陈著，黄凤辉^*

华南理工大学数学学院，广东 广州

收稿日期：2019年10月1日；录用日期：2019年10月17日；发布日期：2019年10月24日

对于齐次时间分数阶扩散方程，在精确解不光滑时，数值方法精度会下降。针对这种情况，本文提出加权Crank-Nicolson格式(简记为加权C-N格式)及其修正格式，在精确解不光滑时，修正原格式的第1步后，可恢复方法的时间2阶精度。本文接着给出详细的收敛性分析，并且数值算例验证了方法的有效性。

关键词 :时间分数阶扩散方程，Crank-Nicolson格式，收敛性

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分数阶微分方程的数值方法的精度常依赖于精确解的光滑性。针对精确解不光滑的情况，许多学者开始研究数值方法的修正格式，以保持离散格式的高精度。例如，Lubich [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] 给出基于1阶和2阶向后差分格式的两种修正方法，并给出收敛性分析。Yan [ 4 ] [ 5 ] 考虑L1格式的修正格式，并提出基于分段2次插值 的新型离散格式，然后给出其修正格式。Tadjeran [ 6 ] 提出分数阶扩散方程的2阶C-N格式，Jin [ 7 ] 接着考虑分数阶C-N格式的修正。在本文中，我们考虑齐次分数阶扩散方程的加权C-N格式，并针对精确解不光滑的情况提出比较简单的修正方法，只需修正原格式的第1步，即可保持格式的2阶时间精度。本文接着给出修正格式的收敛性分析，最后通过数值算例验证方法的有效性。

本文考虑如下齐次分数阶扩散方程：

{ D 0 C u t α ( x , t ) − A u ( x , t ) = 0 , L < x < R , 0 < t ≤ T u ( x , 0 ) = u 0 , L < x < R u ( L , t ) = b L ( t ) , u ( R , t ) = b R ( t ) , 0 < t ≤ T (1)

其中 0 < α ≤ 1 ， D 0 C u t α ( x , t ) 是Caputo时间分数阶导数，其定义为：

D 0 C u t α ( x , t ) = { 1 Γ ( 1 − α ) ∫ 0 t ( t − s ) − α u ′ ( s ) d s , 0 < α < 1 d u ( x , t ) d t , α = 1 (2)

算子A表示有界正则区域上的自伴正定二阶椭圆偏微分算子 [ 4 ]，满足

‖ ( z − A ) − 1 ‖ ≤ C | z | − 1 , ∀ z ∈ Σ ω = { z ≠ 0 : | arg z | < ω } , ω ∈ ( π 2 , π ) (3)

其中 ‖ · ‖ 表示 L 2 范数，记 D 0 R u t α ( x , t ) 为Riemman-Liouville导数，则有 D 0 R ( u ( x , t ) − u 0 ) t α = D 0 C u t α ( x , t ) 。

令 V ( t ) = u ( t ) − u 0 ，则方程(1)可表示为：

D 0 C V t α ( x , t ) − A V ( x , t ) = A u 0 (4)

令 τ 为时间步长， t n = n τ ,   n = 0 , 1 , 2 , ⋯ , N ,   0 ≤ t n ≤ T ，h为空间步长， x i = L + i h ,   i = 0 , 1 , ⋯ , M ,   L ≤ x i ≤ R 。 ∂ ¯ t α V ( t n ) : = τ − α ∑ j = 0 n b n − j V j 表示 D 0 R u t α ( x , t ) 的向后Euler卷积逼近，其生成函数为：

b ˜ ( ξ ) = ∑ j = 0 ∞ b j ξ j = ( 1 − ξ ) α (5)

分数阶导数的逼近格式在 t n 时刻的时间精度为1阶，在 t n − α 2 τ 时刻的时间精度为2阶，对 A V ( t ) 在 t n 时刻和 t n − 1 时刻作线性拉格朗日插值，可得 t n − α 2 τ 时刻的逼近格式 ( 1 − α 2 ) A V n + α 2 A V n − 1 。带入方程(4)，可得加权C-N格式：

τ − α ∑ j = 0 n b n − j V j − ( 1 − α 2 ) A V n − α 2 A V n − 1 = A u 0 , n = 1 , 2 , ⋯ , N (6)

在精确解不光滑的情况下，加权C-N格式达不到2阶时间精度。我们对加权C-N格式(6)的第1步得初值条件添加一个权系数 c 0 ，适当选取 可使离散格式保持2阶精度，加权C-N修正格式如下：

{ τ − α ∑ j = 0 n b n − j V j − ( 1 − α 2 ) A V n − α 2 A V n − 1 = ( 1 + c 0 ) A u 0 , n = 1 τ − α ∑ j = 0 n b n − j V j − ( 1 − α 2 ) A V n − α 2 A V n − 1 = A u 0 , n = 2 , ⋯ , N (7)

为了证明加权C-N修正格式的收敛性分析，我们先给出3个引理。

引理1：定义式子：

μ ( z ) = 1 − e − τ z ( 1 − α 2 + α 2 e − τ z ) 1 α ⋅ c 0 e − τ z + e − τ z 1 − e − τ z 1 − α 2 + α 2 e − τ z (8)

本文统一令 z ∈ Γ τ ， Γ τ = { z ∈ Γ : | ℑ z | ≤ π τ } ⊆ Σ ω [ 1 ]，当权系数 c 0 = 1 − α 2 时，则有：

| μ ( z ) − 1 | ≤ C τ 2 | z | 2 (9)

其中C为正常数。

证明：令 w = τ z ， f ( w ) = μ ( z ) − 1 ，则 lim x → 0 f ( w ) = 0 ， lim x → 0 f ′ ( w ) = c 0 + α − 1 2 = 0 ， lim x → 0 f ″ ( w ) ≠ 0 ，所以 μ ( w ) − 1 = O ( w 2 ) ，即可证得 | μ ( z ) − 1 | ≤ C τ 2 | z | 2 。

引理2：定义式子：

K ( z ) = z − 1 ( z α − A ) − 1 A (10)

z τ = 1 − e − τ z ( 1 − α 2 + α 2 e − τ z ) 1 α (11)

则下式成立：

‖ K ( z ) ‖ ≤ C | z | − 1 (12)

‖ K ( z τ ) ‖ ≤ C | z | − 1 (13)

其中 ‖ · ‖ 表示 L 2 范数，C为正常数。

证明：令 w = τ z ，则 w → 0 时， τ z τ = O ( w ) ，所以 c | τ z | ≤ | τ z τ | ≤ C | τ z | ，即 c | z | ≤ | z τ | ≤ C | z | 。

由引理1可得 z ∈ Σ ω , z α ∈ Σ ω ，将 z , z α 带入式(3)可得：

‖ ( z α − A ) − 1 ‖ ≤ C | z | − α (14)

‖ ( z τ α − A ) − 1 ‖ ≤ C | z | − α (15)

且下式成立：

( z α − A ) − 1 A = z α ( z α − A ) − 1 − I (16)

带入式(10)即可证得式(12)和(13)：

‖ K ( z ) ‖ = | z | − 1 ‖ z α ( z α − A ) − 1 − I ‖ ≤ C | z | − 1 (17)

‖ K ( z τ ) ‖ = | z τ | − 1 ‖ z τ α ( z τ α − A ) − 1 − I ‖ ≤ C | z | − 1 (18)

引理3： z , z α 分别由引理1和引理2定义，则下式成立：

‖ K ( z τ ) − K ( z ) ‖ ≤ C τ 2 | z | (19)

证明：令 w = τ z ， ，则 lim x → 0 g ( w ) = lim x → 0 g ′ ( w ) = lim x → 0 g ″ ( w ) = 0 ， lim x → 0 g ‴ ( w ) ≠ 0 ， ( 0 < α < 1 ) ，所以可得 g ( w ) = O ( w 3 ) ，即：

| z τ − z | ≤ C τ 2 z 3 (20)

由 | z τ α − z α | ≤ C | z | α − 1 | z τ − z | ≤ C τ 2 | z | 2 + α ( [ 8 ] 引理B.1)，且由式(16)及可得：

‖ K ( z τ ) − K ( z ) ‖ = ‖ z τ − 1 ( z τ α − A ) − 1 A − z − 1 ( z α − A ) − 1 A ‖ ≤ | z τ | − 1 ‖ ( z τ α − A ) − 1 A − ( z α − A ) − 1 A ‖ + | z τ − 1 − z − 1 | ‖ ( z α − A ) − 1 A ‖ ≤ | z τ | − 1 ‖ z τ α ( z τ α − A ) − 1 − z α ( z α − A ) − 1 ‖ + | z τ − 1 − z − 1 | ‖ z α ( z α − A ) − 1 − I ‖ ≤ C | z | − 1 | z τ α − z α | ‖ ( z τ α − A ) − 1 ‖ + C | z | − 1 | z | α ‖ ( z τ α − A ) − 1 − ( z α − A ) − 1 ‖ + C | z − z τ | | z z τ | ≤ C τ 2 | z | − 1 | z | 2 + α | z | − α + C | z | α − 1 ‖ ( z α − z τ α ) ( z τ α − A ) − 1 ( z α − A ) − 1 ‖ + C τ 2 | z | ≤ C τ 2 | z | (21)

其中 ( z τ α − A ) − 1 − ( z α − A ) − 1 = ( z α − z τ α ) ( z τ α − A ) − 1 ( z α − A ) − 1 ，即证得引理3。

为了给出收敛性分析，接下来我们分别借助Laplace变换和Cauchy积分公式，给出齐次分数阶扩散方程(4)的精确解和加权C-N修正格式(7)的数值解。对方程(4)作Laplace变换可得：

V ^ ( z ) = z − 1 ( z α − A ) − 1 A u 0 (22)

对式(21)作Laplace逆变换可得方程(4)的精确解：

V ( t ) = 1 2 π i ∫ Γ e t z z − 1 ( z α − A ) − 1 A u 0 d z = 1 2 π i ∫ Γ e t z K ( z ) u 0 d z (23)

其中 Γ = { z : | arg z | = θ } ⊆ Σ ω ， θ ∈ ( α 2 , α 1 + α ) [ 4 ]。

考虑加权C-N修正格式(7)，式子两边同乘 ξ n ，并关于n求和， n = 1 , 2 , ⋯ ，令 V ˜ ( ξ ) = ∑ n = 1 ∞ V n ξ n ，于是 ∑ n = 1 ∞ ( ∑ j = 0 n b n − j V j ) ξ n = ( ∑ j = 0 ∞ b j ξ j ) ( ∑ n = 1 ∞ V n ξ n ) ，由式(5)可得：

τ − α b ˜ ( ξ ) V ˜ ( ξ ) − ( 1 − α 2 + α 2 ξ ) A V ˜ ( ξ ) = ( c 0 ξ + ξ 1 − ξ ) A u 0 (24)

V ˜ ( ξ ) = c 0 ξ + ξ 1 − ξ 1 − α 2 + α 2 ξ ⋅ [ ( 1 − ξ τ ( 1 − α 2 + α 2 ξ ) 1 α ) α − A ] − 1 A u 0 (25)

令 ξ = e − τ z ，由Cauchy积分公式及式(8)、(10)和(11)可得加权C-N修正格式的数值解：

V n = 1 2 π i ∫ | ξ | = ρ ξ − n − 1 V ˜ ( ξ ) d ξ = τ 2 π i ∫ Γ τ e t n z V ˜ ( e − τ z ) d z = 1 2 π i ∫ Γ τ e t n z μ ( z ) K ( z τ ) u 0 d z (26)

定理1 V ( t n ) , V n 分别为 t = t n 时刻方程(4)的精确解和加权C-N修正格式(7)的数值解，则下式成立：

‖ V ( t n ) − V n ‖ ≤ C τ 2 t n − 2 ‖ u 0 ‖ (27)

证明： ‖ V ( t n ) − V n ‖ = ‖ 1 2 π i ∫ Γ τ e t n z [ K ( z ) − μ ( z ) K ( z τ ) ] u 0 d z + 1 2 π i ∫ Γ / Γ τ e t n z K ( z ) u 0 d z ‖ ≤ ‖ I ‖ + ‖ I I ‖ ，而 ‖ μ ( z ) K ( z τ ) − K ( z ) ‖ ≤ | μ ( z ) − 1 | ‖ K ( z τ ) ‖ + ‖ K ( z τ ) − K ( z ) ‖ ，由引理1和引理2可得：

‖ μ ( z ) K ( z τ ) − K ( z ) ‖ ≤ C τ 2 | z | (28)

接着考虑 ‖ I ‖ , ‖ I I ‖ ，令 r = t n | z | ，c为正常数，则：

‖ I ‖ ≤ 1 2 π ∫ Γ τ | e t n z | ‖ μ ( z ) K ( z τ ) − K ( z ) ‖ ⋅ ‖ u 0 ‖ d z ≤ C ∫ Γ τ | e t n z | τ 2 | z | ‖ u 0 ‖ d z ≤ C τ 2 ∫ 0 ∞ e − c r r t n − 1 t n − 1 ‖ u 0 ‖ d r ≤ C τ 2 t n − 2 ‖ u 0 ‖ (29)

‖ I ‖ ≤ 1 2 π ∫ Γ / Γ τ | e t n z | ‖ K ( z ) ‖ ‖ u 0 ‖ d z ≤ C ∫ 1 τ ∞ e − c t n | z | | z | − 2 | z | d z ≤ C τ 2 ∫ 0 ∞ e − c r r t n − 1 t n − 1 ‖ u 0 ‖ d r ≤ C τ 2 t n − 2 ‖ u 0 ‖ (30)

则可证得 ，即权系数取 c 0 = 1 − α 2 时，加权C-N修正格式为时间2阶精度。

数值算例1：考虑如下齐次分数阶扩散方程：

{ D 0 C u t α ( x , t ) − 1 4 π 2 ∂ 2 u ∂ t 2 = 0 , 0 < x < 1 , 0 < t ≤ T u ( x , 0 ) = sin ( 2 π x ) , 0 < x < 1 u ( 0 , t ) = u ( 1 , t ) = 0 , 0 < t ≤ T (31)

该方程的精确解为 u ( x , t ) = ∑ k = 0 ∞ ( − t α ) k Γ ( α k + 1 ) sin ( 2 π x ) ，u在 t = 0 时不光滑。不同时间步长的误差如表1所示，不同 α 下的误差与对应步长的对数关系如图1所示，其中空间步长取 h = 10 − 4 , T = 1 ，统一取离散误差为 L 2 误差 ‖ V ( t N ) − V N ‖ 。

表1. 加权C-N格式(6)和加权C-N修正格式(7)的 L 2 误差

表1给出不同 α 及不同时间步长取值下，两种方法所得的误差。方法(a)为加权C-N格式离散，方法(b)为加权C-N修正格式离散，由表1可以看出，两种格式误差均收敛，且修正后的误差更小，方法更精确。

图1. 误差与时间步长的关系

图1给出不同 α 下误差与时间步长的关系，两坐标均为对数坐标，其中图1(a)为加权C-N格式，图1(b)为加权C-N修正格式。正如理论证明的结果一样，加权C-N格式只有1阶时间精度，而修正后的格式可达到2阶时间精度。

数值算例2：考虑如下齐次分数阶扩散方程：

{ D 0 C u t α ( x , t ) − 1 4 π 2 ∂ 2 u ∂ t 2 = 0 , 0 < x < 1 , 0 < t ≤ T u ( x , 0 ) = x ( 1 − x ) , 0 < x < 1 u ( 0 , t ) = u ( 1 , t ) = 0 , 0 < t ≤ T (32)

该方程的精确解为 u ( x , t ) = 8 π 3 ∑ n = 1 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) 3 E α ( − ( 2 n + 1 ) 2 π 2 t α ) sin ( ( 2 n + 1 ) π x ) ，u在 t = 0 时不光滑。取 α = 0. 1 ，不同时间步长下的两种格式的误差和精度如表2所示。

表2. 加权C-N格式(6)和加权C-N修正格式(7)的误差和时间精度

由表2可以看出，随着时间步长减小，两方法的误差均减小，但加权C-N格式只有1阶时间精度，而修正格式的精度可达到2阶。

国家自然科学基金青年科学基金项目(61802129)，广东省国家青年基金纵向协同项目(2018A030310381)。

陈 著,黄凤辉. 齐次分数阶扩散方程的加权C-N格式及其修正Weighted C-N Scheme of HomogeneousFractional Di?usion Equations and Its Correction[J]. 应用数学进展, 2019, 08(10): 1611-1618. https://doi.org/10.12677/AAM.2019.810189