范振海，任益斌^*

浙江师范大学，数学与计算机科学学院，浙江 金华

收稿日期：2020年1月21日；录用日期：2020年2月6日；发布日期：2020年2月13日

本文主要研究了从Finsler流形到Riemann流形的调和映射的梯度估计，并由此得到从弱Landsberg流形到Cartan-Hadamard流形的调和映射Liouville型定理。此外，我们还将这一定理推广至目标流形为正则球的情形。

关键词 :梯度估计，调和映射，Liouville型定理，Landsberg流形

Copyright © 2020 by author(s) and beplay安卓登录

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1975年，丘成桐 [ 1 ] 建立了非负Ricci曲率完备Riemann流形上正调和函数的梯度估计，并给出了相应的Liouville型定理。之后，郑绍远 [ 2 ] 和H.I.Choi [ 3 ] 分别推导了从Ricci曲率有下界的完备Riemann流形到Cartan-Hadamard流形和正则球的调和映射的梯度估计，同时得到了相应的Liouville型定理。他们主要运用了Bochner技巧和最大值原理。

夏超 [ 4 ] 将Cheng-Yau [ 6 ] 在Riemann流形上调和函数的梯度估计推广到了Finsler流形。Ohata-Sturm [ 5 ] 研究了Finsler流形上的热方程全局解的梯度估计。莫小欢 [ 7 ] 定义了从Finsler流形到Riemann流形的调和映射并研究了它的第一变分公式。之后，Shen-Zhang [ 8 ] 计算了这类映射的能量泛函的第二变分公式。一个自然的问题是研究Finsler流形上这类调和映射的梯度估计和Liouville型定理。设M是Finsler流形，SM是其上的射影球丛，N是Riemann流形，光滑映射 φ : M → N 的能量为

E ( φ ) = 1 c ∫ S M 1 2 | d φ | 2 Π ,

我们称映射 φ 是调和映射，如果它是能量泛函E的极值点 [ 7 ]。它的张力场表示为：

τ ( φ ) = t r a c e ∇ d φ + 〈 d φ , J 〉 ∈ Γ ( φ * T N ) , (1)

本文将推导 φ 的Bochner公式：

1 2 Δ H | d φ | 2 = | ∇ H d φ | 2 + 〈 ∇ H τ ( φ ) , d φ 〉 + 〈 d φ ( R ˜ ) , d φ 〉     − ∑ i , j = 1 m R ^ ( d φ ( e i ) , d φ ( e j ) , d φ ( e i ) , d φ ( e j ) ) − 〈 d φ , ∇ J ⊗ d φ 〉 .

其中 R ˜ 是M上Riemann曲率张量R的对称化(具体见(6)式)， Δ H 是水平Laplacian。由于水平Laplacian具有极大值原理，因此我们可以将调和映射的梯度估计推广到Finsler流形上来。具体结果如下：

定理1 设 ( M , F ) 是非紧的弱Landsberg流形满足

R ˜ ≥ − k 1 ,

其中 k 1 ≥ 0 ，设 ( N , h ) 是Cartan-Hadamard流形。如果M上存在一个满足比较定理性质的正函数 r ∈ C 2 ( S M ) (具体见定义1)，那么任意限制在 Ω 2 R = { x ∈ M | r ( x ) < 2 R } 上的调和映射 φ : M → N 有如下梯度估计

max x ∈ Ω R | d φ | 2 ≤ ( C 1 R + k 1 ) b R 2 . (2)

其中 b R = 2 sup { ρ ∘ φ ( x ) | x ∈ Ω 2 R } ， ρ 是定义在 y 0 ∈ N 的距离函数，且 C 1 由r决定。

我们称调和函数 φ 满足次线性增长条件，如果

lim R → + ∞ ¯ 1 R sup { ρ ∘ φ ( x ) | x ∈ Ω 2 R } = 0 ,

由定理1，我们可直接得到如下的Liouville型定理：

定理 2设 ( M , F ) 是非紧的弱Landsberg流形满足 R ˜ ≥ 0 ，设 ( N , h ) 是Cartan-Hadamard流形。如果M 上存在一个满足比较定理性质的正函数 r ∈ C 2 ( S M ) ，那么任意满足次线性增长条件的调和映射 φ : M → N 必定是常值映射。

当目标流形具有正截面曲率时，我们也可以得到类似梯度估计。设N是Riemann流形且截曲率有上

界 k 2 ， k 2 ≥ 0 ，若 落在 y 0 ∈ N 的割迹之内且 D < π 2 k 2 ，则我们称 B D ( y 0 ) 是Rieman流形N的正则球，当 k 2 = 0 时，我们要求 D < + ∞ 。

定理3 设 ( M , F ) 是非紧的弱Landsberg流形满足

R ˜ ≥ − k 1 ,

其中 k 1 ≥ 0 。设N是Riemann流形且截曲率有上界 k 2 ， k 2 ≥ 0 ， B D ( y 0 ) 是N的正则球。如果M上存在一个满足比较定理性质的正函数 r ∈ C 2 ( S M ) ，那么任意限制在 Ω 2 R = { x ∈ M | r ( x ) < 2 R } 上的调和映射 φ : M → B D ( y 0 ) 有

max x ∈ Ω R | d φ | 2 ≤ C 2 ( k 1 + 1 R ) . (3)

其中 C 2 由r， k 2 和D决定。

进而，由定理3我们得到相应的Liouville型定理：

定理4 设 ( M , F ) 是非紧的弱Landsberg流形满足 R ˜ ≥ 0 。如果M上存在一个满足比较定理性质的正函数 r ∈ C 2 ( S M ) ，那么从M到正则球的调和映射必是常值映射。

在这一节，我们介绍Finsler几何的一些基础知识和Finsler流形到Riemann流形的调和映射。另外，我们还将推导最大值原理和Bochner公式。

设M是m维光滑流形， ( x i , y i ) 是切丛TM上的局部坐标，若函数 F : T M → [ 0 , + ∞ ) 满足：

i) 正齐性： F ( x , λ y ) = λ F ( x , y ) , ∀ λ > 0 ；

ii) 光滑性： F | T M \ { 0 } 是 C ∞ 的；

iii) 正定性：对于任意向量 y ∈ T M \ { 0 } ，

g i j ( x , y ) = 1 2 ∂ 2 F 2 ∂ y i ∂ y j ( x , y ) = 1 2 ( F 2 ) y i y j .

是正定矩阵，则称F为流形M上的Finsler度量。具备Finsler度量的光滑流形M称为Finsler流形，记为 ( M , F ) 。记M的射影球丛为SM，切丛TM的自然投影确定了射影球丛SM上的一个投影 π : S M → M 。

我们仍用 ( x i , y i ) 表示球丛上的局部坐标，其中 ( y i ) 是齐次坐标。记 π * T M 是切丛TM的拉回，其局部自然标架为 { ∂ ∂ x i } 。我们用 { d x i } 表示自然标架 { ∂ ∂ x i } 的对偶。基本张量g定义为

g = ∑ i , j = 1 m g i j ( x , y ) d x i ⊗ d x j ,

其中 g i j = [ 1 2 F 2 ] y i y j 。如果 g i j ( x , y ) 不依赖于向量y的选取，那么F是Riemann度量。令

ω = ∑ i = 1 m ∂ F ∂ y i d x i ∈ Γ ( π * T * M ) ,

称为Hilbert形式。其对偶向量场记为

l = ∑ i = 1 m y i F ∂ ∂ x i ∈ Γ ( π * T M ) .

Cartan张量C是定义在 π * T M 上的三阶对称张量：

C = ∑ i , j , k = 1 m C i j k ( x , y ) d x i ⊗ d x j ⊗ d x k ,

其中 C i j k = 1 4 [ F 2 ] y i y j y k = 1 2 ∂ g i j ∂ y k 。它的平均值 η 称为Cartan形式：

η = ∑ i , j , k = 1 m C i j k g j k d x i ,

其中 g j k = ( g j k ) − 1 。Deicke定理 [ 9 ] 表明，正定的Finsler度量是Riemann度量的充要条件为Cartan形式消失。

设 ( M , F ) 是m维Finsler流形，由于l是单位长的向量场，因此总存在 π * T M 上的局部正交标架场 { e i } 使得 e n = l ，它的对偶标架场记为 { ω i } 且 。在此标架下陈联络 ∇ 的结构方程可表为：

d ω i = ∑ j = 1 m ω j ∧ ω j i ,     ω j i + ω i j = − 2 ∑ λ = 1 m − 1 H i j λ ω n λ (4)

其中 ω i j ’s是陈联络1形式， H i j k ’s是Cartan张量在 { e i } 下的分量。曲率形式 Ω j i 可表示为：

Ω j i = ∑ k , s = 1 m 1 2 R j k s i ω k ∧ ω s + ∑ k = 1 m ∑ λ = 1 m − 1 P j k λ i ω k ∧ ω n λ .

其中 R j k s i 和 分别称为Finsler流形M的Riemann曲率和Minkowski曲率。记Riemann曲率张量

R = R j k s i ω j ⊗ ω k ⊗ ω s ⊗ e i , (5)

由于 t r 〈 R ( X , ⋅ ) ⋅ , Y 〉 一般不具有对称性 [ 9 ]，因此我们定义对称张量 R ˜ 如下：

R ˜ ( X , Y ) = 1 2 t r [ 〈 R ( X , ⋅ ) ⋅ , Y 〉 + 〈 R ( Y , ⋅ ) ⋅ , X 〉 ] . (6)

Landsberg曲率L和平均Landsberg曲率J分别定义为：

L = − ∇ l C ,     J = − ∇ l η .

若(平均)Landsberg曲率恒为零，则称Finsler流形 ( M , F ) 是(弱) Landsberg流形。众所周知， { ω i , ω n λ } 是 T * S M 上的局部标架场 [ 7 ]，它的对偶标架场记为 { ε i , η λ } 。球丛 SM上的Sasaki型Riemann度量定义为：

G = ∑ i = 1 m ω i ⊗ ω i + ∑ α = 1 m − 1 ω n α ⊗ ω n α .

它与局部坐标系的选取无关。为简便起见，我们规定指标 1 ≤ i , j , k , ⋯ ≤ m ， 1 ≤ α , β , λ , ⋯ ≤ m − 1 遵循Einstein 求和约定。记垂直子丛 V S M = K e r ( d π ) ，其中 d π : T S M → T M 是自然投影 π 的切映射。在Sasaki 型Riemann度量G之下，切丛TSM可以分解为

T S M = H S M ⊕ V S M ,

其中HSM称为水平子丛。局部上， { η λ } 是垂直子丛VSM的一组基， { ε i } 是水平子丛HSM的一组基。

设 ( N , h ) 是Riemann流形， { θ a } 是 T * N 上的局部正交标架场，它的对偶向量场记为 { v a } 。Levi-Civita

联络的结构方程可表示为：

d θ a = θ b ∧ θ b a ,     θ b a + θ a b = 0 ,     d θ b a = θ b c ∧ θ c a + 1 2 R ^ b c d a θ c ∧ θ d (7)

其中 R ^ b c d a 是Riemann流形N的Riemann曲率张量。

设 φ : M → N 是光滑映射。它在SM上的提升仍然记为 φ ，能量定义为：

E ( φ ) = 1 c ∫ S M 1 2 | d φ | 2 Π ,

这里c是 ( m − 1 ) 维标准球面的体积， Π 是G下的标准体积形式。值得注意的是， φ 是水平的，i.e. d φ ( V ) = 0 对任意 V ∈ Γ ( V S M ) 都成立。由引言可知能量泛函的极值点是调和映射，它具有如下重要性质：

定理5 [ 7 ] 设 φ 是从Finsler流形M到Riemann流形N的光滑映射。则 φ 是调和映射当且仅当 φ 具有消失的张力场。

设 f : S M → R 是光滑函数。水平Laplace算子定义为

Δ H f = d i v G ( d H f ) = g i j ( δ 2 f δ x i δ x j − δ f δ x k Γ i j k + δ f δ x k L i j k ) . (8)

其中

δ δ x i = ∂ ∂ x i − N i j ∂ ∂ y j ,     N i k = γ i j k y j − C i j k γ r s j y r y s ,     γ i j k = 1 2 g k l ( ∂ g l j ∂ x i + ∂ g l i ∂ x j − ∂ g i j ∂ x l ) .

这里 是HSM的局部标架场。若f是流形M上的函数的提升 [ 10 ] [ 11 ]，则 Δ H f = τ ( f ) 。水平

Laplace算子同样满足最大值原理。

引理1 设 A n × n 是半正定矩阵， B n × n 是半负定矩阵，那么 t r ( A B ) ≤ 0 。

证明 因为A是一个半正定矩阵，所以存在一个 n × n 矩阵C使得 A = C C T ，又因为B是一个半负定矩阵，我们有，

t r ( A B ) = t r ( C C T B ) = t r ( C T B C ) ≤ 0.

引理2 (最大值原理)设 f : S M → R 是光滑函数。若 x 0 ∈ M 是函数f的最大值点，则 Δ H f ≤ 0 。

证明 在最大值点 x 0 处， ∂ f ∂ x i 和 ∂ f ∂ y i 恒为零。因此，利用(8)，我们有在 x 0 处

Δ H f = g i j δ 2 f δ x i δ x j = g i j ∂ 2 f ∂ x i ∂ x j − g k j N k i ∂ 2 f ∂ x j ∂ y i − g i k N k j ∂ 2 f ∂ x i ∂ y j + N k i g k l N l j ∂ 2 f ∂ x i ∂ x j

它的系数矩阵：

( A − A N T − N A N A N T )

是半正定的，这里 A = ( g i j ) , N = ( N k i ) 。根据引理1，得证。

现在，我们将推导Bochner公式。光滑映射的提升 φ : S M → N 的协变导数可表示为：

d φ = φ i a ω i ⊗ v a (9)

∇ d φ = φ i | j a ω i ⊗ ω j ⊗ v a + φ i ; λ a ω i ⊗ ω n λ ⊗ v a (10)

∇ 2 d φ = φ i | j | k a ω i ⊗ ω j ⊗ ω k ⊗ v a + φ i | j ; λ a ω i ⊗ ω j ⊗ ω n λ ⊗ v a . (11)

引理3 设 φ : M → N 是光滑映射，我们有如下交换关系：

φ i | j a = φ j | i a ,     φ i ; λ a = 0 , (12)

φ i | j | k a = φ i | k | j a + φ s a R i j k s − φ i b φ j c φ k d R ^ b c d a , (13)

φ j | k ; λ a = φ i a P j k λ i . (14)

证明 利用(9)，可得

φ * θ a = φ i a ω i . (15)

对(15)两边外微分得到，

( d φ i a − φ j a ω i j + φ i b φ * θ b a ) ∧ ω i = 0 ,

因为

d φ i a − φ j a ω i j + φ i b φ * θ b a = φ i | j a ω j + φ i ; λ a ω n λ , (16)

所以，

φ i | j a ω j ∧ ω i + φ i ; λ a ω n λ ∧ ω i = 0.

于是(12)成立。

再对(16)两边外微分得到，

− 1 2 φ i a R j k s i ω k ∧ ω s − φ i a P j k λ i ω k ∧ ω n λ + 1 2 φ i b φ j c φ k d R ^ b c d a ω j ∧ ω k = ( d φ i | j a − φ i | k a ω j k − φ k | j a ω i k + φ i | j b φ * θ b a ) ∧ ω j , (17)

因为

d φ i | j a − φ i | k a ω j k − φ k | j a ω i k + φ i | j b φ * θ b a = φ i j | k a ω k + φ i j ; λ a ω n λ , (18)

所以

− 1 2 φ i a R j k s i ω k ∧ ω s + 1 2 φ i b φ j c φ k d R ^ b c d a ω j ∧ ω k = φ i j | k a ω k ∧ ω j ,

φ j | k ; λ a ω k ∧ ω n λ = φ i a P j k λ i ω k ∧ ω n λ .

即(13)和(14)得证。

为了证明Bochner公式，我们先介绍如下结论：

引理4 [ 7 ] 对 S = S i ω i ∈ Γ ( π * T * M ) ，我们有

d i v S = ∑ i S i | i + ∑ λ , μ S μ L λ λ μ ,

其中 d i v S 表示S关于度量G的散度。

引理5 设 φ : M → N 是光滑映射，那么

1 2 Δ H | d φ | 2 = | ∇ H d φ | 2 + 〈 ∇ H τ ( φ ) , d φ 〉 + 〈 d φ ( R ˜ ) , d φ 〉     − ∑ i , j = 1 m R ^ ( d φ ( e i ) , d φ ( e j ) , d φ ( e i ) , d φ ( e j ) ) − 〈 d φ , ∇ J ⊗ d φ 〉 . (19)

证明根据定义

1 2 Δ H | d φ | 2 = 1 2 d i v ( d H | d φ | 2 ) ,

因为

d H | d φ | 2 = e j ( | φ i a | 2 ) ω j = 2 φ i | j a φ i a ω j ,

所以，利用引理3和引理4，可得

1 2 Δ H | d φ | 2 = φ i | j a φ i | j a + φ i a φ j | j | i a + φ i a φ k a R j i j k − φ i a φ j b φ i c φ j d R ^ b c d a + L λ λ μ φ i | μ a φ i a . (20)

由于

φ i a φ k a R j i j k = 1 2 ( φ i a φ k a R j i j k + φ i a φ k a R j k j i ) = 1 2 φ i a φ k a ( R j i j k + R j k j i ) = φ i a φ k a R ˜ i k

根据(1)，证毕。

引理6 设M是非紧弱Landsberg流形满足 R ˜ ≥ − k 1 ，其中 k 1 ≥ 0 ，N是Riemann流形且截曲率有上界 k 2 。

若 φ : M → N 是调和映射，则

Δ H | d φ | 2 ≥ 2 | ∇ H d φ | 2 − 2 k 1 | d φ | 2 − 2 k 2 | d φ | 4 . (21)

证明 由于M是弱Landsberg流形，则 J = 0 。又因为 φ 是调和映射，所以 τ ( φ ) = 0 。从而结合引理5，我们有

1 2 Δ H | d φ | 2 = | ∇ H d φ | 2 + 〈 d φ ( R ˜ ) , d φ 〉 − ∑ i , j = 1 m R ^ ( d φ ( e i ) , d φ ( e j ) , d φ ( e i ) , d φ ( e j ) )     .

再利用M与N的曲率条件，我们可得

Δ H | d φ | 2 ≥ 2 | ∇ H d φ | 2 − 2 k 1 | d φ | 2 − 2 k 2 | d φ | 4 .

在Riemann几何中，距离函数对于梯度估计具有重要作用。为了解决Finsler流形的梯度估计问题，我们需要一些类似的辅助函数。

定义1 我们称 C 2 函数 r : S M → R + ∪ { 0 } 满足比较定理性质，如果

i) 对于任意 R ≥ 0 ， r − 1 ( [ 0 , R ] ) 都是SM上的紧集；

ii) 存在常数 C 3 ，使得 | d H r | ≤ C 3 ，且 Δ H r ≤ C 3 ( 1 + 1 r ) 。

例1 设 ( M , g ) 是完备非紧Riemann流形， γ 是定义在 x 0 ∈ M 处的距离函数。设SM是流形M的射影球丛，自然地，Riemann度量可以诱导一个Finsler度量 F ( x , y ) 。由于M是一个Riemann流形，则陈联络正是Levi-Civita联络。故而 γ 在自然投影 π : S M → M 的提升 的梯度和Laplace算子满足

d H ( γ ∘ π ) = π * d γ ,     Δ H ( γ ∘ π ) = ( Δ γ ) ∘ π .

其中 Δ H 是水平Laplace算子。若流形M的Ricci曲率有下界，则根据Laplace比较定理，有 Δ H ( π * γ ) ≤ C ( 1 + 1 R ) ，因此， π * γ 满足比较定理性质。

设 ( M , F ) 是非紧弱Landsberg流形且满足 R ˜ ≥ − k 1 ，其中 k 1 ≥ 0 ，设 ( N , h ) 是Cartan-Hadamard流形。设函数r满足比较定理性质， Ω 2 R = { x ∈ M | r ( x ) < 2 R } ， ρ 是定义在 y 0 ∈ N 的距离函数。根据Hessian比较定理，可得

△ H ( ρ 2 ∘ φ ) ≥ 2 | d φ | 2 , (22)

令 ψ 是一个光滑函数满足

ψ | [ 0 , 1 ] ≡ 1 ,     ψ | [ 2 , + ∞ ) ≡ 0 ,     − c | ψ | 1 2 ≤ ψ ′ ≤ 0 ,     | ψ ″ | < + ∞

那么截断函数

χ ( x ) = ψ ( r R ) . (23)

满足

| d H χ | 2 χ ≤ C 4 R 2 ,     Δ H χ ≥ − C 4 R . (24)

为了估计 | d φ | 2 ，我们考虑辅助函数

F = | d φ | 2 b R 2 − ρ 2 ∘ φ . (25)

这里 b R = 2 sup { ρ ( φ ( x ) ) | x ∈ Ω 2 R } 。设 x 0 是函数 χ F 在区域 Ω 2 R 内的最大值点，则结合引理2在 x 0 我们有

0 = d H ln ( χ F ) = d H χ χ + d H | d φ | 2 | d φ | 2 + d H ( ρ 2 ∘ φ ) b R 2 − ρ 2 ∘ φ . (26)

0 ≥ − | d H χ | 2 χ 2 + Δ H χ χ + Δ H | d φ | 2 | d φ | 2 − | d H | d φ | 2 | 2 | d φ | 4 + Δ H ( ρ 2 ∘ φ ) b R 2 − ρ 2 ∘ φ + | d H ( ρ 2 ∘ φ ) | 2 ( b R 2 − ρ 2 ∘ φ ) 2 . (27)

因为N是Cartan-Hadamard流形，并利用引理6 (此时 k 2 = 0 )，我们有

Δ H | d φ | 2 | d φ | 2 ≥ | d H | d φ | 2 | 2 2 | d φ | 4 − 2 k 1 , (28)

将(28)式代入(27)式，可得

0 ≥ − | d H χ | 2 χ 2 + Δ H χ χ − | d H | d φ | 2 | 2 2 | d φ | 4 − 2 k 1 + Δ H ( ρ 2 ∘ φ ) b R 2 − ρ 2 ∘ φ + | d H ( ρ 2 ∘ φ ) | 2 ( b R 2 − ρ 2 ∘ φ ) 2 . (29)

利用(26)式和Cauchy不等式，我们有在 x 0 处

| d H | d φ | 2 | 2 | d φ | 4 = | d H χ χ + d H ( ρ 2 ∘ φ ) b R 2 − ρ 2 ∘ φ | 2 ≤ 2 | d H χ | 2 χ 2 + 2 | d H ( ρ 2 ∘ φ ) | 2 ( b R 2 − ρ 2 ∘ φ ) 2 , (30)

应用上式和(22)式，(29)式可化为

0 ≥ Δ H χ χ − 2 | d H χ | 2 χ 2 + 2 | d φ | 2 b R 2 − ρ 2 ∘ φ − 2 k 1 , (31)

两边同乘以 1 2 χ ，并结合F的定义，以及 χ 的估计(24)，我们可得在 x 0 处

( χ F ) ( x 0 ) ≤ C 1 R + k 1 . (32)

C 1 依赖于r。于是

max x ∈ Ω R F ( x ) ≤ χ F ( x 0 ) ≤ C 1 R + k 1 , (33)

证毕。

设 是非紧弱Landsberg流形满足 R ˜ ≥ − k 1 ，其中 k 1 ≥ 0 ，设 B D ( y 0 ) 是Riemann流形 N的正则球且截曲率有上界 k 2 ，其中 k 2 ≥ 0 。设函数r满足比较定理性质， Ω 2 R = { x ∈ M | r ( x ) < 2 R } ， ρ 是定义在 y 0 ∈ N 的距离函数。令

σ = { 1 − cos ( k 2 ρ ) k 2               k 2 > 0 ρ 2 2                                               k 2 = 0

根据Hessian比较定理，在 上，可得

H e s s ( σ ) ≥ ( cos k 2 ρ ) h , (34)

调和映射 φ : M → N 满足 φ ( M ) ⊂ B D ( y 0 ) ，由复合映射求导法则易知，

Δ H ( σ ∘ φ ) ≥ ( cos k 2 ρ ) | d φ | 2 . (35)

因为 D < π 2 k 2 ，所以存在依赖于D和 k 2 的常数b和 C 5 使得

2 cos k 2 ρ b − σ ∘ φ − 2 k 2 ≥ C 5 , (36)

考虑辅助函数

F = | d φ | 2 ( b − σ ∘ φ ) 2 ,

令 χ 是由(23)式定义的截断函数。设 x 0 是函数 χ F 在 Ω 2 R 内的最大值点，则结合引理2，在最大值点 x 0 我们有

0 = d H ln ( χ F ) = d H χ χ + d H | d φ | 2 | d φ | 2 + 2 d H ( σ ∘ φ ) b − σ ∘ φ . (37)

0 ≥ − | d H χ | 2 χ 2 + Δ H χ χ + Δ H | d φ | 2 | d φ | 2 − | d H | d φ | 2 | 2 | d φ | 4 + 2 Δ H ( σ ∘ φ ) b − σ ∘ φ + 2 | d H ( σ ∘ φ ) | 2 ( b − σ ∘ φ ) 2 . (38)

由引理6可知

Δ H | d φ | 2 | d φ | 2 ≥ | d H | d φ | 2 | 2 2 | d φ | 4 − 2 k 1 − 2 k 2 | d φ | 2 , (39)

利用上式，(38)式可化为

0 ≥ − | d H χ | 2 χ 2 + Δ H χ χ − 2 k 1 − 2 k 2 | d φ | 2 − | d H | d φ | 2 | 2 2 | d φ | 4 + 2 Δ H ( σ ∘ φ ) b − σ ∘ φ + 2 | d H ( σ ∘ φ ) | 2 ( b − σ ∘ φ ) 2 . (40)

从(37)式可知

| d H | d φ | 2 | 2 | d φ | 4 ≤ | d H χ | 2 χ 2 + 4 | d H χ | | d H ( σ ∘ φ ) | χ ( b − σ ∘ φ ) + 4 | d H ( σ ∘ φ ) | 2 ( b − σ ∘ φ ) 2 , (41)

将(35)，(41)式代入(40)式，可得

0 ≥ − 3 | d H χ | 2 2 χ + Δ H χ − 2 χ k 1 − 2 χ k 2 | d φ | 2 + 2 χ ( cos k 2 ρ ) | d φ | 2 b − σ ∘ φ − 2 | d H χ | | d H ( σ ∘ φ ) | b − σ ∘ φ , (42)

利用(24)式和 | d H ( σ ∘ φ ) | ≤ | d φ | k 2 ，(42)式可化为

0 ≥ − 3 C 4 2 R 2 − C 4 R − 2 k 1 − 2 C 4 R k 2 1 b − σ ∘ φ χ 1 2 | d φ | + C 5 ( χ 1 2 | d φ | ) 2 . (43)

利用一元二次方程解的估计 [ 3 ]，在 x 0 处我们有，

χ | d φ | 2 ≤ C 6 ( k 1 + 1 R ) ,

于是

max x ∈ Ω R F ( x ) ≤ χ ( x 0 ) | d φ | 2 ( x 0 ) ( b − σ ∘ φ ( x 0 ) ) 2 ≤ C 7 ( k 1 + 1 R ) . (44)

其中 C 7 依赖于 r , k 2 , D 。由上式可立即推出(3)。

范振海,任益斌. 从Finsler流形到Riemann流形的调和映射梯度估计Gradient Estimate for Harmonic Maps from Finsler Manifolds to Riemannian Manifolds[J]. 理论数学, 2020, 10(02): 80-90. https://doi.org/10.12677/PM.2020.102013