程光一，李峥嵘，周恺^*

池州学院大数据与人工智能学院，安徽 池州

收稿日期：2020年6月8日；录用日期：2020年6月23日；发布日期：2020年6月30日

本文利用时标上的Cauchy-Schwarz不等式、Keller链式法则等工具，得到了一类时标上的Opial型不等式，推广了连续和离散情形下的相应Opial型不等式。

关键词 :时标，Opial型不等式，Cauchy-Schwarz不等式

Copyright © 2020 by author(s) and beplay安卓登录

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1960年，波兰数学家Opial [ 1 ] 证明了下面不等式

∫ a b | x ( t ) | | x ′ ( t ) | d t ≤ b − a 4 ∫ a b | x ′ ( t ) | 2 d t ， (1)

其中 x ( t ) 为区间 [ a , b ] 上的绝对连续函数，且 x ( a ) = x ( b ) = 0 。由于其在微分方程、差分方程初边值问题研究中的重要性，许多学者给出了Opial不等式的各种推广及离散化的Opial不等式 [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]，其中，Yang [ 5 ] 简化了(1)式的证明，并给出了推广的不等式

∫ a b q ( t ) | x ( t ) | | x ′ ( t ) | d t ≤ 1 2 ∫ a b d t r ( t ) ∫ a b r ( t ) q ( t ) | x ′ ( t ) | 2 d t ，

其中 r ( t ) > 0 、连续且满足 ∫ a X d t r ( t ) < ∞ ， q ( t ) > 0 且为 [ a , b ] 上的有界非增函数；同时，Yang [ 5 ] 还给出了更一般的不等式

∫ a b | x ( t ) | p | x ′ ( t ) | q d t ≤ q p + q ( b − a 2 ) p ∫ a b | x ′ ( t ) | p + q d t ， (2)

其中 p , q ≥ 1 。关于离散形式的Opial不等式，Lasota [ 6 ] 也讨论了不等式

∑ i = 1 h − 1 | x i Δ x i | ≤ 1 2 [ h + 1 2 ] ∑ i = 0 h − 1 | Δ x i | 2 ，

并给出了证明，其中 { x i } 0 ≤ i ≤ h 为一实数列满足 x 0 = x h = 0 。

1988年，德国学者S. Hilger为了统一连续、离散情形的研究，在其博士论文中提出了时标的概念。此后，时标理论得到了快速发展，特别是M. Bohner和A. Peterson在文献 [ 7 ] [ 8 ] 中，系统分析了时标上一类非常重要的动力方程：时标上的动力方程。时标上的动力方程(系统)不仅可以统一连续和离散这两种特殊的情形，而且在其他学科中也有巨大的应用潜力，如量子力学等，是一个比较新的有着广泛应用前景的应用数学分支，其理论研究主要集中在边值问题、振动性、稳定性等方面。关于时标上的不等式研究，也有相关结果 [ 9 ] - [ 14 ]。

本文将研究Opial型不等式(2)在时标上的推广，其中在第二部分对时标的基本概念及基本理论作简要介绍，在第三部分中给出主要结果及其证明。

实数集 ℝ 的任一非空闭子集称为时标，记为T。设时标T上的拓扑由 ℝ 上的标准拓扑诱导，则有

下列定义：

定义1 [ 7 ]：设T为时标，对任意 t ∈ T ，定义 σ ( t ) : = inf { s ∈ T : s > t } ，称 σ : T → T 为前跳算子； ρ ( t ) : = sup { s ∈ T : s < t } ，称 ρ : T → T 为后跳算子。

在上面的定义中，称 inf Φ = sup T (即如果t为时标T的最大值，则有 σ ( t ) = t )，而 sup Φ = inf T (即如果t为时标T的最小值，则有 ρ ( t ) = t )，其中 Φ 表示空集。

设 t ∈ T 且 inf T < t < sup T ，若 σ ( t ) > t ( = t ) ，称点t是右发散(右稠密)的；若 ρ ( t ) < t ( = t ) ，称点t是左发散(右稠密)的。既右发散又左发散的点称为孤立点，既右稠密又左稠密的点称为稠密点。

如果T的左发散点有最大值 t 1 ，则定义 T k : = T \ { t 1 } ，否则 T k : = T 。

时标T上的区间 [ a , b ] 定义为 [ a , b ] T : = { t ∈ T : a ≤ t ≤ b } 。

定义2 [ 7 ]：定义前跳graininess函数 μ : T → [ 0 , ∞ ) 为

μ ( t ) : = σ ( t ) − t ，对任意的 t ∈ T 。

设 f : T → ℝ 为时标T上的一实函数，则 f σ : T → ℝ 定义为 f σ ( t ) = f ( σ ( t ) ) ，即 f σ = f ∘ σ 为 f , σ 的复合；同理， f σ : T → ℝ 定义为 f ρ ( t ) = f ( ρ ( t ) ) ，即 f ρ = f ∘ ρ 。

对于时标T上的实函数f，下面给出f在点 t ∈ T k 时的 Δ 导数(Hilger导数)的定义。

定义3 [ 7 ]：若对任意的 ε > 0 ，存在t的邻域U，使得对任意 s ∈ U ，都有

| [ f ( σ ( t ) ) − f ( s ) ] − f Δ ( t ) [ σ ( t ) − s ] | ≤ ε | σ ( t ) − s |

成立，则称 f Δ ( t ) 为f在t的 Δ 导数(Hilger导数)。

关于 Δ 导数，下列性质成立。

引理1 [ 8 ]：设函数 f , g : T → ℝ 在 t ∈ T k 处可微，则有：

1) 若 f Δ ( t ) 存在，则 f ( σ ( t ) ) = f ( t ) + μ ( t ) f Δ ( t ) ；

2) ( f + g ) Δ ( t ) = f Δ ( t ) + g Δ ( t ) ；

3) ( f g ) Δ ( t ) = f Δ ( t ) g ( t ) + f σ ( t ) g Δ ( t ) = f ( t ) g Δ ( t ) + f Δ ( t ) g σ ( t ) ；

4) 若 g ( t ) g σ ( t ) ≠ 0 ，则 ( f g ) Δ ( t ) = f Δ ( t ) g ( t ) − f ( t ) g Δ ( t ) g ( t ) g σ ( t ) 。

定义4 [ 7 ]：函数 f : T → ℝ 称为右稠连续的，如果f在T的右稠密点出连续，在左稠密点出左极限存在。

记T上的右稠连续函数为 C r d ( T , ℝ ) 。

定义5 [ 7 ]：对任意的 t ∈ T k ，若满足 F Δ ( t ) = f ( t ) ，则称函数 F : T → ℝ 为f的一个原函数，且定义 Δ 积分为

∫ a b f ( t ) Δ t = F ( b ) − F ( a ) ， ∀ a , b ∈ T 。

关于 Δ 积分，有下面引理。

引理2 [ 8 ]：若 a , b , c ∈ T ， k 1 , k 2 ∈ ℝ ， f , g ∈ C r d ( T , ℝ ) ，则有

1) ∫ a b [ k 1 f ( t ) + k 2 g ( t ) ] Δ t = k 1 ∫ a b f ( t ) Δ t + k 2 ∫ a b g ( t ) Δ t ；

2) ∫ a b f ( t ) Δ t = ∫ a c f ( t ) Δ t + ∫ c b f ( t ) Δ t ；

3) ∫ t σ ( t ) f ( s ) Δ s = μ ( t ) f ( t ) ；

4) 若 f ( t ) ≤ g ( t ) ， ∀ t ∈ [ a , b ] T ，则 ∫ a b f ( t ) Δ t ≤ ∫ a b g ( t ) Δ t ；

5) ∫ a b f σ ( t ) g Δ ( t ) Δ t = ( f g ) ( t ) | a b − ∫ a b f Δ ( t ) g ( t ) Δ t 。

在后面的证明中，主要用到下面的时标上的Cauchy-Schwarz不等式。

引理3 [ 8 ]：设 a , b ∈ T ， 1 < p , q < + ∞ ，且满足 1 p + 1 q = 1 ，则对函数 f , g ∈ C r d ( T , ℝ ) ，有

∫ a b | f ( t ) g ( t ) | Δ t ≤ { ∫ a b | f ( t ) | p Δ t } 1 p { ∫ a b | g ( t ) | q Δ t } 1 q

成立。

下面给出主要定理。

定理1：设T为任一时标， a , X ∈ T ， y ( x ) 为 [ a , X ] T 上的右稠连续函数，且满足 y ( a ) = 0 ，则

( p + q ) ∫ a X | y ( x ) | p | y Δ ( x ) | q Δ x ≤ q ( X − a ) p ∫ a X | y Δ ( x ) | p + q Δ x ， p , q ≥ 1 。 (3)

证明：对任意的 x ∈ [ a , X ] T ，定义 z ( x ) = ∫ a x | y Δ ( t ) | q Δ t ，则有 z Δ ( x ) = | y Δ ( x ) | q 。由于

| y σ ( x ) | = | − y σ ( x ) | = | y ( b ) − y σ ( x ) | = | ∫ σ ( x ) b y Δ ( t ) Δ t | ≤ ∫ σ ( x ) b | y Δ ( t ) | Δ t ，

对上式运用指标分别为 q q − 1 和q的Cauchy-Schwarz不等式，可以得到

| y ( x ) | ≤ ( ∫ a x Δ t ) q − 1 q ( ∫ a x | y Δ ( t ) | q Δ t ) 1 q ≤ ( X − a ) q − 1 q z 1 q ( x ) 。

注意到 z ( t ) 是单调递增的，利用其单调性， z ( t ) ≤ z ( X ) ， z ( t ) ≤ z σ ( t ) 。设 f = z ( p + q ) / q , z = z ( t ) ，根据链式法则，有

( f ∘ z ) Δ ( t ) = [ ∫ 0 1 f ′ ( z ( t ) + h μ ( t ) z Δ ( t ) ) d h ] z Δ ( t ) ，

注意到 μ ( t ) z Δ ( t ) = z σ ( t ) − z ( t ) ，

q p + q ( f ∘ z ) Δ ( t ) = q p + q [ ∫ 0 1 f ′ ( z ( t ) + h μ ( t ) z Δ ( t ) ) d h ] z Δ ( t ) = q p + q [ ∫ 0 1 p + q q ( z ( t ) + h μ ( t ) z Δ ( t ) ) p q d h ] z Δ ( t ) = [ ∫ 0 1 ( z ( t ) + h [ z σ ( t ) − z ( t ) ] ) p q d h ] z Δ ( t ) ≥ z p q ( t ) z Δ ( t ) ∫ 0 1 ( 1 + h [ z σ ( t ) − z ( t ) z ( t ) ] ) p q d h ≥ z p q ( t ) z Δ ( t ) 。

对上式两边同时进行积分，并由 z ( a ) = 0 ，得

∫ a X z p q ( x ) z Δ ( x ) Δ x ≤ q p + q ∫ a X ( f ∘ z ) Δ ( x ) Δ x = q p + q ( z ( x ) ) p + q q | a X = q p + q ( z ( X ) ) p + q q ，

由此可得

( p + q ) ∫ a X | y ( x ) | p | y Δ ( x ) | q Δ x ≤ ( p + q ) ∫ a X ( X − a ) p ( q − 1 ) q z p q ( x ) z Δ ( x ) Δ x ≤ q ( X − a ) p ( q − 1 ) q ( z ( X ) ) p + q q ≤ q ( X − a ) p ∫ a X | y Δ ( x ) | p + q Δ x ，

故(3)式得证。

定理2：设T为任一时标， b , X ∈ T ，, y ( x ) 为 [ X , b ] T 上的右稠连续函数，且满足 y ( b ) = 0 ，则

( p + q ) ∫ X b | y σ ( x ) | p | y Δ ( x ) | q Δ x ≤ q ( b − X ) p ∫ X b | y Δ ( x ) | p + q Δ x ， p , q ≥ 1 。 (4)

证明：对任意的 x ∈ [ X , b ] T ，定义 z ( x ) = − ∫ x b | y Δ ( t ) | q Δ t ，易知 z ( x ) 非减且 。由于

| y σ ( x ) | = | − y σ ( x ) | = | y ( b ) − y σ ( x ) | = | ∫ σ ( x ) b y Δ ( t ) Δ t | ≤ ∫ σ ( x ) b | y Δ ( t ) | Δ t ，

对上式运用指标分别为 q q − 1 和q的Cauchy-Schwarz不等式，可以得到

| y σ ( x ) | ≤ ( ∫ σ ( x ) b Δ t ) q − 1 q ( ∫ σ ( x ) b | y Δ ( t ) | q Δ t ) 1 q ≤ ( b − X ) q − 1 q ( − z σ ( x ) ) 1 q 。

进一步可得

( p + q ) ∫ X b | y σ ( x ) | p | y Δ ( x ) | q Δ x ≤ ( p + q ) ∫ X b ( b − X ) p ( q − 1 ) q ( − z σ ( x ) ) p q z Δ ( x ) Δ x 。

由于

( − ( − z ) p + q q ) Δ ( x ) = p + q q ( − z ) p q ( c ) z Δ ( x ) ， c ∈ ( x , σ ( x ) ) ，

注意到 z ( x ) 为非减函数，可得

( − ( − z ) p + q q ) Δ ( x ) = p + q q ( − z ) p q ( c ) z Δ ( x ) ≥ p + q q ( ( − z ) σ ( x ) ) p q z Δ ( x ) 。 (5)

由(5)式，可计算得

( p + q ) ∫ X b | y σ ( x ) | p | y Δ ( x ) | q Δ x ≤ ( p + q ) ∫ X b ( b − X ) p ( q − 1 ) q ( − z σ ( x ) ) p q z Δ ( x ) Δ x ≤ q ( b − X ) p ( q − 1 ) q ( ∫ X b [ − ( − z ) p + q q ( x ) ] Δ Δ x ) ≤ q ( b − X ) p ( − z ) p + q q ( X ) = q ( b − X ) p ∫ X b | y Δ ( x ) | p + q Δ x ，

故(4)式得证。

定理3：设T为任一时标， a < b ∈ T ，且 a + b 2 ∈ T ， y ( x ) 为 [ a , b ] T 上的右稠连续函数，且满足 y ( a ) = y ( b ) = 0 ，则

( p + q ) ∫ a b | y ( x ) | p | y Δ ( x ) | q Δ x ≤ q ( b − a 2 ) p ∫ a b | y Δ ( x ) | p + q Δ x ， p , q ≥ 1 。(6)

证明：因为

( p + q ) ∫ a b | y ( x ) | p | y Δ ( x ) | q Δ x = ( p + q ) ∫ a a + b 2 | y ( x ) | p | y Δ ( x ) | q Δ x + ( p + q ) ∫ a + b 2 b | y ( x ) | p | y Δ ( x ) | q Δ x ≤ ( p + q ) ∫ a a + b 2 | y ( x ) | p | y Δ ( x ) | q Δ x + ( p + q ) ∫ a + b 2 b | y σ ( x ) | p | y ( x ) | q Δ x 。 (7)

令 X = a + b 2 ，分别运用定理1、定理2结论可知，

( p + q ) ∫ a a + b 2 | y ( x ) | p | y Δ ( x ) | q Δ x ≤ q ( b − a 2 ) p ∫ a a + b 2 | y Δ ( x ) | p + q Δ x ，

( p + q ) ∫ a + b 2 b | y σ ( x ) | p | y Δ ( x ) | q Δ x ≤ q ( b − a 2 ) p ∫ a + b 2 b | y Δ ( x ) | p + q Δ x ，

将上面两不等式代入(5)式可得(6)，定理得证。

国家级大学生创新创业训练项目(201811306045)，池州学院教学团队(2018XJXTD03)。

程光一,李峥嵘,周 恺. 一类时标上的Opial型不等式A Kind of Dynamic Opial-Type Inequalities on Time Scales[J]. 应用数学进展, 2020, 09(06): 965-971. https://doi.org/10.12677/AAM.2020.96114