多目标优化指满足一定约束条件的n个决策变量，使得m个目标函数组成的向量函数最优化的问题。目标函数组成了不同性能标准的数学描述，由于性能标准之间通常是互相冲突的，多目标优化目的是找到使得所有目标函数值都可接受的解。

多目标优化数学模型

min       F ( x ) s .t           g j ( x ) ≤ 0 ,     j = 1 , ⋯ , J                 h k ( x ) = 0 ,     k = 1 , ⋯ , K (1-1)

其中 F ( x ) = ( f 1 , f 2 , ⋯ , f m ) 为目标函数向量 g j ( x ) ≤ 0 , h k ( x ) = 0 分别为不等式约束，等式约束， x ∈ R n 为决策向量。

满足约束条件的决策变量的集合

X = { x | g j ( x ) ≤ 0 ,   j = 1 , ⋯ , J ; h k ( x ) = 0 ,   k = 1 , ⋯ , K , x ∈ R n } (1-2)

称为可行解集。

对于 x 1 , x 2 ∈ X ，若 ∀ i , f i ( x 1 ) ≤ f i ( x 2 ) 且存在 j ∈ { 1 , ⋯ , I } , f j ( x 1 ) < f j ( x 2 ) ，称 x 2 比 x 1 Pareto占优，或称 x 1 支配 x 2 ，可记作 x 1 ≻ x 2 。不能被可行解中任何解支配的解称为Pareto最优解。

多目标优化问题的主要任务就是在满足约束条件的可行解中搜索Pareto最优解集(非支配解集合)，即

P = { x * | ¬ ∃ x : x ≻ x * , x , x * ∈ X } (1-3)

多目标优化问题过程中，最优解易受设计参数或环境参数扰动的影响。参数的随机性导致工程问题不确定性。决策者希望决策方案不仅能满足目标性能最优，而且希望目标性能受不确定性的影响在可接受范围之内。基于灵敏度区域的鲁棒多目标性优化方法可以用来解决设计变量存在不确定性时目标鲁棒性优化设计问题。

含不确定参数 p = ( p 1 , ⋯ , p m ) 的多目标优化模型如下

min         F ( x , p ) s .t             g j ( x , p ) ≤ 0 , j = 1 , ⋯ , J                   h k ( x ) = 0 , k = 1 , ⋯ , K                   x ∈ R n , p ∈ R m . (1-4)

设参数p的初始值为 p 0 ，其变化量 Δ p ， Δ p = ( Δ p 1 , ⋯ , Δ p m ) 。由参数的变化引起的目标函数变化

Δ f i = f i ( x , p 0 + Δ p ) − f i ( x , p 0 ) (1-5)

如果对于 x ∈ X ，给定目标函数值可接受的变化范围 Δ f = ( Δ f 1 , ⋯ , Δ f m ) ，由目标函数可接受区域反射到参数p的取值范围称为参数的敏感性区域。

S ( x ) = { Δ p | f i ( x , p 0 + Δ p ) − f i ( x , p 0 ) ≤ Δ f 0 , i = 1 , ⋯ , m } (1-6)

定义（最优的可行敏感区域）

R ( x ) = min Δ p ‖ Δ p ‖ s .t     max 1 ≤ i ≤ m | f i ( x , p 0 + Δ p ) − f i ( x , p 0 ) | = Δ f           g j ( x , p 0 + Δ p ) ≤ 0           h k ( x ) = 0 , k = 1 , ⋯ , K           Δ p ∈ R m . (1-7)

R ( x ) 称为为最优的可行敏感区域，其满足目标函数可接受扰动范围，且满足决策变量的可行性。设 R 0 为初始的敏感系数，满足 { x | R ( x ) ≤ R 0 , x ∈ X } 的解称为是鲁棒的。将其加入到多目标的模型中，基于敏感区域的 (RMOO)数学模型为

min       f ( x , p ) s .t           g j ( x , p ) ≤ 0 , j = 1 , ⋯ , J                 h k ( x , p ) = 0 , k = 1 , ⋯ , K                 R ( x ) ≤ R 0                 x ∈ R n . (1-8)

其中 R ( x ) ≤ R 0 称为鲁棒约束。

热电联产机组同时输出热功率和电功率。输出的电功率和热功率之间的耦合关系称为热电联产机组的“电热特性”，其比值称为“电热比”。

热电联产机组主要有背压式和抽汽式两种类型。背压式机组，汽轮机背压排汽通过热网对外供热。供热期实时满足热负荷需求，电出力 P c h p 完全由其热出力 H c h p 决定，热电比是固定，该类型机组将不具有调节能力。

P c h p = H c h p / k h p (2-1)

抽汽式机组从汽轮机抽取一部分蒸汽作为热源对外供热，在满足运行要求的条件下可以通过调节抽汽量的大小来调整热电比，其电热特性可描述为

C v H c h p ≤ P c h p ≤ P − C k H c h p (2-2)

C v , C k 分别为热电比的下限，上限，P为抽气式机组电出力上限。

两种类型机组的热电出力都受到机组出力能力的限制

P c h p min ≤ P c h p , t ≤ P c h p max H c h p min ≤ H c h p , t ≤ H c h p max (2-3)

热电联合机组的爬坡能力约束

− D R max ≤ P c h p , t + 1 − P c h p , t ≤ U R max (2-4)

联产机组的热出力一部分直接供热 H d , t ，如果有剩余 H i n , t 则输入储热装置中

H c h p , t = H i n , t + H d , t (2-5)

大容量储热加入能使能源优化配置的调控水平达到电力系统的要求，解决可风电接入、电力系统调峰等问题。储热装置受到其储热容量，储放热速度等因素的制约。设 C r max 为储热罐的容量上限，因此有

0 ≤ C r t ≤ C r max ,     t = 1 , ⋯ , T (2-6)

单位时间能储放热量的多少由储热装置的储放热速率决定

{ 0 ≤ H i n , t ≤ H i n max 0 ≤ H o u t , t ≤ H o u t max (2-7)

某时刻储热装置存储热量状态

Δ t ( H i n , t − H o u t , t ) = C r t + 1 − C r t (2-8)

电功率平衡约束

∑ i N G P G , i , t + ∑ i N W P W , i , t + ∑ i N C P c h p , i , t = P D , t ,     t = 1 , ⋯ , T (2-9)

P i , t 为机组电出力， T , N G , N W 分别为时段数，常规机组数，风电场数。

联产机组的热出力要满足供热的热力需求热平衡约束

H o u t , t + H d , t = H l o a d , t (2-10)

常规火电机组的出力约束，爬坡能力约束

{ P G , i min ≤ P G , i , t ≤ P G , i max − D R , i max Δ t ≤ P G , i , t + 1 − P G , i , t ≤ U R , i max Δ t (2-11)

设实际系统调度的风电出力 P W , i , t ，风电功率预测值为 P W , i , t f ， P W , i , t f 是不确定量。

0 ≤ P W , i , t ≤ P W , i , t f (2-12)

本文考虑系统中电出力机组包含常规火电机组，热电联产机组的煤耗费用。常规火电机组煤耗费用

f h = ∑ t = 1 T ∑ i = 1 N G ( α i P G , i , t 2 + β i P G , i , t + γ i ) (2-13)

α i , β i , γ i 为机组的煤耗系数。热电联产机组的煤耗费用为

f c h p = ∑ t = 1 T ∑ i = 1 N G ( a i P c h p , i , t 2 + b i P c h p , i , t + c i ) (2-14)

因此系统总的煤耗费用为

f 1 = f h + f c h p (2-15)

实际调度中系统调度的风电出力低于风电的预测出力，导致弃风。设 C w , t 为t时刻的弃风惩罚费用，则总的弃风惩罚费为

f w = ∑ i = 1 N w ∑ t = 1 T C w , t ( P W , i , t f − P W , i , t ) (2-16)

系统总的费用最小化多目标函数表示为

min F ( P G , i , t , P c h p , i , t , P W , i , t ) = { f 1 , f 2 } (2-17)

风电出力具有随机性、间歇性等特点，同时受风电功率预测方法的限制，风电预测出力 P W , i , t f 是一个不确定量，设其扰动幅度为 Δ P i , t 。增强调度系统的应对风电扰动的鲁棒性，可以提高消纳风电能力。

实际调度过程中，调度中心可承受适当程度煤耗费用，弃风惩罚费用扰动。目标函数可承受一定程度的扰动，增强了调度系统的鲁棒性，降低风电扰动带来的影响，能增强系统调度风电的能力。设调度中心可承受的煤耗费用扰动为 Δ f 1 ，弃风惩罚费用扰动为 Δ f 2 。即目标函数的可承受的扰动为 Δ f = ( Δ f 1 , Δ f 2 ) 。

根据定义1，联合调度模型的鲁棒性约束为：

R ( P G , i , t , P c h p , i , t , P W , i , t ) = { Δ f i ≤ Δ f ; P W , i , t ≤ P W , i , t f + Δ P i , t ; ( 2 - 1 ) , ⋯ , ( 2 - 12 ) } ≤ R 0 (2-18)

公式(2-1)~(2-18)联立构成一个目标函数为二次函数，约束均为线性的基于敏感区域的鲁棒多目标优化经济调度(RMOO-ED)模型。

步骤1：参数初始化。

1) 机组参数，储热设备参数初始化，系统电负荷，热负荷。

2) 风电预测出力 P W f

3) 鲁棒性参数：目标函数可接受扰动参数 Δ f 0 ，风电预测出力扰动 Δ P W f ，鲁棒性约束条件数 R 0

步骤2：求解MOO-ED模型

1) BCC算法参数设置：细菌个数为N，精度 ε ，最大迭代次数为M。

2) 运行带可行性验证BCC算法，得Pareto解集。

图1. 求解RMOO-ED模型算法流程图

步骤3：解的鲁棒性判断

1) 风电预测出力扰动 Δ P W f 。

2) 在风电出力为 P W f + Δ P W f ，进行可行性判断，可行解的调整。

3) 鲁棒约束条件判断 R ( P G , i , t , P c h p , i , t , P W , i , t ) ≤ R 0

满足则保留步骤2的Pareto解，否则替换为扰动后的可行解。

步骤4：在鲁棒Pareto解集中选择理想解

1) 设置两个目标函数的权重。

2) 利用TOPSIS (Technique for Order Preference Similar to an Ideal Solution)方法选择理想解。

算法框图见下图1。

本文采用六机组系统进行仿真，系统由两台背压式热电机组、两台抽汽式热电机组和两台常规火电机组，一个风电场，一个储热设备构成，各类电源的装机比例以某地区实际装机比例为准。算例为日前调度，调度周期为24 h，以1 h为调度时段。系统电负荷、热负荷和风电预测功率选取某日0点至24:00的数据见附图A2~A4。机组煤耗特性参数、电热输出运行参数参照文 [ 12 ]。BCC算法参数设置如下：细菌个数为50，初始精度 ε begin = 2 ，最终精度 ε end = 10 − 6 ，精度更新常数 α = 1.25 ，最大迭代次数为500，单个细菌移动速度 v = 1 。

设定RMOO-ED模型目标函数扰动范围 Δ f = 10 % ，风电预测扰动 Δ P w = 10 % 通过算法求解得到的结果如下图2。

图2. Pareto解集

在设定目标函数机组煤耗成本和弃风惩罚费用的权重均为0.5时，在Pareto解集，选取满意解，得到煤耗成本812.01万元，弃风惩罚费用为17.10万元，计算时间为262 s，验证了本文所提基于敏感区域的RMOO-ED模型的合理性，和算法有效性。满意解所对应的风电出力如图3。

图3. 风电预测功率，风电出力

在保证风电合理消纳的情形下，储热设备在热负荷低的时候，能储存多余热量；在热负荷高且风电出力相对大的时候，储热设备放热以降低机组出力，从而增大风电出力，增加风电消纳。供热期上午时段热负荷最低，供热充足，中午时段储热量达到高峰，下午随着热负荷增大，储热设备处于放热状态，在夜间储热设备处于低储存或者零存储时段。如图4。

图4. 储热量