王欣

中国海洋大学数学科学学院，山东 青岛

收稿日期：2020年3月27日；录用日期：2020年4月16日；发布日期：2020年4月23日

设A为C^*-代数，E为A上的Hilbert C^*-模。本文研究了E上紧算子理想 K ( E ) 的完全正秩与齐次秩，证明了当A的这两种秩不超过n时， K ( E ) 的秩亦不超过n。

关键词 :Hilbert C^*-模，紧算子理想，完全正秩，齐次秩

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Hilbert C^*-模最初是1953年I. Kaplansky [ 1 ] 在交换单位代数上提出的，在20世纪70年代，该理论被拓展到非交换C^*-代数。非交换维数是覆盖维数在非交换C^*-代数的推广，21世纪初W. Winter提出了完全正秩 [ 2 ] 和齐次秩 [ 3 ]，有力地推动了C^*-代数的分类。

在已有理论的基础上，本文研究了Hilbert C^*-模上紧算子理想的保持完全正秩和齐次秩的条件，证明了当A的这两种秩不超过n时， K ( E ) 的秩亦不超过n。

定义1.1 [ 2 ] 设A是C^*-代数，F是有限维C^*-代数，对 { e 0 , ⋯ , e n + 1 } ⊂ F 如果 e i 是相互正交的最小投影，则称 { e 0 , ⋯ , e n + 1 } 是基本集。

定义1.2 [ 4 ] 设A，B是C^*-代数， ρ : A → B 是线性映射且满足对任意的正元 a ∈ A ， ρ ( a ) ∈ B 也是正元，则称 ρ 是正线性映射，若对任意的n， ρ ( n ) : M n ( A ) → M n ( B ) ， ( a i , j ) ↦ ( ρ ( a i , j ) ) 都是正线性映射，则称 ρ 是完全正线性映射，简称完全正映射。

定义1.3 [ 2 ] 设A是C^*-代数，F是有限维C^*-代数。对完全正映射 φ : F → A ，如果n是满足对F中的任意基本集 { e 0 , ⋯ , e n + 1 } 都存在 i , j ∈ { 0 , 1 , ⋯ , n + 1 } 使得 φ ( e i ) ⊥ φ ( e j ) 的最小整数，则称 φ 的严格阶等于n。

定义1.4 [ 2 ] 设A是C^*-代数，如果对任意 a 1 , ⋯ , a k ∈ A ， ε > 0 ，都存在对 { a 1 , ⋯ , a k } 的关于 ε 的完全正逼近 ( F , ψ , φ ) 使得 φ 的严格阶不超过n，则称A的完全正秩小于等于n，记作 c p r A ≤ n 。如果n是使得 c p r A ≤ n 成立的最小整数，则称 c p r A = n 。

定义1.5 [ 3 ] 设A是C^*-代数， φ : F = ⊕ i = 1 s M r i → A 是完全正映射收缩， l : ℂ s → F 为典范单位嵌入。如果任给 i ∈ { 1 , ⋯ , s } ， o r d ( φ | M r i ) = 0 ，则称 φ 是分段齐次的，如果 φ 是分段齐次的，且 o r d ( φ ∘ l ) = n ，则称 φ 是严格阶为n的分段齐次。

定义1.6 [ 3 ] 设A是C^*-代数，如果对任意 a 1 , ⋯ , a k ∈ A ， ε > 0 ，都存在对 { a 1 , ⋯ , a k } 的关于 的完全正逼近 ，使得 是严格阶不超过n的分段齐次，则称A的齐次秩不超过n，记作 。

引理2.1 设A为单的C^*-代数，H为可分的Hilbert空间，则 。

证明：因为 ，由 [ 2 ] 命题2.11，

.

因为A是单的，由 [ 3 ] 定理3.2.4，

, .

由 [ 3 ] 命题3.1.4，得

.

即

.

引理2.2 设A为C^*-代数，令 。若任给 ，都有 ，则 。

证明：任给有限集 ， ，令B为F生成的子代数，由 ，对 ， ，存在对F的关于 的完全正逼近 使得

.

对 ，由 [ 5 ] 定理7.5，存在完全正映射收缩 ，使得

, .

令 为包含映射， 。则 为对F的关于 的完全正逼近，并且 。

综上所述， 。

引理2.3 设A，F为C^*-代数， ， 为完全正映射，且满足任给 ， 。若 且满足 ，则 。

证明：令 ，则 。而

,

所以 ，得

,

因此 ，即

.

定理2.4 设A是C^*-代数，B为A的遗传子代数，则 。

证明：设 ，存在关于 的完全正逼近 使得

.

利用近似单位，可以找到 ， 使得

任给 , .

令 ， ， ，则

.

不妨设 ，则对F的每个基本集 ，存在 使得

,

由引理2.3， 。因此

.

当 时，显然有 。

定理2.5设A为单的C^*-代数，E为Hilbert-A模。若 ，则 。

证明：由引理2.1，有

,

E可数生成时， ，所以

.

因为 为 的遗传子代数，由引理2.2得

.

E为任意Hilbert-A模时：

可分时，设 ，由 ，存在 ，使得

,

设 ， ， 。令 为 生成的Hilbert-A模。由 ，得 ，所以 ，又有 ，所以 。由 为可数生成，得 。

不可分时， 的所有有限生成子代数可分，所以其完全正秩 ，由引理2.2， 。

引理3.1 设A为C^*-代数，令 。若任给 ，都有 ，则 。

证明：任给有限集 ， ，令B为F生成的子代数，由 ，对 ， ，存在对F的关于 的完全正逼近 使得

.

对 ，由 [ 5 ] 定理7.5，存在完全正映射收缩 ，使得

, .

令 为包含映射， 。则 为对F的关于 的分段齐次的完全正逼近，并且 。

综上所述， 。

引理3.2设A，F为C^*-代数， ， ， 为完全正映射，且满足 ， 。设 为典范单位嵌入，若 为正元，且满足 ，则 。

证明：令 ，则 。而

,

所以 。得

,

因此 ，即

.

定理3.3 设A是C^*-代数，B为A的遗传子代数，则 。

证明：设 ，存在关于 的完全正逼近 ， ，使得

, .

其中 ， 为典范单位嵌入。利用近似单位，可以找到 ， 使得

任给 , .

令 ， ， ，则

.

设 ，则由引理2.3， 。不妨设 ，则对 的每个基本集 ，存在 使得

,

由引理3.2， 。因此

.

当 时，显然有 。

综上所述， 。

定理3.4设A为C^*-代数，E为Hilbert-A模。若 ，则 。

证明：由 [ 2 ] 命题3.1.4，有

.

E可数生成时， ，所以

.

因为 为 的遗传子代数，由引理3.3得

.

E为任意Hilbert-A模时：

可分时，设 ，由 ，存在 ，使得

.

设 ， ， 。令 为 生成的Hilber-A模。由 ，得 。所以 ，又有 ，所以 。由 为可数生成，得 。

不可分时， 的所有有限生成子代数可分，所以其齐次秩 ，由引理3.1， 。

王 欣. Hilbert C*-模上紧算子理想的秩Ranks of Compact Operator Ideals on Hilbert C*-Modules[J]. 理论数学, 2020, 10(04): 356-361. https://doi.org/10.12677/PM.2020.104045