李伟丹，魏公明

上海理工大学理学院，上海

收稿日期：2020年3月24日；录用日期：2020年4月13日；发布日期：2020年4月20日

本文利用Nehari流形的方法和Lions引理，将非线性Schrödinger-Kirchhoff型方程的基态转化为相应能量函的临界点，结合山路引理，证明了该类方程在一定条件下基态解的存在性。

关键词 :非线性Schrödinger-Kirchhoff型方程，Lions引理，Nehari流形，基态解，Fatou引理

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本文主要讨论如下非线性Schrödiger-Kirchhoff型方程

− ( a + b ∫ R N | ∇ u | 2 d x ) Δ u + V ( x ) u = b ( x ) f ( u ) , x ∈ R N (0.1)

其中 x ∈ R N , u ∈ H 1 ( R N ) , a > 0 , b ≥ 0 ，在一些可解性条件下的基态解的存在性。当 V ( x ) ≡ 0 时，

− ( a + b ∫ R N | ∇ u | 2 d x ) Δ u = f ( x , u ) , x ∈ R N (0.2)

称为Kirchhoff型方程，该模型来源于物理学中描述弹性绳横向振动的长度变化的公式，即经典的D’Alembert波动方程

u t t − ( a + b ∫ R N | ∇ u | 2 d x ) Δ u = g ( x , u ) (0.3)

的行波解，其中u表示位移， g ( x , u ) 表示外力，b表示初始张力，a表示绳子本身的性质，该式子还广泛应用于生物学中，此时u表示人口密度平均数的排列等 [ 1 ] [ 2 ]。

近年来，许多学者开始考虑该模型在不同可解性条件下解的存在性、非平凡解、径向和非径向解以及多解性问题，例如文献 [ 3 ] 作者利用传播和衍射条件讨论了解的存在性和非存在性。Perera和张志涛在文献 [ 4 ] 中用Yang指数和临界群来讨论非平凡解的存在性。毛安民和张志涛在文献 [ 5 ] 中通过下降流的变形方法得到多解和变号解。贺晓明和邹文明在文献 [ 6 ] [ 7 ] 中通过局部极大极小值和喷泉定理得到无穷多解。在文献 [ 8 ] 中作者利用局部环绕定理得到解的存在性和多解性。此后，吴鲜等在文献 [ 9 ] [ 10 ] 中利用山路引理得到高能量解。在文献 [ 11 ] 中作者讨论临界和次临界条件下的非平凡解的存在性。在文献 [ 12 ] 中作者研究了变号基态解。在文献 [ 13 ] 中作者考虑了如下模型

− ( a + b ∫ R N | ∇ u | 2 d x ) Δ u + V ( x ) u = f ( u ) , x ∈ R N . (0.4)

当 V ( x ) 满足 时基态解的存在性，受到(0.4)的启发本文将用Nehari流形的方法处理带有更一般的非线性项的方程(0.1)。

本文方程(0.1)中，记 F ( u ) = ∫ 0 u f ( t ) d t ， a > 0 , b ≥ 0 ， F ( 0 ) = 0 。

(V) V ( x ) ∈ C ( R N ) , 0 < lim | x | → ∞ V ( x ) ≤ V ∞ < + ∞ 。

(B) b ( x ) ∈ L ∞ ( R N ) , lim | x | → ∞ b ( x ) : = b ∞ > 0 , b ( x ) ≥ b ∞ ，且 b ( x ) 不恒等于 b ∞ 。

(F1) 存在 ， C ε > 0 ，使得对任意 u ∈ R ， f ( u ) 满足

.

(F2) 当 时，有 f ( u ) = ο ( | u | ) 。

(F3) 对任意的 ，有 。

(F4) 对任意 u ∈ ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) ， u ↦ f ( u ) | u | 3 是严格单调递增的。

本文主要结果如下：

定理1 若条件(V)，(B)，(F1)-(F4)成立，则方程(0.1)有非平凡的基态解，即存在 u ≠ 0 是I的临界点，使得 。

为书写的简便，我们将使用如下记号：

X = { u ∈ H 1 ( R N ) | ∫ R N [ a | ∇ u | 2 + V ( x ) u 2 ] d x < + ∞ } ，其中 。表示Hilbert空间，X空间对应的内积为 ，范数为 。

L p ( R N ) 表示为 R N 上p次可积函数空间，对应的范数表示为 ‖ u ‖ p = ( ∫ R N | ∇ u | p d x ) 1 p , 1 ≤ p < ∞ 。

方程(0.1)对应的泛函 I : X → R

I ( u ) = a 2 ∫ R N | ∇ u | 2 d x + b 4 ( ∫ R N | ∇ u | 2 d x ) 2 + 1 2 ∫ R N V ( x ) u 2 d x − ∫ R N b ( x ) F ( u ) d x , u ∈ X .

若对问题(0.1)的任意非平凡解w有 I ( u ) ≤ I ( w ) ，则问题(0.1)的弱解即为基态解。

定义Nehari流形为

N = { u ∈ X \ { 0 } , I ′ ( u ) ( u ) = 0 } .

泛函的微分形式为

I ′ ( u ) ( φ ) = a ∫ R N ∇ u ∇ φ d x + b ∫ R N | ∇ u | 2 d x ∫ R N ∇ u ∇ φ d x + ∫ R N V ( x ) u φ d x − ∫ R N b ( x ) f ( u ) φ d x .

若 满足 I ( u ^ ) = min { I ( u ) : u ∈ X \ { 0 } , I ′ ( u ) = 0 } ， 那么 记为(0.1)的基态解。

定义如下形式的辅助泛函：

.

同理定义流形 N ∞

N ∞ = { u ∈ X \ { 0 } , I ′ ∞ ( u ) ( u ) = 0 } .

定义

c N = inf N I ( u ) , c N ∞ = inf N ∞ I ∞ (u)

c 1 = inf u ∈ X \ { 0 } max t ≥ 0 I ( t u ) , c 1 ∞ = inf u ∈ X \ { 0 } max t ≥ 0 I ∞ (tu)

c = inf Γ max t ∈ [ 0 , 1 ] I ( γ ( t ) ) , c ∞ = inf Γ max t ∈ [ 0 , 1 ] I ∞ ( γ ( t ) ) .

其中

Γ = { γ ∈ C ( [ 0 , 1 ] , X ) , γ ( 0 ) = 0 , I ( γ ( 1 ) ) < 0 } .

Γ ∞ = { γ ∈ C ( [ 0 , 1 ] , X ) , γ ( 0 ) = 0 , I ∞ ( γ ( 1 ) ) < 0 } .

引理1 假设满足条件(V)，(B)，(F1)，(F2)，(F4)，存在 δ > 0 ，有 B δ = { u ∈ X , ‖ u ‖ < δ } ，则对任意 u ∈ ∂ B δ 有 I > 0 。

证明：对任意的， (其中 C ′ 2 由 ‖ u ‖ 2 ≤ C ′ 2 ‖ u ‖ ， 2 ≤ p ≤ 2 * ，任意 u ∈ X 给出)，由(F1) (F2)可知，存在常数 A 0 , B > 0 ，使得

| F ( u ) | ≤ B ( | u | 2 + | u | p ) . (1.1)

和

且(F4)意味着 p > 4 ，因此存在常数，对充分小的 δ > 0 ，

I ( u ) ≥ 1 2 min { a , 1 } ‖ u ‖ 2 − ( ε 2 ‖ u ‖ 2 2 + C ε p ‖ u ‖ p p ) ≥ 1 2 ( min { a , 1 } − ε C ′ 2 2 ) ‖ u ‖ 2 − C ε C ′ p p ‖ u ‖ p ≥ 1 4 ( min { a , 1 } − ε C ′ 2 2 ) ‖ u ‖ 2 .

对所有的 ，其中 B δ = { u ∈ X , ‖ u ‖ ≤ δ } ，因此， I ∂ B δ ≥ 1 4 ( min { a , 1 } − ε C ′ 2 2 ) δ 2 > 0 。 □

类似于文献 [ 14 ]，引入同胚映射 g : M → N 和泛函 φ : M → R ，定义如下

g ( u ) : = t ¯ ( u ) , φ ( u ) = I ( g ( u ) ) .

其中 M = { u ∈ X : ‖ u ‖ = 1 } 。

引理2 (a) ( [ 15 ] 引理2.3)假设满足条件(V) (B) (F1)~(F4)，对任意的 u ∈ X \ { 0 } ，使得 g u ( t ) = I ( t u ) ，若存在 t ¯ 使得当 0 < t < t ¯ 时，有 g ′ u ( t ) > 0 ，当 t > t ¯ 时，有 。

(b) 假设满足条件(F2)和(F4)，在X中有 u n 弱收敛到u，且 u ≠ 0 ，则对任意的数列 ，当 n → ∞ 时， ，有 ∫ R N F ( t n u n ) | t n | 4 d x → ∞ ，那么有 I ( t n u n ) → − ∞ 。

定理2 假设满足条件(V)，(B)，(F1)-(F4)，则有 ，其中c为I的临界值。

证明：1) 由假设可知，对任意 u ∈ X \ { 0 } ，存在唯一 t ( u ) > 0 ，使得 。当 t ≥ 0 时，可在 处得到 I ( t u ) 的最大值

t : X \ { 0 } → [ 0 , ∞ )         u ↦ t ( u ) .

t是连续的，且 u ↦ t ( u ) u 是X中单位球面的同胚映射，对(F4)进行积分可知存在常数 C 0 > 0 ，使得

取适当的 ，令 g ( t ) = I ( t u ) , t ∈ [ 0 , ∞ ) ，

g ′ ( t ) = 0 ⇔ u ∈ N

.

则由引理2知，存在唯一 ，使得 g ′ ( t ( u ) ) = 0 ，且有 t ( u ) u ∈ N ，为了证明 的连续性，假设存在序列 u n → u , u ∈ X \ { 0 } ，容易得到 { t ( u n ) } 是有界的，若存在 { t ( u n ) } 的子列收敛到 t 0 , ( t 0 = t ( u ) ) ，则 ，再由X的单位元到N中的连续映射 u ↦ t ( u ) u 是反向的拉回映射 u ↦ u ‖ u ‖ ，即可得到

c N = inf N I ( u ) = inf X \ { 0 } max t ≥ 0 I ( t u ) = c 1 .

因为对于 u ∈ X \ { 0 } , t → + ∞ 时， I ( t u ) → − ∞ ，可以得到 c 1 ≥ c ，流形N将X分为两个部分，由(F1)和(F2)可知包含原点的分量也包含了原点的邻域，且 ，因为 〈 I ′ ( t u ) , u 〉 > 0 ，对于 0 ≤ t ≤ t ( u ) ，因而，对于每一个 γ ∈ Γ 穿过N且 c N ≤ c 。

为了证明c是I的临界点，即证I满足PS条件即可 [ 16 ]， Γ 0 = { γ 0 : [ 0 , 1 ] → X , γ 0 ( 0 ) = 0 , I ( γ 0 ( 1 ) ) < 0 } ，有(F1)和(F2)存在 r > 0 ，使得

min ‖ u ‖ < r I ( u ) = 0 , inf ‖ u ‖ = r I ( u ) > 0 .

可以得到

c ≥ inf ‖ u ‖ = r I ( u ) > 0 = sup γ 0 ∈ Γ 0 sup u ∈ M 0 I ( γ 0 ( u ) ) .

由引理可知I满足PS条件。 □

命题 假设满足条件(V)，(B)，(F1)~(F4)，那么有以下结论成立：

(a) I ′ 是弱下半连续的；

(b) 若 { w n } 是 φ 的PS序列，则 { g ∞ ( w n ) } 是I的PS序列；

(c) 若w是 φ 的临界点，当且仅当 g ( w ) 是I的非平凡临界点。

引理3 假设满足条件(V)，(B)，(F1)~(F4)，则方程(0.1)的极限形式存在非平凡解。

证明：首先证明(0.1)的极限方程的基态解 [ 17 ]，等价于泛函 I ∞ 限制在流形 N ∞ 上的极小值问题，那么由假设 F ( 0 ) = 0 知， u = 0 是一个局部严格极小值点， I ∞ ( 0 ) = 0 ，假设 { v n } ∈ M 为 φ ∞ 的极小化序列，应用Ekland变分原理 [ 17 ] 知，假设 φ ′ ∞ → 0 ，由命题(b)知若 { v n } 是 φ ∞ 的PS序列，则 { g ∞ ( v n ) } 是 I ∞ 的PS序列，那么 ，其中 u n = g ∞ ( v n ) ∈ N ∞ ，同样的由命题(c)(用 I ∞ 替换I结论仍然成立)知若v是 φ ∞ 的临界点，当且仅当 g ∞ ( v ) 是 的非平凡临界点，其中 u = g ∞ ( v ) ，即 I ∞ ( u ) = I ∞ ( g ∞ ( v ) ) = φ ∞ ( v ) ，则 inf M φ ∞ = c ∞ 。

先证 { u n } 在X中是有界的，若不然，可设当 n → ∞ 时， ‖ u n ‖ → ∞ ，令 w n = u n ‖ u n ‖ ，则存在 { w n } 的子列，仍将其记为 { w n } ，那么在X中有 w n 弱收敛于w，在 L l o c p ( R N ) , 2 ≤ p < 6 中有 w n 收敛于w，对任意的 x ∈ R N ，有 几乎处处收敛到 w ( x ) ，由Sobolev嵌入定理可知 { w n } 在 上是有界的，即 ∫ R N | w n | p d x < + ∞ ，不是一般性，我们可以假设 ‖ w ‖ p → T 1 ∈ [ 0 , + ∞ ) ，

(i) 若 T 1 = 0 ，由条件(F1)和(F2)知，对任意的 ε > 0 , C ε > 0 , t > 0 , t 2 > 0 , t p > 0 ，

| F ( w n ) | ≤ ε | w n | 2 + C ε | w n | p . (1.3)

| ∫ R N F ( t w n ) d x | ≤ ε t 2 2 ‖ w n ‖ 2 + C ε t p p ‖ w n ‖ p . (1.4)

因为 T 1 = 0 ，即 ‖ w n ‖ p → 0 ，又序列 { w n } 在 L l o c p ( R N ) , 2 ≤ p < 6 上是有界的，则存在 C > 0 ，当 n → ∞ ，有

| ∫ R N F ( t w n ) d x | ≤ ε C . (1.5)

因此，对任意的 ， ∫ R N F ( t w n ) d x → 0 ，再由范数的等价性可知，对任意的 ，当 n → ∞ 时， ，可以得到

矛盾(可取 t > 2 c ∞ α )。

(ii) 若 ，即在 L l o c p ( R N ) 中，有 w n 不收敛于0，由Lions紧性引理 [ 18 ] 可知，存在 y n ∈ R N ，使得

∫ B ( y n , 1 ) | w n | 2 d x > 0 . (1.7)

再有泛函 I ∞ 和流形 N ∞ 的平移不变性可知 w n ↦ w n ( ⋅ − k ) , k ∈ Z N 是不变的，不妨设 { y n } 是有界的，若不然将 w n 平移可以得到。由假设在 L l o c p ( R N ) 中有 w n 收敛于w，那么式子(1.7)意味着 w ≠ 0 ，由引理2(b)和Fatou引理得

∫ R N F ( t n u n ) ‖ t n u n ‖ 4 d x = ∫ R N F ( t n u n ) | t n u n | 4 ‖ t n w n ‖ d x → + ∞ . (1.8)

可得 I ∞ ( t n u n ) → − ∞ ，与命题(b) I ∞ ≥ 0 矛盾，则 { u n } 在X中是有界的，那么我们可以其找到子列仍记为 { u n } ，那么在X中有 u n 弱收敛于 u 0 ，在 L l o c p ( R N ) , 2 ≤ p < 6 中有 收敛于 u 0 ，对任意的 x ∈ R N ，有 u n ( x ) 几乎处处收敛到 u 0 ( x ) ，在由命题(a) 是弱序列连续的可知 I ′ ∞ ( u 0 ) = 0 (即 ∵ u n → w u , ∴ I ′ ∞ ( u n ) → w I ′ ∞ ( u ) )。

其次，我们将证明 u 0 ≠ 0 。

类似于前面的证明我们假设 ‖ u n ‖ → T 2 ∈ [ 0 , + ∞ ) ，若 T 2 = 0 ，由条件(F1)和(F2)得

| f ( u n ) | ≤ ε | u n | + C ε | u n | p − 1 . (1.9)

类似(i)的证明有

∫ R N f ( u n ) u n d x → 0 .(1.10)

因此

∘ ( 1 ) = I ′ ∞ ( u n ) ≥ α ‖ u n ‖ 2 + b ‖ u n ‖ 2 4 − ∫ R N b ∞ f ( u n ) u n d x = α ‖ u n ‖ 2 + ∘ ( 1 ) (1.11)

意味着 u n → 0 ，与 ‖ u ‖ ≥ ρ > 0 和 u n ∈ N ∞ 矛盾，则可得 T 2 ≠ 0 ，即在 中有 u n 不收敛于0，根据Lions紧性引理可知存在 y n ∈ Z N ，使得

∫ B ( y n , 1 ) | u n | 2 d x > 0 . (1.12)

因为在 L l o c p ( R N ) , 2 ≤ p < 6 中有 ，则由(1.12)可知 u 0 ≠ 0 ，又因为 I ′ ∞ ( u 0 ) = 0 ，所以 u 0 ∈ N ∞ ，再由 c ∞ 的定义知

结合Fatou引理

c ∞ + ∘ ( 1 ) = I ∞ ( u n ) − 1 4 I ′ ∞ ( u n ) ( u n ) + ∘ ( 1 ) ≥ I ∞ ( u 0 ) + ∘ ( 1 ) . (1.14)

结合(1.13)和(1.14)可得 I ∞ ( u 0 ) = c ∞ ，因此得到 u 0 是(0.1)极限形式的一个弱解。

定理1的证明：

类似于引理3的证明，设 u n ∈ N 满足 I ( u n ) → c ，且 ，假设 { u n } 在X中是有界的，若不然，令 z n = u n ‖ u n ‖ ，则可以假设在X中有 z n 弱收敛到z，在 L l o c p ( R N ) 中有 z n 收敛到z，对任意的 x ∈ R N 有 z n ( x ) 几乎处处收敛到 z ( x ) 。因此，存在序列 { y n } ∈ R N ，使得

∫ B ( y n , 1 ) | z n | 2 d x > 0 . (2.1)

否则，由Lions紧性引理可得 ，则由(1.5)知，对任意的 ，有

由 I ′ ( u n ) → 0 ，我们可以得到

c = lim n → ∞ I ( z n ) ≥ lim n → ∞ I ( t z n ) ≥ α t 2 2 (2.3)

矛盾，那么(2.1)成立，接下来不妨设 { y n } ∈ Z N ，不妨设 { y n } 是有界的。由假设在 L l o c p ( R N ) , 2 ≤ p < 6 中有 收敛于z，那么 z ≠ 0 ，由引理2(b)和Fatou引理得 I ( t n z n ) → − ∞ ，与命题(b) I ≥ 0 矛盾，则 { y n } 是无界的，可假设 | y n | → ∞ ，令 z ˜ ( y ) = z ( y + y n ) ，由于 ‖ z ˜ n ‖ = ‖ z n ‖ = 1 ，因此存在 z ˜ ，使得在X中有 z ˜ n 弱收敛到 z ˜ ，在 L l o c p ( R N ) 中有 z ˜ n 收敛到 z ˜ ，且对任意的 x ∈ R N 有 z ˜ n ( x ) 几乎处处收敛到 z ˜ ( x ) ，由(2.1)知

那么有 z ˜ ≠ 0 ，结合(F2)和(F4)，存在 ρ > 0 对任意的 ‖ u ‖ ≥ ρ ，有

o ≤ I ( u n ) ‖ u n ‖ 4 ≤ β − ∫ R N b ( x ) F ( t n z n ) | t n | 4 = β − ∞ → − ∞ .(2.5)

得到矛盾。

综上可得 { u n } 在X上是有界的，则我们可以假设存在u使得在X中有 u n 弱收敛到u，在 L l o c p ( R N ) , 2 ≤ p < 6 中有 u n 收敛到u，且对任意的 x ∈ R N 有 u n ( x ) 几乎处处收敛到 u ( x ) ，结合(F1)和(F2)可得 I ′ ( u ) = 0 。

下证 u≠0。有 { u n } 在X中是有界的，则有 { r n } ∈ R N 使得

否则，由Lions紧性引理可知

lim ¯ n → ∞ ∫ B ( r n , 1 ) | u n | 2 d x → 0 .(2.7)

那么 { r n } 是有界的，若不然可找到 { r n } 的无界子列，仍记为 { r n } ，且 | r n | → ∞ ，令 u ˜ n = u ( ⋅ + r n ) ，同样地，在X中有 u ˜ n 弱收敛到 u ˜ ，在 L l o c p ( R N ) , 2 ≤ p < 6 中有 u ˜ n 收敛到 u ˜ ，且对任意的 有 u ˜ n ( x ) 几乎处处收敛到 u ˜ ( x ) ，由(2.6)可知

∫ B ( 0 , 1 ) | u n | 2 d x > 0 .

u ˜ ≠ 0 ，结合 I ′ ( u n ) → 0 和 ，则 I ′ ∞ ( u ˜ n ) → w 0 ，由命题(a) I ′ ∞ 是弱序列连续的，可以得到， I ′ ∞ ( u ˜ ) = 0 ，则 u ˜ ∈ N ∞ 。同理，由条件F (3)和Fatou引理可得

c + ∘ ( 1 ) = I ( u ) ≥ I ∞ ( u ˜ ) = c ∞ + ∘ ( 1 ) .

矛盾。故可得 是有界的，不妨设 | r n | ≤ δ ，由(2.6)知

.

又由于在 L l o c p ( R N ) , 2 ≤ p < 6 中有 收敛于u，则 u ≠ 0 ，且 ，故有 u ∈ N ，因此 I ( u ) ≥ c ，结合条件F (3)和Fatou引理得

c = lim n → ∞ I ( u n ) = lim n → ∞ ( I ( u n ) − 1 4 I ′ ( u n ) ( u n ) ) ≥ I ( u ) .

综上可得 I ( u ) = c ，故u是方程(0.1)的基态解。 □

李伟丹,魏公明. 非线性SchroO^¨dinger-Kirchhoff型方程基态解的存在性Existence of Ground States Solution of Nonlinear Schro?dinger-Kirchhoff-Type Equation[J]. 理论数学, 2020, 10(04): 330-338. https://doi.org/10.12677/PM.2020.104042