定理1 对于系统(2)有以下的结论成立：

1) 当 α 2 ≠ 0 时，系统(2)可从 ( u , λ ) = ( 0 , α + μ ) 处产生1个正则分歧解，其表达式如下：

u ¯ 1 = − 3 π ( λ − α − μ ) 8 α 2 sin x + O ( | λ − α − μ | 2 ) ； (4)

2) 当 α 2 = 0 , α 3 ≠ 0 时，系统(2)从 ( u , λ ) = ( 0 , α + μ ) 处产生2个正则分歧解，其表达式如下：

u ¯ + = 4 ( α + μ − λ ) 3 α 3 sin x + O ( | λ − α − μ | 1 2 ) u ¯ − = − 4 ( α + μ − λ ) 3 α 3 sin x + O ( | λ − α − μ | 1 2 ) (5)

证明 下面对以上定理进行证明：

第1步 求出 L λ = A + B λ 的所有特征值以及其对应的特征函数.

先令 λ k 和 φ k ( k = 1 , 2 , ⋯ ) 是如下方程的第k个特征值和对应的特征函数

− d 2 φ k d x 2 = λ k φ k ，

φ k ( 0 ) = φ k ( π ) = 0 ，

∫ 0 π φ k 2 d x = 1 (6)

可解得方程(6)的特征值 { λ k | k = 1 , 2 , 3 , ⋯ } (计入重数)为 λ k = k 2 ，且其对应的特征函数 { φ k | k = 1 , 2 , 3 , ⋯ } 为

φ k = 2 π sin k x

由此可得方程(3)中的算子 L λ 特征值为

{ β k ( λ ) = λ − α k 2 − μ k 4 | k = 1 , 2 , ⋯ } ，

且方程(6)的特征函数 { φ k | k = 1 , 2 , 3 , ⋯ } 满足正交性，即：

〈 φ i , φ j 〉 H = { 1 , i = j , 0 , i ≠ j .

参考文献 [ 8 ] 可知，算子 L λ 的特征函数 { φ k | k = 1 , 2 , 3 , ⋯ } 可以在空间 H 1 中构成一组正交基.

易得算子 L λ 的第一特征值是

β 1 ( λ ) = λ − α − μ ，

则可得其对应的特征向量为

φ 1 = 2 π sin x

且 β j 满足

β j ( α + μ ) ≠ 0 , j ≥ 2

第2步 运用谱定理 [ 8 ] ，对空间H和算子 L λ 进行分解。

由谱定理 [ 8 ] 可得，在 λ = α + μ 的邻域内，空间H可以被分解为：

H 1 = E 1 ⊕ E 2 ， H = E 1 ⊕ E ¯ 2 ，

在上式中，

E 1 = s p a n { φ 1 } ， E 2 = s p a n { φ 2 , φ 3 , ⋯ } .

且线性算子 L λ 在 λ = α + μ 的邻域内可以被分解成：

L λ = L λ 1 + L λ 2 ，

其中，

L λ 1 : E 1 → E 1 ， L λ 2 : E 2 → E ¯ 2 .

先令 u ∈ H 1 ，则有 u = u 1 + u 2 ，其中 u 1 , u 2 满足： u 1 ∈ E 1 ， u 2 ∈ E 2 .

现不妨设

u 1 = x 1 φ 1 ， u 2 = ∑ j = 2 ∞ y j φ j ， y j ∈ R .

第3步 利用规范化的Lyapunov-Schmidt约化方法可以解出系统(2)的分歧解。

先将u₁和u₂代入方程(3)，可得如下等式：

β 1 ( λ ) x 1 + ∑ k = 2 p α k 〈 ( x 1 φ 1 + ∑ j = 2 ∞ y j φ j ) k , φ 1 〉 H = 0 (7)

β j ( λ ) y j + ∑ k = 2 p α k 〈 ( x 1 φ 1 + ∑ j = 2 ∞ y j φ j ) k , φ j 〉 H = 0 , j ≥ 2 (8)

由于在进行Lyapunov-Schmidt约化的过程中， α 2 的取值对约化方程的形式产生影响，所以本文根据 α 2 的取值分别做如下的分类讨论.

1) 当 α 2 ≠ 0 时，近似方程为

β j ( λ ) y i + α 2 x 1 2 〈 φ 1 2 , φ j 〉 H + O ( x 1 2 ) = 0 , j ≥ 2

又因为 φ 1 , φ j ( j ≥ 2 ) 满足

〈 φ 1 2 , φ 1 〉 = 8 2 3 π π , 〈 φ 1 2 , φ j 〉 = 0 , j ≥ 2

则可以解得

y j = O ( x 1 2 ) , j ≥ 2 。

再将 y j ( j = 2 , 3 , ⋯ ) 代入方程(7)，可得

β 1 ( λ ) x 1 + α 2 x 1 2 〈 φ 1 2 , φ 1 〉 H + O ( x 1 2 ) = 0

化简后的近似方程如下示：

β 1 ( λ ) x 1 + 8 2 α 2 x 1 2 3 π π = 0 。 (9)

进而可以得到1个分歧分支

x 1 = − 3 π π ( λ − α − μ ) 8 2 α 2 (10)

由此可知，方程(9)在 ( x , λ ) = ( 0 , α + μ ) 处产生了分歧，且分歧出了一个分歧解.

2) 当 α 2 = 0 ， α 3 ≠ 0 时，由(7)式可得

β 1 ( λ ) x 1 + α 3 〈 x 1 3 φ 1 3 , φ 1 〉 = 0

又由 φ 1 满足

〈 φ 1 3 , φ 1 〉 = 3 2 π

可得

β 1 ( λ ) x 1 + 3 α 3 2 π x 1 3 = 0 (11)

由以上可以解出如下分歧解：

x 1 + = 2 π ( α + μ − λ ) 3 α 3 , x 1 − = − 2 π ( α + μ − λ ) 3 α 3 (12)

由此可知，方程(11)在 ( x , λ ) = ( 0 , α + μ ) 处产生了分歧，且分歧出两个不同的分歧解.

第4步 讨论平衡态系统的分歧解及分歧解的正则性.

先讨论方程(9)和方程(11)的分歧解的正则性.

在方程(9)和方程(11)中，对应的对 x 1 求导的导数如下：

β 1 ( λ ) + 16 2 α 2 3 π π x 1 = − ( λ − α − μ ) (13)

β 1 ( λ ) + 3 α 3 2 π x 1 2 = − 2 ( λ − α − μ ) (14)

易见，在 λ = α + μ 的去心邻域内，若邻域充分小的情况下，则方程(13)和方程(14)皆不为零，由此可知方程(9)和方程(11)的分歧解都是正则的。再参考文献 [ 8 ] 分歧解的正则性相关定理，系统(2)的分歧解也都是正则的。

考虑当 α 2 ≠ 0 时，系统(2)的分歧解表达式如下

u ¯ 1 = − 3 π ( λ − α − μ ) 8 α 2 sin x + O ( | λ − α − μ | 2 ) ；

而当 α 2 = 0 时，系统(2)的分歧解表达式如下

u ¯ + = 4 ( α + μ − λ ) 3 α 3 sin x + O ( | λ − α − μ | 1 2 ) u ¯ − = − 4 ( α + μ − λ ) 3 α 3 sin x + O ( | λ − α − μ | 1 2 )

综上所述，定理得证。