在实际应用中可以将图像看作矩阵X。 X = A + E ，其中A是低秩矩阵，E为稀疏(噪声)矩阵 [ 2 ] 。则RPCA模型解决的问题是从带有稀疏大噪声的数据中精确的恢复出低秩矩阵。此模型可以表示为：

min A , E ‖ A ‖ ∗ + λ ‖ E ‖ 1     s .t . X = A + E (1)

其中 ‖   ⋅   ‖ 1 为矩阵的 l 1 范数， ‖   ⋅   ‖ ∗ 为矩阵的核范数。 λ = 1 / max ( m , n ) 。A是需要恢复的原矩阵，通常为

低秩的；E是未知的噪声矩阵；X是含噪声的矩阵。

对(1)构建增广拉格朗日函数得：

L μ ( A , E , Y ) = ‖ A ‖ ∗ + λ ‖ E ‖ 1 + 〈 X − A − E , Y 〉 + μ 2 ‖ X − A − E ‖ F 2

迭代低秩矩阵A为：

A * = arg min A L μ ( A , E , Y ) = arg min A ‖ A ‖ ∗ + 〈 X − A − E , Y 〉 + μ 2 ‖ X − A − E ‖ F 2 = D μ − 1 { X − E + μ − 1 Y }

迭代稀疏矩阵E为：

E * = arg min E L μ ( A , E , Y ) = arg min A λ ‖ E ‖ 1 + 〈 X − A − E , Y 〉 + μ 2 ‖ X − A − E ‖ F 2 = S λ μ − 1 { X − A + μ − 1 Y }

使用APG或ALM求解RPCA优化问题，每次迭代时要求对输入矩阵 X ∈ R m × n 进行SVD。RPCA模型中含有核范数，虽然在很多情况下这是可以接受的，但是随着X的增大或性能需求的增加更高时，每次进行SVD在计算上过于耗时。为了缓解这个问题，Cabral等人 [ 4 ] 使用了双线性因子分解的思想避免使用核范数，减少奇异值阈值的使用。BRPCA模型如下：

min U , V , E 1 2 ( ‖ U ‖ F 2 + ‖ V ‖ F 2 ) + λ ‖ E ‖ 1           s .t . X = U V + E (2)

对(2)构建增广拉格朗日函数得：

L μ ( U , V , E , Y ) = 1 2 ( ‖ U ‖ F 2 + ‖ V ‖ F 2 ) + λ ‖ E ‖ 1 + 〈 X − U V − E , Y 〉 + μ 2 ‖ X − U V − E ‖ F 2

输出低秩矩阵A为：

A * = U * V *

其中：

迭代矩阵U为：

U * = arg min U L μ ( U , V , E , Y ) = arg min U 1 2 ‖ U ‖ F 2 + 〈 X − U V − E , Y 〉 + μ 2 ‖ X − U V − E ‖ F 2 (3)

对(3)式求导有：

∂ ∂ U ( 1 2 ‖ U ‖ F 2 + 〈 X − U V − E , Y 〉 + μ 2 ‖ X − U V − E ‖ F 2 ) = 0 U * = ( X − E + μ − 1 Y ) V T ( V V T + μ − 1 I ) − 1

迭代矩阵V为：

V * = arg min V L μ ( U , V , E , Y ) = arg min V 1 2 ‖ V ‖ F 2 + 〈 X − U V − E , Y 〉 + μ 2 ‖ X − U V − E ‖ F 2 (4)

对(4)式求导有：

∂ ∂ V ( 1 2 ‖ V ‖ F 2 + 〈 X − U V − E , Y 〉 + μ 2 ‖ X − U V − E ‖ F 2 ) = 0 V * = ( U T U + μ − 1 I ) − 1 U T ( X − E + μ − 1 Y )

迭代稀疏矩阵E为：

E * = arg min E L μ ( U , V , E , Y ) = arg min E λ ‖ E ‖ 1 + 〈 X − U V − E , Y 〉 + μ 2 ‖ X − U V − E ‖ F 2 = S λ μ - 1 { X − U V + μ − 1 Y }

由于RPCA和BPCA都适用于批量运算，因此每次观察到一个新的数据点时，都必须在所有数据上运行算法，对不是批量运算的应用程序来说并不是很适合。IRPCA模型 [ 5 ] 则克服了这一局限性。给定一个初始数据矩阵X，IRPCA不是学习它的低秩分量A，而是尝试学习一个投影矩阵P，它将X投影到低维子空间上。换句话说，存在矩阵P使得 A = P X 。随后，如果观察到一个新的数据点 x n e w ，就可以很容易地将其投影到低维子空间上，以便重新恢复。IRPCA模型如下：

min P , E ‖ P ‖ * + λ ‖ E ‖ 1       s .t .   X = P X + E (5)

对(5)构建增广拉格朗日函数得：

L μ ( P , E , Y ) = ‖ P ‖ * + λ ‖ E ‖ 1 + 〈 X − P X − E , Y 〉 + μ 2 ‖ X − P X − E ‖ F 2

输出低秩矩阵A为：

A * = P * X

迭代低秩矩阵P为：

arg min p L μ ( P , E , Y ) = arg min p ‖ P ‖ * + 〈 X − P X − E , Y 〉 + μ 2 ‖ X − P X − E ‖ F 2 = arg min p μ − 1 ‖ P ‖ * + 1 2 ‖ P X − ( X − E + μ − 1 Y ) ‖ F 2

迭代稀疏矩阵E为：

P k + 1 ∗ = D ( μ n ) − 1 { P k − n − 1 ( P k X − X + E − μ − 1 Y ) X T } E * = arg min E L μ ( P , E , Y ) = arg min λ E ‖ E ‖ 1 + 〈 X − P X − E , Y 〉 + μ 2 ‖ X − P X − E ‖ F 2 = S λ μ − 1 { X − P X + μ − 1 Y }

对于给定的数据矩阵 X ∈ R m × n ，RPCA试图恢复低秩矩阵 A ∈ R m × n ，可以认为是X在低维子空间上的投影，我们称之为主子空间。IRPCA将这一思想更进一步，尝试学习投影矩阵 P ∈ R m × n ，它将X投影到主子空间上，从而检索A (即 A = P X )。假设主子空间为r维，其中 r ≤ min ( m , n ) ，则需要学习一组基

向量 U = [ u 1 , u 2 , ⋯ , u r ] ∈ R m × r 张成主子空间。为了限制U，这里要求这组基向量是正交的，即 U T U = I 。

经典的主成分分析通常将这些基向量称为主成分。学习了主成分后，投影的数据点将表示为主成分的线性组合。换句话说，如果 V ∈ R m × n 是一个合适系数的矩阵，我们可以写成 A = U V 。

下面，根据前面的讨论，修改RPCA问题。我们可以写出 A = U V ， U T U = I 。由于核范数的不变性，我们得到：

‖ A ‖ * = ‖ U V ‖ * = ‖ V ‖ *

建立标准正交鲁棒主成分分析模型 [ 6 ] (ORPCA)如下：

min V , E , U ‖ V ‖ * + λ ‖ E ‖ 1         s .t . X = U V + E ,   U T U = I (6)

对(6)构建增广拉格朗日函数得:

L μ ( V , E , U , Y ) = ‖ V ‖ * + λ ‖ E ‖ 1 + 〈 X − U V − E , Y 〉 + μ 2 ‖ X − U V − E ‖ F 2

输出低秩矩阵A为：

A * = U * V *

迭代矩阵V为：

V * = arg min V L μ ( V , E , U , Y ) = arg min V ‖ V ‖ * + 〈 X − U V − E , Y 〉 + μ 2 ‖ X − U V − E ‖ F 2 = D μ − 1 { U T ( X − E + μ − 1 Y ) }

迭代矩阵U：

U * = arg min U L μ ( V , E , U , Y ) = arg min U 〈 X − U V − E , Y 〉 + μ 2 ‖ X − U V − E ‖ F 2 = arg min U 1 2 ‖ ( X − E + μ − 1 Y ) − U V ‖ F 2

迭代稀疏矩阵E为：

E * = arg min E L μ ( V , E , U , Y ) = arg min E λ ‖ E ‖ 1 + 〈 X − U V − E , Y 〉 + μ 2 ‖ X − U V − E ‖ F 2 = S λ μ − 1 { X − U V + μ − 1 Y }