在水电站的中长期调度中，水力发电通常采用如下公式进行计算：

E = N ⋅ t = k ⋅ q ⋅ h ⋅ t (1)

式中：E代表电站所发电能，N为电站出力，t为时间长度，k为水电站的综合出力系数，q代表发电流量，h代表净水头。

假设不考虑弃水，出库流量等于发电流量。现对上述公式在(q₀，h₀)处进行泰勒展开，简化为如下线性关系 [ 8 ] ：

E = k ( q 0 ⋅ h 0 + h 0 ( q − q 0 ) + q 0 ( h − h 0 ) + H O T ) ⋅ t (2)

式中：HOT为高阶项，可忽略不计。

E = k ( h 0 q + q 0 h − q 0 h 0 ) ⋅ t (3)

在年尺度上，尽管在年内水头会有一定幅度的变化，但多年平均水头h变化不大，可计为常数，现令 a = k ⋅ h 0 ， b = k ⋅ q 0 ⋅ h − q 0 ⋅ h 0 则：

E = ( a ⋅ q + b ) ⋅ t (4)

式中：a，b均为与各水电站特性相关的参数，参数a为水电站电能转化效率，参数b为公式线性化时的截距。

基于水电站群的聚合原理，可将流域所有水电站聚合为一个虚拟的水电站 [ 9 ]。对各电站出力进行累加，并与流域出口流量建立关系，即可推求出适用于整个流域的水–能转化关系：

E 总 = N 总 ⋅ t = ( A ⋅ Q + B ) ⋅ t (5)

式中： N 总 为流域各水电站出力之和，A为流域总的水能转化效率，B为公式线性化时对应的截距，Q为流域水资源总量。

以上式为基础，统计各电站发电总量，可反推求流域的出库流量，并以此作流域水资源量。

以调度周期内梯级电站的发电量最大为目标，建立梯级水电站群联合发电优化调度模型，目标函数为：

E = max ∑ k = 1 M E i (6)

式中：k为水电站编号，M为水电站个数。

在进行调度时，不论是常规调度还是优化调度，均要考虑以下约束条件：

1) 水量平衡约束：

V i + 1 , j = V i , j + ( I i , j − Q i , j ) ⋅ t (7)

式中：i为时段数，j为水电站数，V_i,j即为第j个水电站在第i个时段的库容，I_i,j和Q_i,j分别为水电站的入库流量和出库流量。

2) 水电站库容约束：

V L i , j ≤ V i , j ≤ V U i , j (8)

式中：VL_i,j和VU_i,j分别为水电站库容的上下限。

3) 水电站出库流量约束：

Q L i , j ≤ Q i , j ≤ Q U i , j (9)

式中：QL_i,j和QU_i,j分别为水电站出库流量的上下限。

4) 水电站出力约束：

P L i , j ≤ P i , j ≤ P U i , j (10)

式中：PL_i,j和PU_i,j分别为水电站出力的上下限。

5) 非负约束及其他约束。

在优化调度中，由于上下游梯级水电站间往往具有复杂的水力、电力联系 [ 10 ]。因此，梯级水电站的联合调度是一个多约束、高维、动态的非线性问题 [ 11 ]，考虑到水电站群优化变量较多，为避免维数灾问题 [ 12 ]，选取DPSA (动态规划逐次逼近法)作为优化算法，计算梯级水电站群的优化调度结果。

1) 以水定电

现以三峡水电站为例，根据常规调度结果及优化调度结果，统计年均发电出力和年均流量，以1957~1986年作为率定期，建立水–能转化关系。为检验上述水–能关系，选取1987~2012年作为检验期，以三峡水电站年出库流量为输入计算年发电量，结果如表2所示。经观察，不论采取常规调度还是优化调度，对应的水–能关系线性相关性均较强，与式(4)的分析结果相符。

表2. 三峡水电站发电量及水资源量拟合结果

表3列出了上游21座水电站在不同的调度方式下的特性参数a、b，结果表明：除金安桥等个别电站外，大部分水电站均能建立相关性较强的线性水–能关系。

表3. 单个水电站水–能关系拟合结果

2) 以电定水

为估计单库水资源量，以三峡水电站为例，建立能–水关系。为检验上述能–水关系，以三峡水电站出力为计算依据，推求三峡水库的水资源量。计算结果如表2所示。结果表明，单库的能–水关系拟合误差可控制在1%左右，拟和效果较好。因此，可根据单个水电站发电量推求单库水资源量。

1) 直接拟合

1、以水定电

现以1957~1986年作为率定期，将水电站出力进行累加，并以三峡水电站出库流量作为流域出口流量，建立水–能关系，如图2所示。为检验上述水–能关系，选取1987~2012年作为检验期，以三峡水电站出库流量为计算依据，代入上述水–能关系计算公式中，推求整个流域拟合的年发电量，计算结果如表4所示。

图2. 水电站群的水–能关系率定结果

表4. 水电站群发电量及水资源量拟合结果

上述结果表明，整个流域的发电量与流域的出库流量同样能建立较强的线性水–能关系。在率定期及检验期拟合发电量与调度发电量存在一定的误差，但误差可控制在4%左右，说明该水–能关系公式拟合效果较好，可用于流域电量估算。

2、以电定水

为估计流域水资源量，建立能–水关系，如图2所示。为检验该关系，以21座水电站总出力为计算依据，代入拟合能–水关系计算公式中，推求整个流域的水资源量，计算结果如表4所示。

上述结果表明，整个流域出口流量与流域水电站发电量同样能建立较强的线性能–水转化关系。在率定期及检验期拟合水资源量量与调度模拟水资源量存在一定的误差，但误差可控制在5%以内，说明该能–水转化公式拟合效果较好，可根据水电站群发电量推求流域水资源量。

2) 权重拟合

由于电站规模越大，水能转化效率越高，为加强水–能关系的拟合效果，以各水电站的装机容量大小代表各电站的权重，将各水电站出力加权求和并与流域出口水电站流量建立联系，拟合结果如图3所示。结果表明，相对于直接累加，考虑加权后的水–能转化关系拟合效果更好。