定义：正交4球形成的勾股4态，仅用4球半径表达其存在4个同态重心垂心共球半径的平方等于维数平方分子4个重心球半径的平方与垂心球半径平方与维数减2的平方积之差。其公式为：

R O / n 2 = 1 n 2 ( 4 R G 2 − ( n − 2 ) 2 r H 2 ) (1)

这里： n = 1 , 2 , 3 , 4 ；重心球平方： R G 2 = 1 16 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) ；垂心球平方： r H 2 = a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 。

定义：勾股4态存在4个共球球心与1点垂心计5点共线的欧拉线，4共球坐标有同构公式为：2倍维数分子4球心坐标和与2倍的垂心坐标与2减维数积之差。其公式为：

这里 n ∈ 1 , 2 , 3 , 4 的维数； O 1 / n 为共球心坐标； A , B , C , D 为4球心，H为垂心；下标 x , y , z 为分坐标。

定义：正交4球形成的勾股4态，存在4个同态重心垂心共球球心坐标距垂心距离为算术平均数。各共球与垂心间距得平方等于维数平方分子4与重心球半径与垂心球半径的平方差的积。其公式两边开方后为：

H O 1 / n = 2 n R G 2 − r H 2 (3)

这里： n = 1 , 2 , 3 , 4 ；重心球平方： R G 2 = 1 16 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) ；垂心球平方： r H 2 = a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 。

例：

· 一维点态8点共球半径、球心坐标及距垂心距离：(8点共球在垂心四面体中为外接球。其半径的平方等于4球心至垂心距离平方和的四分之一，也等于4个重心球半径平方与垂心球半径平方差)。

其8点共球半径的平方，将 n = 1 代入公式(1)为：

R O 2 = 1 1 2 [ 4 1 16 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) − ( 1 − 2 ) 2 a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 ] = 1 4 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − 4 a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 ) = 1 4 ( A H 2 + B H 2 + C H 2 + D H 2 ) = 4 [ 1 16 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) ] − a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 = 4 R G 2 − r H 2 (4)

其8点共球球心坐标，将 n = 1 代入公式(2)为：

O = { x = 1 2 × 1 [ a + 0 + 0 + b c t − 2 ( 2 − 1 ) − a b 2 c 2 t v ] = 1 2 ( a + b c t v + 2 a b c v ) y = 1 2 × 1 [ 0 + b + 0 + a c t − 2 ( 2 − 1 ) − a 2 b c 2 t v ] = 1 2 ( b + a c t v + 2 a b c v ) z = 1 2 × 1 [ 0 + 0 + c + a b t − 2 ( 2 − 1 ) − a 2 b 2 c t v ] = 1 2 ( c + a b t v + 2 a b c v ) (5)

这里： t = − d 2 v + a b c ， 本文下同。

其8点共球球心坐标与垂心H距离，将 n = 1 代入公式(3)为：

H O 1 / 1 = H O = 2 1 R G 2 − r H 2 = 2 R G 2 − r H 2 = 1 2 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − 16 a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 (6)

· 二维线态20点共球半径、球心坐标及距垂心距离：(垂心四面体中交4垂线8点以及交4球心6条连线12点，总计20点共球，其半径和球心坐标同构重心球半径和重心坐标)。

其20点共球半径的平方，将 n = 2 代入公式(1)为：

其20点共球球心坐标，将 n = 2 代入公式(2)为：

O 1 / 2 = { x = 1 2 × 2 [ a + 0 + 0 + b c t − 2 ( 2 − 2 ) − a b 2 c 2 t v ] = 1 4 ( a + b c t ) y = 1 2 × 2 [ 0 + b + 0 + a c t − 2 ( 2 − 2 ) − a 2 b c 2 t v ] = 1 4 ( b + a c t ) z = 1 2 × 2 [ 0 + 0 + c + a b t − 2 ( 2 − 2 ) − a 2 b 2 c t v ] = 1 4 ( c + a b t ) (8)

其20点共球球心坐标与垂心H距离，将 n = 2 代入公式(3)为：

H O 1 / 2 = 2 2 R G 2 − r H 2 = R G 2 − r H 2 = 1 4 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − 16 a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 (9)

· 三维面态12点共球半径、球心坐标及距垂心距离：(垂心四面体中为4垂线8点4平面重心4点，总计12点共球；半径是8点共球的三分之一)。

其12点共球半径的平方，将 n = 3 代入公式(1)为：

R O / 3 2 = 1 3 2 ( 4 1 16 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) − ( 3 − 2 ) 2 a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 ) = 1 36 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − 4 a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 ) = 1 9 ( 4 R G 2 − r H 2 ) (10)

其12点共球球心坐标，将 n = 3 代入公式(2)为：

O 1 / 3 = { x = 1 2 × 3 [ a + 0 + 0 + b c t − 2 ( 2 − 3 ) − a b 2 c 2 t v ] = 1 6 ( a + b c t v − 2 a b c v ) y = 1 2 × 3 [ 0 + b + 0 + a c t − 2 ( 2 − 3 ) − a 2 b c 2 t v ] = 1 6 ( b + a c t v − 2 a b c v ) z = 1 2 × 3 [ 0 + 0 + c + a b t − 2 ( 2 − 3 ) − a 2 b 2 c t v ] = 1 6 ( c + a b t v − 2 a b c v ) (11)

其12点共球球心坐标与垂心H距离，将 n = 3 代入公式(3)为：

H O 1 / 3 = 2 3 R G 2 − r H 2 = 1 6 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − 16 a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 (12)

· 四维体态6点共球半径、球心坐标及距垂心距离：(垂心四面体中4垂线5点，其中垂心为4垂线交点，体重心1点，总计为6点共球)。

其6点共球半径的平方，将 n = 4 代入公式(1)为：

R O / 4 2 = 1 4 2 [ 4 1 16 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) − ( 4 − 2 ) 2 a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 ] = 1 64 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − 16 a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 ) = 1 4 ( R G 2 − r H 2 ) (13)

其6点共球球心坐标，将 n = 4 代入公式(2)为：

其6点共球球心坐标与垂心H距离，将 n = 4 代入公式(3)为：

H O 1 / 4 = 2 4 R G 2 − r H 2 = 1 8 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − 16 a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 (15)

上述关系见表1如下。

表1. 欧拉线5点共线坐标及其勾股4态4共球半径一览表

表内：这里： n = 1 , 2 , 3 , 4 ；重心球平方： R G 2 = 1 16 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) ；垂心球平方： r H 2 = a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 ； t = − d 2 v + a b c ， 。

假设上述公式正确：用2点距离公式验算欧拉线之间的距离如下：

· 勾股点态8点共球，球心O点至垂心H点至其间距用2点间距公式为：

H O 2 = [ 1 2 ( a + b c t v + 2 a b c v ) − − a b 2 c 2 t v ] 2 + [ 1 2 ( b + a c t v + 2 a b c v ) − − a 2 b c 2 t v ] 2     + [ 1 2 ( c + a b t v + 2 a b c v ) − − a 2 b 2 c t v ] 2 = 1 4 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − 16 a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 )

两边开方公式(16)等于公式(6)为：

⇒ H O = 2 R G 2 − r H 2 = 1 2 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − 16 a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 (16)

· 勾股线态20点共球球心 重心点，根据同态垂心与重心间距的平方，可以不用坐标，其间距等于重心球与垂心球半径的平方差。 | H G | 2 = R G 2 − r H 2 ，

两边开方公式(17)等于公式(9)为：

H O 1 / 2 = H G = R G 2 − r H 2 = 1 4 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − 16 a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 = 1 2 H O (17)

· 勾股面态12点共球球心 O 1 / 3 至垂心H点间距，用2点坐标距离公式为；

H O 1 / 3 2 = [ 1 6 ( a + b c t v − 2 a b c v ) − − a b 2 c 2 t v ] 2 + [ 1 6 ( b + a c t v − 2 a b c v ) − − a 2 b c 2 t v ] 2     + [ 1 6 ( c + a b t v − 2 a b c v ) − − a 2 b 2 c t v ] 2 = 1 36 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − 16 a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 )

两边开方公式(18)等于公式(12)为：

⇒ H O 1 / 3 = 2 3 R G 2 − r H 2 = 1 6 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − 16 a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 = 1 3 H O (18)

· 勾股体态6点共球球心 O 1 / 4 至垂心H点，用2点坐标距离公式为；

H O 1 / 4 2 = [ 1 8 ( a + b c t v − 4 a b c v ) − − a b 2 c 2 t v ] 2 + [ 1 8 ( b + a c t v − 4 a b c v ) − − a 2 b c 2 t v ] 2     + [ 1 8 ( c + a b t v − 4 a b c v ) − − a 2 b 2 c t v ] 2 = 1 64 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − 16 a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 )

两边开方公式(19)等于公式(15)为：

⇒ H O 1 / 4 = 1 2 R G 2 − r H 2 = 1 8 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − 16 a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 = 1 4 H O (19)

根据公式(16)、(17)、(18)、(19)结果，验证了4点为垂心至8点共球球心2点共线，其间距为该2点间距为欧拉线算术平均数。

证明了8点共球球面交4垂线共8点共球，其中：8点共球交正交4球心，该球心与4球重心、4球垂心共点，因此该共球在这里称“勾股点态一维重心垂心共球”，共球半径的平方等于正交4球心至垂心距离的平方和的四分之一，也等于重心球半径与垂心球半径的平方差的4倍。

假设公式(4)，公式(5)成立，勾股点态重心垂心共球半径及球心坐标见表1，将4垂线参数方程公式(20)与8点共球半径和球心的球面方程联立公式(21)，即得4垂线交该球面8点，其中4点为正交4球的球心、与4球重心和垂心共点：

验证如下：

例：

· 过A点和垂心H点2点的垂线参数方程为：

x − a − a b 2 c 2 t v − a = y − 0 − a 2 b c 2 t v − 0 = z − 0 − a 2 b 2 c t v − 0 = t 1           ⇒ A = { x = a + ( − a b 2 c 2 t v − a ) t 1 y = − a 2 b c 2 t v t 1 z = − a 2 b 2 c t v t 1 (20)

8点共球半径的平方见：公式(4)；球心为O见：公式(5)，立球面方程为：将公式(20)代入公式(16)左右式相减：

[ 1 2 ( a + b c t v + 2 a b c v ) − a − ( − a b 2 c 2 t v − a ) t 1 ] 2 + [ 1 2 ( b + a c t v + 2 a b c v ) − − a 2 b c 2 t v t 1 ] 2 + [ 1 2 ( c + a b t v + 2 a b c v ) − − a 2 b 2 c t v t 1 ] 2 = 1 4 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − 4 a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 ) (21)

⇒ 0 = a 2 t 1 ( − 2 b 2 c 2 d 2 − v 2 − b 2 c 2 d 2 t 1 + v 2 t 1 )

得 ⇒ { { t 1 → 0 } , { t 1 → 2 b 2 c 2 d 2 + v 2 − b 2 c 2 d 2 + v 2 } }

将 t 1 代入公式(20)得8点共球与过A点垂线的2交点坐标为：

与 A 2 = { x = a b 2 c 2 [ 3 d 2 v + t ( 2 b 2 c 2 d 2 + v 2 ) ] b 2 c 2 d 2 v − v 3 y = a 2 b c 2 t ( 2 b 2 c 2 d 2 + v 2 ) b 2 c 2 d 2 v − v 3 z = a 2 b 2 c t ( 2 b 2 c 2 d 2 + v 2 ) b 2 c 2 d 2 v − v 3

同理我们可得：

· 过B点和垂心H点2点的垂线参数方程为：

x − 0 − a b 2 c 2 t v − 0 = y − b − a 2 b c 2 t v − b = z − 0 − a 2 b 2 c t v − 0 = t 1         ⇒ B = { x = − a b 2 c 2 t v t 1 y = b + ( − a 2 b c 2 t v − b ) t 1 z = − a 2 b 2 c t v t 1 (22)

代入共球球面方程：

⇒ 0 = b 2 t 1 ( − 2 a 2 c 2 d 2 − v 2 − a 2 c 2 d 2 t 1 + v 2 t 1 )

得 { { t 1 → 0 } , { t 1 → − 2 a 2 c 2 d 2 − v 2 a 2 c 2 d 2 − v 2 } }

将参数 t 1 代回公式(22)过B点垂线2交点坐标为：

B 1 = { x = 0 y = b z = 0 与 B 2 = { x = a b 2 c 2 t ( 2 a 2 c 2 d 2 + v 2 ) a 2 c 2 d 2 v − v 3 y = a 2 b c 2 [ 3 d 2 v + t ( 2 a 2 c 2 d 2 + v 2 ) ] a 2 c 2 d 2 v − v 3 z = a 2 b 2 c t ( 2 a 2 c 2 d 2 + v 2 ) a 2 c 2 d 2 v − v 3

· 过C点和垂心H点2点的垂线参数方程为：

x − 0 − a b 2 c 2 t v − 0 = y − 0 − a 2 b c 2 t v − 0 = z − c − a 2 b 2 c t v − c = t 1         ⇒ C = { x = − a b 2 c 2 t v t 1 y = − a 2 b c 2 t v t 1 z = c + ( − a 2 b 2 c t v − c ) t 1 (24)

代入共球球面方程：

[ 1 2 ( a + b c t v + 2 a b c v ) − − a b 2 c 2 t v t 1 ] 2 + [ 1 2 ( b + a c t v + 2 a b c v ) − − a 2 b c 2 t v t 1 ] 2 + [ 1 2 ( c + a b t v + 2 a b c v ) − c − ( − a 2 b 2 c t v − c ) t 1 ] 2 = 1 4 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − 4 a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 ) (25)

⇒ 0 = c 2 t 1 ( − 2 a 2 b 2 d 2 − v 2 − a 2 b 2 d 2 t 1 + v 2 t 1 )

得 { { t 1 → 0 } , { t 1 → − 2 a 2 b 2 d 2 − v 2 a 2 b 2 d 2 − v 2 } }

将参数 t 1 代回公式(24)过C点垂线2交点坐标为：

C 1 = { x = 0 y = 0 z = c 与 C 2 = { x = a b 2 c 2 t ( 2 a 2 b 2 d 2 + v 2 ) a 2 b 2 d 2 v − v 3 y = a 2 b c 2 t ( 2 a 2 b 2 d 2 + v 2 ) a 2 b 2 d 2 v − v 3 z = a 2 b 2 c [ 3 d 2 v + t ( 2 a 2 b 2 d 2 + v 2 ) ] a 2 b 2 d 2 v − v 3

· 过D点和垂心H点2点的垂线参数方程为：

x − b c t − a b 2 c 2 t v − b c t = y − a c t − a 2 b c 2 t v − a c t = z − a b t − a 2 b 2 c t v − a b t = t 1         ⇒ D = { x = b c t + ( − a b 2 c 2 t v − b c t ) t 1 y = a c t + ( − a 2 b c 2 t v − a c t ) t 1 z = a b t + ( − a 2 b 2 c t v − a b t ) t 1 (26)

代入共球球面方程：

[ 1 2 ( a + b c t v + 2 a b c v ) − b c t − ( − a b 2 c 2 t v − b c t ) t 1 ] 2 + [ 1 2 ( b + a c t v + 2 a b c v ) − a c t − ( − a 2 b c 2 t v − a c t ) t 1 ] 2 + [ 1 2 ( c + a b t v + 2 a b c v ) − a b t − ( − a 2 b 2 c t v − a b t ) t 1 ] 2 = 1 4 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − 4 a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 ) (27)

⇒ 0 = d 2 t 1 ( − 2 a 2 b 2 c 2 − v 2 − a 2 b 2 c 2 t 1 + v 2 t 1 )

得 { { t 1 → 0 } , { t 1 → − 2 a 2 b 2 c 2 − v 2 a 2 b 2 c 2 − v 2 } }

将参数 t 1 代回公式(26)过D点垂线2交点坐标为：

D 1 = { x = b c t y = a c t z = a b t 与

因此，验证8点共球半径的平方公式(4)，以及8点共球球心坐标公式(5)成立。且证明了8点共球球面交4垂线共8点共球，其中：8点共球交正交4球心，该球心与4球重心、4球垂心共点，因此该共球在这里称“勾股点态一维重心垂心共球”，共球半径的平方等于正交4球心至垂心距离的平方和的四分之一，也等于重心球半径与垂心球半径的平方差的4倍。

证明“勾股线态二维重心垂心共球”球面交4垂线以及6棱共20点共球，20点共球球心为四维重心；共球半径的平方等于四维重心球半径的平方。

假设公式(7)、公式(8)成立，勾股线态重心垂心共球半径及球心坐标见表1，将4垂线参数方程与20点共球半径和球心的球面方程联立，即得4垂线交该球面8点，同理，将6棱线参数方程与20点共球球面方程联立，可得共球球面交6棱，各棱重心垂心2点，合计12点共球交点，合计20点共球。

验证1：4垂线与该共球交8点：

例：

· 过A点与H垂心的垂线的参数方程见：公式(20)代入公式(28)

20点共球球面方程为：

[ 1 4 ( a + b c t ) − a − ( − a b 2 c 2 t v − a ) t 1 ] 2 + [ 1 4 ( b + a c t ) − − a 2 b c 2 t v t 1 ] 2 + [ 1 4 ( c + a b t ) − − a 2 b 2 c t v t 1 ] 2 = 1 16 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) (28)

将得到的参数： { { t 1 → − 2 v − 3 v + 8 b 2 c 2 d 2 + v 2 } , { t 1 → 2 v 3 v + 8 b 2 c 2 d 2 + v 2 } } 代入过A点垂线参数方程

公式(20)得2交点为：

A 1 = { x = a ( 2 b 2 c 2 t − v + 8 b 2 c 2 d 2 + v 2 ) − 3 v + 8 b 2 c 2 d 2 + v 2 y = 2 a 2 b c 2 t − 3 v + 8 b 2 c 2 d 2 + v 2 z = 2 a 2 b 2 c t − 3 v + 8 b 2 c 2 d 2 + v 2 和 A 2 = { x = a ( − 2 b 2 c 2 t + v + 8 b 2 c 2 d 2 + v 2 ) 3 v + 8 b 2 c 2 d 2 + v 2 y = − 2 a 2 b c 2 t 3 v + 8 b 2 c 2 d 2 + v 2 z = − 2 a 2 b 2 c t 3 v + 8 b 2 c 2 d 2 + v 2

· 过B点与H垂心的垂线的参数方程见：公式(22)代入公式(29)

20点共球球面方程为：

[ 1 4 ( a + b c t ) − − a b 2 c 2 t v t 1 ] 2 + [ 1 4 ( b + a c t ) − b − ( − a 2 b c 2 t v − b ) t 1 ] 2 + [ 1 4 ( c + a b t ) − − a 2 b 2 c t v t 1 ] 2 = 1 16 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) (29)

将得到的参数： { { t 1 → 2 v 3 v − 8 a 2 c 2 d 2 + v 2 } , { t 1 → 2 v 3 v + 8 b 2 c 2 d 2 + v 2 } } 代入过B点垂线参数方程公

式(22)得2交点为：

B 1 = { x = 2 a b 2 c 2 t − 3 v + 8 a 2 c 2 d 2 + v 2 y = b ( 2 a 2 c 2 t − v + 8 a 2 c 2 d 2 + v 2 ) − 3 v + 8 a 2 c 2 d 2 + v 2 z = 2 a 2 b 2 c t − 3 v + 8 a 2 c 2 d 2 + v 2 和

· 过C点与H垂心的垂线的参数方程见：公式(24)代入公式(30)

20点共球球面方程为：

[ 1 4 ( a + b c t ) − − a b 2 c 2 t v t 1 ] 2 + [ 1 4 ( b + a c t ) − − a 2 b c 2 t v t 1 ] 2 + [ 1 4 ( c + a b t ) − c − ( − a 2 b 2 c t v − c ) t 1 ] 2 = 1 16 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) (30)

将得到的参数： { { t 1 → 2 v 3 v − 8 a 2 b 2 d 2 + v 2 } , { t 1 → 2 v 3 v + 8 a 2 b 2 d 2 + v 2 } } 代入过C点垂线参数方程公

式(24)得2交点为：

C 1 = { x = − 2 a b 2 c 2 t 3 v − 8 a 2 b 2 d 2 + v 2 y = − 2 a 2 b c 2 t 3 v − 8 a 2 b 2 d 2 + v 2 z = c ( 2 a 2 b 2 t − v + 8 a 2 b 2 d 2 + v 2 ) − 3 v + 8 a 2 b 2 d 2 + v 2 和 C 2 = { x = − 2 a b 2 c 2 t 3 v + 8 a 2 b 2 d 2 + v 2 y = − 2 a 2 b c 2 t 3 v + 8 a 2 b 2 d 2 + v 2 z = c ( − 2 a 2 b 2 t + v + 8 a 2 b 2 d 2 + v 2 ) 3 v + 8 a 2 b 2 d 2 + v 2

· 过D点与H垂心的垂线的参数方程见：公式(26)代入公式(31)

20点共球球面方程为：

将得到的参数： { { t 1 → − 2 v − 3 v + 8 a 2 b 2 c 2 + v 2 } , { t 1 → 2 v 3 v + 8 a 2 b 2 c 2 + v 2 } } 代入过D点垂线参数方程

公式(26)得2交点为：

D 1 = { x = b c t ( 4 a b c − 7 v − 8 a 2 b 2 c 2 + v 2 ) 4 a b c − 4 v y = a c t ( 4 a b c − 7 v − 8 a 2 b 2 c 2 + v 2 ) 4 a b c − 4 v z = a b t ( 4 a b c − 7 v − 8 a 2 b 2 c 2 + v 2 ) 4 a b c − 4 v 和 D 2 = { x = b c t ( 4 a b c − v − 8 a 2 b 2 c 2 + v 2 ) 4 a b c − 4 v y = a c t ( 4 a b c − v − 8 a 2 b 2 c 2 + v 2 ) 4 a b c − 4 v z = a b t ( 4 a b c − v − 8 a 2 b 2 c 2 + v 2 ) 4 a b c − 4 v

验证2：6棱重心与该共球交6点：

· 过A点与B点的AB棱的直线的参数方程为：

x − a 0 − a = y − 0 b − 0 = z − 0 0 − 0 = t 1       ⇒ D A B = { x = a − a t 1 y = b t 1 z = 0 (32)

将直线参数公式(32)代入20点共球球面方程公式(33)求参数 t 1 ：

将得到的参数： { { t 1 → 1 2 } , { t 1 → a 2 a 2 + b 2 } } 代入过A、B直线参数方程公式(32)得2交点为：

D A B 1 = G A B = { x = a − a 1 2 = a 2 y = b 1 2 = b 2 z = 0 和 D A B 2 = H A B = { x = a − a a 2 a 2 + b 2 = a b 2 a 2 + b 2 y = b a 2 a 2 + b 2 = a 2 b a 2 + b 2 z = 0

该共球球面与AB棱交的2点分别为：二维AB直线的重心和垂心。

同理：我们可以得到该共球球面与其它5棱的重心和垂心相交。

∵该共球球心与四维重心共点，而6棱重心为二维重心；

∴其间距可以使用重心间间距可不用使用坐标，直接使用重心球间距公式 [ 5 ] 计算。

( P 1 P 2 ) 2 = r p 1 2 + r p 2 2 − 2 ( n p 1 × m p 2 ) − 1 ∑ r G = p 1 ∩ p 2 r G 2

例：

· r O / 2 2 = G H G A B 2 = R G 2 + R G A B 2 − 2 ( 4 × 2 ) − 1 ( a 2 + b 2 ) = 1 4 2 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) + 1 2 2 ( a 2 + b 2 ) − 2 ( 4 × 2 ) − 1 ( a 2 + b 2 ) = 1 4 2 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) = R G 2

同理可得其它5点二维重心与共球球心间距为：

· r O / 2 2 = G H G A C 2 = 1 4 2 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) = R G 2

· r O / 2 2 = G H G B C 2 = 1 4 2 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) = R G 2

· r O / 2 2 = G H G A D 2 = 1 4 2 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) = R G 2

· r O / 2 2 = G H G B D 2 = 1 4 2 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) = R G 2

· r O / 2 2 = G H G C D 2 = 1 4 2 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) = R G 2

验证3：6棱垂心与该共球交6点：用2点坐标距离公式可得：

例：

· O 1 2 H A B 2 = [ 1 4 ( a + b c t ) − a b 2 a 2 + b 2 ] 2 + [ 1 4 ( b + a c t ) − a 2 b a 2 + b 2 ] 2 + [ 1 4 ( c + a b t ) − 0 ] 2 = R G 2

· O 1 2 H A C 2 = [ 1 4 ( a + b c t ) − a c 2 a 2 + c 2 ] 2 + [ 1 4 ( b + a c t ) − 0 ] 2 + [ 1 4 ( c + a b t ) − a 2 c a 2 + c 2 ] 2 = R G 2

· O 1 2 H B C 2 = [ 1 4 ( a + b c t ) − 0 ] 2 + [ 1 4 ( b + a c t ) − b c 2 b 2 + c 2 ] 2 + [ 1 4 ( c + a b t ) − b 2 c b 2 + c 2 ] 2 = R G 2

· O 1 2 H A D 2 = [ 1 4 ( a + b c t ) − − a v t a 2 + d 2 ] 2 + [ 1 4 ( b + a c t ) − a 3 c t a 2 + d 2 ] 2 + [ 1 4 ( c + a b t ) − a 3 b t a 2 + d 2 ] 2 = R G 2

· O 1 2 H B D 2 = [ 1 4 ( a + b c t ) − b 3 c t b 2 + d 2 ] 2 + [ 1 4 ( b + a c t ) − − b v t b 2 + d 2 ] 2 + [ 1 4 ( c + a b t ) − a b 3 t b 2 + d 2 ] 2 = R G 2

· O 1 2 H C D 2 = [ 1 4 ( a + b c t ) − b c 3 t c 2 + d 2 ] 2 + [ 1 4 ( b + a c t ) − a c 3 t c 2 + d 2 ] 2 + [ 1 4 ( c + a b t ) − − c v t c 2 + d 2 ] 2 = R G 2

通过上述验证：20点共球球心以及半径验证成立。

(其中：二维棱12点：各棱重心与垂心2点，并与4垂线8点：各垂线交2点共，合计20点共球。)

证明“勾股面态三维重心垂心共球”球面交4垂线8点(含4面垂心)以及4面重心共12点共球，三维面态12点共球半径等于一维点态8点共球半径的三分之一。

假设公式(10)、公式(11)成立，勾股面态重心垂心共球半径及球心坐标见表1，将4垂线参数方程与12点共球半径和球心的球面方程联立，即得4垂线交该球面8点；将各面4点重心与12点共球球心按2点坐标距离公式验算，可得勾股面态12点共球及半径。

验证1：4垂线与该共球交8点：

例：

· 过A点与H垂心的垂线的参数方程见：公式(20)代入公式(34)

12点共球球面方程为：

[ 1 6 ( a + b c t v − 2 a b c v ) − a − ( − a b 2 c 2 t v − a ) t 1 ] 2 + [ 1 6 ( b + a c t v − 2 a b c v ) − − a 2 b c 2 t v t 1 ] 2 + [ 1 6 ( c + a b t v − 2 a b c v ) − − a 2 b 2 c t v t 1 ] 2 = 1 36 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − 4 a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 ) (34)

将得到的参数： { { t 1 → 2 3 } , { t 1 → v 2 − b 2 c 2 d 2 + v 2 } } 代入过A点垂线参数方程公式(20)得2交点为：

A 1 = { x = a v − 2 a b 2 c 2 t 3 v y = − 2 a 2 b c 2 t 3 v z = − 2 a 2 b 2 c t 3 v 和 A 2 = H B C D = { x = b 3 c 3 t s B C D 2 y = − b c 2 v t s B C D 2 z = − b 2 c v t s B C D 2

这里： H B C D 为A点对平面的垂心， 。

· 过B点与H垂心的垂线的参数方程见：公式(22)代入公式(35)

12点共球球面方程为：

[ 1 6 ( a + b c t v − 2 a b c v ) − − a b 2 c 2 t v t 1 ] 2 + [ 1 6 ( b + a c t v − 2 a b c v ) − b − ( − a 2 b c 2 t v − b ) t 1 ] 2 + [ 1 6 ( c + a b t v − 2 a b c v ) − − a 2 b 2 c t v t 1 ] 2 = 1 36 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − 4 a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 ) (35)

将得到的参数： { { t 1 → 2 3 } , { t 1 → v 2 − a 2 c 2 d 2 + v 2 } } 代入过B点垂线参数方程公式(22)得2交点为：

B 1 = { x = − 2 a b 2 c 2 t 3 v y = b v − 2 a 2 b c 2 t 3 v z = − 2 a 2 b 2 c t 3 v 和 B 2 = H A C D = { x = − a c 2 t v s A C D 2 y = a 3 c 3 t s A C D 2 z = − a 2 c t v s A C D 2

这里： H A C D 为B点对平面的垂心， 。

· 过C点与H垂心的垂线的参数方程见：公式(24)代入公式(36)

12点共球球面方程为：

[ 1 6 ( a + b c t v − 2 a b c v ) − − a b 2 c 2 t v t 1 ] 2 + [ 1 6 ( b + a c t v − 2 a b c v ) − − a 2 b c 2 t v t 1 ] 2 + [ 1 6 ( c + a b t v − 2 a b c v ) − c − ( − a 2 b 2 c t v − c ) t 1 ] 2 = 1 36 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − 4 a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 ) (36)

将得到的参数： { { t 1 → 2 3 } , { t 1 → v 2 − a 2 b 2 d 2 + v 2 } } 代入过C点垂线参数方程公式(24)得2交点为：

C 1 = { x = − 2 a b 2 c 2 t 3 v y = − 2 a 2 b c 2 t 3 v z = c v − 2 a 2 b 2 c t 3 v 和 C 2 = H A B D = { x = − a b 2 t v s A B D 2 y = − a 2 b t v s A B D 2 z = a 3 b 3 t s A B D 2

这里： H A B D 为C点对平面的垂心， s A B D 2 = a 2 b 2 + a 2 d 2 + b 2 d 2 。

· 过D点与H垂心的垂线的参数方程见：公式(26)代入公式(37)

12点共球球面方程为：

[ 1 6 ( a + b c t v − 2 a b c v ) − b c t − ( − a b 2 c 2 t v − b c t ) t 1 ] 2 + [ 1 6 ( b + a c t v − 2 a b c v ) − a c t − ( − a 2 b c 2 t v − a c t ) t 1 ] 2 + [ 1 6 ( c + a b t v − 2 a b c v ) − a b t − ( − a 2 b 2 c t v − a b t ) t 1 ] 2 = 1 36 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − 4 a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 ) (37)

将得到的参数： { { t 1 → 2 3 } , { t 1 → v 2 − a 2 b 2 c 2 + v 2 } } 代入过D点垂线参数方程公式(26)得2交点为：

D 1 = { x = b c t ( v − 2 a b c ) 3 v y = a c t ( v − 2 a b c ) 3 v z = a b t ( v − 2 a b c ) 3 v 和

这里： H A B C 为D点对平面的垂心， s A B C 2 = a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 。

通过上述验证：12点共球球心以及半径验证成立。

(其中：三维面8点：各面重心与垂心2点，并与4垂线2点中的另1点，4垂线4点；合计12点共球。)

证明“勾股面态四维重心垂心共球”球面交4垂线5点(含1点体垂心)以及1点体重心共6点共球，四维体态6点共球半径平方与6点共球球心至垂心间距平方相同：等于一维点态球心O至4维体态垂心间距的四分之一。

假设公式(13)、公式(14)成立，勾股体态重心垂心共球半径及球心坐标见表1，将4垂线参数方程与6点共球半径和球心的球面方程联立，即得4垂线交该球面5点；将1点体重心与6点共球球心按2点坐标距离公式验算，可得勾股体态6点共球及半径。

验证1：4垂线与该共球交5点：

例：

· 过A点与H垂心的垂线的参数方程见：公式(20)代入公式(38)

6点共球球面方程为：

将得到的参数： { { t 1 → 1 } , { t 1 → 3 v 2 4 ( − b 2 c 2 d 2 + v 2 ) } } 代入过A点垂线参数方程公式(20)得2交点为：

A 1 = H = { x = − a b 2 c 2 t v y = − a 2 b c 2 t v z = − a 2 b 2 c t v 和 A 2 = { x = a [ 4 a 2 c 2 d 2 + ( 3 b 2 c 2 t − v ) v ] 4 a 2 c 2 d 2 − 4 v 2 y = 3 a 2 b c 2 t v 4 b 2 c 2 d 2 − 4 v 2 z = 3 a 2 b 2 c t v 4 b 2 c 2 d 2 − 4 v 2

· 过B点与H垂心的垂线的参数方程见：公式(22)代入公式(39)

6点共球球面方程为：

[ 1 8 ( a + b c t v − 4 a b c v ) − − a b 2 c 2 t v t 1 ] 2 + [ 1 8 ( b + a c t v − 4 a b c v ) − b − ( − a 2 b c 2 t v − b ) t 1 ] 2 + [ 1 8 ( c + a b t v − 4 a b c v ) − − a 2 b 2 c t v t 1 ] 2 = 1 64 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − 16 a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 ) = 1 4 ( R G 2 − r H 2 ) (39)

将得到的参数： { { t 1 → 1 } , { t 1 → 3 v 2 4 ( − a 2 c 2 d 2 + v 2 ) } } 代入过A点垂线参数方程公式(22)得2交点为：

B 1 = H = { x = − a b 2 c 2 t v y = − a 2 b c 2 t v z = − a 2 b 2 c t v 和 B 2 = { x = 3 a b 2 c 2 t v 4 a 2 c 2 d 2 − 4 v 2 y = b [ 4 a 2 c 2 d 2 + ( 3 a 2 c 2 t − v ) v ] 4 a 2 c 2 d 2 − 4 v 2 z = 3 a 2 b 2 c t v 4 a 2 c 2 d 2 − 4 v 2

· 过C点与H垂心的垂线的参数方程见：公式(24)代入公式(40)

6点共球球面方程为：

[ 1 8 ( a + b c t v − 4 a b c v ) − − a b 2 c 2 t v t 1 ] 2 + [ 1 8 ( b + a c t v − 4 a b c v ) − − a 2 b c 2 t v t 1 ] 2 + [ 1 8 ( c + a b t v − 4 a b c v ) − c − ( − a 2 b 2 c t v − c ) t 1 ] 2 = 1 64 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − 16 a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 ) = 1 4 ( R G 2 − r H 2 ) (40)

将得到的参数： { { t 1 → 1 } , { t 1 → 3 v 2 4 ( − a 2 b 2 d 2 + v 2 ) } } 代入过A点垂线参数方程公式(24)得2交点为：

C 1 = H = { x = − a b 2 c 2 t v y = − a 2 b c 2 t v z = − a 2 b 2 c t v 和

· 过D点与H垂心的垂线的参数方程见：公式(26)代入公式(41)

6点共球球面方程为：

[ 1 8 ( a + b c t v − 4 a b c v ) − b c t − ( − a b 2 c 2 t v − b c t ) t 1 ] 2 + [ 1 8 ( b + a c t v − 4 a b c v ) − a c t − ( − a 2 b c 2 t v − a c t ) t 1 ] 2 + [ 1 8 ( c + a b t v − 4 a b c v ) − a b t − ( − a 2 b 2 c t v − a b t ) t 1 ] 2 = 1 64 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − 16 a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 ) = 1 4 ( R G 2 − r H 2 ) (41)

将得到的参数： { { t 1 → 1 } , { t 1 → 3 v 2 4 ( − a 2 b 2 c 2 + v 2 ) } } 代入过D点垂线参数方程公式(26)得2交点为：

D 1 = H = { x = − a b 2 c 2 t v y = − a 2 b c 2 t v z = − a 2 b 2 c t v 和 D 2 = { x = b c t ( 4 a b c − v ) 4 a b c − 4 v y = a c t ( 4 a b c − v ) 4 a b c − 4 v z = a b t ( 4 a b c − v ) 4 a b c − 4 v

验证2：4维重心与该共球球心2点坐标距离

[ 1 8 ( a + b c t v − 4 a b c v ) − a + b c t 4 ] 2 + [ 1 8 ( b + a c t v − 4 a b c v ) − b + a c t 4 ] 2 + [ 1 8 ( c + a b t v − 4 a b c v ) − c + a b t 4 ] 2 = 1 64 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − 16 a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 )

通过上述验证：6点共球球心以及半径验证成立。

(其中：4维体6点：体重心与垂心2点，并与4垂线2点中的另1点，4垂线4点；合计6点共球。)