杨玉洁^*，李翀

北京联合大学基础课教学部，北京

收稿日期：2019年10月2日；录用日期：2019年10月21日；发布日期：2019年10月28日

首先证明了在 ( ε , λ ) -拓扑下完备随机度量空间上的Ekeland变分原理与Caristi不动点定理是等价的。再者，利用两种拓扑下基本结果之间的关系，证明了在特殊的随机度量空间——随机赋范模上，两者在两种拓扑下都是等价的；最后由完备随机赋范模上的Caristi不动点定理，在两种拓扑下建立了完备随机赋范模上的方向压缩不动点定理。

关键词 :随机度量空间，随机赋范模，Ekeland变分原理，Caristi不动点定理

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2012年，郭铁信教授与笔者建立了定义在完备随机度量空间上的Ekeland变分原理与Caristi不动点定理 [ 1 ]。经典泛函分析中，史树中教授在文献 [ 2 ] 中研究了完备度量空间上的Ekeland变分原理与Caristi不动点定理是等价的。这启发我们在随机度量理论中来思考这个问题。虽然目前还不能确定T_C-拓扑下完备随机度量空间上Ekeland变分原理与Caristi不动点定理是否等价，但本文证明了在 ( ε , λ ) -拓扑下两者确实是等价的。再者，利用两种拓扑下基本结果之间的关系，本文证明了在特殊的随机度量空间——随机赋范模上，Ekeland变分原理与Caristi不动点定理在两种拓扑下都是等价的；最后由完备随机赋范模上的Caristi不动点定理，在两种拓扑下建立了完备随机赋范模上的方向压缩不动点定理。

文献 [ 3 ] 与 [ 4 ] 也曾讨论过完备随机度量空间上的Ekeland变分原理与Caristi不动点定理及其等价性问题，但是本文与其有如下几点不同：首先相比较文献 [ 3 ] 与 [ 4 ] 中给出的随机度量空间上的下半连续函数的定义，本文中下半连续函数的定义更弱、更自然，而且我们允许函数取值于 L ¯ 0 ( F ) ，而文献 [ 3 ] 与 [ 4 ] 中仅仅允许函数取值于 L 0 ( F ) ，故我们的结果改进了 [ 3 ] 与 [ 4 ] 中的相应结果。再者，本文的结果是在两种拓扑 ( ε , λ ) -拓扑与T_C-拓扑下建立的，而文献 [ 3 ] 与 [ 4 ] 的结果仅是在 ( ε , λ ) -拓扑下建立的。而且，相比较文献 [ 2 ] 的证明方法，本文的证明方法更为简洁。

在文献 [ 1 ] 中，郭铁信教授与笔者建立了 d ε , λ -完备RM-空间上的Ekeland变分原理的精确形式及一般形式，即如下引理1和引理2。

引理1 [ 1 ] ( d ε , λ -完备RM-空间上Ekeland变分原理的精确形式)

设 ( E , d ) 为以 ( Ω , F , P ) 为基的 d ε , λ -完备RM-空间，函数 ϕ : E → L ¯ 0 ( F ) 为真的、 T ε , λ -下半连续的且有下界的函数。那么对于任意的 x 0 ∈ d o m ( ϕ ) ，存在 v ∈ d o m ( ϕ ) 满足如下条件：

1) ϕ ( v ) ≤ ϕ ( x 0 ) − d ( x 0 , v ) ；

2) 对于任意的 x ∈ E 且 x ≠ v ，有 ϕ ( x ) ≤ ϕ ( v ) − d ( x , v ) 成立，即存在 A x ∈ F 且 P ( A x ) > 0 使得在 A x 上 ϕ ( x ) > ϕ ( v ) − d ( x , v ) 成立。

引理2 [ 1 ] ( d ε , λ -完备RM-空间上Ekeland变分原理的一般形式)

设 ( E , d ) 为以 ( Ω , F , P ) 为基的 d ε , λ -完备RM-空间，函数 ϕ : E → L ¯ 0 ( F ) 为真的、 T ε , λ -下半连续的且有下界的函数。则存在 v ∈ E 使得 ϕ ( x ) ≤ ϕ ( v ) − d ( x , v ) , ∀ x ≠ v 。

其实， d ε , λ -完备RM-空间上的Ekeland变分原理的这两种形式是等价的，证明如下。

定理1 引理1 引理2。

证明 显然由引理1 可得引理2；若将引理2中E的闭子集 M : = { x ∈ E : ϕ ( x ) ≤ ϕ ( x 0 ) − d ( x 0 , x ) } 来代替E，将 ϕ | M 代替 ϕ ，则得到引理1。故引理1等价于引理2。

下面的引理3为郭铁信教授与笔者建立的 d ε , λ -完备RM-空间上的Caristi不动点定理。

引理3 [ 1 ] ( d ε , λ -完备RM-空间上的Caristi不动点定理)

设 ( E , d ) 为以 为基的 d ε , λ -完备RM-空间，函数 ϕ : E → L ¯ 0 ( F ) 为真的、 T ε , λ -下半连续的且有下界的函数。映射 T : E → E 满足 则T有不动点。

下面我们证明 d ε , λ -完备RM-空间上的Ekeland变分原理与Caristi不动点定理即引理2与引理3是等价的。

定理2 引理2 引理3。

证明 1) 必要性：由引理2知，存在 v ∈ E ，对于任意的 x ∈ E 且 x ≠ v ，有 ϕ ( x ) ≤ ϕ ( v ) − d ( x , v ) 成立，即存在 A x ∈ F 且 P ( A x ) > 0 使得在 A x 上 ϕ ( x ) > ϕ ( v ) − d ( x , v ) 成立。我们可以推断 T v = v 。否则，若 T v ≠ v ，则存在 A T v ∈ F 且 P ( A T v ) > 0 使得在 A T v 上 ϕ ( T v ) > ϕ ( v ) − d ( T v , v ) 成立。这与 ϕ ( T u ) + d ( T u , u ) ≤ ϕ ( u ) , ∀ u ∈ E 产生矛盾。故 T v = v ，即T有不动点。

2) 充分性：反证法。若引理2不成立，则对于任意的 v ∈ E ，存在 x v ∈ E 使得 x v ≠ v 且 ϕ ( x v ) > ϕ ( v ) − d ( x v , v ) 成立。定义函数 T : E → E 为 T v = x v 。则 T v ≠ v , ∀ v ∈ E 且 ϕ ( T v ) ≤ ϕ ( v ) − d ( T v , v ) 成立。由 T v ≠ v , ∀ v ∈ E 知，T无不动点。而由 ϕ ( T v ) ≤ ϕ ( v ) − d ( T v , v ) 成立及引理3知T有不动点。产生矛盾，故引理2成立。

由此，我们可知以上三个引理都是等价的，即

推论1 引理1 ⇔ 引理2 ⇔ 引理3。

郭铁信教授在长文 [ 5 ] 中系统地建立了上述提到的两种拓扑即 ( ε , λ ) -拓扑及局部 L 0 -凸拓扑下导出的某些基本定理之间的内在关系，即两种拓扑下RN-模的完备性、闭集以及下半连续性之间的关系。又由于随机赋范模是特殊的随机度量空间，局部 L 0 -凸拓扑下完备随机赋范模上的Ekeland变分原理与Caristi不动点定理也是等价的。

由 d ε , λ -完备RM-空间上的Caristi不动点定理，可得如下 T ε , λ -完备RN-模上的方向压缩不动点定理。

推论2 ( T ε , λ -完备RN-模上的强压缩不动点定理)

设 ( E , ‖ ⋅ ‖ ) 为数域R上以 ( Ω , F , P ) 为基的 T ε , λ -完备RN-模。 k ∈ L + + 0 且在 Ω 上 0 < k < 1 。 T : E → E 为 T ε , λ -连续函数且具有局部性质。若对于任意的 v ∈ E ，存在 x 0 ∈ E 使得 x 0 ≠ v 且

1) ‖ v − x 0 ‖ + ‖ T v − x 0 ‖ = ‖ v − T v ‖ ；

2) ‖ T v − x 0 ‖ ≤ ‖ v − x 0 ‖ 。

则T有不动点。

证明 定义函数 f : E → E 如下：若 T v ≠ v ，则 f ( v ) = x 0 ;若 T v = v ，则 f ( v ) = v 。显然，函数T有不动点等价于f有不动点。

另定义函数 ϕ : E → L 0 ( F ) 为 ϕ ( v ) = ‖ v − T v ‖ 1 − k , ∀ v ∈ E 。因为T为 T ε , λ -连续函数，故 ϕ 为 -连续函数。从而 ϕ 为 T ε , λ -下半连续函数。

由T具有局部性质，故

I ¯ A ⋅ ϕ ( I ¯ A ⋅ v ) = I ¯ A ⋅ ‖ I ¯ A ⋅ v − T ( I ¯ A ⋅ v ) ‖ 1 − k = ‖ I ¯ A ⋅ v − T v ‖ 1 − k = I ¯ A ⋅ ϕ ( v ) , ∀ A ∈ F

从而 ϕ 具有局部性质。显然，0是函数 ϕ 的下界。

为了证明f有不动点，由引理3知，我们只需要证明 ‖ v − f ( v ) ‖ ≤ ϕ ( v ) − ϕ ( f ( v ) ) 成立即可。

若 ，则显然 ‖ v − f ( v ) ‖ ≤ ϕ ( v ) − ϕ ( f ( v ) ) 成立。

若 v ≠ f ( v ) ，则 f ( v ) = x 0 。由(1) (2)知，

故 ‖ v − f ( v ) ‖ ≤ ϕ ( v ) − ϕ ( f ( v ) ) 成立。

再由两种拓扑下随机赋范模的完备性以及下半连续函数的关系 [ 5 ]，可得T_C-完备的RN-模上的方向压缩不动点定理如下：

推论3 (T_C-完备RN-模上的方向压缩不动点定理)

设 ( E , ‖ ⋅ ‖ ) 为数域R上以 ( Ω , F , P ) 为基的T_C-完备RN-模且具有可数连结性质。 k ∈ L + + 0 且在 Ω 上 0 < k < 1 。 T : E → E 为T_C-连续函数且具有局部性质。若对于任意的 v ∈ E ，存在 x 0 ∈ E 使得 x 0 ≠ v 且

1) ‖ v − x 0 ‖ + ‖ T v − x 0 ‖ = ‖ v − T v ‖ ；

2) ‖ T v − x 0 ‖ ≤ ‖ v − x 0 ‖ 。

则T有不动点。

本为在两种拓扑下证明了完备随机度量空间上的Ekeland变分原理与Caristi不动点定理的等价性。并在两种拓扑下建立了完备随机赋范模上的方向压缩不动点定理。

国家自然科学基金(No: 11601030)；北京市自然科学基金(No: 1194022)；“十三五”时期北京市属高校高水平教师队伍建设支持计划(No: CIT&TCD201704071)；北京联合大学人才强校优选-百杰计划(项目号：BPHR2018CZ09)。

杨玉洁,李 翀. 完备随机度量空间上Ekeland变分原理与Caristi不动点定理的等价性Equivalence of Ekeland Variational Principle and Caristi Fixed Point Theorem in Complete Random Metric Spaces[J]. 应用数学进展, 2019, 08(10): 1632-1635. https://doi.org/10.12677/AAM.2019.810192