代洪梅，金良琼

贵州民族大学，数据科学与信息工程学院，贵州 贵阳

收稿日期：2019年6月11日；录用日期：2019年6月21日；发布日期：2019年6月28日

本文在时变波动率Black-Scholes模型下，研究了到期区间理财产品的定价问题。首先，利用偏微分方程方法得到了金融理财产品的定价公式。接着，利用二次变差方法提取积分波动率，再选取四种理财产品进行实证分析，并对其选择给出建议。最后，为投资者选择金融理财产品提供了一系列的参考建议。

关键词 :金融理财产品，偏微分方程，定价公式，二次变差

Copyright © 2019 by author(s) and beplay安卓登录

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

随着时代的发展，我国个人财富以及个人理财有了较大增长。为了抵补资本在时间上的损失，人们常常将流动资产用于投资。同时，银行为了吸纳闲散资金，推出了各种理财产品，到期区间理财产品就是其中一种。

理财产品的核心问题是定价，一个理财产品是否成功，关键在于定价是否合理，是否能让发行单位和投资人实现双赢。金融理财产品的定价源自于欧式期权定价。目前，相关期权定价方法的理论研究日趋成熟。文献 [ 1 ] 以零息票为计价单位，研究了利率服从HJM模型下的欧式期权定价问题。为了刻画欧式期权价格估值的不确定性和投资者的犹豫程度，文献 [ 2 ] 用三角直觉模糊数表示风险资产的变化因子，构建了三角直觉模糊数的二叉树模型，进而研究了欧式期权定价问题。文献 [ 3 ] [ 4 ] 采用了摄动方法研究了非线性Black-Scholes模型下的欧式障碍期权定价问题。在一定的假设条件下，用Green函数分析了近似结论的误差估计。之后文献 [ 5 ] 采用单参数方法分别研究了修正的欧式期权定价问题，并且采用了Feymann-Kac公式分析了相应结论的误差问题。

关于期权定价方法的研究国内外有很多，但具体到银行理财产品定价问题的文献却不多见。考虑理财产品的价值是投资人选择理财产品的重要指标之一，同时，理财产品的定价对理财产品的投资活动具有指导意义。基于此，本文研究了挂钩于沪深300指数的到期区间理财产品定价问题。

表1收集了四款挂钩于沪深300指数的到期区间理财产品。在进行理财产品价值分析之前，先对沪深300指数适合的随机模型进行识别和参数估计。本节选取了2018年5月16日至8月14日的沪深300指数数据，时间间隔为1天，共计63个数据(见表2)。

表1. 中国农业银行金融理财产品

表2. 沪深300指数数据

首先，将数据录入Eviews软件，取对数并一次差分后进行ADF检验，输出结果见表3，由结果可知t统计量为−8.333832，比三个临界值都要小，说明处理之后的数据不存在单位根，即通过单位根检验，故我们认定数据平稳。

表3. 沪深300指数开盘价格：对数差分数据的平稳性

其次，由数据的自相关性(见图1)，数据的自相关系数全部位于虚线内并且对应的P值均大于0.05，这表明数据之间不相关，符合白噪声序列的条件之一。

图1. 沪深300指数开盘价格：对数差分数据的相关性

最后，由描述统计数据(见图2)，均值为−0.000204，中位数为−0.000641，最大值为0.034319，最小值为−0.038160，标准差为0.014282，偏度系数为0.035154，表明数据无偏，峰度系数为3.407955，表明数据的分布比标准正态分布略尖。计算得到的JB统计量的值为0.435568，对应的P值为0.804299，不能拒绝对数数据的一次差分是正态的。由表4也不能拒绝沪深300指数对数一次差分数据之间是独立的，从而我们可以认定沪深300指数对数一次差分为正态白噪声序列。

图2. 沪深300指数开盘价格：对数数据一次差分的统计描述

表4. 沪深300指数开盘价格：对数数据一次差分的独立性

基于以上分析，本文采用如下修正的几何Brown运动模型来描述进行对数一次差分处理后的沪深300指数

d S t = μ ( t ) S t d t + σ ( t ) S t d ω t (1)

其中 ω t 表示定义在完备概率空间 ( Ω , F , Ρ ) 上的布朗运动，波动率 σ ( t ) ，无风险收益率 r ( t ) 和股票期望收益率 μ ( t ) 都是时间的函数。

在接下来的章节中，将用公式(1)刻画沪深300指数，并用其研究挂钩于沪深300指数的到期区间理财产品定价问题。

根据到期区间理财产品的收益说明(见表1)，其到期之后的收益可以表示为

( 1 + r 1 T ) I { S ( T ) ∈ [ K 1 , K 2 ] } + ( 1 + r 2 T ) I { S ( T ) ∉ [ K 1 , K 2 ] } (2)

其中 S ( T ) 表示在到期日T时刻黄金的价格， r 1 表示起始日的利率， r 2 表示到期日的利率，[K₁, K₂]表示约定的执行区间。根据金融市场的自融资策略 [ 6 ] ，投入一个单位的本金、并且损益公式为公式(2)的金融理财产品的价格满足抛物偏微分方程。

{ L C = 0 ,     ( t , S ) ∈ ( 0 , T ] × R + C ( T , S ) = ( 1 + r 1 T ) I { S ∈ [ K 1 , K 2 ] } + ( 1 + r 2 T ) I , { S ∉ [ K 1 , K 2 ] }     S ∈ R + (3)

其中

L C = ∂ t C + 1 2 σ 2 ( t ) S 2 ( t ) S 2 ∂ s s C + r ( t ) S ∂ s C − r ( t ) C

下面我们考察公式(3)的解。令

x = ln S + ∫ t T r ( z ) d z − s ,     s = 1 2 ∫ t T σ 2 ( s ) d s (4)

并定义

C ( t , S ) = exp { − ∫ t T r ( z ) d z } U ( s , x ) (5)

则

∂ C ∂ t = exp { − ∫ t T r ( z ) d z } [ r ( t ) U − 1 2 σ 2 ( t ) ∂ U ∂ s + ( − r ( t ) + 1 2 σ 2 ( t ) ) ∂ U ∂ x ]

∂ C ∂ S = 1 S exp { − ∫ t T r ( z ) d z } ∂ U ∂ x

∂ 2 C ∂ S 2 = 1 S 2 exp { − ∫ t T r ( z ) d z } [ ∂ 2 U ∂ x 2 − ∂ U ∂ x ]

将上述结果代入公式(3)得

∂ U ∂ s = ∂ 2 U ∂ x 2 ,     ( s , x ) ∈ [ 0 , T ] × R

由公式(4)和公式(5)可知，当 t = T ， U ( 0 , x ) = C ( T , S ) 时

U ( 0 , x ) = ( 1 + r 1 T ) I { e x ∈ [ K 1 , K 2 ] } + ( 1 + r 2 T ) I { e x ∉ [ K 1 , K 2 ] } (6)

根据热传导方程的经典解理论，其唯一强解可表示为

U ( s , x ) = 1 2 π s ∫ R u 0 ( z ) exp { − ( z − x ) 2 4 s } d z = I 1 + I 2 (7)

其中

I 1 = ( 1 + r 1 T ) 1 2 π s ∫ R I { e x ∈ [ K 1 , K 2 ] } exp { − ( z − x ) 2 4 s } d z

I 2 = ( 1 + r 2 T ) 1 2 π s ∫ R I { e x ∉ [ K 1 , K 2 ] } exp { − ( z − x ) 2 4 s } d z

利用公式(7)可得本文的主要结论。

定理1 [ 7 ] 损益为公式(2)的金融理财产品在t时刻的价格为

C ( t , S ) = ( 1 + r 1 T ) exp { − ∫ t T r ( z ) d z } Φ ( d 1 ) − ( 1 + r 1 T ) exp { − ∫ t T r ( z ) d z } Φ ( d 2 )     + ( 1 + r 2 T ) exp { − ∫ t T r ( z ) d z } Φ ( − d 1 ) + ( 1 + r 2 T ) exp { − ∫ t T r ( z ) d z } Φ ( d 2 ) (8)

其中

d 1 = ln S − ln K 1 + ∫ t T r ( z ) d z − 1 2 ∫ t T σ 2 ( s ) d s ∫ t T σ 2 ( s ) d s

d 2 = ln S − ln K 2 + ∫ t T r ( z ) d z − 1 2 ∫ t T σ 2 ( s ) d s ∫ t T σ 2 ( s ) d s

证明：*首先计算 I 1 ，利用积分换元，我们有

I 1 = ( 1 + r 1 T ) 1 2 π s ∫ ln K 1 ln K 2 exp { − ( z − x ) 2 4 s } d z = ( 1 + r 1 T ) 1 2 π ∫ ln K 1 − x 2 π ln K 2 − x 2 π exp { − y 2 2 } d y

从而

I 1 = ( 1 + r 1 T ) Φ ( x − ln K 1 2 s ) − ( 1 + r 1 T ) Φ ( x − ln K 2 2 s ) (9)

同理

I 2 = ( 1 + r 2 T ) Φ ( ln K 1 − x 2 s ) + ( 1 + r 2 T ) Φ ( x − ln K 1 2 s ) (10)

将公式(9)和公式(10)代入公式(7)，可得结论成立。*

证毕。

下面我们用文中所得的结论研究表1所述的几种人民币金融理财产品。由于金融理财产品需要投资者初始时刻就必须决定是否购买，且不允许转让。从而只需考虑这些金融理财产品在0时刻的价值，既 t = 0 。

另外，在使用公式(10)之前，也必须事先确定近期沪深300指数的波动率函数 σ ( t ) 的分别在区间 [ 0 , 90 / 365 ] 和 [ 0 , 62 / 365 ] 上的积分值。这样一来，问题就转化成了积分波动率 ∫ 0 90 / 365 σ 2 ( s ) d s 和 ∫ 0 62 / 365 σ 2 ( s ) d s 的估计问

题。受开盘制度的限制(周末、节假日不开盘)，使得表(1)中相邻数据之间的时间间隔并不统一，下面构造一种新的积分波动率估计方法。

对公式(1)利用Ito公式 [ 8 ] ，易得

d ln S ( t ) = [ r ( t ) − 1 2 σ 2 ( t ) ] d t + σ ( t ) d ω t

对任意的固定时间T，假定在有限的时间区间[0, T]上有n + 1个观测值， S ( t 0 ) , S ( t 1 ) , ⋯ , S ( t n ) 其中 0 = t 0 < t 1 < ⋯ < t n = T 是区间[0, T]的任一分割。令 Δ n = max n ( t i − t i − 1 ) ，则由二次变差过程的定义可知

[ ln S , ln S ] ( T ) = P lim Δ n → 0 ∑ 0 < t i ≤ T ( ln S ( t i ) − ln S ( t i − 1 ) ) 2 = ∫ 0 T σ 2 ( s ) d s (11)

这表明 ∑ 0 < t i ≤ T ( ln S ( t i ) − ln S ( t i − 1 ) ) 2 是积分波动率 ∫ 0 T σ s 2 d s 的渐进无偏估计。此外，Banrndorff和Shepherd还证明了 ∑ 0 < t i ≤ T ( ln S ( t i ) − ln S ( t i − 1 ) ) 2 是积分波动率 ∫ 0 T σ s 2 d s 的一致估计量 [ 9 ] [ 10 ] ，并且

1 Δ n [ ∑ 0 < t i ≤ T ( ln S ( t i ) − ln S ( t i − 1 ) ) 2 − ∫ 0 T σ s 2 d s ] 2 → P N ( 0 , ∫ 0 T σ 4 ( s ) d s ) (12)

其中 → P 表示依概率收敛。至此，我们可以采用 ∑ 0 < t i ≤ T ( ln S ( t i ) − ln S ( t i − 1 ) ) 2 来估计积分波动率 ∫ 0 T σ 2 ( s ) d s ，

数据处理过程见表5，其中 ln s i 是表1中沪深300指数的对数数据， i = 1 , 2 , ⋯ , 63 。

x j = ln S j + 1 − ln S j , j = 1 , 2 , ⋯ , 62

表5. 沪深300指数积分波动率的提取

注意表1所列数据时间起点为2016年5月16日，终点为2016年8月12日，恰好90天，从而依据

公式(11)和(12)，可得90天的积分波动率 ∫ 0 90 / 365 σ s 2 d s 估计

∫ 0 90 / 365 σ s 2 d s = ∑ j = 1 90 x j 2 = 0 .00570789 (13)

由于表1中前两款区间金融理财产品其理财期限为62天，从而我们还需要积分波动率 ∫ 0 62 / 365 σ s 2 d s 。

选取2016年8月12日的数据(共计45个)，重复上面的分析，我们有62天的积分波动率

∫ 0 62 / 365 σ s 2 d s = ∑ j = 1 62 x j 2 = 0.00411275 (14)

注意人民币金融理财产品的投资年限不长，见表1，同时又因为我国人民币贷款利率短期内不会发生变化，从而我们以六个月以内的商业贷款利率为无风险利率，即

r = 1.1 % (15)

将公式(13)公式(14)以及公式(15)确定的各参数数值代入公式(8)可得各种到期区间金融理财产品的价格，见表6。

表6. 挂钩于沪深300指数的到期区间金融理财产品的价格

由表6可以看出如果投资期限是62天，金钥匙·如意组合2016年第283期沪深300指数到期窄幅波动人民币金融理财产品价格高；如果投资期限是90天，金钥匙·如意组合2016年第284期沪深300指数到期宽幅波动人民币金融理财产品价值更高。

贵州省科学技术基金项目(No.黔科合J字[ 2015 ]2076)，贵州省教育厅青年科技人才成长项目(No.黔教KY字[ 2016 ]168)。

代洪梅,金良琼. 时变波动率模型下到期区间理财产品定价问题Pricing of Financial Products in Maturity Interval under Time-Varying Volatility Model[J]. 应用数学进展, 2019, 08(06): 1192-1200. https://doi.org/10.12677/AAM.2019.86137