1) 忽略排桩与土的竖向摩擦效应及空间效应，假设人字形支护结构为平面杆件体系；

2) 假设排桩桩底及斜向加筋水泥土地下连续墙墙底为铰支或固支；斜向加筋水泥土地下连续墙加筋体与桩顶的连接为铰接或刚接；

3) 将坑底以下排桩及斜向加筋水泥土地下连续墙的嵌固段视为弹性地基梁(如图2所示)。

图2. 人字形支护结构平面杆系有限元力学模型

1) 墙后土体作用在墙上的土压力

根据朗金土压力理论可得作用在坑底以上假想墙背BC上(如图1所示)的土压力强度及总的土压力分别为：

σ a = γ z K a − 2 c K a (1)

E a , = 1 2 ( γ H 1 K a − 2 c K a ) H 1 (2)

式中： K a = tan 2 ( 45 − φ / 2 ) 为主动压力系数；z为计算点深度(m)； c , φ 分别为坑底以上墙后土的黏聚力(kPa)和内摩擦角(˚)， γ 为墙后土的重度(kN/m³)； H 1 为基坑开挖深度(m)。

为求得坑底以上作用在斜向加筋水泥土地下连续墙的土压力，偏于安全地假设斜向加筋水泥土地下连续墙与土的接触面光滑，则土压力计算简图如图1所示。取墙后土体ABC为研究对象，由平衡条件可得坑底以上作用在斜向加筋水泥土地下连续墙上总的土压力为：

E a = 1 2 sin α ( γ H 1 K a − 2 c K a ) H 1 (3)

式中： α 为斜向加筋水泥土地下连续墙与水平面的夹角(˚)。

随着基坑开挖深度的增加，人字形支护结构前后不平衡土压力增加，人字形支护结构及桩墙之间的土体将类似于俯斜式挡土墙向基坑开挖侧移动。结合相关土压力分布规律研究，作用在人字形支护结构的整体土压力可按以下分布形式确定，坑底以上的土压力 σ a 1 + σ b 1 呈三角形分布，最大值在坑底，坑底至墙底土压力 σ b 2 呈矩形分布。由(3)可推得坑底以上及以下作用在斜向加筋水泥土地下连续墙的法向土压力强度分别为：

σ a 1 + σ b 1 = γ z K a − 2 c K a (4)

σ b 2 = γ H 1 K a − 2 c K a (5)

式中： σ a 1 为墙后土压力通过桩墙土体传递于坑底以上排桩上的土压力(kPa)； σ b 1 为作用于坑底以上斜向加筋水泥土地下连续墙上的法向土压力(kPa)； σ b 2 为作用于坑底以下斜向加筋水泥土地下连续墙上的法向土压力(kPa)，如图2所示。

基坑开挖后，在斜向加筋水泥土地下连续墙上的土压力作用下，由于坑底以下桩墙之间距离较大，水泥土墙后土压力通过桩墙之间土体的传递作用弱，因此，坑底以下不考虑水泥土墙后土压力传递给排桩。由于坑底以上桩墙之间的距离较近，桩墙间的土体会将水泥土墙后土压力传递给排桩，对排桩而言是倾覆力矩，对斜向加筋水泥土地下连续墙而言是抗侧移土压力。假设排桩上的土压力 σ a 1 及斜向加筋水泥土地下连续墙上的土压力 σ b 1 按下式对整体主动土压力( γ z K a − 2 c K a )进行分配 [ 8 ]

σ a 1 = K 1 ( γ z K a − 2 c K a ) σ b 1 = K 2 ( γ z K a − 2 c K a ) K 1 + K 2 = 1 } (6)

式中：K₁、K₂分别为坑底以上考虑土压力传递效应的排桩桩背及斜向加筋水泥土地下连续墙墙背土压力分配系数。

分配系数K₁按如下方法确定 [ 8 ]。见图3，桩墙间土体以排桩E点为滑动起点，坑底面以上桩墙间土体在重力作用下对滑动点E产生的抗滑力矩为M_E；由于受后排桩阻挡，墙后滑动面内土体以C点为滑动起点，墙后滑动面内土体在重力作用下对滑动点C产生的抗滑力矩为M_C。M_E与M_C一起组成土体的总抗滑动力矩M。分配系数K₁定义为抗滑力矩M_E与总抗滑力矩M之比值，整理得分配系数K₁为：

K 1 = M E M = b 2 H 1 2 tan 2 ϕ D ϕ D = 2 { 45 ∘ − arc [ tan ( 45 ∘ − ϕ 2 ) ] − 2 c γ H 1 } } (7)

式中： ϕ D 为水泥土墙后土体等效内摩擦角(˚)，对于黏性土，按式(7)中第2式计算。

图3. 分配系数计算简图

2) 桩墙之间土体作用在排桩上的土压力

基于排桩和斜向加筋水泥土地下连续墙对桩墙之间土体的约束，近似将桩墙之间的土体视为侧限条件下无限长弹性土体，则作用在排桩上的土压力为 [ 9 ] σ = μ γ 1 z / ( 1 − μ ) 。式中： μ 、 γ 1 分别为桩墙之间土的泊松比及重度(kN/m³)；z为计算点深度(m)。同时，假设桩墙之间的土体作用于基坑开挖面以上排桩上的土压力为三角形分布，即坑底处的土压力强度为 p 1 = μ γ 1 H 1 / ( 1 − μ ) ；桩墙之间的土体作用在坑底以下排桩上的土压力为矩形分布，其土压力强度为 p 1 = μ γ 1 H 1 / ( 1 − μ ) (如图2所示)。

斜向加筋水泥土地下连续墙侧摩阻力采用桩土界面传递函数法来考虑，将斜向水泥土墙划分成若干单元，每一单元与土体之间用非线性弹簧联系，以模拟斜向水泥土墙与土之间的摩擦特性。这些非线性弹簧的应力-应变关系就是墙侧摩阻力 τ 与剪切位移s间的关系。本模型的传递函数采用Kezdi形式，其表达式为 [ 10 ]

τ ( z ) = K γ z tan φ [ 1 − exp ( − k s s u − s ) ] (8)

式中： K = 1 − sin φ ′ 为土的侧压力系数； 分别为土的有效内摩擦角(˚)及土的重度(kN/m³)；k为与土的类别及密实度有关的系数。s_u为墙侧摩擦阻力充分发挥时的临界位移，根据墙侧土的情况，可取3~6 mm。

根据前述的分析可得作用在坑底以上及以下斜向加筋水泥土地下连续墙上的法向土压力分别为 σ b 1 和 σ b 2 ；作用在坑底以上及以下排桩上的土压力分别为 σ a 1 + σ 及 。基于前述的假定可得人字形支护结构平面杆系有限元力学模型如图2所示。

1) 排桩及水泥土墙的刚度矩阵

建立刚度矩阵时，不考虑排桩桩侧摩擦作用，只考虑斜向水泥土墙的侧摩擦阻力。将排桩及斜向水泥土墙划分为m个单元，基于结构力学中的矩阵位移法，可获得排桩及斜向水泥土墙的单元刚度矩阵分别为：

k p e = [ 12 E I / l 3 6 E I / l 2 − 12 E I / l 3 6 E I / l 2 6 E I / l 2 4 E I / l − 6 E I / l 2 2 E I / l − 12 E I / l 3 − 6 E I / l 2 12 E I / l 3 − 6 E I / l 2 6 E I / l 2 2 E I / l − 6 E I / l 2 4 E I / l ] (9)

k w e = [ E A / l 0 0 − E A / l 0 0 0 12 E I / l 3 6 E I / l 2 0 − 12 E I / l 3 6 E I / l 2 0 6 E I / l 2 4 E I / l 0 − 6 E I / l 2 2 E I / l − E A / l 0 0 E A / l 0 0 0 − 12 E I / l 3 − 6 E I / l 2 0 12 E I / l 3 − 6 E I / l 2 0 6 E I / l 2 2 E I / l 0 − 6 E I / l 2 4 E I / l ] (10)

式中：E为桩身或墙身材料弹性模量(MPa)；I为桩或墙的截面惯性矩(m⁴)；l为单元长度(m)，A为水泥土墙单位长度的面积(m²/m)。

由结构力学可知，单元节点力与节点位移之间的关系为：

{ f } i = [ k b e ] i { w } i (11)

式中：对于排桩： { f } i = { V j − 1 M j − 1 V j M j } i T 为第i单元的节点力列阵；

{ w } i = { w j − 1 θ j − 1 w j θ j } i T 为第i单元节点位移列阵；

对于水泥土墙： { f } i = { U j − 1 V j − 1 M j − 1 U j V j M j } i T 为第i单元的节点力列阵；

{ w } i = { u j − 1 w j − 1 θ j − 1 u j w j θ j } i T 为第i单元节点位移列阵。 [ k b e ] 对应排桩或水泥土墙的单元刚度矩阵。

对坑底以下排桩及斜向加筋水泥土地下连续墙的嵌固段视为弹性地基梁，将排桩或水泥土墙与地基的接触面也相应划分为m个子域，各子域的地基反力可视为均匀分布，则每个单元上的地基反力的合力为：

R j = K j w j (12)

式中： K j = l b 为排桩或水泥土墙与地基接触面积上的集中变基床系数；b为排桩或墙的计算宽度。

利用单元节点的位移连续性条件及节点力平衡条件，由式(11)可得排桩或水泥土墙的整体刚度方程为：

{ F } = [ K B ] { w } (13)

式中：对于排桩： { F } = { F 1 F M 1 ⋯ F m F M m } T ， { w } i = { w 1 θ 1 ⋯ w m θ m } T ；

对于水泥土墙： { F } = { F N 1 F 1 F M 1 ⋯ F N m F m F M m } T ， { w } = { u 1 w 1 θ 1 ⋯ u m w m θ m } T ；

[ K B ] 对应排桩或水泥土墙的整体刚度矩阵。

2) 地基刚度方程

在土压力作用下排桩或墙节点有位移和转角，根据接触条件，地基中相应的节点也应考虑沉降和转角。但弹簧与排桩或墙接触处只能承担反力 R j = K j s j ，而不能抵抗转动，因此，基底反力偶 R m j = 0 。由此可得地基的整体刚度方程为：

{ R } = [ K S ] { s } (14)

式中： [ K s ] 对应于排桩或水泥墙的地基刚度矩阵。

对于排桩的地基：其节点力和节点位移列阵分别为：

{ R } = { R 1 , R M 1 , ⋯ , R m , R M m } T ,     { s } = { s 1 , θ 1 , ⋯ , s m , θ m } T ；

对水泥土墙的地基：其节点力和节点位移列阵分别为：

{ R } = { N 1 , R 1 , R M 1 , ⋯ , N m , R m , R M m } T ,     { s } = { u 1 , s 1 , θ 1 , ⋯ , u m , s m , θ m } T

3) 排桩或斜向加筋水泥土地下连续墙与地基相互作用的整体刚度方程

对于坑底以下视为弹性地基梁的排桩及斜向加筋水泥土地下连续墙的嵌固段，根据各节点的位移连续性条件及静力平衡条件，由式(13) (14)可得排桩或斜向加筋水泥土地下连续墙和地基相互作用的整体刚度方程为：

{ P } = [ A ] { w } (15)

式中： [ A ] 为排桩或斜向加筋水泥土地下连续墙的嵌固段和地基相互作用的整体刚度矩阵； { P } 为嵌固段的节点力列阵； 为嵌固段的节点位移列阵。

4) 人字形支护结构整体刚度方程

利用坑底以上与坑底以下的排桩和斜向加筋水泥土地下连续墙连接节点、排桩桩顶和斜向加筋水泥土地下连续墙墙顶连接节点的位移连续性条件及静力平衡条件，由式(13) (15)可得排桩与斜向加筋水泥土地下连续墙组成的人字形支护结构整体刚度方程为：

{ F } = [ K ] { δ } (16)

式中： { K } 为人字形支护结构整体刚度矩阵。由式(16)可看出，如果已知人字形支护结构的节点力，就可求出相应的节点位移。

问题的边界条件为：

桩 底 为 铰 支 时 : M n = 0 , w n = 0 桩 底 为 固 支 时 : w n = 0 , φ n = 0 墙 底 为 铰 支 时 : M n = 0 , u n = w n = 0 桩 底 为 固 支 时 : u n = w n = 0 , φ n = 0 } 。 (17)

为验证人字形支护结构计算方法的合理性，以作者所设计的株洲市未来国际中心基坑工程为算例。本工程场地较为平整，根据现场场地周边道路路面标高，基坑开挖深度约7.5~8.0 m不等。本次基坑支护总长度约400 m。该工程地下室边线距用地红线4.5~5.0 m。现以开挖深度8.0 m的人字形支护结构支护段为例进行计算分析。根据场地岩土工程勘察报告揭露，组成基坑侧壁岩土主要为：① 4.8 m厚素填土；② 3.2 m厚软塑粉质黏土；③ 7.5 m厚碎石土；④ 4.7强风化泥质粉砂岩；⑤ 中风化泥质粉砂岩，未揭穿。相关岩土参数如表1所示。

表1. 土的物理参数

根据本工程场地周边情况及地质条件，不宜采用双排桩或桩锚劫掠。经专家论证，最终决定采用止水与支护合为一体的人字形支护结构，采用高压旋喷桩形成与地面成50˚角，内插型钢的水泥土墙。结构形式如图4所示。前排直径为1.0 m，间距2.0 m。水泥土墙厚1.0 m，排桩及水泥土墙在坑底以下的嵌固深度均为8.0 m。排桩桩顶冠梁截面尺寸为1100 × 800 mm。在水泥土墙的型钢顶端焊接若干根钢筋锚入桩顶。所有构件混凝土强度等级均为C30。

实际计算中，桩底边界条件视为铰支。水泥土墙与排桩的连接视为铰接。排桩及水泥土墙在坑底以下的嵌固段按弹性地基梁计算，将嵌固段分成16段，每段长0.5 m。坑底以上受荷段采用刚架单元，单元长0.5 m。计算简图如图4所示。地基系数按《建筑基坑支护技术规程》(JGJ120-2012)中的公式计算：

m = 0.2 φ 2 − φ + c v b (18)

式中： c , φ 分别为土的黏聚力(kPa)和土的内摩擦角(˚)； v b 支护结构在坑底处的水平位移(mm)，可取 v b = 10   mm 。地基水平向基床系数 K = m z 。图4、图5分别为人字形支护结构中的排桩及水泥土墙横截面上弯矩及法向位移计算结果。

图4. 人字形支护结构排桩计算结果

图5. 人字形支护结构水泥土墙计算结果

根据基坑变形监测结果，选取支护段中部排桩桩顶监测点为代表进行对比分析。基坑一次开挖到坑底15天后，排桩桩顶位移仅2.3 mm，且桩顶水平位移基本趋于稳定，理论值与实测值相差2.5%。结果表明：实测值与理论值很接近，这说明本文提出的人字形支护结构有限元分析模型及计算方法是合理的，这对人字形支护结构设计有指导意义。同时，工程应用情况表明：人字形支护结构具有抗变形能力强，特别适用于狭窄、富水复杂场地深基坑支护。