卢钰松，黄星寿^*

河池学院数学与统计学院，广西 宜州

收稿日期：2020年7月25日；录用日期：2020年8月10日；发布日期：2020年8月17日

本文研究了一类含有未知导函数的三重非线性积分不等式，利用变量替换、放大、微分、积分等不等式技巧给出了不等式中未知函数的估计，推广了相应的结果。

关键词 :非线性积分不等式，含有未知导函数的三重积分，估计

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在微分方程和积分方程解存在性、有界性和唯一性等定性性质的研究中，Gronwall [ 1 ] 型积分不等式是一种重要的工具，因此人们不断的对它进行研究，将它的形式进行推广，使其在微分方程和积分方程中的应用范围不断增大 [ 2 ] - [ 7 ]。

PACHPATTE [ 8 ] 于1998年研究了以下积分不等式：

u ′ ( t ) ≤ a ( t ) + b ( t ) ∫ 0 t c ( s ) ( u ( s ) + u ′ ( s ) ) d s   ( t ∈ R )

u ′ ( t ) ≤ u ( 0 ) + ∫ 0 t a ( s ) ( u ( s ) + u ′ ( s ) ) d s + ∫ 0 t a ( s ) ( ∫ 0 s b ( σ ) u ′ ( σ ) d σ ) d s   ( t ∈ R + )

该积分不等式的积分号内包含未知函数及其导函数。

ZAREEN [ 9 ] 于2014年，发表文章介绍了非线性积分不等式：

u ′ ( t ) ≤ c + ∫ 0 t k ( s ) u ′ ( s ) ( u ′ p ( s ) + u 2 ( s ) ) d s   ( t ∈ R + )

的解的估计。

黄星寿，王五生等 [ 10 ] 于2019年，研究了一类积分号内包含未知函数及其导函数的非线性二重积分不等式：

u ′ ( t ) ≤ w ( t ) + p ( t ) { u ( t ) + ∫ t 0 t [ a ( τ ) [ u ( τ ) + u ′ ( τ ) ]           + a ( τ ) ∫ t 0 τ [ c ( s ) u ′ ( s ) ( u ′ ( s ) + u ( s ) ) + d ( s ) ] d s ] d τ }   ( t ∈ [ t 0 , ∞ ) )

受以上研究成果的启发，本文构造了以下积分号内包含未知函数及其导函数的非线性积分不等式：

u ′ ( t ) ≤ w ( t ) + p ( t ) { u ( t ) + ∫ t 0 t [ a ( τ ) ( u ( τ ) + u ′ ( τ ) ) + a ( τ ) ∫ t 0 τ [ c ( s ) ( u ( s ) + u ′ ( s ) )       + c ( s ) ∫ t 0 s [ d ( v ) u ′ ( v ) ( u ( v ) + u ′ ( v ) ) + f ( v ) ] d v ] d s ] d τ }     ( t ∈ [ t 0 , ∞ ) ) (1)

此类积分不等式将文献 [ 10 ] 推广到了三重积分，文中利用放大、变量替换、微分–积分等不等式技巧给出了不等式(1)中未知函数的估计。

引理 [ 10 ] 假设函数 a ( t ) , b ( t ) 和 c ( t ) 都是定义在 [ t 0 , ∞ ) 上的非负连续已知函数，并且函数 a ( t ) 是 [ t 0 , ∞ ) 上的增函数，未知函数 u ( t ) 满足不等式

u ( t ) ≤ a ( t ) + ∫ t 0 t b ( s ) u ( s ) d s + ∫ t 0 t c ( s ) u 2 ( s ) d s   ( t ∈ [ t 0 , ∞ ) ) (2)

如果 exp ( − ln a ( t ) − ∫ t 0 t b ( s ) d s ) − ∫ t 0 t c ( s ) d s > 0 ，则有未知函数 u ( t ) 的估计式：

u ( t ) ≤ ( exp ( − ln a ( t ) − ∫ t 0 t b ( s ) d s ) − ∫ t 0 t c ( s ) d s ) − 1   ( t ∈ [ t 0 , ∞ ) ) (3)

定理 假设已知函数 w ( t ) , p ( t ) , a ( t ) , c ( t ) , d ( t ) , f ( t ) 都是定义在 [ t 0 , ∞ ) 上的非负连续函数，未知函数 u ( t ) 和 u ′ ( t ) 定义在 [ t 0 , ∞ ) 上，且满足不等式(1)。

如果

exp ( − ln ( u ( t 0 ) + ∫ t 0 t A ( s ) d s ) − ∫ t 0 t B ( s ) d s ) − ∫ t 0 t C ( s ) d s > 0   ( t ∈ [ t 0 , ∞ ) ) (4)

那么未知函数 u ( t ) 的估计式为：

u ( t ) ≤ u ( t 0 ) + ∫ t 0 t { w ( s ) [ 1 + a ( s ) + c ( s ) ] + [ p ( s ) + a ( s ) + a ( s ) p ( s )                     + 2 c ( s ) + c ( s ) p ( s ) ] Z ( s ) } d s   ( t ∈ [ t 0 , ∞ ) ) (5)

其中

Z ( t ) : = ( exp ( − ln ( u ( t 0 ) + ∫ t 0 t A ( s ) d s ) − ∫ t 0 t B ( s ) d s ) − ∫ t 0 t C ( s ) d s ) − 1 (6)

A ( t ) : = w ( t ) [ 1 + a ( t ) + c ( t ) ] + d ( t ) w 2 ( t ) + f ( t ) (7)

B ( t ) : = p ( t ) + a ( t ) + a ( t ) p ( t ) + 2 c ( t ) + c ( t ) p ( t ) + d ( t ) w ( t ) + 2 d ( t ) w ( t ) p ( t ) (8)

C ( t ) : = d ( t ) p ( t ) + d ( t ) p 2 ( t ) (9)

证明：令函数

z 1 ( t ) = u ( t ) + ∫ t 0 t [ a ( τ ) ( u ( τ ) + u ′ ( τ ) ) + a ( τ ) ∫ t 0 τ [ c ( s ) ( u ( s ) + u ′ ( s ) )                     + c ( s ) ∫ t 0 s [ d ( v ) u ′ ( v ) ( u ( v ) + u ′ ( v ) ) + f ( v ) ] d v ] d s ] d τ         ( t ∈ [ t 0 , ∞ ) ) (10)

则有

z 1 ( t 0 ) = u ( t 0 ) ， u ( t ) ≤ z 1 ( t ) ， u ′ ( t ) ≤ w ( t ) + p ( t ) z 1 ( t ) (11)

对(10)式两边求导，并将(1)式代入，则可得：

z ′ 1 ( t ) = u ′ ( t ) + a ( t ) [ u ( t ) + u ′ ( t ) ] + a ( t ) ∫ t 0 t [ c ( s ) ( u ( s ) + u ′ ( s ) )     + c ( s ) ∫ t 0 s [ d ( v ) u ′ ( v ) ( u ( v ) + u ′ ( v ) ) + f ( v ) ] d v ] d s ≤ w ( t ) + p ( t ) z 1 ( t ) + a ( t ) [ z 1 ( t ) + w ( t ) + p ( t ) z 1 ( t ) ]     + a ( t ) ∫ t 0 t [ c ( s ) [ z 1 ( s ) + w ( s ) + p ( s ) z 1 ( s ) ] + c ( s ) ∫ t 0 s [ d ( v ) ( w ( v )     + p ( v ) z 1 ( v ) ) ( z 1 ( v ) + w ( v ) + p ( v ) z 1 ( v ) ) + f ( v ) ] d v ] d s

= w ( t ) [ 1 + a ( t ) ] + [ p ( t ) + a ( t ) + a ( t ) p ( t ) ] z 1 ( t )     + a ( t ) ∫ t 0 t [ c ( s ) w ( s ) + [ c ( s ) ( 1 + p ( s ) ) z 1 ( s ) ]     + c ( s ) ∫ t 0 s [ d ( v ) w 2 ( v ) + [ d ( v ) w ( v ) + 2 d ( v ) w ( v ) p ( v ) ] z 1 ( v )     + [ d ( v ) p ( v ) + d ( v ) p 2 ( v ) ] z 1 2 ( v ) + f ( v ) ] d v ] d s     ( t ∈ [ t 0 , ∞ ) ) (12)

又令

z 2 ( t ) = z 1 ( t ) + ∫ t 0 t [ c ( s ) w ( s ) + [ c ( s ) ( 1 + p ( s ) ) z 1 ( s ) ]     + c ( s ) ∫ t 0 s [ d ( v ) w 2 ( v ) + [ d ( v ) w ( v ) + 2 d ( v ) w ( v ) p ( v ) ] z 1 ( v )     + [ d ( v ) p ( v ) + d ( v ) p 2 ( v ) ] z 1 2 ( v ) + f ( v ) ] d v ] d s       ( t ∈ [ t 0 , ∞ ) ) (13)

则有

z 2 ( t 0 ) = z 1 ( t 0 ) ， z 1 ( t ) ≤ z 2 ( t ) ， ( t ∈ [ t 0 , ∞ ) ) (14)

根据(12)~(14)式，可得：

z ′ 1 ( t ) ≤ w ( t ) [ 1 + a ( t ) ] + [ p ( t ) + a ( t ) + a ( t ) p ( t ) ] z 1 ( t ) + a ( t ) z 2 ( t ) ≤ w ( t ) [ 1 + a ( t ) ] + [ p ( t ) + a ( t ) + a ( t ) p ( t ) + a ( t ) ] z 2 ( t )     ( t ∈ [ t 0 , ∞ ) ) (15)

又对(13)式两边求导，并将(15)式代入，可得：

z ′ 2 ( t ) = z ′ 1 ( t ) + c ( t ) w ( t ) + [ c ( t ) ( 1 + p ( t ) ) z 1 ( t ) ]     + c ( t ) ∫ t 0 t [ d ( v ) w 2 ( v ) + [ d ( v ) w ( v ) + 2 d ( v ) w ( v ) p ( v ) ] z 1 ( v )     + [ d ( v ) p ( v ) + d ( v ) p 2 ( v ) ] z 1 2 ( v ) + f ( v ) ] d v ≤ w ( t ) [ 1 + a ( t ) ] + [ p ( t ) + a ( t ) + a ( t ) p ( t ) + a ( t ) ] z 2 ( t )     + c ( t ) w ( t ) + [ c ( t ) ( 1 + p ( t ) ) z 2 ( t ) ]

    + c ( t ) ∫ t 0 t [ d ( v ) w 2 ( v ) + [ d ( v ) w ( v ) + 2 d ( v ) w ( v ) p ( v ) ] z 2 ( v )     + [ d ( v ) p ( v ) + d ( v ) p 2 ( v ) ] z 2 2 ( v ) + f ( v ) ] d v = w ( t ) [ 1 + a ( t ) + c ( t ) ] + [ p ( t ) + a ( t ) + a ( t ) p ( t ) + c ( t ) + c ( t ) p ( t ) ] z 2 ( t )     + c ( t ) ∫ t 0 t [ d ( v ) w 2 ( v ) + [ d ( v ) w ( v ) + 2 d ( v ) w ( v ) p ( v ) ] z 2 ( v )     + [ d ( v ) p ( v ) + d ( v ) p 2 ( v ) ] z 2 2 ( v ) + f ( v ) ] d v       ( t ∈ [ t 0 , ∞ ) ) (16)

再令

z 3 ( t ) = z 2 ( t ) + ∫ t 0 t [ d ( v ) w 2 ( v ) + [ d ( v ) w ( v ) + 2 d ( v ) w ( v ) p ( v ) ] z 2 ( v )     + [ d ( v ) p ( v ) + d ( v ) p 2 ( v ) ] z 2 2 ( v ) + f ( v ) ] d v       ( t ∈ [ t 0 , ∞ ) ) (17)

则有

z 3 ( t 0 ) = z 2 ( t 0 ) ， z 2 ( t ) ≤ z 3 ( t ) ， ( t ∈ [ t 0 , ∞ ) ) (18)

根据(16)~(18)式，可得：

z ′ 2 ( t ) ≤ w ( t ) [ 1 + a ( t ) + c ( t ) ] + [ p ( t ) + a ( t ) + a ( t ) p ( t ) + c ( t ) + c ( t ) p ( t ) ] z 2 ( t ) + c ( t ) z 3 ( t ) ≤ w ( t ) [ 1 + a ( t ) + c ( t ) ] + [ p ( t ) + a ( t ) + a ( t ) p ( t ) + 2 c ( t ) + c ( t ) p ( t ) ] z 3 ( t )     ( t ∈ [ t 0 , ∞ ) ) (19)

再对(17)式两边求导，并将(19)式代入，可得：

z ′ 3 ( t ) = z ′ 2 ( t ) + d ( t ) w 2 ( t ) + [ d ( t ) w ( t ) + 2 d ( t ) w ( t ) p ( t ) ] z 2 ( t )     + [ d ( t ) p ( t ) + d ( t ) p 2 ( t ) ] z 2 2 ( t ) + f ( t ) ≤ w ( t ) [ 1 + a ( t ) + c ( t ) ] + [ p ( t ) + a ( t ) + a ( t ) p ( t ) + 2 c ( t )     + c ( t ) p ( t ) ] z 3 ( t ) + d ( t ) w 2 ( t ) + [ d ( t ) w ( t ) + 2 d ( t ) w ( t ) p ( t ) ] z 3 ( t )     + [ d ( t ) p ( t ) + d ( t ) p 2 ( t ) ] z 3 2 ( t ) + f ( t )

= [ w ( t ) [ 1 + a ( t ) + c ( t ) ] + d ( t ) w 2 ( t ) + f ( t ) ]     + [ p ( t ) + a ( t ) + a ( t ) p ( t ) + 2 c ( t ) + c ( t ) p ( t ) + d ( t ) w ( t )     + 2 d ( t ) w ( t ) p ( t ) ] z 3 ( t ) + [ d ( t ) p ( t ) + d ( t ) p 2 ( t ) ] z 3 2 ( t ) = A ( t ) + B ( t ) z 3 ( t ) + C ( t ) z 3 2 ( t )       ( t ∈ [ t 0 , ∞ ) ) (20)

其中， A ( t ) , B ( t ) , C ( t ) 的定义为(7)~(9)式。

将(20)式中的t改写为s，然后两边关于s从 t 0 到t积分，得：

z 3 ( t ) ≤ z 3 ( t 0 ) + ∫ t 0 t A ( s ) d s + ∫ t 0 t B ( s ) z 3 ( s ) d s + ∫ t 0 t C ( s ) z 3 2 ( s ) d s   ( t ∈ [ t 0 , ∞ ) ) (21)

由于(21)式满足了引理要求的条件，根据引理可以得到(21)式中 z 3 ( t ) 的估计：

z 3 ( t ) ≤ ( exp ( − ln ( z 3 ( t 0 ) + ∫ t 0 t A ( s ) d s ) − ∫ t 0 t B ( s ) d s ) − ∫ t 0 t C ( s ) d s ) − 1   ( t ∈ [ t 0 , ∞ ) ) (22)

根据(11)、(14)、(18)式，可以知道

u ( t 0 ) = z 1 ( t 0 ) = z 2 ( t 0 ) = z 3 ( t 0 ) (23)

所以

z 3 ( t ) ≤ ( exp ( − ln ( u ( t 0 ) + ∫ t 0 t A ( s ) d s ) − ∫ t 0 t B ( s ) d s ) − ∫ t 0 t C ( s ) d s ) − 1 = Z ( t )   ( t ∈ [ t 0 , ∞ ) ) (24)

其中 Z ( t ) 定义为(6)式。

把(24)式代入(19)式，可得：

z ′ 2 ( t ) ≤ w ( t ) [ 1 + a ( t ) + c ( t ) ] + [ p ( t ) + a ( t ) + a ( t ) p ( t ) + 2 c ( t ) + c ( t ) p ( t ) ] Z ( t )   ( t ∈ [ t 0 , ∞ ) ) (25)

对(25)式两边求积分，可得：

z 2 ( t ) ≤ z 2 ( t 0 ) + ∫ t 0 t { w ( s ) [ 1 + a ( s ) + c ( s ) ] + [ p ( s ) + a ( s ) + a ( s ) p ( s )                       + 2 c ( s ) + c ( s ) p ( s ) ] Z ( s ) } d s   ( t ∈ [ t 0 , ∞ ) ) (26)

根据(23)式知 u ( t 0 ) = z 2 ( t 0 ) ，因此得到：

z 2 ( t ) ≤ u ( t 0 ) + ∫ t 0 t { w ( s ) [ 1 + a ( s ) + c ( s ) ] + [ p ( s ) + a ( s ) + a ( s ) p ( s )                     + 2 c ( s ) + c ( s ) p ( s ) ] Z ( s ) } d s   ( t ∈ [ t 0 , ∞ ) )

又根据(11)、(14)、(18)式，可以知道

u ( t ) ≤ z 1 ( t ) ≤ z 2 ( t ) ≤ z 3 ( t ) (27)

所以得估计式：

u ( t ) ≤ u ( t 0 ) + ∫ t 0 t { w ( s ) [ 1 + a ( s ) + c ( s ) ] + [ p ( s ) + a ( s ) + a ( s ) p ( s )                   + 2 c ( s ) + c ( s ) p ( s ) ] Z ( s ) } d s   ( t ∈ [ t 0 , ∞ ) )

证毕。

国家自然科学基金资助项目(11961021，11561019)；广西高校中青年教师科研基础能力提升项目(2019KY0625)。

卢钰松,黄星寿. 一类三重非线性积分不等式解的估计Estimation of Unknown Function of a Class of Triple Integral Inequalities[J]. 应用数学进展, 2020, 09(08): 1200-1205. https://doi.org/10.12677/AAM.2020.98140