ) ，用α改染点u。此时 C ( u ) ∪ C ( x ) ∪ C ( y ) ≠ C ，根据情形1，G有一个6-严格邻点可区别全染色。

断言3的证明完成。 £

断言4 G中2-点不与3-点相邻。

证明：反之，G包含相邻的3-点u和2-点v，设 N ( v ) = { u , w } ，因此w是一个3-点。设 N ( u ) = { v , u 1 , u 2 } ， N ( w ) = { v , w 1 , w 2 } 。u₁，u₂，w₁，w₂是2-点或3-点。由断言3，u₁或u₂是3-点，w₁或w₂是3-点。不妨设 d ( u 2 ) = 3 ， d ( w 2 ) = 3 。令 H = G − v ，则H是一个 | E ( H ) | < | E ( G ) | 的图。所以H存在一个6-严格邻点可区别全染色φ，其所用颜色集合为C。如果 | C ( u 1 ) \ C ( u ) | = 1 ，取 a ∈ C ( u 1 ) \ C ( u ) 。如果 | C ( w 1 ) \ C ( w ) | = 1 ，取 b ∈ C ( w 1 ) \ C ( w ) 。设 C ( u ) = { 1 , 2 , 3 } 。

情形1. | C ( u ) ∩ C ( w ) | = 3 。

设 α 1 ∈ C \ { 1 , 2 , 3 , a } ，用α₁染边uv。设 α 2 ∈ C \ { 1 , 2 , 3 , α 1 , b } ，用α₂染边vw。设 α 3 ∈ C \ { α 1 , α 2 , φ ( u ) , φ ( w ) } ，用α₃染点v。

情形2. | C ( u ) ∩ C ( w ) | = 2 。

不妨设 C ( w ) = { 1 , 2 , 4 } 。令 α 1 ∈ C \ { 1 , 2 , 3 , 4 , a } ， α 2 ∈ C \ { 1 , 2 , 4 , α 1 , b } ，用α₁染边uv，α₂染边vw。如果 α 2 = 3 ，令 α 3 ∈ C \ { 1 , 2 , 3 , α 1 , φ ( w ) } ，用α₃染点v。如果 α 2 ≠ 3 ，令 α 3 ∈ C \ { α 1 , α 2 , φ ( u ) , φ ( w ) } ，用α₃染点v。

情形3. | C ( u ) ∩ C ( w ) | = 1 。

不妨设 C ( w ) = { 1 , 4 , 5 } 。令 α 1 ∈ { 4 , 5 } \ { a } ， α 2 ∈ { 2 , 3 } \ { b } ，用α₁染边uv，α₂染边vw，6染点v。

情形4. | C ( u ) ∩ C ( w ) | = 0 。

不妨设 C ( w ) = { 4 , 5 , 6 } ， φ ( w ) = 4 。删去点w的颜色，用4染边vw。当 φ ( w 1 ) ∉ C ( w ) 时，取 b ′ = φ ( w 1 ) 。当 φ ( w 1 ) ∈ C ( w ) 时，取 b ′ ∈ C ( w 1 ) \ C ( w ) 。令 α 1 ∈ C \ { 4 , 5 , 6 , b ′ , φ ( w 2 ) } ，用α₁染点w。显然， α 1 ∈ { 1 , 2 , 3 } 。令 α 2 ∈ { 5 , 6 } \ { a } ， α 3 ∈ C \ { 4 , 5 , 6 , α 1 , φ ( u ) } ，用α₂染边uv，α₃染点v。

断言4的证明完成。 £

由断言1-4得G是3-正则的。但是根据引理3，G有一个6-严格邻点可区别全染色的，矛盾。 £

刘含荃,顾 静. 子立方图的严格邻点可区别全染色Strict Neighbor-Distinguishing Total Coloring of Subcubic Graphs[J]. 应用数学进展, 2020, 09(08): 1346-1350. https://doi.org/10.12677/AAM.2020.98159