张杰华

阳光学院基础教研部，福建 福州

收稿日期：2020年7月15日；录用日期：2020年7月28日；发布日期：2020年8月4日

提出并研究具有反馈控制和Beddington-DeAngelis功能反应的离散竞争系统，利用差分不等式，并通过构造适当的Lyapunov函数，得到了该系统具有持久性和全局吸引性的充分条件。利用泛函概周期的壳理论，得到了保证该系统存在唯一全局吸引概周期解的充分条件。所得结果补充了相关文献 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] 的工作。

关键词 :概周期解，全局吸引性，离散，反馈控制，竞争系统

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1975年Beddington [ 6 ] 和DeAngelis [ 7 ] 提出了Beddington-DeAngelis功能反应模型，很多学者对其加以研究，得到了许多很好的结果。近期，S. Yu，F. Chen [ 8 ] 提出了如下具有Beddington-DeAngelis功能反应的连续竞争系统：

{ x ˙ 1 ( t ) = x 1 ( t ) ( r 1 ( t ) − a 1 ( t ) x 1 ( t ) − b 1 ( t ) x 2 ( t ) α 1 ( t ) + β 1 ( t ) x 1 ( t ) + γ 1 ( t ) x 2 ( t ) ) x ˙ 2 ( t ) = x 2 ( t ) ( r 2 ( t ) − a 2 ( t ) x 2 ( t ) − b 2 ( t ) x 1 ( t ) α 2 ( t ) + β 2 ( t ) x 1 ( t ) + γ 2 ( t ) x 2 ( t ) ) (1)

并对该系统的动力学行为进行了研究。

众多研究表明，当种群世代不重叠或数量很少时，用差分方程来刻画离散时间模型比连续的更符合实际。考虑到在实际生态系统中，生态系统经常被不可预测的因素所干扰，这将可能使某些生物参数发生改变，破坏生态的平衡，这就需要人类对其进行开发和管理，从而更好的预测和控制生态系统所受的干扰。因此，把反馈控制考虑进生物数学模型中，是必要且相当有意义的。因此，我们在文 [ 8 ] 的基础上研究如下差分系统：

{ x 1 ( n + 1 ) = x 1 ( n ) exp { r 1 ( n ) − a 1 ( n ) x 1 ( n ) − b 1 ( n ) x 2 ( n ) α 1 ( n ) + β 1 ( n ) x 1 ( n ) + γ 1 ( n ) x 2 ( n ) − c 1 ( n ) u 1 ( n ) } x 2 ( n + 1 ) = x 2 ( n ) exp { r 2 ( n ) − a 2 ( n ) x 2 ( n ) − b 2 ( n ) x 1 ( n ) α 2 ( n ) + β 2 ( n ) x 1 ( n ) + γ 2 ( n ) x 2 ( n ) − c 2 ( n ) u 2 ( n ) } Δ u 1 ( n ) = − e 1 ( n ) u 1 ( n ) + d 1 ( n ) x 1 ( n ) Δ u 2 ( n ) = − e 2 ( k ) u 2 ( n ) + d 2 ( n ) x 2 ( n ) (2)

这里 x 1 ( n ) 和 x 2 ( n ) 分别表示两竞争种群在第n代的种群密度， r i ( n ) ( i = 1 , 2 ) 表示两种群的内禀增长率， a i ( n ) ( i = 1 , 2 ) 为种内竞争系数， b i ( n ) ( i = 1 , 2 ) 为种间竞争系数 r i ( n ) , a i ( n ) , b i ( n ) , c i ( n ) , d i ( n ) , e i ( n ) , α i ( n ) , β i ( n ) , γ i ( n ) ( i = 1 , 2 ) 均为非负有界的概周期序列，并且 0 < e i ( k ) < 1 。本文的目的旨在通过适当的分析手法，得到保证系统(2)永久持续生存、概周期解的存在唯一性和全局吸引性的充分条件。

从生物种群意义上考虑，设系统(2)满足初始条件 x i ( 0 ) > 0 ， u i ( 0 ) > 0 ，则对任意的 n ≥ 0 都有 x i ( n ) > 0 , u i ( n ) > 0 。对于任一有界序列 { h ( n ) } ，定义

h l = inf n ∈ N { h ( n ) } ,     h u = sup n ∈ N { h ( n ) } .

为了后续的证明，我们给出一些定义和引理。

定义2.1 [ 9 ] 假设 X ( n ) = ( x 1 ( n ) , x 2 ( n ) , u 1 ( n ) , u 2 ( n ) ) T 是系统(2)的任一解，若下列条件成立

0 < inf n ∈ z x i ( n ) ≤ sup n ∈ z x i ( n ) < + ∞ ,     0 < inf n ∈ z u i ( n ) ≤ sup n ∈ z u i ( n ) < + ∞ ,     i = 1 , 2.

则 X ( n ) 称为Z上的严格正解。

引理2.1 [ 10 ] 设 { x ( n ) } 满足 x ( n ) > 0 ，且对 n ∈ N 有

x ( n + 1 ) ≤ x ( n ) exp { a ( n ) − b ( n ) x ( n ) } ,

其中 a ( n ) ， b ( n ) 是具有正的上下界的非负序列，则

lim sup n → + ∞ x ( n ) ≤ exp ( a u − 1 ) b l .

引理2.2 [ 10 ] 设 { x ( n ) } 满足 x ( n + 1 ) ≥ x ( n ) exp { a ( n ) − b ( n ) x ( n ) } , n ≥ N 0 , N 0 ∈ N , lim sup n → + ∞ x ( n ) ≤ x * 且 x ( N 0 ) > 0 ，其中 a ( n ) ， b ( n ) 为非负序列且有正的上下界，则

lim inf n → ∞ x ( n ) ≥ min { a l b u exp ( a l − b u x * ) , a l b u } .

引理2.3 [ 11 ] 假设 A > 0 , y ( 0 ) > 0 且 y ( n + 1 ) ≤ A y ( n ) + B ( n ) , n = 1 , 2 , ⋯ ，则有

y ( n ) ≤ A k y ( n − k ) + ∑ i = 0 k − 1 A i B ( n − i − 1 )     ,     k ≤ n .

特别地，若 A < 1 且B有上界M，则 lim sup n → + ∞ y ( n ) ≤ M 1 − A 。

引理2.4 [ 11 ] 假设 A > 0 , y ( 0 ) > 0 且 y ( n + 1 ) ≥ A y ( n ) + B ( n ) , n = 1 , 2 , ⋯ ，则有

y ( n ) ≥ A k y ( n − k ) + ∑ i = 0 k − 1 A i B ( n − i − 1 )     ,     k ≤ n   .

特别地，若 A < 1 且B有下界 m * ，则 lim inf n → + ∞ y ( n ) ≥ m * 1 − A 。

定理 2.1 若条件(H₁)

r 1 l α 1 l > ( b 1 u − r 1 l γ 1 l ) M 2 + c 1 u N 1 ( α 1 l + γ 1 l M 2 ) , r 2 l α 2 l > ( b 2 u − r 2 l γ 2 l ) M 1 + c 2 u N 2 ( α 2 l + γ 2 l M 1 ) ,

成立，则系统(2)是永久持续生存的，即对系统(2)的任一正解 ( x 1 ( n ) , x 2 ( n ) , u 1 ( n ) , u 2 ( n ) ) T ，均满足：

m i ≤ lim inf n → + ∞ x i ( n ) ≤ lim sup n → + ∞ x i ( n ) ≤ M i , n i ≤ lim inf n → + ∞ u i ( n ) ≤ lim sup n → + ∞ u i ( n ) ≤ N i , (3)

其中 m i , n i , M i , N i , i = 1 , 2 是与解无关的常数。

证明 由(H₁)，存在任意小的正数 ε ，使得

r 1 l α 1 l > ( b 1 u − r 1 l γ 1 l ) ( M 2 + ε ) + c 1 u ( N 1 + ε ) ( α 1 l + γ 1 l ( M 2 + ε ) ) , r 2 l α 2 l > ( b 2 u − r 2 l γ 2 l ) ( M 1 + ε ) + c 2 u ( N 2 + ε ) ( α 2 l + γ 2 l ( M 1 + ε ) )

从而有

r 1 l − b 1 u ( M 2 + ε ) α 1 l + γ 1 l ( M 2 + ε ) − c 1 u ( N 1 + ε ) > 0 , r 2 l − b 2 u ( M 1 + ε ) α 2 l + γ 2 l ( M 1 + ε ) − c 2 u ( N 2 + ε ) > 0 , (4)

设 ( x 1 ( n ) , x 2 ( n ) , u 1 ( n ) , u 2 ( n ) ) T 是系统(2)的任一解，则由系统(2)的前两个方程可得

x i ( n + 1 ) ≤ x i ( n ) exp { r i ( n ) − a i ( n ) x i ( n ) }

应用引理2.1，可得

lim sup k → + ∞ x i ( k ) ≤ 1 a i l exp { r i u − 1 } ≜ M i , i = 1 , 2. (5)

故对上述的正数 ε ，存在 K 1 > 0 ，当 n ≥ K 1 时，有

x i ( n ) ≤ M i + ε , i = 1 , 2. (6)

将上式代入模型(2)的后两个方程可得

u i ( n + 1 ) ≤ ( 1 − e i l ) u i ( n ) + d i ( n ) ( M i + ε ) , i = 1 , 2.

利用引理2.3，则有

lim sup n → + ∞ u i ( n ) ≤ d i u ( M i + ε ) e i l , i = 1 , 2.

对于上面的不等式，因为 ε 的任意性，可令 ε → 0 ，从而得到

lim sup n → + ∞ u i ( n ) ≤ d i u M i e i l = d e f N i ,     i = 1 , 2. (7)

显然，存在 K 2 > K 1 ，且满足当 n ≥ K 2 时，

u i ( n ) ≤ N i + ε ,     i = 1 , 2. (8)

将(6)和(8)代入模型(2)的第一个方程可得

x 1 ( n + 1 ) ≥ x 1 ( n ) exp { r 1 ( n ) − a 1 ( n ) x 1 ( n ) − b 1 ( n ) x 2 ( n ) α 1 ( n ) + γ 1 ( n ) x 2 ( n ) − c 1 ( n ) u 1 ( n ) } ≥ x 1 ( n ) exp { r 1 l − a 1 u x 1 ( n ) − b 1 u ( M 2 + ε ) α 1 l + γ 1 l ( M 2 + ε ) − c 1 u ( N 1 + ε ) } = x 1 ( n ) exp { A 1 ε − a 1 u x 1 ( n ) } , ( n ≥ K 2 ) (9)

其中 A 1 ε = r 1 l − b 1 u ( M 2 + ε ) α 1 l + γ 1 l ( M 2 + ε ) − c 1 u ( N 1 + ε ) 。应用引理2.2有

lim inf n → + ∞ x 1 ( n ) ≥ min { A 1 ε a 1 u exp ( A 1 ε − a 1 u M 1 ) , A 1 ε a 1 u }

在上面的不等式中，令 ε → 0 得到

lim inf n → + ∞ x 1 ( n ) ≥ min { A 1 a 1 u exp ( A 1 − a 1 u M 1 ) , A 1 a 1 u } ≜ m 1 (10)

其中 A 1 = r 1 l − b 1 u M 2 α 1 l + γ 1 l M 2 − c 1 u N 1 。

类似可得，当 n ≥ K 2 时，

lim inf n → + ∞ x 2 ( n ) ≥ min { A 2 a 2 u exp ( A 2 − a 2 u M 2 ) , A 2 a 2 u } ≜ m 2 (11)

其中 A 2 = r 2 l − b 2 u M 1 α 2 l + γ 2 l M 1 − c 2 u N 2 。

由(10) (11)知，对任意的 ε > 0 ，存在 K 3 > K 2 ，当 n ≥ K 3 时，有

x i ( n ) ≥ m i − ε ,     i = 1 , 2 (12)

将(12)代入系统(2)的后两个方程可得，当 n ≥ K 3 时，

u i ( n + 1 ) ≥ ( 1 − e i u ) u i ( n ) + d i ( n ) ( m i − ε ) .

利用引理2.4，则有

lim inf n → + ∞ u i ( n ) ≥ d i l ( m i − ε ) e i u ,     i = 1 , 2.

令 ε → 0 得到

lim inf n → + ∞ u i ( n ) ≥ d i l m i e i u = d e f n i ,     i = 1 , 2. (13)

由(5) (7) (10) (11)及(13)可知，系统(2)是永久持续生存的。证毕。

定理2.2 设(H₂)

λ 1 μ 1 − λ 1 b 1 u β 1 u M 2 E 1 2 − λ 2 b 2 u α 2 u E 2 2 − λ 2 b 2 u γ 2 u M 2 E 2 2 − λ 3 d 1 u > 0 , λ 2 μ 2 − λ 2 b 2 u γ 2 u M 1 E 2 2 − λ 1 b 1 u α 1 u E 1 2 − λ 1 b 1 u β 1 u M 1 E 1 2 − λ 4 d 2 u > 0 , λ 3 e 1 l − λ 1 c 1 u > 0 , λ 4 e 2 l − λ 2 c 2 u > 0 ,

其中 μ i = min { a i l , 2 M i − a i u } ， E i = α i l + β i l m 1 + γ i l m 2 ， i = 1 , 2 。

若(H₁)和(H₂)同时成立，则对系统(2)的任意两个正解 ( x 1 ( n ) , x 2 ( n ) , u 1 ( n ) , u 2 ( n ) ) T 和 ( x 1 ∗ ( n ) , x 2 ∗ ( n ) , u 1 ∗ ( n ) , u 2 ∗ ( n ) ) T ，必满足

lim n → + ∞ | x i ( n ) − x i ∗ ( n ) | = 0 , lim n → + ∞ | u i ( n ) − u i ∗ ( n ) | = 0 , i = 1 , 2.

即系统(2)具有全局吸引性。

证明 由(H₂)，存在常数 δ > 0 及充分小的正数 ε ，使下列成立

λ 1 μ 1 ε − λ 1 b 1 u β 1 u ( M 2 + ε ) E 1 ε 2 − λ 2 b 2 u α 2 u E 2 ε 2 − λ 2 b 2 u γ 2 u ( M 2 + ε ) E 2 ε 2 − λ 3 d 1 u > δ , λ 2 μ 2 ε − λ 2 b 2 u γ 2 u ( M 1 + ε ) E 2 ε 2 − λ 1 b 1 u α 1 u E 1 ε 2 − λ 1 b 1 u β 1 u ( M 1 + ε ) E 1 ε 2 − λ 4 d 2 u > δ , λ 3 e 1 l − λ 1 c 1 u > δ , λ 4 e 2 l − λ 2 c 2 u > δ ,

其中 μ i ε = min { a i l , 2 M i + ε − a i u } ， E i ε = α i l + β i l ( m 1 − ε ) + γ i l ( m 2 − ε ) ， i = 1 , 2 。

对上述 ε ，根据定理3.1，对系统(2)的任意正解 ( x 1 ( n ) , x 2 ( n ) , u 1 ( n ) , u 2 ( n ) ) T 和 ( x 1 ∗ ( n ) , x 2 ∗ ( n ) , u 1 ∗ ( n ) , u 2 ∗ ( n ) ) T ，存在常数 T 1 > 0 ，对 n ≥ T 1 和 i = 1 , 2 有

m i − ε ≤ x i ( n ) , x i ∗ ( n ) ≤ M i + ε , n i − ε ≤ u i ( n ) , u i ∗ ( n ) ≤ N i + ε .

定义

V 1 ( n ) = | ln x 1 ( n ) − ln x 1 ∗ ( n ) |

则由模型(2)的第一个方程可得

V 1 ( n + 1 ) = | ln x 1 ( n + 1 ) − ln x 1 ∗ ( n + 1 ) |   ≤ | ln x 1 ( n ) − ln x 1 ∗ ( n ) − a 1 ( n ) ( x 1 ( n ) − x 1 ∗ ( n ) ) | + b 1 ( n ) | x 2 ( n ) α 1 ( n ) + β 1 ( n ) x 1 ( n ) + γ 1 ( n ) x 2 ( n ) − x 2 ∗ ( n ) α 1 ( n ) + β 1 ( n ) x 1 ∗ ( n ) + γ 1 ( n ) x 2 ∗ ( n ) | + c 1 ( n ) | u 1 ( n ) − u 1 ∗ ( n ) | .

由微分中值定理得

ln x 1 ( n ) − ln x 1 ∗ ( n ) = 1 θ 1 ( n ) ( x 1 ( n ) − x 1 ∗ ( n ) ) ,

这里 θ 1 ( n ) 位于 x 1 ( n ) 和 x 1 ∗ ( n ) 之间。从而，有

Δ V 1 ( n ) ≤ − ( 1 θ 1 ( n ) − | 1 θ 1 ( n ) − a 1 ( n ) | ) | x 1 ( n ) − x 1 ∗ ( n ) | + b 1 ( n ) α 1 ( n ) B 1 | x 2 ( n ) − x 2 ∗ ( n ) | + b 1 ( n ) β 1 ( n ) x 2 ( n ) B 1 | x 1 ( n ) − x 1 ∗ ( n ) | + b 1 ( n ) β 1 ( n ) x 1 ( n ) B 1 | x 2 ( n ) − x 2 ∗ ( n ) | + c 1 ( n ) | u 1 ( n ) − u 1 ∗ ( n ) | ≤ − min { a 1 l , 2 M 1 + ε − a 1 u } | x 1 ( n ) − x 1 ∗ ( n ) | + b 1 u α 1 u E 1 ε 2 | x 2 ( n ) − x 2 * ( n ) | + b 1 u β 1 u ( M 2 + ε ) E 1 ε 2 | x 1 ( n ) − x 1 ∗ ( n ) | + b 1 u β 1 u ( M 1 + ε ) E 1 ε 2 | x 2 ( n ) − x 2 ∗ ( n ) | + c 1 ( n ) | u 1 ( n ) − u 1 ∗ ( n ) | , (14)

其中 B 1 = ( α 1 ( n ) + β 1 ( n ) x 1 ( n ) + γ 1 ( n ) x 2 ( n ) ) ( α 1 ( n ) + β 1 ( n ) x 1 ∗ ( n ) + γ 1 ( n ) x 2 ∗ ( n ) ) 。

定义

V 2 ( n ) = | ln x 2 ( n ) − ln x 2 ∗ ( n ) | .

与(14)的证明类似

这里 θ 2 ( n ) 位于 x 2 ( n ) 和 x 2 ∗ ( n ) 之间，

B 2 = ( α 2 ( n ) + β 2 ( n ) x 1 ( n ) + γ 2 ( n ) x 2 ( n ) ) ( α 2 ( n ) + β 2 ( n ) x 1 ∗ ( n ) + γ 2 ( n ) x 2 ∗ ( n ) ) .

定义

W i ( n ) = | u i ( n ) − u i ∗ ( n ) | , i = 1 , 2.

则

Δ W i ( n ) ≤ − e i ( n ) | u i ( n ) − u i ∗ ( n ) | + d i ( n ) | x i ( n ) − x i ∗ ( n ) | ≤ − e i l | u i ( n ) − u i ∗ ( n ) | + d i u | x i ( n ) − x i ∗ ( n ) | . (16)

构造李雅普诺夫(Lyapunov)函数

V ( n ) = λ 1 V 1 ( n ) + λ 2 V 2 ( n ) + λ 3 W 1 ( n ) + λ 4 W 2 ( n ) .

由(14) (15) (16)可知，对于任意的 n ≥ T 1

Δ V ( n ) ≤ − ( λ 1 μ 1 ε − λ 1 b 1 u β 1 u ( M 2 + ε ) E 1 ε 2 − λ 2 b 2 u α 2 u E 2 ε 2 − λ 2 b 2 u γ 2 u ( M 2 + ε ) E 2 ε 2 − λ 3 d 1 u ) | x 1 ( n ) − x 1 ∗ ( n ) | − ( λ 2 μ 2 ε − λ 2 b 2 u γ 2 u ( M 1 + ε ) E 2 ε 2 − λ 1 b 1 u α 1 u E 1 ε 2 − λ 1 b 1 u β 2 u ( M 1 + ε ) E 1 ε 2 − λ 4 d 2 u ) | x 2 ( n ) − x 2 ∗ ( n ) | − ( λ 3 e 1 l − λ 1 c 1 u ) | u 1 ( n ) − u 1 ∗ ( n ) | − ( λ 4 e 2 l − λ 2 c 2 u ) | u 2 ( n ) − u 2 ∗ ( n ) | ≤ − δ ( | x 1 ( n ) − x 1 ∗ ( n ) | + | x 2 ( n ) − x 2 ∗ ( n ) | + | u 1 ( n ) − u 1 ∗ ( n ) | + | u 2 ( n ) − u 2 ∗ ( n ) | ) .

把上面的不等式两边同时从 T 1 到k相加，可得

∑ n = T 1 k ( V ( n + 1 ) − V ( n ) ) ≤ − δ ∑ n = T 1 k ( | x 1 ( n ) − x 1 ∗ ( n ) | + | x 2 ( n ) − x 2 ∗ ( n ) | + | u 1 ( n ) − u 1 ∗ ( n ) | + | u 2 ( n ) − u 2 ∗ ( n ) | )   ,

从而

V ( k + 1 ) + δ ∑ n = T 1 k ( | x 1 ( n ) − x 1 ∗ ( n ) | + | x 2 ( n ) − x 2 ∗ ( n ) | + | u 1 ( n ) − u 1 ∗ ( n ) | + | u 2 ( n ) − u 2 ∗ ( n ) | ) ≤ V ( T 1 ) ,

即

∑ n = T 1 k ( | x 1 ( n ) − x 1 ∗ ( n ) | + | x 2 ( n ) − x 2 ∗ ( n ) | + | u 1 ( n ) − u 1 ∗ ( n ) | + | u 2 ( n ) − u 2 ∗ ( n ) | ) ≤ V ( T 1 ) δ .

因此，

∑ n = T 1 + ∞ ( | x 1 ( n ) − x 1 ∗ ( n ) | + | x 2 ( n ) − x 2 ∗ ( n ) | + | u 1 ( n ) − u 1 ∗ ( n ) | + | u 2 ( n ) − u 2 ∗ ( n ) | ) ≤ V ( T 1 ) δ < + ∞ ,

由此可得

lim n → + ∞ ( | x 1 ( n ) − x 1 ∗ ( n ) | + | x 2 ( n ) − x 2 ∗ ( n ) | + | u 1 ( n ) − u 1 ∗ ( n ) | + | u 2 ( n ) − u 2 ∗ ( n ) | ) = 0.

故

lim n → + ∞ | x i ( n ) − x i ∗ ( n ) | = 0 , lim n → + ∞ | u i ( n ) − u i ∗ ( n ) | = 0 , i = 1 , 2.

证毕。

定义3.1 [ 12 ] 设S是集合D的任一紧集， τ n 是一个序列，记

H ( f ) = { g ( n , x ) : lim n → ∞ f ( n + τ k , x ) = g ( n , x ) 在 Z × S 上 一 致 成 立 } ，

则 H ( f ) 称为f的壳。

定义3.2 [ 13 ] 对任意 ε > 0 ，如果x的 ε -移位数集

E { ε , x } = { τ ∈ Z : | x ( n + τ ) − x ( n ) | < ε , ∀ n ∈ Z }

在Z中是相对稠密的，即存在 l ( ε ) > 0 ，使在每个长度为 l ( ε ) 的区间内都有一个 τ ∈ E { ε , x } ，使得 | x ( n + τ ) − x ( n ) | < ε ， ∀ n ∈ Z ，则称序列 x : Z → R 为概周期的， τ 称为 x ( n ) 的 ε -移位数。

引理3.1 [ 12 ] { x ( n ) } 称为概周期序列当且仅当对于Z的任意序列 { h i } ，存在一个子序列 { h i j } ⊂ { h i } ，使对 n ∈ Z ，当 j → ∞ 时， { x ( n + h i j ) } 一致收敛。另外，其极限也是概周期序列。

假设系统(2)是概周期系统，那么它所有的参数 r i ( n ) , a i ( n ) , b i ( n ) , c i ( n ) , d i ( n ) , e i ( n ) , α i ( n ) , β i ( n ) , γ i ( n ) ( i = 1 , 2 ) 都是Z上的概周期序列。由引理3.1，存在时间序列 h k ，当 k → ∞ ， h k → ∞ 时，有 r i ( n + h k ) → r i ∗ ( n ) , a i ( n + h k ) → a i ∗ ( n ) , b i ( n + h k ) → b i ∗ ( n ) , c i ( n + h k ) → c i ∗ ( n ) , d i ( n + h k ) → d i ∗ ( n ) , e i ( n + h k ) → e i ∗ ( n ) , α i ( n + h k ) → α i ∗ ( n ) , , , i = 1 , 2 ，一致对 k ∈ Z 成立。其中， r i ∗ ( n ) ∈ H ( r i ( n ) ) , a i ∗ ( n ) ∈ H ( a i ( n ) ) , b i ∗ ( n ) ∈ H ( b i ( n ) ) , c i ∗ ( n ) ∈ H ( c i ( n ) ) , d i ∗ ( n ) ∈ H ( d i ( n ) ) , e i ∗ ( n ) ∈ H ( e i ( n ) ) , α i ∗ ( n ) ∈ H ( α i ( n ) ) , β i ∗ ( n ) ∈ H ( β i ( n ) ) , γ i ∗ ( n ) ∈ H ( γ i ( n ) ) 。因此，得到模型(2)的一个壳方程：

{ x 1 ( n + 1 ) = x 1 ( n ) exp { r 1 ∗ ( n ) − a 1 ∗ ( n ) x 1 ( n ) − b 1 ∗ ( n ) x 2 ( n ) α 1 ∗ ( n ) + β 1 ∗ ( n ) x 1 ( n ) + γ 1 ∗ ( n ) x 2 ( n ) − c 1 ∗ ( n ) u 1 ( n ) } x 2 ( n + 1 ) = x 2 ( n ) exp { r 2 ∗ ( n ) − a 2 ∗ ( n ) x 2 ( n ) − b 2 ∗ ( n ) x 1 ( n ) α 2 ∗ ( n ) + β 2 * ( n ) x 1 ( n ) + γ 2 ∗ ( n ) x 2 ( n ) − c 2 ∗ ( n ) u 2 ( n ) } Δ u 1 ( n ) = − e 1 ∗ ( n ) u 1 ( n ) + d 1 ∗ ( n ) x 1 ( n ) Δ u 2 ( n ) = − e 2 ∗ ( k ) u 2 ( n ) + d 2 ∗ ( n ) x 2 ( n ) (17)

根据概周期函数基本理论 [ 12 ]，我们知道系统(2)若满足条件(H₁)和(H₂)，则其壳方程(17)也满足(H₁)和(H₂)。

引理3.2 [ 10 ] 若系统(2)是概周期的，且其每个壳方程都有唯一的严格正解，则(2)有严格正概周期解且唯一。

定理3.1 若条件(H₁)和(H₂)成立，则系统(2)存在唯一的概周期解且是全局吸引的。

证明 根据引理3.2，只须证明壳方程(17)有唯一的严格正解。步骤如下：先证壳方程(17)至少有一个严格正解，再证每个壳方程只有唯一的的严格正解。

由系统(2)的所有参数的概周期性质，存在整数序列 { h k } ，当 k → ∞ 时， h k → ∞ ，且有 r i ( n + h k ) → r i ∗ ( n ) , a i ( n + h k ) → a i ∗ ( n ) , b i ( n + h k ) → b i ∗ ( n ) , c i ( n + h k ) → c i ∗ ( n ) , d i ( n + h k ) → d i ∗ ( n ) , e i ( n + h k ) → e i ∗ ( n ) , α i ( n + h k ) → α i ∗ ( n ) , β i ( n + h k ) → β i ∗ ( n ) , γ i ( n + h k ) → γ i ∗ ( n ) , i = 1 , 2 ，对 n ∈ Z 一致成立。

根据定理2.1，对壳方程(17)的任一正解 ( x 1 ( n ) , x 2 ( n ) , u 1 ( n ) , u 2 ( n ) ) T 及任意的正数 ε ，存在正整数 N 0 ，满足当 n ≥ N 0 时

m i − ε ≤ x i ( n ) ≤ M i + ε , n i − ε ≤ u i ( n ) ≤ N i + ε , i = 1 , 2

及

0 < inf n ∈ z + x i ( n ) ≤ sup n ∈ z + x i ( n ) < + ∞ , 0 < inf n ∈ z + u i ( n ) ≤ sup n ∈ z + u i ( n ) < + ∞ , i = 1 , 2.

定义 x i k ( n ) = x i ( n + h k ) ， u i k ( n ) = u i ( n + h k ) ，其中 n ≥ N 0 − h k , k ∈ Z + , i = 1 , 2 。对任意的正整数q，

取 { x i k ( n ) : k ≥ q } , { u i k ( n ) : k ≥ q } 的子序列，为了讨论方便，子序列仍记为 { x i k ( n ) } 和 { u i k ( n ) } 。易证，当 k → ∞ 时， { x i k ( n ) } , { u i k ( n ) } 在Z的任意有限区间上收敛。因此，存在序列 { y i ( n ) } , { v i ( n ) } , i = 1 , 2 ，使得当 k → ∞ 时 x i k ( n ) → y i ( n ) ， u i k ( n ) → v i ( n ) ， n ∈ Z 。由于

{ x 1 k ( n + 1 ) = x 1 k ( n ) exp { r 1 ∗ ( n + τ k ) − a 1 ∗ ( n + τ k ) x 1 k ( n )     − b 1 ∗ ( n + τ k ) x 2 k ( n ) α 1 ∗ ( n + τ k ) + β 1 ∗ ( n + τ k ) x 1 k ( n ) + γ 1 ∗ ( n + τ k ) x 2 k ( n ) − c 1 ∗ ( n + τ k ) u 1 k ( n ) } x 2 k ( n + 1 ) = x 2 k ( n ) exp { r 2 ∗ ( n + τ k ) − a 2 ∗ ( n + τ k ) x 2 k ( n )     − b 2 ∗ ( n + τ k ) x 1 k ( n ) α 2 ∗ ( n + τ k ) + β 2 ∗ ( n + τ k ) x 1 k ( n ) + γ 2 ∗ ( n + τ k ) x 2 k ( n ) − c 2 ∗ ( n + τ k ) u 2 k ( n ) } Δ u 1 k ( n ) = − e 1 ∗ ( n + τ k ) u 1 k ( n ) + d 1 ∗ ( n + τ k ) x 1 k ( n ) Δ u 2 k ( n ) = − e 2 ∗ ( n + τ k ) u 2 k ( n ) + d 2 ∗ ( n + τ k ) x 2 k ( n ) .

因此，可推出

{ y 1 ( n + 1 ) = y 1 ( n ) exp { r 1 ∗ ( n ) − a 1 ∗ ( n ) y 1 ( n ) − b 1 ∗ ( n ) y 2 ( n ) α 1 ∗ ( n ) + β 1 ∗ ( n ) y 1 ( n ) + γ 1 ∗ ( n ) y 2 ( n ) − c 1 ∗ ( n ) v 1 ( n ) } y 2 ( n + 1 ) = y 2 ( n ) exp { r 2 ∗ ( n ) − a 2 ∗ ( n ) y 2 ( n ) − b 2 ∗ ( n ) y 1 ( n ) α 2 ∗ ( n ) + β 2 ∗ ( n ) y 1 ( n ) + γ 2 ∗ ( n ) y 2 ( n ) − c 2 ∗ ( n ) v 2 ( n ) } Δ v 1 ( n ) = − e 1 ∗ ( n ) v 1 ( n ) + d 1 ∗ ( n ) y 1 ( n ) Δ v 2 ( n ) = − e 2 ∗ ( n ) v 2 ( n ) + d 2 ∗ ( n ) y 2 ( n ) .

由上式可知， ( y 1 ( n ) , y 2 ( n ) , v 1 ( n ) , v 2 ( n ) ) T 是壳方程(17)的解，且满足 m i − ε ≤ y i ( n ) ≤ M i + ε ， n i − ε ≤ v i ( n ) ≤ N i + ε , n ∈ Z , i = 1 , 2 。由正数 ε 的任意性，显然

0 < inf k ∈ z y i ( n ) ≤ sup n ∈ z y i ( n ) < + ∞ , 0 < inf k ∈ z v i ( n ) ≤ sup n ∈ z v i ( n ) < + ∞ , i = 1 , 2.

故系统(2)的每个壳方程至少有一个严格正解。

下面证明壳方程的严格正解的唯一性。设 ( x 1 ∗ ( n ) , x 2 ∗ ( n ) , u 1 ∗ ( n ) , u 2 ∗ ( n ) ) T ， ( y 1 ∗ ( n ) , y 2 ∗ ( n ) , v 1 ∗ ( n ) , v 2 ∗ ( n ) ) T 都是(17)的严格正解。构造Lyapunov函数：

V * ( n ) = λ 1 V 1 ∗ ( n ) + λ 2 V 2 ∗ ( n ) + λ 3 W 1 ∗ ( n ) + λ 4 W 2 ∗ ( n ) , n ∈ Z ,

其中

V i ∗ ( n ) = | ln x i ∗ ( n ) − ln y i ∗ ( n ) | , W i ∗ ( k ) = | u i ∗ ( k ) − v i ∗ ( k ) | , i = 1 , 2.

类似于定理2.2的证明，对于 n ∈ Z ，可得

Δ V * ( n ) ≤ − δ ( | x 1 ∗ ( n ) − y 1 ∗ ( n ) | + | x 2 ∗ ( n ) − y 2 ∗ ( n ) | + | u 1 ∗ ( n ) − v 1 ∗ ( n ) | + | u 2 ∗ ( n ) − v 2 ∗ ( n ) | ) .

显然， V * ( n ) 是Z上的非增序列。对上式两边进行从 k ( k < 0 ) 到0的加法运算，

δ ∑ n = k 0 ( | x 1 ∗ ( n ) − y 1 ∗ ( n ) | + | x 2 ∗ ( n ) − y 2 ∗ ( n ) | + | u 1 ∗ ( n ) − v 1 ∗ ( n ) | + | u 2 ∗ ( n ) − v 2 ∗ ( n ) | ) ≤ V * ( k ) − V * ( 0 ) .

因为 V * ( n ) 有界，故

∑ n = − ∞ 0 ( | x 1 ∗ ( n ) − y 1 ∗ ( n ) | + | x 2 ∗ ( n ) − y 2 ∗ ( n ) | + | u 1 ∗ ( n ) − v 1 ∗ ( n ) | + | u 2 ∗ ( n ) − v 2 ∗ ( n ) | ) < + ∞ ,

从而可得

lim n = − ∞ | x i ∗ ( n ) − y i ∗ ( n ) | = 0 , lim n = − ∞ | u i ∗ ( n ) − v i ∗ ( n ) | = 0 , i = 1 , 2. (18)

由(18)，存在正整数 K 0 ，当 n ≤ − K 0 时，有

| x i ∗ ( n ) − y i ∗ ( n ) | < ε , | u i ∗ ( n ) − v i ∗ ( n ) | < ε , i = 1 , 2.

从而

V i ∗ ( n ) = 1 θ i * ( n ) | x i ∗ ( n ) − y i ∗ ( n ) | ≤ 1 m i ε , W i ∗ ( n ) ≤ ε , i = 1 , 2.

其中 θ i ∗ ( n ) 介于 x i ∗ ( n ) 和 y i ∗ ( n ) 之间。

令

Q = λ 1 m 1 + λ 2 m 2 + λ 3 + λ 4 ,

则有 V * ( n ) ≤ Q ε , n ≤ − K 0 ，因此 lim n = − ∞ V * ( n ) = 0 。而定理2.2表明， lim n = + ∞ V * ( n ) = 0 。又因为 V * ( n ) 是Z上正的非增序列，因此必有 V * ( n ) ≡ 0 ，即对一切 n ∈ Z ， i = 1 , 2 ，有 x i ∗ ( n ) = y i ∗ ( n ) , u i ∗ ( n ) = v i ∗ ( n ) 。从而说明，(17)的严格正解是有唯一的。

综上，系统(2)每个壳方程都有唯一的严格正解。应用引理3.2，系统(2)有唯一的严格正概周期解。结合定理2.2，系统(2)存在唯一的正概周期解且是全局吸引的。证毕。

福建省自然科学基金资助项目(2019J01089)；福建省教育厅中青年教师教育科研项目(JAT190976)。

张杰华. 具反馈控制和Beddington-DeAngelis功能反应的离散竞争系统的概周期解Almost Periodic Solutions of a Discrete Competitive System with Feedback Controls and Beddington-DeAngelis Functional Response[J]. 应用数学进展, 2020, 09(08): 1134-1145. https://doi.org/10.12677/AAM.2020.98133