秦松

华南理工大学数学学院，广东 广州

收稿日期：2020年3月27日；录用日期：2020年4月16日；发布日期：2020年4月23日

结合意大利学者A. Genocchi于1852年关于经典Genocchi数的定义，美国学者L. Carlitz于1956年关于退化Bernoulli数的定义，日本学者M. Kaneko于1999年关于poly-Bernolli数的定义，以及韩国学者T. Kim等人于2016年关于完全退化的poly-Bernoulli多项式的定义，本文给出了完全退化的poly-Genocchi多项式的定义，研究了它们的性质，并得到了关于它们的五个组合恒等式。

关键词 :Genocchi多项式，完全退化的Poly-Genocchi多项式

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1713年，瑞士数学家Jocob Bernoulli引进了Bernoulli数的概念，用以解决Leibniz关于自然数的幂和问题 [ 1 ]。他证明了

1 n + 2 n + 3 n + ⋅ ⋅ ⋅ + m n = B n + 1 ( m + 1 ) − B n + 1 n + 1 .

这里Bernoulli多项式 B n ( x ) 由生成函数

t e x t e t − 1 = ∑ n = 0 ∞     B n ( x ) t n n !

所定义，而数 B n = B n ( 0 ) 称为Bernoulli数(见文献 [ 1 ] 定理2)。1874年，德国数论学家E. Kummer利用Bernoulli数给出了非正则素数的定义，并用以解决代数数论中关于分圆域的类数和素数幂次Fermat方程的解的问题(见文献 [ 2 ])。

1755年，L. Euler为计算交错幂和引入了Euler多项式的定义。他证明了

1 n − 2 n + 3 n + ⋅ ⋅ ⋅ + ( − 1 ) ( m + 1 ) m n = ( − 1 ) m E n ( m + 1 ) + E n ( 0 ) 2 .

这里Euler多项式 E n ( x ) 由生成函数

2 e t e t + 1 e x t = ∑ n = 0 ∞     E n ( x ) t n n !

所定义(见文献 [ 1 ] 定理2)。1852年，德国数学家Scherk在著作中首次明确了Euler数和Euler多项式

的称谓 [ 3 ]。按照他的叫法，故 E k = 2 k E k ( 1 2 ) , k = 0 , 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ 被称为Euler数。

1852年，为了研究对称群 S 2 n − 1 中置换的组合性质，意大利数学家Angelo Genocchi给出了Genocchi数 G n 的定义：

2 t e t + 1 e x t = ∑ n = 0 ∞     G n ( x ) t n n ! .

而k阶Genocchi多项式 G n ( k ) ( x ) 定义为：

( 2 t e t + 1 ) k e x t = ∑ n = 0 ∞     G n ( k ) ( x ) t n n ! , (1)

当 x = 0 时， G n ( k ) = G n ( k ) ( 0 ) 为k阶Genocchi数，当 k = 1 时， G n ( 1 ) ( x ) = G n ( x ) 为Genocchi多项式 [ 4 ]。

2019年，类比Kummer在1874年的工作，胡甦老师，Min-Soo Kim，沙敏老师以及德国学者Pieter Moree在文 [ 5 ] 中给出了Genocchi数对应的非正则多项式的定义，并得到了它们与分圆域类数之间的联系。

从数学分析我们知道

e = l i m n → ∞ ( 1 + 1 n ) n ,

(见文献 [ 6 ] 的第74页)。类比Bernoulli数的定义，美国著名数论学家L. Carlitz [ 7 ] 在1956年提出退化的Bernoulli数的定义：

t e λ ( t ) − 1 = t ( 1 + λ t ) 1 λ − 1 ( 1 + λ t ) x λ = ∑ n = 0 ∞     β n , λ t n n ! , (2)

并得到了相应的Staudt-Clausen定理，见文献 [ 8 ]。

1999年，日本数论学家Arakawa和Kaneko [ 9 ] 通过Mellin变换给出了一类新的zeta函数 ζ k ( s , x ) 的定义：

Γ ( s ) ζ k ( s , x ) = ∫ 0 ∞     t s − 1 L i k ( 1 − e − t ) 1 − e − t e − x t d t ,

其中 L i k ( z ) = ∑ m = 1 ∞ z m m k 为k阶超对数(polylogarithm)函数。他们发现上面所定义的zeta函数 ζ k ( s , x ) 在负整

数处的特殊值通过poly-Bernoulli多项式加以表达，即

ζ k ( − n , x ) = ( − 1 ) n B n ( k ) ( x ) .

这里poly-Bernoulli多项式定义为：

L i k ( 1 − e − t ) 1 − e − t e x t = ∑ n = 0 ∞     B n ( k ) ( x ) t n n ! , (3)

并且 B n ( k ) = B n ( k ) ( 0 ) 称为poly-Bernoulli数。

2015年，韩国特殊函数方向的专家T. Kim研究了一类退化的zeta函数并发现它在复平面上是解析的，并且在负整数处的特殊值即为Carlitz的退化Euler多项式 [ 10 ]。随后，他又在2016年推导出退化q-Bernoulli多项式的系列性质 [ 11 ] [ 12 ]。与此同时，他与俄罗斯学者D. V. Dolgy合作，用p-进~q-积分得出了退化q-Euler多项式的对称性 [ 13 ]。之后，他与D. S. Kim等学者合作对退化的Frobenius-Euler数和退化的poly-Bernoulli数，poly-Bernoulli多项式进行了研究，将若干经典的性质推广到了退化情形 [ 14 ] [ 15 ]。另外，他们还给出了完全退化的poly-Bernoulli多项式的定义：

L i k ( 1 − ( 1 + λ t ) − 1 λ ) 1 − ( 1 + λ t ) − 1 λ ( 1 + λ t ) x λ = ∑ n = 0 ∞     β n , λ ( k ) ( x ) t n n ! , (4)

并对其性质进行了详细证明 [ 16 ]。

受经典Genocchi多项式的定义(1)，退化的Bernoulli数的定义(2)，poly-Bernoulli多项式的定义(3)以及完全退化的poly-Bernoulli多项式的定义(4)的启发，我们通过下面的生成函数给出退化的Genocchi多项式 G n , λ ( x ) 的定义：

2 t ( 1 + λ t ) 1 λ + 1 ( 1 + λ t ) x λ = ∑ n = 0 ∞     G n , λ ( x ) t n n ! , (5)

当 x = 0 时， G n , λ ( 0 ) = G n , λ 被称为退化的Genocchi数。注意到，

2 t e t + 1 e x t = lim λ → 0 2 t ( 1 + λ t ) 1 λ + 1 ( 1 + λ t ) x λ = ∑ n = 0 ∞ lim λ → 0 G n , λ ( x ) t n n ! ,

故 G n ( x ) = l i m λ → 0 G n , λ ( x ) 。我们也通过下面的生成函数给出poly-Genocchi多项式的定义：

L i k ( 1 + e t ) 1 + e t e x t = ∑ n = 0 ∞     G n ( k ) ( x ) t n n ! , (6)

当 x = 0 时， G n ( k ) = G n ( k ) ( 0 ) 是poly-Genocchi数。当 k = 1 时，有 G n ( 1 ) ( x ) = 1 2 G n ( x ) ，这是因为

∑ n = 0 ∞     G n ( 1 ) ( x ) t n n ! = t 1 + e t e x t = 1 2 ∑ n = 0 ∞     G n ( x ) t n n ! .

我们还通过下面的生成函数给出完全退化的poly-Genocchi多项式的定义：

L i k ( 1 + ( 1 + λ t ) 1 λ ) 1 + ( 1 + λ t ) 1 λ ( 1 + λ t ) x λ = ∑ n = 0 ∞     G n , λ ( k ) ( x ) t n n ! , (7)

当 x = 0 时， G n , λ ( k ) = G n , λ ( k ) ( 0 ) 被称为完全退化的poly-Genocchi数。注意到，

2 t e t + 1 e x t = lim λ → 0 2 t ( 1 + λ t ) 1 λ + 1 ( 1 + λ t ) x λ = ∑ n = 0 ∞ lim λ → 0 G n , λ ( x ) t n n ! ,

故 G n ( k ) ( x ) = l i m λ → 0 G n , λ ( k ) ( x ) 。

本文沿着前人的道路研究了上面定义的完全退化的poly-Genocchi多项式 G n , λ ( k ) ( x ) 的性质，并得到了

关于它们的下面五个组合恒等式。

定理1 下面等式成立：

G n , λ ( k ) ( x + y ) = ∑ l = 0 n ( n l ) ( y λ ) n − l λ n − l G n , λ ( k ) ( x ) , ( n ≥ 0, k ∈ ℤ ) .

特别地，

G n , λ ( k ) ( x ) = ∑ l = 0 n ( n l ) ( x λ ) n − l λ n − l G n , λ ( k ) , ( n ≥ 0, k ∈ ℤ ) .

定理2 记 ( j | λ ) n = j ( j − λ ) ( j − 2 λ ) ⋅ ⋅ ⋅ ( j − ( n − 1 ) λ ) ，有

G n , λ ( k ) + G n , λ ( k ) ( 1 ) = ∑ m = 0 ∞ ∑ j = 0 m + 1 ( m + 1 j ) ( j | λ ) n ( m + 1 ) k , ( n ≥ 0 , k ∈ ℤ ) .

定理3 记 ( j | λ ) n = j ( j − λ ) ( j − 2 λ ) ⋅ ⋅ ⋅ ( j − ( n − 1 ) λ ) ，有

G n , λ ( k ) = ∑ m = 0 ∞ ∑ j = 0 m ( m j ) ( j | λ ) n ( m + 1 ) k , ( n ≥ 0, k ∈ ℤ ) .

定理4 记 ( j | λ ) n = j ( j − λ ) ( j − 2 λ ) ⋅ ⋅ ⋅ ( j − ( n − 1 ) λ ) ，有

G n , λ ( k − 1 ) = ( 1 + λ n ) G n , λ ( k ) + G n + 1 , λ ( k ) + ∑ m = 0 n ( n m ) ( λ − 1 | λ ) n − m G m + 1 , λ ( k ) , ( n ≥ 1 , k ∈ ℤ ) .

定理5 记 ( j | λ ) n = j ( j − λ ) ( j − 2 λ ) ⋅ ⋅ ⋅ ( j − ( n − 1 ) λ ) ，有

G n , λ ( − k ) = ∑ m = 0 ∞ ∑ j = 0 m ( m j ) ( j | λ ) n ( m + 1 ) k , ( n ≥ 1 , k ∈ ℤ ) .

我们需要下面的引理。

引理 对退化的Genocchi多项式 G n , λ ( x ) ，我们有

(1) ∑ n = 0 ∞ ( G n , λ ( 1 ) + G n , λ ) t n n ! = 2 t , G n , λ ( 1 ) + G n , λ = 2 δ 1, n ( n ≥ 0 ) , G 0, λ = 0 ，

(2) G n , λ ( x ) = ∑ l = 0 ∞ ( n l ) G n , λ λ n − l ( x λ ) n − l 。

证明 (1) 根据退化的Genocchi多项式 的定义(5)，当x分别取1和0时有

(2) 根据退化的Genocchi多项式 的定义(5)有

这里 是第一类Stirling数。 □

定理1 下面等式成立：

特别地，

定理1的证明 根据完全退化的poly-Genocchi多项式 的定义(7)有

这里 是第一类Stirling数，比较上式两端关于项 的系数，得到

特别地，当 时，有

比较上式两端关于项 的系数即得定理的结论。 □

定理2 记 ，有

定理2的证明 根据完全退化的poly-Genocchi多项式 的定义(7)有

比较上式两端关于项 的系数即得定理的结论。 □

定理3 记 ，有

定理3的证明 根据完全退化的poly-Genocchi多项式 的定义(7)有

比较上式两端关于项 的系数即得定理的结论。 □

定理4 记 ，有

定理4的证明 根据完全退化的poly-Genocchi多项式 的定义(7)有

和

比较等式(13)，(14)得到

进一步化简得：

比较上式两端关于项 的系数，得到

此即得定理的结论。 □

定理5 记 ，有

定理5的证明 根据完全退化的poly-Genocchi多项式 的定义(7)有

于是

比较上式两端关于项 的系数即得定理的结论。 □

秦 松. 完全退化的Poly-Genocchi多项式Fully Degenerate Poly-Genocchi Polynomials[J]. 理论数学, 2020, 10(04): 345-355. https://doi.org/10.12677/PM.2020.104044