李欣

青岛大学，数学与统计学院，山东 青岛

收稿日期：2020年1月21日；录用日期：2020年2月6日；发布日期：2020年2月13日

最大公约数和最小公倍数问题是数论的经典问题之一，本文利用其和函数的可乘性和Dirichlet级数，研究Gcd和函数与Lcm和函数在有限域的多项式环上的均值并且与整数环上的结果对比得到一致结论。

关键词 :可乘函数，Dirichlet级数，黎曼Zeta函数，Dirichlet卷积

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本文研究了多项式环 F q [ T ] 上的最大公因式和函数： g ( f ) = ∑ ‖ h ‖ < ‖ f ‖ ‖ gcd ( h , f ) ‖ 。这个函数的背景是来自整数环Z上的最大公约数和函数： G ( n ) = ∑ i = 1 n gcd ( i , n ) ，因为这个函数是可乘的，能写成在素数方幂值的乘积形式，对应的Dirichlet级数在复平面内解析，除了黎曼Zeta函数零点和 s = 2 的极点外。

对于整数环Z上的最大公约数和函数我们有以下结果：

G ( n ) = ∑ i = 1 n ( i , n ) = ∑ d | n d φ ( n / d ) ( n ∈ N ) ,

G ( n ) 是可乘函数。

G ( n ) 的和函数的渐进公式为

∑ n ≤ x G ( n ) = x 2 2 ζ ( 2 ) ( log x + 2 γ − 1 2 − ζ ′ ( 2 ) ζ ( 2 ) ) + O ( x 1 + θ + ε ) , (1)

对任意 ε > 0 成立，其中 y 是欧拉常数， θ 是Dirichlet除数问题的参数。参见文献综述 [ 1 ]。

函数

G ( − 1 ) ( n ) = ∑ i = 1 n 1 ( i , n ) = ∑ d | n φ ( n / d ) d ( n ∈ N ) ,

也是可乘函数。

G ( − 1 ) ( n ) 的和函数的渐近公式为

∑ n ≤ x G ( − 1 ) ( n ) = ζ ( 3 ) 2 ζ ( 2 ) x 2 + O ( x ( log x ) 2 / 3 ( log log x ) 4 / 3 ) .(2)

参见( [ 2 ],Th. 5.1 )。

随之，我们可以研究多项式环上最大公因式和最小公倍数的和函数的均值问题，因为多项式有次数可以求导的特殊性质，我们可以避开黎曼Zeta函数的零点，得到更好的结果。

定理2.1 g ( f ) 的卷积表达式为

g ( f ) = ( φ * λ 1 ) ( f ) ,

其中 λ 1 ( f ) = ‖ f ‖ 。

证明：由定义知 g ( f ) = ∑ ‖ h ‖ < ‖ f ‖ ‖ ( h , f ) ‖ ，令e是h和f的最大公因式，同样是首项系数为1的多项式，即 ( h , f ) = e 。当且仅当 e | f 和 e | h 时有 ( h e , f e ) = 1 ，因此

g ( f ) = ∑ e | f ∑ ‖ h ‖ < ‖ f ‖ ( h , f ) = e ‖ ( h , f ) ‖ = ∑ e | f ‖ e ‖ ∑ ‖ h ‖ < ‖ f ‖ ( h , f ) = e 1 = ∑ e | f ‖ e ‖ φ ( f e ) = ( φ * λ 1 ) ( f ) .□

定理2.2 g ( f ) 的均值为

∑ f ∈ M n g ( f ) = ( n + 1 ) q 2 n − n q 2 n − 1 . (3)

证明：令 D 1 ( s ) 为 g ( f ) 的Dirichlet 级数，当 Re s > 2 时，由定理2.1可得：

D 1 ( s ) = ∑ f ∈ M g ( f ) ‖ f ‖ s = ( ∑ f ∈ M φ ( f ) ‖ f ‖ s ) ( ∑ f ∈ M λ 1 ( f ) ‖ f ‖ s ) = ζ A 2 ( s − 1 ) ζ A ( s ) ,

又因为 ζ A ( s ) = ∑ f ∈ M 1 ‖ f ‖ s = 1 1 − q 1 − s = 1 1 − q u ( u = q − s ) ，我们有

ζ A ( s − 1 ) = 1 1 − q 2 u = ∑ k = 0 ∞ ( q 2 u ) k = ∑ k = 0 ∞ q 2 k u k ,

ζ A 2 ( s − 1 ) = ( 1 1 − q 2 u ) 2 = ∑ k = 0 ∞ ( q 2 u ) k ∑ t = 0 ∞ ( q 2 u ) t = ∑ k = 0 ∞ ∑ t = 0 ∞ ( q 2 u ) k + t = ∑ n = 0 ∞ ∑ k = 0 n q 2 n u n = ∑ n = 1 ∞ ( n + 1 ) q 2 n u n ,

因此

D 1 ( s ) = ( 1 − q u ) ( 1 1 − q 2 u ) 2 = ( 1 − q u ) ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) q 2 n u n = ∑ n = 0 ∞ [ ( n + 1 ) q 2 n − n q 2 n − 1 ] u n (4)

由定义可知，

D 1 ( s ) = ∑ f ∈ M g ( f ) ‖ f ‖ s = ∑ d = 0 ∞ ∑ f ∈ M d g ( f ) q d s = ∑ d = 0 ∞ ∑ f ∈ M d g ( f ) u n (5)

由(4)和(5)得(3)。 □

定义2.3Gcd的倒数和函数为

g − 1 ( f ) = ∑ ‖ h ‖ < ‖ f ‖ 1 ‖ ( h , f ) ‖ .

令 ( h , f ) = e ，可以得出 g − 1 ( f ) 的卷积公式

g − 1 ( f ) = ∑ e | f 1 ‖ e ‖ φ ( f e ) = ( λ − 1 * φ ) ( f ) ,

其中 λ − 1 ( f ) = 1 ‖ f ‖ 。

定理2.4 g − 1 ( f ) 的均值为

∑ f ∈ M n g − 1 ( f ) = 1 + q 2 n + 1 1 + q . (6)

证明：令 D 2 ( s ) = ∑ f ∈ M g − 1 ( f ) ‖ f ‖ s ，

则

D 2 ( s ) = ∑ f ∈ M φ ( f ) ‖ f ‖ s ∑ f ∈ M λ − 1 ( f ) ‖ f ‖ s = ζ A 2 ( s − 1 ) ζ A ( s ) ,

利用(4)的方法可得：

D 2 ( s ) = ∑ n = 0 n = ∞ 1 + q 2 n + 1 1 + q u n , (7)

由定义知：

D 2 ( s ) = ∑ n = 0 ∞ ∑ f ∈ M n g − 1 ( f ) u n , (8)

由(7)和(8)可得(6)。 □

从有限域的多项式环到整数环有字典对应：

F q [ T ] → Z n → log x q n → x .

则定理2.2公式(3)

∑ f ∈ M n g ( f ) = ( n + 1 ) q 2 n − n q 2 n − 1 → x 2 ζ A ( 2 ) ( log x + ζ A ( 2 ) ) ,

与公式(1)对比

∑ n ≤ x G ( n ) = x 2 2 ζ ( 2 ) ( log x + 2 γ − 1 2 − ζ ′ ( 2 ) ζ ( 2 ) ) + O ( x 1 + θ + ε ) ,

可得有限域多项式环上Gcd和函数的均值的主项与整数环上的相同。

同样地，定理2.4公式(6)有

∑ f ∈ M n g − 1 ( f ) = 1 + q 2 n + 1 1 + q → ζ A ( 3 ) ζ A ( 2 ) x 2 + 2 ( 1 − ζ A ( 3 ) ζ A 2 ( 2 ) ) ,

与公式(2)对比

∑ n ≤ x G ( − 1 ) ( n ) = ζ ( 3 ) 2 ζ ( 2 ) x 2 + O ( x ( log x ) 2 / 3 ( log log x ) 4 / 3 ) ,

可得有限域多项式环上Gcd倒数和函数的均值的主项与整数环上的相同。

多项式环上的最大公因式和函数g可以归纳到对任意实数i的幂次来研究，如下：

我们令

g i ( f ) = ∑ ‖ h ‖ < ‖ f ‖ ‖ ( h , f ) ‖ i ,

同样我们将上式写成Dirichlet卷积形式，

g i ( f ) = ∑ ‖ h ‖ < ‖ f ‖ ‖ ( h , f ) ‖ i = ∑ e | f ∑ ‖ h ‖ < ‖ f ‖ ( h , f ) = e ‖ e ‖ i = ∑ e | f ‖ e ‖ i φ ( f e ) = ( λ i * φ ) (f)

其中 λ i ( f ) = ‖ f ‖ i 。

定理3.1 g i ( f ) 的均值为

∑ f ∈ M n g i ( f ) = q 2 n − q ( i + 1 ) n + ( i − 1 ) 1 − q i − 1 ( i ≠ 1 ) . (9)

证明：

D ( s ) = ∑ f ∈ M g i ( f ) ‖ f ‖ s = ∑ f ∈ M φ ( f ) ‖ f ‖ s ∑ f ∈ M λ i ( f ) ‖ f ‖ s = ζ A ( s − 1 ) ζ A ( s − i ) ζ A ( s ) = ∑ n = 0 ∞ q ( 1 + i ) n + q 2 n − i − q 2 n + ( 1 − i ) − q ( 1 + i ) n − i 1 − q 1 − i u n , (10)

由定义得，

D ( s ) = ∑ n = 0 ∞ ∑ f ∈ M n g i ( f ) u n ,(11)

由(10)和(11)可得(9)。 □

gcd和函数的其他的推广结果可参考 [ 3 ] [ 4 ]。

同时我们研究了最小公倍式lcm和函数 l ( f ) = ∑ ‖ h ‖ < ‖ f ‖ ‖ lcm [ h , f ] ‖ ，这个函数来自整数环 ℤ 上的最小公倍数 L ( n ) = ∑ i = 1 n lcm [ i , n ] 。

对于整数环Z上的最小公倍数和函数我们有以下结果：

L ( n ) = ∑ i = 1 n [ i , n ] = n 2 ( 1 + ∑ d | n d φ ( d ) ) ( n ∈ N ) ,

L ( n ) 是不可乘函数。

L ( n ) 的和函数的渐进公式为

∑ n ≤ x L ( n ) = ζ ( 3 ) 8 ζ ( 2 ) x 4 + O ( x 3 ( log x ) 2 / 3 ( log log x ) 4 / 3 ) , (12)

参见( [ 2 ]，Th.6.3)。

定义lcm倒数和函数

L ( − 1 ) ( n ) = ∑ i = 1 n 1 [ i , n ] ( n ∈ N ) ,

也是不可乘函数。

L ( − 1 ) ( n ) 的和函数的渐近公式为

∑ n ≤ x L ( − 1 ) ( n ) = 1 π ( log x ) 2 + A ( log x ) 2 + O ( log x ) , (13)

其中A是一个明确的常数。参见( [ 2 ], Th. 7.1)。

定理5.1 l ( f ) 的和函数的公式为

∑ f ∈ M n l ( f ) = ( n + 1 ) q 2 n + n q 2 n + 1 1 − q 2 − q 4 n + 1 + q 2 n ( q + 1 ) ( 1 − q 2 ) . (14)

证明：由定义可知，

,

令 h e = j ，则上式为

= ‖ f ‖ ∑ e | f ∑ ‖ j ‖ < ‖ f / e ‖ ( j , f / e ) = 1 ‖ j ‖ .

令 y ( f ) = ∑ ‖ j ‖ < ‖ f ‖ ( j , f ) = 1 ‖ j ‖ ， λ f = ‖ f ‖ ，则

L ( f ) = ( y * λ f ) ( f ) .

接下来我们计算 y (f)

,

令 j = d l ，则上式

= ∑ ‖ d l ‖ < ‖ f ‖ ∑ d | f ‖ d ‖ μ ( d ) ‖ l ‖ = ∑ d | f ‖ d ‖ μ ( d ) ∑ ‖ d l ‖ < ‖ f ‖ ‖ l ‖ ,

对l分类，则有

= ∑ d | f ‖ d ‖ μ ( d ) ∑ t = 0 deg f / d − 1 ∑ l ∈ M t q t = ∑ d | f ‖ d ‖ μ ( d ) ∑ t = 0 deg f / d − 1 q 2 t = ∑ d | f ‖ d ‖ μ ( d ) ( 1 − q 2 ( deg f − deg d ) 1 − q 2 ) ,

所以

l ( f ) = ‖ f ‖ 1 − q 2 ∑ d e | f ‖ d ‖ μ ( d ) ( 1 − q 2 ( deg f − deg d e ) ) = ‖ f ‖ 1 − q 2 ( ∑ d e | f ‖ d ‖ μ ( d ) − ∑ d e | f ‖ d ‖ μ ( d ) q 2 ( deg f − deg d e ) )

令 I 1 = ∑ d e | f ‖ d ‖ μ ( d ) ， I 2 = ∑ d e | f ‖ d ‖ μ ( d ) q 2 ( deg f − deg d e ) 则

I 1 = ∑ f = b d e ‖ d ‖ μ ( d ) = ∑ d | f ‖ d ‖ μ ( d ) ∑ e | f / d 1 = ∑ d | f ‖ d ‖ μ ( d ) d ( f / d ) ,

I 2 = ∑ d e | f ‖ d ‖ μ ( d ) ‖ f ‖ 2 ‖ e d ‖ 2 = ‖ f ‖ 2 ∑ d e | f μ ( d ) ‖ d ‖ ‖ e ‖ 2 = ‖ f ‖ ∑ e | f 1 ‖ e ‖ ∑ d | f / e μ ( d ) ‖ d ‖ ‖ f / e ‖ = ‖ f ‖ ∑ e | f 1 ‖ e ‖ φ ( f / e )

令 μ ′ ( f ) = μ ( f ) ‖ f ‖ ， λ − 1 ( f ) = 1 ‖ f ‖ 则

l ( f ) = ‖ f ‖ 1 − q 2 ( ( μ ′ * d ) ( f ) − ‖ f ‖ ( λ − 1 * φ ) ( f ) ) .

因此 l ( f ) 函数的Dirichlet级数为

D l ( s ) = ∑ f ∈ M l ( f ) ‖ f ‖ s = 1 1 − q 2 ( ∑ f ∈ M ( μ ′ * d ) ( f ) ‖ f ‖ s − 1 − ∑ f ∈ M ( λ − 1 * φ ) ( f ) ‖ f ‖ s − 2 ) .

又因为

∑ f ∈ M ( μ ′ * d ) ( f ) ‖ f ‖ s − 1 = ∑ f 1 ∈ M μ ′ ( f ) ‖ f 1 ‖ s − 1 ∑ f 2 ∈ M d ( f ) ‖ f 2 ‖ s − 1 = ζ A 2 ( s − 1 ) ζ A ( s − 2 ) = ∑ n = 0 ∞ [ ( n + 1 ) q 2 n + n q 2 n + 1 ] u n ,

∑ f ∈ M ( λ − 1 * φ ) ( f ) ‖ f ‖ s − 2 = ∑ f 1 ∈ M λ − 1 ( f 1 ) ‖ f ‖ s − 2 ∑ f 2 ∈ M φ ( f 2 ) ‖ f ‖ s − 2 = ζ A ( s − 1 ) ζ A ( s − 3 ) ζ A ( s − 2 ) = ∑ n = 0 ∞ q 4 n + 1 + q 2 n ( q + 1 ) u n .

参见( [ 5 ], Chap1,2)。

所以

D l ( s ) = ∑ n = 0 ∞ [ ( n + 1 ) q 2 n + n q 2 n + 1 1 − q 2 − q 4 n + 1 + q 2 n ( q + 1 ) ( 1 − q 2 ) ] u n ,

又因为

D l ( s ) = ∑ n = 0 ∞ u n ∑ f ∈ M n l ( f ) ,

可得

∑ f ∈ M n l ( f ) = ( n + 1 ) q 2 n + n q 2 n + 1 1 − q 2 − q 4 n + 1 + q 2 n ( q + 1 ) ( 1 − q 2 ) . □

令 l − 1 ( f ) = ∑ ‖ h ‖ < ‖ f ‖ 1 ‖ [ h , f ] ‖ ，是不可乘函数。

定理5.2 l − 1 ( f ) 的和函数的公式为

∑ f ∈ M n l − 1 ( f ) = q − 1 2 q n 2 + q + 1 2 q n .(15)

证明：由定义可知，

l − 1 ( f ) = ∑ ‖ h ‖ < ‖ f ‖ ‖ ( h , f ) ‖ ‖ h f ‖ = 1 ‖ f ‖ ∑ ‖ h ‖ < ‖ f ‖ ‖ ( h , f ) ‖ ‖ h ‖ ,

令 (h,f)=e ，则上式为

= 1 ‖ f ‖ ∑ e | f ∑ ‖ h ‖ < ‖ f ‖ ( h , f ) = e ‖ e ‖ ‖ h ‖ = 1 ‖ f ‖ ∑ e | f ∑ ‖ h / e ‖ < ‖ f / e ‖ ( h / e , f / e ) = 1 1 ‖ h / e ‖ ,

令 j = h / e ，则有

= 1 ‖ f ‖ ∑ e | f ∑ ‖ j ‖ < ‖ f / e ‖ ( j , f / e ) = 1 1 ‖ j ‖ = 1 ‖ f ‖ ∑ e d = f ∑ ‖ j ‖ < ‖ d ‖ ( j , d ) = 1 1 ‖ j ‖ .

令 H ( e ) = ∑ ‖ j ‖ < ‖ e ‖ ( j , e ) = 1 1 ‖ j ‖ ， ，则有

l − 1 ( f ) = 1 ‖ f ‖ ∑ e | f H ( e ) = 1 ‖ f ‖ ( H ∗ I ) ( f ) .

接下来我们计算 H ( f ) ，令 m d = h ，则

H ( f ) = ∑ ‖ h ‖ < ‖ f ‖ ( h , f ) = 1 1 ‖ h ‖ = ∑ ‖ h ‖ < ‖ f ‖ 1 ‖ h ‖ ∑ d | ( h , f ) μ ( d ) = ∑ ‖ h ‖ < ‖ f ‖ 1 ‖ h ‖ ∑ d | h d | f μ ( d ) = ∑ d | f μ ( d ) ‖ d ‖ ∑ ‖ m ‖ < ‖ f / d ‖ 1 ‖ m ‖ ,

又因为

∑ ‖ m ‖ < ‖ f / d ‖ 1 ‖ m ‖ = ∑ t = 0 deg f / d − 1 ∑ m ∈ M t q − t = ∑ t = 0 deg f / d − 1 = deg f − deg d ,

所以

H ( f ) = ∑ d | f μ ( d ) ‖ d ‖ deg f / d = ∑ d | f μ ( d ) ‖ d ‖ log q ‖ f ‖ ‖ d ‖ = ( μ ″ * ν ) ( f ) ,

其中 μ ″ ( f ) = μ ( f ) ‖ f ‖ ， ν ( f ) = log q ‖ f ‖ 。

因此 l − 1 ( f ) 的Dirichlet级数为

D l − 1 ( s ) = ∑ f ∈ M l − 1 ( s ) ‖ f ‖ s = ∑ f ∈ M ( μ ″ * ν * I ) ( f ) ‖ f ‖ s + 1 = ∑ f 1 ∈ M μ ″ ( f 1 ) ‖ f 1 ‖ s + 1 ∑ f 2 ∈ M ν ( f 2 ) ‖ f 2 ‖ s + 1 ∑ f 3 ∈ M I ( f 3 ) ‖ f 3 ‖ s + 1 ,

接下来分别计算三个级数

∑ f 1 ∈ M μ ″ ( f 1 ) ‖ f 1 ‖ s + 1 = ∑ f 1 ∈ M μ ( f 1 ) ‖ f 1 ‖ s + 2 = 1 ζ A ( s + 2 ) = 1 − q − 1 u ,

∑ f 2 ∈ M ν ( f 2 ) ‖ f 2 ‖ s + 1 = ∑ t = 0 ∞ ∑ f 2 ∈ M t t q t ( s + 1 ) = ∑ t = 0 ∞ t q t s = q s ( q s − 1 ) 2 = u ( 1 − u ) 2 ,

∑ f 3 ∈ M I ( f 3 ) ‖ f 3 ‖ s + 1 = ζ A ( s + 1 ) = 1 1 − u ,

因此可得

D l − 1 ( s ) = ( 1 − q − 1 u ) u ( 1 − u ) 3 = ∑ n = 0 ∞ [ n ( n + 1 ) 2 − ( n − 1 ) n 2 q ] u n ,

又因为

D l − 1 ( s ) = ∑ f ∈ M l − 1 ( f ) ‖ f ‖ s = ∑ n = 0 ∞ ∑ f ∈ M n l − 1 ( f ) u n ,

对比系数可得

∑ f ∈ M n l − 1 ( f ) = q − 1 2 q n 2 + q + 1 2 q n . □

利用字典对应，

F q [ T ] → Z n → log x q n → x ,

则定理5.1公式(14)有

∑ f ∈ M n l ( f ) = q ( q + 1 ) ( q 2 − 1 ) q 4 n − n q 2 + 2 n q + n + q ( q + 1 ) ( q 2 − 1 ) q 2 n ,

与公式(12)对比

∑ n ≤ x L ( n ) = ζ ( 3 ) 8 ζ ( 2 ) x 4 + O ( x 3 ( log x ) 2 / 3 ( log log x ) 4 / 3 ) ,

所以有限域多项式环上lcm和函数的均值的主项与整数环上相同。

同样地，定理5.2公式(15)有

∑ f ∈ M n l − 1 ( f ) = q − 1 2 q n 2 + q + 1 2 q n → 3 π 2 ( log x ) 2 + ζ A ( 2 ) 2 ζ A ( 3 ) log x ,

与公式(13)对比

∑ n ≤ x L ( − 1 ) ( n ) = 1 π ( log x ) 2 + A ( log x ) 2 + O ( log x ) ,

所以有限域多项式环上lcm和函数的均值的主项与整数环上的相同。

感谢山东省自然科学基金(项目编号：ZR2019BA028)资助。

山东省自然科学基金(项目编号ZR2019BA028)。

李 欣. 有限域多项式环上的GCD和函数与LCM和函数的均值The Means of Gcd-Sum Function and Lcm-Sum Function in the Ring on the Finite Filed[J]. 理论数学, 2020, 10(02): 55-64. https://doi.org/10.12677/PM.2020.102010