张旭，李万社

陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西 西安

收稿日期：2020年3月17日；录用日期：2020年4月3日；发布日期：2020年4月14日

在最小能量小波多小波框架的基础上，给出了a尺度二元最小能量多小波框架的概念，和满足二元最小能量多小波框架特性的充分以及必要条件，利用对尺度函数以及小波函数相应的面具符号进行多相位分解，给出了构造a尺度二元最小能量多小波框架的构造算法。

关键词 :多小波，最小能量小波框架，a尺度二元最小能量多小波框架

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在小波理论之后又新发展起一种理论，即框架理论。小波框架是由多种数学学科结合得来的，1952年，框架理论是首先由Duffin以及Schaeffer给出。我们要说的框架就是一种具有Riesz基性质的基，但是却不一定是基，也可以认为它是这一种广义的基。

最小能量小波框架 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] 的优点在于可以避免信号在分解以及重构时，对于对偶框架的寻找，也简化了计算过程的繁杂性，并且还能最大可能地去保证数值的稳定性。在框架多分辨分析(FMRA)的基础上，2000年，由C.K. Chui以及W. He首先给出了最小能量小波框架。

先给出文章要提到的记号： ω = ( ω 1 , ω 2 ) ∈ R 2 ， x = ( x 1 , x 2 ) ∈ R 2 ， L 2 ( R 2 ) 里函数的内积和Fourier变

换定义如下

〈 f , g 〉 = ∫ R 2   f ( x ) g ( x ) ¯   d x ,   ∀ f , g ∈ L (R2)

f ^ ( ω ) = ∫ R 2   f ( x ) e − i 〈 x , ω 〉 d x

其中 x ⋅ ω = 〈 x , ω 〉 = x 1 ω 1 + x 2 ω 2 ,   ω ∈ R 2 ,   x ∈ R 2 。

定义向量值函数 ϕ ( x ) = ( ϕ 1 ( x ) , ϕ 2 ( x ) , ⋯ , ϕ r ( x ) ) T ,   ϕ i ( x ) ∈ L 2 ( R 2 ) ,   r , i ∈ N ，平移算子为 T k ϕ ( x ) = ϕ ( x − k ) ，伸缩算子为 D : L 2 ( R 2 ) → L 2 ( R 2 ) : D ϕ ( x ) = a ϕ ( a x ) 。

定义1 [ 6 ] 假设有正常数 0 < A ≤ B < + ∞ ，使函数族 ψ i = ( ψ 1 i , ψ 2 i , ⋯ , ψ r i ) T ,   i ∈ N 能够满足

A ‖ f ‖ 2 ≤ ∑ i = 1 N ∑ τ = 1 r ∑ j , k ∈ Z 2 | 〈 f , ψ τ , j , k i 〉 | 2 ≤ B ‖ f ‖ 2 ,   ∀ f ( x ) ∈ L 2 (R2)

那么称函数族 ψ i = ( ψ 1 i , ψ 2 i , ⋯ , ψ r i ) T ,   i ∈ N 是 L 2 ( R 2 ) 的一个紧框架 [ 7 ] [ 8 ]，A，B是这个框架的上，下框架界。当 A = B = 1 时，有下列重构公式

‖ f ( x ) ‖ = ∑ τ = 1 r ∑ j , k ∈ Z 2 | 〈 f , ψ τ , j , k i 〉 | 2 ,   ∀ f ∈ L 2 ( R 2 ) (1)

那么称 { ψ i } 是 L 2 ( R 2 ) 的Parseval框架。

记 V k = c l o s L 2 { R 2 } ( s p a n { ϕ k , α ( x ) : α ∈ Z 2 } ) 是 { ϕ k , α ( x ) : α ∈ Z 2 } 在 L 2 ( R 2 ) 上的闭包。

定义2 [ 9 ] 假如每一个 { V τ } τ ∈ Z 是 L 2 ( R 2 ) 的闭子空间，而且有 ϕ ∈ V 0 使得 { V τ } 满足

(1) ⋯ ⊂ V τ ⊂ V τ + 1 ⊂ V τ + 2 ⊂ ⋯ ,   τ ∈ Z ；

(2) ∪ τ ∈ Z   V τ ¯ = L 2 ( R 2 ) ,   ∩ τ ∈ Z   V τ = { 0 } ；

(3) g ( x ) ∈ V 0 ⇔ g ( x − k ) ∈ V 0 ,   k ∈ Z 2 ；

(4) g ( x ) ∈ V τ ⇔ g ( a x ) ∈ V τ + 1 ,   τ ∈ Z ；

(5) ∃ ϕ ( x ) ∈ L 2 ( R 2 ) 使 { ϕ ( x − k ) } k ∈ Z 2 为 V 0 的紧框架，那么 { V τ } τ ∈ Z 是FMRA，其中 ϕ ( x ) 是FMRA的二

元尺度函数。

定义3 若 { V τ } τ ∈ Z 由 ϕ ( x ) = ( ϕ 1 ( x ) , ϕ 2 ( x ) , ⋯ , ϕ r ( x ) ) T 生成。设函数族 ψ i = ( ψ 1 i , ψ 2 i , ⋯ , ψ r i ) T ,   i ∈ N 符合(3.1.1)，且 ψ i = ( ψ 1 i , ψ 2 i , ⋯ , ψ r i ) T ⊂ V 1 ，那么称 ψ i = ( ψ 1 i , ψ 2 i , ⋯ , ψ r i ) T ,   i ∈ N 生成对应 ϕ ( x ) 的小波紧框架。

定义4 [ 10 ] 若 ϕ ( x ) = ( ϕ 1 ( x ) , ϕ 2 ( x ) , ⋅ ⋅ ⋅ , ϕ r ( x ) ) T ,   ϕ i ( x ) ∈ L 2 ( R 2 ) ，而且 ϕ ^ ( ω ) 在原点处连续，对于 ∀ f ( x ) ∈ L 2 ( R 2 ) ，如果一个函数族 ψ i ∈ L 2 ( R 2 ) , i ∈ N 符合

∑ τ = 1 r ∑ k ∈ Z 2 | 〈 f , ϕ τ ,1, k 〉 | 2 = ∑ τ = 1 r ∑ k ∈ Z 2 | 〈 f , ϕ τ ,0, k 〉 | 2 + ∑ i = 1 N ∑ τ = 1 r ∑ k ∈ Z 2 | 〈 f , ψ τ ,0, k i 〉 | 2 (2)

则称 { ψ 1 , ψ 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , ψ N } 是与 ϕ ( x ) 相对应的二元最小能量多小波紧框架。其中

ϕ j , k = a j ϕ ( a j x − k ) ,   ψ j , k i = a j ψ i ( a j x − k ) ,   i , j ∈ Z , k ∈ Z 2

式(2)等价于

∑ τ = 1 r ∑ k ∈ Z 2 〈 f , ϕ τ ,1, k 〉 ϕ τ ,1, k = ∑ τ = 1 r ∑ k ∈ Z 2 〈 f , ϕ τ ,0, k 〉 ϕ τ ,0, k + ∑ i = 1 N ∑ τ = 1 r ∑ k ∈ Z 2 〈 f , ψ τ ,0, k i 〉 ψ τ ,0, k i (3)

若函数 ϕ ( x ) = ( ϕ 1 ( x ) , ϕ 2 ( x ) , ⋯ , ϕ r ( x ) ) T ,   ϕ i ( x ) ∈ L 2 ( R 2 ) 满足

称上式为r重多尺度函数。此处 为 重矩阵序列。

对式(4)两边施行Fourier变换有

其中

为 的符号函数。对于 根据定义2，就有

其中 是 重矩阵序列，等式两边做Fourier变换有

为 的符号函数，表示为

接下来利用 和 来构造一个 阶的分块矩阵

的共轭转置我们用 来表示。

定理1若 和 里都为Laurent多项式，并且 是 的尺度函数，则等价于

(1) 为与 相应的二元最小能量多小波框架生成元；

(2) 满足

(3)

符合 且 是Kronecker符号为

证明：由式(4)和(7)以及 ，可以得到式(3)的等价式子

并且有，式(10)等价于

即有

因为 ，有

那么上式也可以写为

利用Cramer法则和Vandermonde行列式的性质可将上变形为

对上面式子中所有等式两边乘 ，有

即为

对上式做Fourier逆变换就有

根据式(4)和(7)，上式就可变形为

由(11)式证明得到式(14)，也就有了(12)式，现在我们来证明由(12)式得到(11)式。

是紧支撑函数，若固定m，则 仅有有限个不为零，那么泛函

仅有有限个不为零。

接下来对(12)式做傅里叶变换有

由于 不是平凡函数，所以 ，既有 ，故

设 ，则有 ，最后做傅里叶变换就可得 ，综上，定理得证。

定理2 若尺度函数 紧支撑，并有 ，设 是对应的二元最小能量多小波框架生成元，则

证明：由于 那么我们就可以得到 。下面只看式(15)中当 的情况，i为其他数值时证明过程类似。

记 为 的第一行元素，将 中剩下的记为矩阵 ，那么根据式(10)就有

由 是Hermitian矩阵，那么就有

即有

其实

其中

而 所以 。

接下来将 写为多相位形式

阶的符号矩阵 中的每项都为Laurent多项式，记为

那么就有 ，也即

由式(10)有

接下来讨论该框架存在的充分条件。

定理3 若多尺度函数为 ，且 ，那么a

尺度Laurent多项式符号函数符合

则存在二元多尺度函数 对应的二元最小能量多小波框架生成元 。

证明：由

其中 是 的多相位矩阵。而由(16) (17)可以得到

即有

若 且有 ，则

根据Riesz定理可知，对于Laurent多项式 有

接下来把单位向量 按照文

献 [ 11 ] 里定理3的方式变换之后就可以得到 [ 11 ]

则

而且符合 。

对于 ，下面记 ， 为 到子空间 上的正交投影算子

则根据以上算子式(3)可变形为

其中 表示为误差项，还可以表示为

那么由以上两式，做内积就可以得到

则

在式(19)下，误差项 的系数能量是最小的，也正是这个原因我们把符合(3)的框架叫做最小能量小波框架。

1) 分解算法 若已知 ，那么我们由 的加细方程我们可以得到

对以上两式两边与 作内积，就有以下分解公式

2) 重构算法

对上式两端与 作内积，就有

张 旭,李万社. a尺度二元最小能量多小波框架的构造The Construction of Bivariate Minimum-Energy Multi-Wavelet Frames with Dilation Factor a[J]. 理论数学, 2020, 10(04): 272-281. https://doi.org/10.12677/PM.2020.104035