AAM Advances in Applied Mathematics 2324-7991 Scientific Research Publishing 10.12677/AAM.2020.98150 AAM-37173 AAM20200800000_51874785.pdf 数学与物理 哈密顿算符及其一般运算表达式的分析 General Expression Analysis of the Hamiltonian Operator and Its Formula 冯 朝桢 2 1 段 卫龙 3 1 昆明理工大学城市学院，云南 昆明 德宏师范高等专科学校理工学院，云南 芒市 null 04 08 2020 09 08 1286 1291 © Copyright 2014 by authors and Scientific Research Publishing Inc. 2014 This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

哈密顿算符∇及其产生的拉普拉斯算符、梯度、散度和旋度常见运算式在不同曲线坐标系中具体表达式不相同。本文通过定义一个三维正交曲线坐标系(u1, u2, u3)，引入坐标因子h1、h2、h3，推导得到了关于 ∇、 ∇ ∅、 ∇-A、 ∇ΧA、 ∇2的一般形式及Poisson方程和Laplace方程的一般表达式。 The Hamiltonian operator ∇ and the common expressions such as the Laplacian operator, gradient, divergence, and curl generated by it are not the same in different curve coordinate systems. This paper defines a three-dimensional orthogonal curve coordinate system (u1, u2, u3), introducing coordinate factor h1, h2, h3, deriving the general form of ∇, ∇ ∅, ∇-A , ∇ ΧA, ∇2, and the general expression of Poisson equation as well as Laplace equation.

 哈密顿算符，拉普拉斯算符，梯度，散度，旋度, Hamiltonian Operators Laplacian Operator Gradient Divergence Curl 哈密顿算符及其一般运算表达式的分析

冯朝桢1，段卫龙2

1德宏师范高等专科学校理工学院，云南 芒市

2昆明理工大学城市学院，云南 昆明

收稿日期：2020年7月27日；录用日期：2020年8月13日；发布日期：2020年8月20日

 摘 要

哈密顿算符 ∇ 及其产生的拉普拉斯算符、梯度、散度和旋度常见运算式在不同曲线坐标系中具体表达式不相同。本文通过定义一个三维正交曲线坐标系 ( u 1 , u 2 , u 3 ) ，引入坐标因子 h 1 、 h 2 、 h 3 ，推导得到了关于 ∇ 、 ∇ ϕ 、 ∇ ⋅ A 、 ∇ × A 、 ∇ 2 的一般形式及Poisson方程和Laplace方程的一般表达式。

关键词 :哈密顿算符，拉普拉斯算符，梯度，散度，旋度

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 1. 引言

哈密顿算符 ∇ 是关于空间的一阶偏微分算子，在数学和物理学中发挥着重要作用。由 ∇ 可以产生一系列的偏微分方程，如泊松方程、拉普拉斯方程等，这些方程在电磁学、热传导等方面经常用到 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]。 ∇ 及其产生的梯度、散度和旋度等常见运算式在笛卡尔坐标系、柱坐标系、球坐标系、和极坐标系下，其具体表达形式是不一样的，能不能给各种运算式找到一个通用的一般表达式来统一呢？本文针对这个问题做了一些分析，在三维正交曲线坐标系 ( u 1 , u 2 , u 3 ) 下，得到了几个包含哈密顿算符运算式的一般表达式。

 2. 正交曲线坐标系

考虑一个由三维正交曲线坐标系 ( u 1 , u 2 , u 3 ) [ 4 ] 组成的空间，其中一个无限小的体积元可由 u 1 ， u 1 + d u 1 ， u 2 ， u 2 + d u 2 ， u 3 ， u 3 + d u 3 相围得到。一般通过 u 1 、 u 2 、 u 3 乘以坐标因子 h 1 ， h 2 ， h 3 来表示三个方向的距离， h 1 ， h 2 ， h 3 是 ( u 1 , u 2 , u 3 ) 的函数。

如图1所示，定义三个线元：

图1. 广义坐标系体积元图

d s 1 = h 1 d u 1 ， d s 2 = h 2 d u 2 ， d s 3 = h 3 d u 3 (1.1)

体积元 d V = d s 1 d s 2 d s 3 = h 1 h 2 h 3 d u 1 d u 2 d u 3 ，则哈密顿算符可以表示为：

∇ = ∂ ∂ s 1 e 1 + ∂ ∂ s 2 e 2 + ∂ ∂ s 3 e 3 = ∂ h 1 ∂ u 1 e 1 + ∂ h 2 ∂ u 2 e 2 + ∂ h 3 ∂ u 3 e 3 (1.2)

e 1 、 e 2 、 e 3 分别是空间变量 ( u 1 , u 2 , u 3 ) 的单位矢量。

1) 一标量 ϕ 在正交曲线坐标系 ( u 1 , u 2 , u 3 ) 连续，一阶微分存在，则根据梯度的定义式， ϕ 的梯度分量：

∂ ϕ ∂ s 1 = ∂ ϕ h 1 ∂ u 1 ， ∂ ϕ ∂ s 2 = ∂ ϕ h 2 ∂ u 2 ， ∂ ϕ ∂ s 3 = ∂ ϕ h 3 ∂ u 3 (1.3)

∇ ϕ = ( ∂ ϕ h 1 ∂ u 1 ) e 1 + ( ∂ ϕ h 2 ∂ u 2 ) e 2 + ( ∂ ϕ h 3 ∂ u 3 ) e 3 (1.4)

2) 一矢量 A 在正交曲线坐标系 ( u 1 , u 2 , u 3 ) 连续，一阶微分存在，那么矢量 A 穿过面OCGB和ADFE的向外通量为：

∂ ∂ s 1 ( A 1 d s 2 d s 3 ) d s 1 = ∂ ∂ u 1 ( h 2 h 3 A 1 ) d u 1 d u 2 d u 3 = 1 h 1 h 2 h 3 ∂ ∂ u 1 ( h 2 h 3 A 1 ) d V (1.5)

用同样的方法可以得到穿过其他4个平面的通量，则根据散度的定义， A 的散度：

div A = ∇ ⋅ A = 1 h 1 h 2 h 3 [ ∂ ∂ u 1 ( h 2 h 3 A 1 ) + ∂ ∂ u 2 ( h 3 h 1 A 2 ) + ∂ ∂ u 3 ( h 1 h 2 A 3 ) ] (1.6)

3) 矢量 A 是 ( u 1 , u 2 , u 3 ) 的函数，在正交曲线坐标下连续可微， A 1 、 A 2 、 A 3 是沿着 u 1 、 u 2 、 u 3 三个变量方向上的分量，由Stokes定理，在面OADC上 A 1 沿着边OA和DC的线积分等于：

[ h 1 ( u 1 , u 2 ) A 1 ( u 1 , u 2 ) − h 1 ( u 1 , u 2 + d u 2 ) A 1 ( u 1 , u 2 + d u 2 ) ] d u 1 = − ∂ ( h 1 A 1 ) ∂ u 2 d u 1 d u 2 (1.7)

沿着边AD和CO的线积分等于

[ h 2 ( u 1 + d u 1 , u 2 ) A 2 ( u 1 + d u 1 , u 2 ) − h 2 ( u 1 , u 2 ) A 2 ( u 1 , u 2 ) ] d u 2 = ∂ ( h 2 A 2 ) ∂ u 1 d u 1 d u 2 (1.8)

根据Stokes定理， A 沿着面OADC边界上的环路积分等于 ∇ × A 穿过平面OADC的通量，即：

( ∇ × A ) 3 = 1 h 1 h 2 [ ∂ ( h 2 A 2 ) ∂ u 1 − ∂ ( h 1 A 1 ) ∂ u 2 ] (1.9)

对于另外两个面OBGC和OAEB也可以得到

( ∇ × A ) 1 = 1 h 2 h 3 [ ∂ ( h 3 A 3 ) ∂ u 2 − ∂ ( h 2 A 2 ) ∂ u 3 ] (1.10)

( ∇ × A ) 2 = 1 h 3 h 1 [ ∂ ( h 1 A 1 ) ∂ u 3 − ∂ ( h 3 A 3 ) ∂ u 1 ] (1.11)

所以，矢量 A 的旋度为

curl A = ∇ × A = 1 h 2 h 3 [ ∂ ( h 3 A 3 ) ∂ u 2 − ∂ ( h 2 A 2 ) ∂ u 3 ] e 1 + 1 h 3 h 1 [ ∂ ( h 1 A 1 ) ∂ u 3 − ∂ ( h 3 A 3 ) ∂ u 1 ] e 2     + 1 h 1 h 2 [ ∂ ( h 2 A 2 ) ∂ u 1 − ∂ ( h 1 A 1 ) ∂ u 2 ] e 3 (1.12)

 3. 几例含哈密顿算符的运算式 3.1. Poisson方程和Laplace方程

标量 ϕ 在正交曲线坐标系 ( u 1 , u 2 , u 3 ) 连续可微，存在二阶偏导数，且矢量 A = ε ∇ ϕ (如电势和电场强度)，那么 ∇ ⋅ A 等于什么呢？将(1.4)式中3个分量乘以 ε 代替(1.6)式中的 A 1 、 A 2 、 A 3 有：

∇ ⋅ A = ∇ ⋅ ε ∇ ϕ = 1 h 1 h 2 h 3 [ ∂ ∂ u 1 ( h 2 h 3 h 1 ε ∂ ϕ 1 ∂ u 1 ) + ∂ ∂ u 2 ( h 3 h 1 h 2 ε ∂ ϕ 2 ∂ u 2 ) + ∂ ∂ u 3 ( h 1 h 2 h 3 ε ∂ ϕ 3 ∂ u 3 ) ] (2.1)

若 ∇ ⋅ A = f ，且 f ≠ 0 则(2.1)式称Poisson方程；若 f ≠ 0 则称为Laplace方程，令 ε = 1 ，可以得到拉普拉斯算符：

∇ 2 = [ ∂ ∂ u 1 ( h 2 h 3 h 1 ∂ ∂ u 1 ) + ∂ ∂ u 2 ( h 3 h 1 h 2 ∂ ∂ u 2 ) + ∂ ∂ u 3 ( h 1 h 2 h 3 ∂ ∂ u 3 ) ] (2.2)

 3.2. ∇ ⋅ ( μ A ) = ( ∇ μ ) ⋅ A + μ ( ∇ ⋅ A )

μ ( u 1 , u 2 , u 3 ) 连续可微，由(1.4)和(1.6)式可得到：

∇ ⋅ ( μ A ) = ( ∇ μ ) ⋅ A + μ ( ∇ ⋅ A ) = [ ( ∂ μ h 1 ∂ u 1 ) A 1 + ( ∂ μ h 2 ∂ u 2 ) A 2 + ( ∂ μ h 3 ∂ u 3 ) A 3 ]     + μ h 1 h 2 h 3 [ ∂ ∂ u 1 ( h 2 h 3 A 1 ) + ∂ ∂ u 2 ( h 3 h 1 A 2 ) + ∂ ∂ u 3 ( h 1 h 2 A 3 ) ] (2.3)

 3.3. ∇ 2 A = ( ∇ 2 A 1 ) e 1 + ( ∇ 2 A 2 ) e 2 + ( ∇ 2 A 3 ) e 3

由(2.2)式可得：

∇ 2 A = ( ∇ 2 A 1 ) e 1 + ( ∇ 2 A 2 ) e 2 + ( ∇ 2 A 3 ) e 3 = [ ∂ ∂ u 1 ( h 2 h 3 h 1 ∂ A 1 ∂ u 1 ) + ∂ ∂ u 2 ( h 3 h 1 h 2 ∂ A 1 ∂ u 2 ) + ∂ ∂ u 3 ( h 1 h 2 h 3 ∂ A 1 ∂ u 3 ) ] e 1     + [ ∂ ∂ u 1 ( h 2 h 3 h 1 ∂ A 2 ∂ u 1 ) + ∂ ∂ u 2 ( h 3 h 1 h 2 ∂ A 2 ∂ u 2 ) + ∂ ∂ u 3 ( h 1 h 2 h 3 ∂ A 2 ∂ u 3 ) ] e 2     + [ ∂ ∂ u 1 ( h 2 h 3 h 1 ∂ A 3 ∂ u 1 ) + ∂ ∂ u 2 ( h 3 h 1 h 2 ∂ A 3 ∂ u 2 ) + ∂ ∂ u 3 ( h 1 h 2 h 3 ∂ A 3 ∂ u 3 ) ] e 3 (2.4)

 3.4. ∇ × ( ∇ × A ) = ∇ ( ∇ ⋅ A ) − ∇ 2 A

由(1.4)，(1.6)，(2.4)三式可以得到

∇ × ( ∇ × A ) = ∇ ( ∇ ⋅ A ) − ∇ 2 A = ∂ h 1 ∂ u 1 { 1 h 1 h 2 h 3 [ ∂ ∂ u 1 ( h 1 h 2 A 1 ) + ∂ ∂ u 2 ( h 3 h 1 A 2 ) + ∂ ∂ u 3 ( h 1 h 2 A 3 ) ] } e 1     + ∂ h 2 ∂ u 2 { 1 h 1 h 2 h 3 [ ∂ ∂ u 1 ( h 1 h 2 A 1 ) + ∂ ∂ u 2 ( h 3 h 1 A 2 ) + ∂ ∂ u 3 ( h 1 h 2 A 3 ) ] } e 2     + ∂ h 3 ∂ u 3 { 1 h 1 h 2 h 3 [ ∂ ∂ u 1 ( h 1 h 2 A 1 ) + ∂ ∂ u 2 ( h 3 h 1 A 2 ) + ∂ ∂ u 3 ( h 1 h 2 A 3 ) ] } e 3

− [ ∂ ∂ u 1 ( h 2 h 3 h 1 ∂ A 1 ∂ u 1 ) + ∂ ∂ u 2 ( h 3 h 1 h 2 ∂ A 1 ∂ u 2 ) + ∂ ∂ u 3 ( h 1 h 2 h 3 ∂ A 1 ∂ u 3 ) ] e 1 − [ ∂ ∂ u 1 ( h 2 h 3 h 1 ∂ A 2 ∂ u 1 ) + ∂ ∂ u 2 ( h 3 h 1 h 2 ∂ A 2 ∂ u 2 ) + ∂ ∂ u 3 ( h 1 h 2 h 3 ∂ A 2 ∂ u 3 ) ] e 2 − [ ∂ ∂ u 1 ( h 2 h 3 h 1 ∂ A 3 ∂ u 1 ) + ∂ ∂ u 2 ( h 3 h 1 h 2 ∂ A 3 ∂ u 2 ) + ∂ ∂ u 3 ( h 1 h 2 h 3 ∂ A 3 ∂ u 3 ) ] e 3 (2.5)

 3.5. 动量算符 − i ℏ ∇ 与Schrödinger方程

由(1.2)式可知动量算符 − i ℏ ∇ = − i ℏ ( e 1 ∂ h 1 ∂ u 1 + e 2 ∂ h 2 ∂ u 2 + e 3 ∂ h 3 ∂ u 3 ) ，自由粒子波函数 ψ 的波动方程为

− i ℏ ∂ ψ ∂ t = − ℏ 2 2 m [ ∂ ∂ u 1 ( h 2 h 3 h 1 ∂ ψ ∂ u 1 ) + ∂ ∂ u 2 ( h 3 h 1 h 2 ∂ ψ ∂ u 2 ) + ∂ ∂ u 3 ( h 1 h 2 h 3 ∂ ψ ∂ u 3 ) ] + V ( u 1 , u 2 , u 3 ) ψ (2.6)

 4. 在笛卡尔坐标系、柱坐标系和球坐标系的具体形式 4.1. 笛卡尔坐标系

在笛卡尔坐标系中，坐标因子 h 1 = 1 ， h 2 = 1 ， h 3 = 1 ， d s 1 = x ， d s 2 = y ， d s 3 = z ，则：

∇ = ∂ ∂ s 1 e 1 + ∂ ∂ s 2 e 2 + ∂ ∂ s 3 e 3 = ∂ ∂ x i + ∂ ∂ y j + ∂ ∂ z k

∇ ϕ = ( ∂ ϕ ∂ x ) i + ( ∂ ϕ ∂ y ) j + ( ∂ ϕ ∂ z ) k

div A = ∇ ⋅ A = ∂ A x ∂ x + ∂ A y ∂ y + ∂ A z ∂ z

curl A = ∇ × A = ( ∂ A z ∂ y − ∂ A y ∂ z ) i + ( ∂ A x ∂ z − ∂ A z ∂ x ) j + ( ∂ A y ∂ x − ∂ A x ∂ y ) k

∇ 2 = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2

 4.2. 柱坐标系

在柱坐标系中，坐标因子 h 1 = 1 ， h 2 = ρ ， h 3 = 1 ， d s 1 = d ρ ， d s 2 = ρ d φ ， d s 3 = d z 则：

∇ = ∂ ∂ s 1 e 1 + ∂ ∂ s 2 e 2 + ∂ ∂ s 3 e 3 = ∂ ∂ ρ e ρ + 1 ρ ∂ ∂ φ e φ + ∂ ∂ z e z

∇ ϕ = ( ∂ ϕ ∂ ρ ) e ρ + 1 ρ ( ∂ ϕ ∂ φ ) e φ + ( ∂ ϕ ∂ z ) e z

div A = ∇ ⋅ A = 1 ρ ∂ ( ρ A ρ ) ∂ ρ + 1 ρ ∂ A φ ∂ φ + ∂ A z ∂ z

curl A = ∇ × A = ( 1 ρ ∂ A z ∂ φ − ∂ A φ ∂ z ) e ρ + ( ∂ A ρ ∂ z − ∂ A z ∂ ρ ) e φ + 1 ρ ( ∂ ( ρ A φ ) ∂ ρ − ∂ A ρ ∂ φ ) e z

∇ 2 = 1 ρ ∂ ∂ ρ ( ρ ∂ ∂ ρ ) + 1 ρ 2 ∂ 2 ∂ φ 2 + ∂ 2 ∂ z 2

 4.3. 球坐标系

球坐标系中，坐标因子 h 1 = 1 ， h 2 = r ， h 3 = r sin θ ， d s 1 = d r ， d s 2 = r d θ ， d s 3 = r sin θ d φ ，则：

∇ = ∂ ∂ r e r + 1 r ∂ ∂ θ e θ + 1 r sin θ ∂ ∂ φ e φ

∇ ϕ = ( ∂ ϕ ∂ r ) e r + 1 r ( ∂ ϕ ∂ θ ) e θ + 1 r sin θ ( ∂ ϕ ∂ φ ) e φ

div A = ∇ ⋅ A = 1 r 2 ∂ ( r 2 A r ) ∂ r + 1 r sin θ ∂ ( A θ sin θ ) ∂ θ + 1 r sin θ ∂ A φ ∂ φ

curl A = ∇ × A = 1 r sin θ ( ∂ ( A φ sin θ ) ∂ θ − ∂ A θ ∂ φ ) e r + 1 r ( 1 sin θ ∂ A r ∂ φ − ∂ ( r A φ ) ∂ r ) e θ + 1 r ( ∂ ( r A θ ) ∂ r − ∂ A r ∂ θ ) e φ

∇ 2 = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ ∂ r ) + 1 r 2 sin θ ∂ ∂ θ ( sin θ ∂ ∂ θ ) + 1 r 2 sin 2 θ ∂ 2 ∂ φ 2

 5. 结论

通过定义一个三维正交曲线坐标系 ( u 1 , u 2 , u 3 ) 组成的空间，以及用 u 1 、 u 2 、 u 3 乘以坐标因子 h 1 、 h 2 、 h 3 来表示三个方向的线长， h 1 、 h 2 、 h 3 是 ( u 1 , u 2 , u 3 ) 的函数。定义三个线元 d s 1 = h 1 d u 1 ， d s 2 = h 2 d u 2 ， d s 3 = h 3 d u 3 ，可以得到关于哈密顿算符 ∇ 、 ∇ ϕ 、 ∇ ⋅ A 、 ∇ × A 、 ∇ 2 及的一般表达式Poisson方程和Laplace方程的一般表达式。在这些表达式中 h 1 、 h 2 、 h 3 取不同的值，可以演化得到在相应坐标系下的对应运算式。

 基金项目

云南省教育厅科学研究基金项目(批准号：2016ZZX047)。

 文章引用

冯朝桢,段卫龙. 哈密顿算符及其一般运算表达式的分析General Expression Analysis of the Hamiltonian Operator and Its Formula[J]. 应用数学进展, 2020, 09(08): 1286-1291. https://doi.org/10.12677/AAM.2020.98150

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