本文介绍了单种群生物模型和双种群生物模型的构建。借用数学理论和方法，阐述了单种群在无限时间内生物量的增长趋势，包括在无限时间生物量无限增长趋势的马尔萨斯模型和生物量有限增长趋势的Logistic模型；讨论了两种存在相互竞争和共生关系的生物种群系统，根据变化规律推出相应的生物模型。 In this paper, the constructions of single-population biological model and dual-population biological model are introduced. With the help of mathematical theory and method, the growth trend of bio-mass of a single population in infinite time is described, including the Malthus model of infinite growth trend of biomass and the Logistic model of finite growth trend of biomass. Biological du-al-population systems with mutual competition and symbiosis are discussed and the corresponding biological models are derived according to the change law.
李晨阳，孙健，张海亮*
浙江海洋大学数学系，浙江 舟山
收稿日期：2019年11月29日；录用日期：2019年12月11日；发布日期：2019年12月18日
本文介绍了单种群生物模型和双种群生物模型的构建。借用数学理论和方法，阐述了单种群在无限时间内生物量的增长趋势，包括在无限时间生物量无限增长趋势的马尔萨斯模型和生物量有限增长趋势的Logistic模型；讨论了两种存在相互竞争和共生关系的生物种群系统，根据变化规律推出相应的生物模型。
关键词 :单种群，两种群，竞争，共生
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种群生态问题是生物学研究的焦点内容，利用数学理论和思想构建模型成为生物学研究的重要手段，见文献 [
借用数学理论和方法，首先阐述了单种群在无限时间内生物量的增长趋势，包括在无限时间生物量无限增长趋势的马尔萨斯模型和生物量有限增长趋势的Logistic模型；随后讨论了两种存在相互竞争和共生关系的生物种群系统，根据变化规律推出相应的生物模型。通过对本文的研读，可促进生物数学初学者对模型内涵的理解，提升对模型的扩展能力。
设该种群生物其繁衍发展不受其他种群的影响，与其它种群生物相互没有迁徙形态。考察物种群体数量在一定环境下的变化，设t时刻该群体生物的总数用 N ( t ) 表示。
设物种的生育率b和死亡率d不变，种群的自然增长率 r = b − d 为常数。显然，在时间段 [ t , t + Δ t ] ，群体变化量为
由此得该物种变化方程
设
公式(1)称为马尔萨斯模型，种群函数表达式为(2)。
根据表达式(2)可以得出：随着时间t的增大，种群数量将会趋于无穷大，这是不符合实际的，特别是种群生存资源的有限性没有考虑。说明马尔萨斯模型考虑因素不够全面，不利于长时间预测。
对马尔萨斯模型引入非常数自然增长率
上式称为Logistic模型。由于(3)式一次项系数为负数，从而种群数量很大时，会对自身数量产生抑制作用。
下面求解模型的种群表达式。将(3)式改写为
变量分离，得
两边积分，得
令
所以(3)式的满足初始条件
可知
图1. S型增长曲线
设两种群在同一环境下依赖同一有限资源生存，种群获得的资源与其增长率呈现正相关，如生长在同一块草原上的羊和兔子。设时刻t时两物种群体数分别为
设定初始时刻两种群数量均较小。由于开始时资源丰富，第二种群对第一种影响不大，可以认为第一种群以自然增长率增长。但随着两种群繁衍增多，资源减少，第一种群增长减缓，当资源消耗到一定程度，第一种群不再增长，增长率变为0。若第二种群个体消耗资源是第一种群个体消耗的
类似地，若第一种群个体消耗资源是第二种群个体消耗的
从而，两种群总数
引入
将(5)式代入(4)式得
赋予种群初值后，方程组(6)即为两物种竞争系统的数学模型。
两个种群共生的现象也是很常见的。如植物与昆虫，昆虫以植物花粉为食，昆虫授粉能加快植物的生长速度，昆虫在没有植物的情况下是无法单独生存的。共生现象可以描述如下：设甲种群能够独立存在并按照Logistic模型的规律发展，乙种群能够为甲种群提供食物，促进甲的增长。
类似于方程(4)，可以写出种群数量演化规律：
其中
设种群乙的死亡率为
当种群甲可为种群乙提供食物时，上式右端应加上种群甲对种群乙的增长促进作用，这时有
由于同时种群乙的增长还受到自身繁衍增长的阻滞作用，所以(9)式右端还应添加Logistic抑制项，这样，方程最终定格为
表达式(7)和(10)共同构成共生生物系统的数学模型。
种群生态问题是生物学研究的焦点内容，利用数学理论和思想构建模型成为生物学研究的重要手段。本文较详细地介绍了单种群和双种群基本模型的构建过程，可促进初学生物数学者对模型内涵的理解，提升对模型的扩展能力。
浙江海洋大学2018年度大学生创新训练计划项目(xj2018097)。
李晨阳,孙 健,张海亮. 若干生物种群模型简介Introduction of Several Biological Population Models[J]. 计算生物学, 2019, 09(04): 80-85. https://doi.org/10.12677/HJCB.2019.94010