Tsui K. W.，Weerahandi [ 6 ] 和Weerahandi [ 7 ] 提出了广义推断的理论，并且给出广义推断方法来求检验的广义p值及参数的广义置信区间。

设 X 1 , ⋯ , X m 与 Y 1 , ⋯ , Y n 分别为从指数分布总体 exp ( λ 1 ) 和 exp ( λ 2 ) 中抽取的样本，由于 ∑ i = 1 m   X i 与 ∑ j = 1 n   Y j 是独立的充分统计量，且有：

U = 2 λ 1 ∑ i = 1 m   X i ~ χ 2 ( 2 m ) ,   V = 2 λ 2 ∑ j = 1 n   Y j ~ χ 2 ( 2 n ) ,

因此可构造广义枢轴量：

R λ 1 = U 2 ∑ i = 1 m x i ,   R λ 2 = V 2 ∑ j = 1 n y j , (1)

其中： ∑ i = 1 m   x i , ∑ j = 1 n   y i 分别是 ∑ i = 1 m   X i 和 ∑ j = 1 n   Y j 的样本观测值，因此可以得到参数T的广义枢轴量：

R T = R λ 2 R λ 1 + R λ 2 , (2)

容易证明 R T 确实是T的广义枢轴量。

考虑假设检验问题：

H 0 : T ≤ T 0 ,   H 1 : T > T 0 (3)

其中 T 0 为已知常数，则对于假设检验问题(3)可给出广义p值为：

p = P r ( R T ( X , Y , x , y , λ 1 , λ 2 ) ≤ r ( x , y , x , y , λ 1 , λ 2 ) | T = T 0 ) = P r ( V / ( 2 ∑ j = 1 n y j ) U / ( 2 ∑ i = 1 m x i ) + V / ( 2 ∑ j = 1 n y i ) ≤ T 0 ) = P r ( V ≤ T 0 ⋅ U ⋅ ∑ j = 1 n y i ( 1 − T 0 ) ⋅ ∑ i = 1 m x i ) = E U ( F V ( T 0 ⋅ U ⋅ ∑ j = 1 n y i ( 1 − T 0 ) ∑ i = 1 m x i ) ) ,

其中 r ( x , y , x , y , λ 1 , λ 2 ) 是给定样本下参数的广义枢轴量的观测值， F V ( ⋅ ) 自由度为2n的卡方分布的分布函数。根据假设检验与区间估计的一一对应关系，我们可以得到T的置信系数为 γ 单侧置信下限：

P ( R T ( X , Y , x , y , λ 2 , λ 2 ) ≥ c ) = P r ( U ≤ V ∑ i = 1 m x i ( 1 / c − 1 ) ∑ j = 1 n y i ) = E V ( F U ( V ∑ i = 1 m x i ( 1 / c − 1 ) ∑ j = 1 n y i ) ) = γ ,

其中 F U ( ⋅ ) 是自由度为2m的卡方分布的分布函数。因此，T的置信系数为 γ 的置信区间为 ( − ∞ , c γ ) ，其中 c γ 满足：

E V ( F U ( V ∑ i = 1 m x i ( 1 / c γ − 1 ) ∑ j = 1 n y i ) ) = γ .

另外,由于 ∑ i = 1 m   X i 与 ∑ j = 1 n   Y j 是独立的充分统计量，且有：

λ 1 m ∑ i = 1 m X i λ 2 n ∑ j = 1 n Y i ~ F ( 2 m ,2 n ) ,

即：

λ 1 X ¯ λ 2 Y ¯ ~ F ( 2 m ,2 n ) ,

其中 X ¯ = ∑ i = 1 m   X i m 、 Y ¯ = ∑ j = 1 n   Y j n ，则可以得到 λ 1 λ 2 的广义枢轴量为：

R λ 1 λ 2 = W y ¯ x ¯ ,

其中W是服从自由度为2m和2n的F分布， x ¯ 与 y ¯ 分别是 X ¯ ， Y ¯ 的观测值，由此有：

R T = 1 1 + R λ 1 / λ 2 .

下面给出关于假设检验问题(3)的广义p值检验犯第一类错误的概率以及参数的双侧置信区间覆盖概率的算法。我们通过Monte Carlo方法来实现。

i) 分别从两个指数分布总体中抽取样本量分别为m和n的样本，得到观测值 { ( x 1 , ⋯ , x m ) , ( y 1 , ⋯ , y n ) } ：

ii) 计算 ∑ i = 1 m   x i ; ∑ j = 1 n   y j ：

iii) 产生 U ~ χ 2 ( 2 m ) 与 V ~ χ 2 ( 2 n ) 的实现值；

iv) 按(1)和(2)给出的公式计算 R T ；

v) 重复步骤(iii)-(iv) M次，得到M个 R T 的值，将这一系列 R T 从小到大排列，取其 α / 2 分位点与 1 − α / 2 分位点，分别记为 g ^ L , g ^ U ，得到参数T的一个双侧广义置信区间。计算M个 R T 中小于等于真值T的比率，作为假设检验问题(3)的广义p值；

vi) 重复步骤i)~v) L次，计算这L次得到的T的广义置信区间中包含真实值的个数，作为置信区间的覆盖概率，计算广义p值小于0.05的概率，作为检验犯第一类错误的概率。

下面给出可靠性参数广义置信区间的频率性质。根据文献 [ 8 ] ，有如下引理：

引理1：设 X ~ P θ , θ ∈ Θ , θ ^ x ( E ) , E ~ Q 是 θ 的Fiducial模型， g ( θ ) 是 θ 的正规参数函数，在Q下 g ( θ ^ x ( E ) ) 的分布是 g ( θ ) 的Fiducial分布。记 F ( G ) x ( g ) 为 g ( θ ) 的Fiducial分布函数，若

g ^ α ( x ) = i n f { g : F ( G ) x ( g ) ≥ α }

是Fiducial分布的 α 分位数， α ∈ ( 0,1 ) ，则有：

P θ ( g ( θ ) < g ^ α ( X ) ) = α

对所有 θ ∈ Θ 成立，即作为 g ( θ ) 的置信下限， g ^ α ( x ) 具有频率意义下的实际置信水平 1 − α 。

定理1：单参数指数分布可靠性参数 T = λ 2 λ 1 + λ 2 的广义置信区间具有频率意义下的实际置信水平 1 − α ，即 P ( g ^ L < λ 2 λ 1 + λ 2 < g ^ U ) = 1 − α 。

证明：

P ( g ^ L < λ 2 λ 1 + λ 2 < g ^ U ) = P ( λ 2 λ 1 + λ 2 < g ^ U ) − P ( λ 2 λ 1 + λ 2 < g ^ L ) = P ( F R T ( λ 2 λ 1 + λ 2 ) < 1 − α 2 ) − P ( F R T ( λ 2 λ 1 + λ 2 ) < α 2 ) ,

其中， F R T 表示 R T 的分布函数。由于：

P ( F R T ( λ 2 λ 1 + λ 2 ) < 1 − α 2 ) = P ( P ( U / 2 ∑ i = 1 m x i U / 2 ∑ i = 1 m x i + V / 2 ∑ j = 1 n y i ≤ λ 2 λ 1 + λ 2 ) < 1 − α 2 )

根据枢轴方程 U = 2 λ 1 ∑ i = 1 m   X i , V = 2 λ 2 ∑ j = 1 n   Y j ，设 2 ∑ i = 1 m   X i = U * λ 1 , 2 ∑ j = 1 n   Y j = V * λ 2 ，其中 ( U * , V * ) 分别与 ( U , V ) 独立同分布。根据引理1，上式可表示为：

P ( P ( U * V * ≤ U V ) < 1 − α ) = P U * / V * ( F U / V ( U * V * ) > α / 2 ) = 1 − α / 2 ,

其中， F U / V ( ⋅ ) 是 U V 的分布函数。同理

P ( F T ( λ 2 λ 1 + λ 2 ) < α / 2 ) = α / 2

因此 P ( g ^ L < λ 2 λ 1 + λ 2 < g ^ U ) = 1 − α 。得证。

设 X 1 , ⋯ , X m 与 Y 1 , ⋯ , Y n 分别为从指数分布总体 exp ( λ 1 ) 和 exp ( λ 2 ) 中抽取的样本，由于 λ 1 ， λ 2 的极大似然估计分别为：

λ ^ 1 = 1 X ¯ ,   λ ^ 2 = 1 Y ¯ ,

则根据极大似然估计的不变性得到T的极大似然估计为：

T ^ = X ¯ X ¯ + Y ¯ . (4)

下面考虑在大样本情况下T的极大似然估计的渐近分布，根据D. S. Bai和Y. W. Hong (1992)，令 n = n 1 + n 2 ，其中 n 1 和 n 2 分别表示从两个指数分布总体抽取的样本数。令 b = n 1 n ，当 n → ∞ 时，有 n ( T ^ − T ) → L N ( 0, T 2 ( 1 − T ) 2 b ( 1 − b ) ) ，因此， n b ( 1 − b ) T ( 1 − T ) ( T ^ − T ) → L N ( 0,1 ) 。这样，我们可以得到参数T的近似置信区间

[ T ^ − U 1 − α / 2 ⋅ T ^ ( 1 − T ^ ) n b ( 1 − b ) , T ^ + U 1 − α / 2 ⋅ T ^ ( 1 − T ^ ) n b ( 1 − b ) ] ,

其中 U 1 − α / 2 是标准正态分布的 1 − α / 2 分位点。

对于假设检验问题(3)，得到检验的p值为：

p = 1 − Φ ( n b ( 1 − b ) T 0 ( 1 − T 0 ) ( T ^ − T 0 ) ) ,

其中， Φ 是标准正态分布的累积分布函数。

Bootstrap方法最早是由斯坦福大学教授Efron于1977年提出的，该方法认为经验分布函数能够较好地拟合总体分布，下面给出基于bootstrap方法的指数分布可靠性参数的区间估计中较常用的一种方法，Bootstrap-t区间估计 [ 9 ] 。

记 T ^ 是T的极大似然估计， V ^ ( T ^ ) 是 T ^ 的方差估计， T ^ * 是通过Boostrap样本得到的T的极大似然估计， V ^ ( T ^ * ) 是 T ^ 的方差的Bootstrap估计。

i) 分别从两个指数分布总体抽取样本量为 n 1 和 n 2 的样本集合，记为 W 1 、 W 2 ；

ii) 通过样本 W 1 、 W 2 利用公式(4)求出 T ^ ；

iii) 分别从 W 1 与 W 2 中再抽取样本量为 n 1 和 n 2 的Bootstrap样本，记为 Q 1 和 Q 2 ；

iv) 通过样本 Q 1 和 Q 2 求出 Z * = T ^ * − T ^ V ^ ( T ^ * ) 1 / 2 ；

v) 重复步骤(iii)-(iv) M次，得到M个 T ^ ，从小到大排序，取其 α 分位点 z α / 2 与 1 − α 分位点 z 1 − α / 2 ，得到参数T的一个双侧Bootstrap置信区间 ( T ^ − z 1 − α / 2 * V ^ ( T ^ ) 1 / 2 , T ^ − z α / 2 * V ^ ( T ^ ) 1 / 2 ) ；

vi) 重复步骤i)~v) L次，计算这L次得到的T的置信区间中包含真实值的概率，作为置信区间的覆盖概率。

通过抽取的样本 X = ( X 1 , ⋯ , X m ) ， Y = ( Y 1 , ⋯ , Y n ) 可以得到似然方程为：

L ( λ 1 , λ 2 | x , y ) = λ 1 m λ 2 n e − λ 1 ∑ i = 1 m x i − λ 2 ∑ j = 1 n y i , λ 1 > 0 , λ 2 > 0 ,

取 λ 1 、 λ 2 的先验分布为非信息先验分布： π ( λ i ) = 1 λ i , λ i > 0 , i = 1 , 2

因此在给定X、Y下， λ 1 和 λ 2 的后验分布函数为：

Π 1 ( λ 1 | x ) = λ 1 m − 1 exp ( − λ 1 ∑ i = 1 m x i ) ∫ 0 + ∞ λ 1 m − 1 exp ( − λ 1 ∑ i = 1 m x i ) d λ 1 = λ 1 m − 1 ( ∑ i = 1 m x i ) m exp ( − λ 1 ∑ i = 1 m x i ) Γ ( m ) , (5)

Π 2 ( λ 2 | y ) = λ 2 n − 1 exp ( − λ 2 ∑ j = 1 n y i ) ∫ 0 + ∞ λ 2 n − 1 exp ( − λ 2 ∑ j = 1 n y i ) d λ 1 = λ 2 n − 1 ( ∑ j = 1 n y i ) n exp ( − λ 2 ∑ j = 1 n y i ) Γ ( n ) , (6)

得到 λ 1 和 λ 2 的后验分布分别是参数为 ( m , ∑ i = 1 m   x i ) 和 ( n , ∑ j = 1 n   y j ) 的伽玛分布。

我们通过Monte Carlo模拟来确定T的置信区间，下面给出具体算法：

i) 通过公式(5)和(6)产生 λ 1 和 λ 2 ；

ii) 通过得到的 ( λ 1 , λ 2 ) ，计算得到T；

iv) 重复步骤(i)-(ii) M次，得到 T 1 , ⋯ , T M ，并将它们从小到大排序；

v) 取其 α / 2 分位点与 1 − α / 2 分位点，得到参数T的一个置信区间；

vi) 重复步骤i)~v) L次，计算这L次得到的置信区间中包含真实值T的概率作为置信区间的覆盖概率。